Parametric morphing of subject-specific NURBS models for Human Proximal Femurs Subject to Femoral Functions

제 16권 제 6 호 2011년 12월 pp. 458-466

해부학적 기능을 고려한 환자맞춤형 근위대퇴골 모델의 파라메트릭 변형 방안

박병건*, 채제욱**, 김재정***

Parametric morphing of subject-specific NURBS models for Human Proximal Femurs Subject to Femoral Functions

Byoung-keon Park*, Chae-jae Wook** and Jay-jung Kim***

ABSTRACT

The morphology of a bone is closely associated with its biomechanical response. Thus, much research has been focused on analyzing the effects of variation of bone morphology with subject-spe- cific models. Subject-specific models, which are generally achieved from 3D imaging devices like CT and MRI, incorporate more of the detailed information that makes a model unique. Hence, it may pre- dict individual responses more accurately. Despite these powerful characteristics, specific models are not easily parameterized to the extent possible with statistical models because of their morphologic com- plexities. Thus, it is still proven challenging to analyze morphologic variations of subject-specific mod- els across changes due to aging or disease. The aim of this article is to propose a generic and robust parametric morphing method for a subject-specific bone structure. We demonstrate this by using the proposed method on a model of a human proximal femur. Automatic segmentation algorithms are also presented to parameterize the specific model efficiently. A total of 48 femur models were evaluated for defining morphing vector fields. Also, several anatomical and mechanical functions of femur were con- sidered as morphing constraints, and the NURBS interpolating technique was applied in the method to guarantee the generality of our morphed results.

Key words : Anatomical Function, NURBS model, Parametric Morphing, Proximal Femur, Subject-specific Model.

1. 서 론

뼈의 형상(morphology)은 그 뼈의 생체역학적인 반 응과 매우 밀접하게 연관되어 있다^[1]. 이러한 이유로 최근 많은 연구들에서 뼈의 형상 차이에 따른 영향을 분석하기 위한 다양한 방법이 제시되고 있다. 그 중 유한요소해법(이하 FEA)은 실험 변수의 설정 및 경계 조건 등의 조정이 수월하고 모델 형상의 변형이 비교 적 수월하기 때문에 골격의 역학적 반응 분석을 위한

도구로 폭넓게 사용되고 있다^[2-4]. 전통적으로 FEA에 서뼈의 구조를 표현한 모델은 크게 두 가지로 나뉠 수 있는데, 첫째는 통계학적인 모델(statistical model)이 고 둘째는 특정 대상의 맞춤형 모델(subject-specific model)이다. 통계학적인 골격 모델은 해당 모집단의 형상학적, 생체역학적인 성향 및 속성을 분석하여 생 성한 모델로 모집단을 대표하는 일반적 치수와 형상 을 가진다. 통계적 접근 방법은 일반적으로 복잡한 형 상을 가지는 뼈를 대상으로 강건한 결과를 도출할 수 있음이 여러 연구를 통해 이미 입증되었다^[5,6]. 또한 이 모델은 주성분분석법(Principal Component Analysis, PCA)와 같은 통계적 방안을 통해 모델의 형상을 비교 적 쉽게 매개변수화 할 수 있어 형상 변형에 따른 민 감도 분석에 용이하다는 장점을 가진다. 이러한 장점 들에도 불구하고 통계적 골격 모델은 그 형상이 모집

*학생회원, 한양대학교 기계공학과

**비회원, 국방과학연구소

***종신회원, 한양대학교 기계공학부 -논문투고일: 2011. 07. 25

-논문수정일: 2011. 10. 24 -심사완료일: 2011. 11. 02

단의 형상 범위 내에 국한되며 여전히 개개인의 생체 역학적 특성을 표현하는 데에 약하다는 단점을 지닌 다^[2]. 이에 반해 특정 대상의 맞춤형 골격 모델은 주 로 MRI나 CT와 같은 의료입체영상장치를 통해 대상 뼈의 정밀한 형상을 구축한 모델로 대상의 생체역학 적인 특성 및 반응을 정밀하게 분석할 수 있다^[1,7-9]. 더욱이 맞춤형 모델은 의료 장비 및 관련 기술의 발달 과 함께 그 정확성과 활용도가 높아져 의료뿐 아니라 제품 설계와 서비스에 이르기까지 활용 범위가 확대 되고 있다. 최근 이러한 맞춤형 모델을 신속하게 얻기 위해 기존의 템플릿 뼈 모델을 특정 대상에 맞게 변형 하는 기술이 각광 받고 있다^{[10, 11]}. 하지만 이 방법을 통해 획득된 모델은 개인의 형상을 정밀하게 예측하 는 데에 사용되기에는 아직 미흡한 단계이다^[2]. 또한 맞춤형 모델은 통계모델과 달리 체계적인 형상 변형 이 어렵다는 단점을 가진다. 즉, 앞서 언급한 것과 같 이 형상 변화에 따른 민감도 분석을 위해서는 주어진 모델을 해부학적인 변수에 따라 변형할 수 있어야 하 는데, 현재까지의 기술로는 맞춤형 모델의 복잡한 기 하구조때문에 적절히 변형할 수 있는 방안이 제안되 지 못하고 있는 실정이다.

본 연구의 목적은 개인 맞춤형 모델의 형상을 해부 학적 매개변수의 조정을 통해 변형 할 수 있는 새로운 방안을 제시함에 있다. 본 논문에서는 사람의 근위 대 퇴골을 대상으로 제시된 방안을 구현하였다. 대퇴골 은 몸에서 가장 강한 뼈 중의 하나이며, 특히 대퇴골 의 근위부는 고관절 (hip joint)을 구성하는 요소로 하 지 동작을 결정하는 데에 큰 역할을 차지한다. 운동 시 몸무게의 집중하중이 대퇴골 근위부에 발생하여 골절과 같은 상해가 빈번히 일어나는 곳이기도 하다.

따라서 이 부분의 형상학적 민감도 분석은 다양한 분 야에서 매우 중요한 의미를 가진다. 본 연구에서는 주

어진 대상을 해부학적 기능을 기준으로 매개변수화 하기 위해 자동화된 세분화 (automatic segmentation) 알고리즘을 개발하였으며, 변형 알고리즘의 강건성을 높이고 결과 모델의 적용 범위의 확대를 위해 NURBS 곡면으로 변환된 모델을 이용하였다. 또한 매 개변수에 따른 모델의 국부적 수정 시 대퇴골의 해부 학적 기능(anatomical femoral functions)을 바탕으로 대퇴골 근위부에 적합한 변형장 (displacement field) 을 정의하여 알고리즘에 적용하였다. 본 연구에서 제 안된 방법의 일반성 및 타당성을 검증하기 위해 총 48개의 대퇴골 모델을 대상으로 제안된 변형 방안을 적용하였고, 이 모델들을 이용한 FEA 결과를 논문의 후반부에 나타내었다.

2. Method

대퇴골 근위부 모델의 파라메트릭 변형 절차는 Fig. 1 에 나타낸 것과 같이 총 네 단계로 이루어 진다. 즉, (a) 삼차원 의료 영상 장치를 통해 재건된 모델 (recons- tructed model)을 NURBS로 변환하는 과정, (b) 대퇴골 의 해부학적 변수들에 해당하는 영역을 자동으로 인 식하여 구분된 영역에 해당하는 변수들을 최적화를 통해 측정하는 과정, (c) 이를 바탕으로 각 영역에 적 합한 변형장을 정의하는 과정, 그리고 (d) 변수들을 조 정해 변형장에 따라 각 영역의 곡면을 변형하는 과정 으로 진행된다. 다음의 절들에서 각 과정에 적용된 기 술과 개발 알고리즘을 자세히 설명한다.

2.1 Subject-specific NURBS Model for Proximal Femur

CT와 MRI와 같은 삼차원 의료영상장비로부터 측 정되어 삼차원으로 재건된 모델은 주로 복셀(voxel)로

Fig. 1. A pipeline of the proposed parametric morphing method: (a) Import of the femur model as a NURBS patch surface, (b) Automatic segmentation of the morphology into interesting regions (c) estimation of femoral parameters by least square method and defining vector fields of each region to morph properly, and (d) morphing the shape by controlling the parameters.

구성된 솔리드 모델이다. 따라서 이를 바로 FEA에 적 용할 수는 없고, 관심 영역에 대해 보간된 곡면을 추 출하고 이를 유한요소 모델로 변환하는 과정을 거친 다. 본 연구에서는 변형된 결과를 FEA 혹은 제품 설 계와 같은 여러 도메인에 쉽게 활용할 수 있도록 NURBS 모델을 활용하는 방안을 체택하였다.

NURBS 모델은 주로 조정점(control points)의 조정이 나 각 조정점의 가중치(weighting factor)를 조정하여 곡면의 형상을 변형하는데^[12], 이는 뼈의 국부적 형상 변형 시 발생할 수 있는 불연속 구간을 최소화하기에 적합하다.

대퇴골의 NURBS 모델을 획득하기 위해 AMIRA^TM를 사용하여 주어진 환자의 모델을 Voxel로 재건하였으며, 이 모델의 외측 곡면을 RHINO^TM를 활 용해 NURBS 모델로 보간하였다. 이 과정에서 각 모 델은 형상의 복잡도에 따라 약 90~110개의 곡면 패치 들로 변환된다. 이 후의 계산을 위해 변환된 곡면들의 조정점들은 식 (1)과 같이 표현될 수 있다.

(1) 여기서 N은 조정점의 개수이고, 는 해당 곡면 패치를 의미하며 T는 변환된 곡면 패치의 개수이다.

2.2. Automatic Segmentation and Parameters Estimation

고관절을 구성하고 있는 대퇴골 근위부는 해부학적 으로 크게 대퇴골두(Femoral Head, FH), 경부 (Femoral Neck, FN), 그리고 대전자와 소전자 (Greater/Lesser Trochanter) 이렇게 네 부분으로 나뉜 다. 그 중 몸무게의 하중을 지탱하고 고관절의 이동 경로를 결정하는 골두와 경부는 임상학적으로 그 형 상을 다음의 식 (2)와 같은 변수들로 표현한다.

U = [uHR, uNA, uNL, uNR]^T (2)

여기서 uHR은 골두의 반지름(head radius)이고, uNA

은 경부와 대퇴골체가 이루는 각도(neck angle), uNL은 경부의 길이, 그리고 uNR은 경부의 단면의 반지름 (Neck isthmus radius)이다. 각각의 변수들을 Fig. 2에 나타내었다. 이러한 변수들을 측정을 위해서 우선 각 영역에 적합한 단순도형(primitives)로 맞추는(fitting) 과정이 선행되어야 한다. 이를 위해 주어진 모델을 앞 서 언급한 해부학적 영역들로 세분화할 필요가 있다.

기존의 연구에서는 주로 역공학 상용 소프트웨어를 활용하여 세분화를 하였지만 활용하는 소프트웨어나 사용자의 판단에 따라 상이한 결과가 도출되는 단점 을 가졌다. 따라서 본 연구에서는 대한민국 성인 남녀 48인의 대퇴골의 해부학적 특징에 의거한 자동화된 세분화 및 변수 도출 알고리즘을 개발, 적용하였다.

세분화는 모델 곡면의 조정점들을 구분하는 과정으 로, 우선적으로 대퇴골두에 해당하는 조정점들을 선 별하여 주요 수치들을 계산한 후 경부에 해당하는 축 과 변수들을 측정해가는 과정으로 진행된다. 대퇴골 두에 해당하는 조정점 집합 를 선정하기 위한 알 고리즘은 다음과 같다.

1) 모든 조정점을 Z 축 값을 기준으로 정렬한 후, zi값의 최대, 최소 값의 차이로 주어진 대퇴골의 높이 를 계산한다.

2) 조정점들 중 Z 값이 상위 2%에 해당하는 점들 의 xi, yi값의 평균치인 x'h, y'h를 구한다. (대퇴골두를 구로 가정하였을 때 (x'h, y'h)는 XY평면 상의 구 중심 점임)

3) 상위 10% 내의 점들 중 = {pi(x,y,z) | x'h− 5 mm < xi< x'h+5mm, y'h− 5 mm < yi< y'h+ 5 mm}에 속 한 점을 구한다. 이 집합 내의 최상위 점과 최하위 점의 중간 높이를 z'h 라 설정한다. 즉, 점 p'h (x'h, y'h, z'h)가 가상의 대퇴골두 중심(pseudo femoral head center)이 된다.

4) p'h 점과 에 속하는 점들과의 거리의 평균을 골두의 가상 반지름 (rh, pseudo radius)으로 설정한다.

5) 위에서 구한 p'h와 r'h를 이용하여 가상의 구를 설 정하고 점 p'h와r'h+ 2 mm 거리 내에 속하는 모든 조정 점들을 대퇴골두에 해당하는 점집합 로 설정한다.

P={p_i{xi, ,yi zi}, ∆c{ }}, where 1 i N≤ ≤ , 1 c T≤ ≤

∆c

P_H

P′_H

P′_H

P′_H

Fig. 2. Three-dimensional estimation of femoral parameters.

다음 절차는 선별된 점들로부터 대퇴골두에 해당하 는 최적 구 형상으로 보간하는 작업이다. 최적 구는 선별된 점들과 구 사이의 거리에 최소자승법을 수행 하여 구해진다. 즉, 최소화할 목적함수는 식 (3)과 같 이 표현할 수 있고, 최적화 알고리즘으로는 비선형 기 하구조의 최소자승법에 적합한 Levenberg-Marquardt (LM) 방법을 적용하였다^[14].

(3) 최적화된 구로부터 대퇴골두의 진중심(true femoral head center, ph), 그리고 그 반지름(true radius, uHR) 을 구할 수 있다.

대퇴골두에 대한 변수 측정이 완료되면 다음으로 경부에 대한 측정을 수행한다. 경부에 해당하는 주요 인자는 경부의 길이와 축, 그리고 반지름이 있다. 경 부 길이는 일반적으로 골두 중심과 대퇴골체의 주축 과의 교차점과의 거리를 통해 측정하며 경부 각도는 주축과의 각도를 의미하므로 우선적으로 경부의 축과 골체의 주축을 추출해야 한다. 경부는 일반적인 프리 미티브로 표현하기에는 다소 복잡한 형상을 가지고 있다. 따라서 경부의 축을 도출하기 위해서는 축에 수 직하는 단면의 형상을 표현하도록 여러 개의 최적 원 들을 구해 이들의 중심들을 연결하는 방법을 취해야 한다. 경부의 축을 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

1) 경부의 조정점들을 축에 수직한 평면들로 분류 하기 위해 가경부축(pseudo neck axis)를 구한다. 대 퇴골두의 구 중심으로부터의 거리가 5 mm에서 8 mm 내에 해당하는 조정점들의 집합 을 구성한다.

2) 의 점들의 x, y 좌표만을 이용해 XY 평면상 의 타원으로 최적화를 수행한다. 이때의 목적함수는 이다. 이때 구 한 타원의 중심과 에 속한 점들의 높이의 중간 위 치로 한 점 p'(x,y,z)을 정의한다. 즉, 대퇴골두 중심과 이 점을 잇는 축을 통해 가경부축을 결정할 수 있다.

3) 다음 단계로 위에서 도출한 가경부축을 따라 축 에 수직한 평면들을 통해 진경부축을 도출할 후보 점 군을 선정한다. 즉, ph가 속한 가경부축 방향의 평면으 로부터 2 mm 간격으로 총 10개의 평면들을 계산하 고, 계산되 평면들 사이의 각 범위 안에 속하는 점군 을 삼차원 상의 원으로 최적화한다.

4) 최종적으로 위에서 구한 원들의 중심을 직선으 로 보간하여 진경부축(true femoral neck axis, LN)를 도출한다.

골체의 주축은 역시 최소자승법을 이용해 대퇴골 높이의30~50% 에 해당하는 점들을 10% 단위로 묶어 각 높이에 해당하는 최적 원을 도출한다. 구한 총 3개 의 중심점을 직선으로 보간하면 대퇴골 근위부에 해 당하는 주축 LA를 구할 수 있다. 최종적으로 LA와 LN

의 최소거리에 해당하는 교차점 pc를 구한 뒤 다음과 같이 각 파라미터를 계산할 수 있다.

(4) (5) uNR = min[ri] where i = 0, 1, … , n (6)

2.3 Deformation vector fields of parameters 맞춤형 뼈의 변형에 관련된 기존 연구들에서는 주 로 표면상의 지정된 랜드마크들(landmarks)의 이동을 통해 변형하고자 하는 형상을 획득하였다. 하지만 이 방안은 변형 후의 형상에 대한 랜드마크 점들의 위치 를 미리 알아야 한다는 점과 각 점의 이동을 매개변수 화 하기 힘들다는 단점을 지니고 있었다. 따라서 본 연구에서는 앞 서 정의된 근위대퇴골의 주요 파라미 터들의 조정만으로 각 해당 부위를 변형할 수 있는 새 로운 대퇴골 형상 변형안을 제안한다.

각 파라미터는 대퇴골의 해부학적 기능들과 직접적 으로 연관되어 있다. 예를 들어 uHR은 관골구 (acetabulum)와 함께 고관절의 운동성을 결정하는 중 요한 요소이다. 따라서 이러한 해부학적, 역학적인 기 능들을 유지하며 모델을 변형할 수 있도록 각 세분화 된 부위에 변형장(displacement field)을 정의하고, 이 를 각 파라미터에 연동하는 방법을 제안한다. 각 변형 장은 해당 조정점들의 변형 방향을 정의한 벡터집합 , 그리고 변형이 적용될 대퇴골 범위에 속하는 조정 점 집합 , 그리고 다른 범위와의 불연속 형상의 발 생을 피하기 위한 완화함수(smooth function, f(pi))로 정의된다. Fig 3에 그림과 같이 각 파라미터에 따른 변형장의 정의는 다음과 같다.

1) Head Radius Deformation (uHR)

where ls is smooth range Ob jective function: J p r( , ) (p_i–p –r)²

i 0=

∑

=

P′_N P′_N

p_i–p–x_d²y_d²⁄(x_d²sin²θ y+ _d²cos²θ)

( )

∑

P′_N

uNL= p_h–p_c u_NA=cos^–1(L_A⋅L_N )

V R

A. V_HR={vi(p_i–p_h)/ p_i–p_h, i 0,…,N= } where N is the point,

s number in R_HR B. R_HR={p_i p_i–p_h ≤uHR+2mm}

C. f_HR( ) p_i = 0.5+0.5cos{π×(p_i–p_h –u_HR)/l_s} p_i–p_h >u_HR 1 p_i–p_h >u_HR

⎩⎨

⎧

2) Neck Radius Deformation (uNR)

where di is distance between pi and plane PHC

(Fig. 3)

3) Neck Length Deformation (uNL)

4)Neck Angle Deformation(uNA)

where rotational vector from the Euler’s rotation theorem rotational axis and

각 부분의 변형장은 해당 부위의 해부학적 기능에 고려하여 정의되었는데, 예를 들어, 골두부위 변형장 의 경우에는 골두의 기능인 회전 운동의 중심 이 보존되도록 변현장을 정의한 것이다. 즉, 각 조정 점pi의 이동이 원 형상의 골두 중심점 ph를 중심으로

방사형의 방향 으로 설정되었기 때

문에, 파라미터에 조정에 따른 조정점의 이동으로 골 두의 크기가 변형되어도 골두의 회전중심은 보존되는 것이다. 제안된 변형장 정의 내의 완화범위(smooth range, ls)는 성인 남성의 평균 대퇴골을 기준으로 약

12mm 정도이면 통계 범위 내의 형상 변형에 적절한 결과를 도출하는 것으로 판단된다.

2.4 Parametric Morphing the Femur Model 형상 변형안의 최종 단계는 각 파라미터들의 조정 된 양만큼 해당 변형장에 따라 조정점을 이동시켜 곡 면을 변형하는 것이다. 일반적으로 mixnj개의 조정점 으로 이루어진 NURBS 곡면 S(u,v)는 다음 식 (7)과 같이 표현된다^[13].

(7)

여기서 B(u)는 non-uniform B-spline의 기저함수 (basis function) 이며, ωij는 각 컨트롤 포인트 p의 가 중치이다. NURBS곡면의 특징 상, 조정점의 이동량은 실제 곡면의 이동량과 일치하지 않을 수 있으므로, 입 력된 파라미터의 변경 수치를 조정점에 그대로 적용 하는 방안은 적합하지 않다. NURBS곡면의 수정 방 안으로는 명시적인 수식으로 조정점의 이동량을 결정 하는 Piegl^[19]의 방안이 가장 널리 사용된다. 하지만 Piegl의 방법은 한 조정점 또는 한 가중치를 조정하여 곡면을 수정하므로 다중점을 동시에 만족하는 방법들

[12,13]보다 다소 부자연스러운 결과를 도출한다. 특히

뼈와 같이 복잡한 기하구조를 가지는 모델의 경우 Piegl의 방법을 적용하였을때 불연속 구간이 더 많이 발생할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 여러 점을 동 시에 만족하도록 최소자승법을 적용하는 방안을 체택 하였다.

곡면의 변형을 위해 우선 변형 목표점들을 계산하여 야 하는데, 본 연구에서는 해당 곡면에 투영한 각 조정 점들의 이동량을 입력된 파라미터의 변동 수치와 일치 시켜 점들을 계산하였다. 즉 Fig. 4에서처럼, 조정점의 변동(perturbation)을 식(8)과 같이 정의하여 식(7)에 대 A. V_HR={vi(p_i–pˆ_i)/ p_i–pˆ_i, i 0,…,N= }

where N is the point,

s number in R_HR and pˆ_i p_h (p_c–p_h)(p_h–p_i) p⋅( _c–p_h)

p_i– p_i² --- –

=

B. R_NR={p_i p_i–p_h ≤uNL+ls}

C. fNR( ) 1 except p_i = , 0.5+0.5cos{π×(p_i–p_h –u_NL)/l_s}

p_i–p_h >uHR–ls

0.5 0.5cos( {π u×( _HR–d_i)/u_HR} d( _i<u_HR))

⎩⎪

⎨⎪

⎧

A. V_NL={v p( _h–p_c)/ p_h–p_c } B. R_NL={p_i p_i–p_h ≤u_NL}

C. f_NL( ) p_i = 0.5+0.5cos{π×(p_i–p_h –u_HR)/u_NL} p_i–p_h >u_HR 1 p_i–p_h >uHR

⎩⎨

⎧

A. V_NA={viθeˆ} θeˆ

eˆ=(LN×LA)/ L_N×LA

B. R_NA={p_i p_i–p_h ≤uNL}

C. fHR( ) p_i = 0.5+0.5cos{π×(p_i–p_h –u_NL l,– )/l_s}

p_i–p_h >u_NL–l_s 1 p_i–p_h >uNL–ls

⎩⎪

⎨⎪

⎧

V_HR ( )

p_i–p_h ( )/ p_i–p_h

S u v( , )

B_ui( )Bu _vj( )ωv _ijP_ij

j 1= n_v i 1=

∑

n_u

∑

B_ui( )Bu _vj( )ωv _ij

j 1= n_v i 1=

∑

n_u

∑

---

=

Fig. 4. A scheme of NURBS surface morphing by reposi- tioning control points.

입하면 변형된 곡면 S’(u,v)를 얻을 수 있고, 이를 이동하 려는 대상점(target points)과의 거리를 최소화하는 것이 다. 이동하려는 목표 값인 대상점의 위치는 식(9)에서와 같이 우선 각 조정점을 곡면에 투영한 후^[18] 이를 2.3절 에서 정의된 해당 변형장을 곱하여 구할 수 있다. 대상 점과 변형 곡면의 차이를 최소화하기 위한 목적함수는 식(10)에 나타내었다. 최적화 과정에 각 곡면의 연속성 을 유지하기 위해 곡면 간의 경계에 해당하는 점과 이 웃점의 방향은 이웃한 곡면의 경계와 연속하게 유지하 는 구속조건을 추가하였다. 즉, Fig. 4에서처럼, NURBS곡면의 특성상 경계점에서의 미분방향은 경계 에 해당하는 조정점(pi+1)과 곡면 내부의 이웃점(pi)의 연 결방향과 일치한다. 따라서 곡면간의 경계 부위에 해당 하는 조정점들이 선형으로 나열(collinear)되도록 구속하 면 곡면간의 기하적인 연속성이 보장된다. 식 (12)에 표 현된 이 구속조건을 목적함수에 Lagrange Multiplier와 함께 포함시켜 ALM(Augmented Lagrange multiplier Method)을 통해 변형 곡면의 변동을 구하였다. ALM에 사용된 목적함수는 식(11)에 나타내었으며, 초기해로는

모든 변동값을 으로 설정하였고 페널티

펑션의 rp는 1로, λ⁰들은 모두 0으로 설정하여 매 iteration마다 업데이트를 해주었다.

(8) (9) where, is a point p projected onto

surface S,

fk is a smooth function,

∆u is variation of parameter u, and

vk is an associated vector field

(10)

(11)

where n is the number of the control points on the boundary and

(12)

where , and are the closest point among the points in the same surface and the closest point positioned in the neighbored surface, repectively.

이렇게 최적화된 변형 곡면S’(u,v) 은 가시화를 위 해 분할 삼각형들(tessellated facets)로 변환하는 것으 로 변형 과정을 종료한다.

3. Implementation

본 연구에서 제안된 대퇴골 모델의 변형 방안의 검 증을 위한 소프트웨어(ReformBones)를 구현하였다. 개 발된 소프트웨어는 C# 언어를 기반으로 구현되었으며 ε_ij=[0 0 0, , ]

ε_ij=[ε_ij^x, ,ε_ij^y ε_ij^z]

pˆ_k =p_k||S u v( , )+∆ufk( ) vp_i ⋅ _k p_k||S u v( , )

J S′ u v( , ) pˆ– _k

k i=

∑

=

Bui( )Bu _vj( )ωv _ij(P_ij+ε_ij)

j 1=

∑

∑

B_ui( )Bu _vj( )ωv _ij

j 1=

∑

∑

---–pˆ_k

k 1=

∑

=

A ε λ r( , , p) J ε( ) λ_iHi rpHi

+ 2

{ }

i 1=

∑

+

=

H_i p˜_i–p˜_i^IN p˜i–p˜_i^IN

--- p˜_i^OUT–p˜_i p˜i

OUT–p˜_i --- –

=

p˜_i=p_i+ε_i, p˜_i^IN p˜_i^OUT

Fig. 5. Developed parametric morphing software, ReformBones, and its user interface.(Left side. femoral parameters control)

사용환경은 MS Windows이다. NURBS 곡면의 처리를 위해 OpenNURBS^[0]를 사용하였다. OpenNURBS는 공 개용 라이브러리로 제품 디자인에 널리 활용되는 Rhino 의 기초 라이브러리이기도 하다. 모델의 가시화를 위해 서는 역시 공개용 라이브러리인 VTK(Visualization Toolkit, http://www.vtk.org) ^[15]을 활용하였다. 최소자 승법을 위한 최적화모듈은 ALGLIB(http://www.

alglib.net)를 이용하여 본 논문에 맞춰 알고리즘을 구 성하였다. 그 외의 여타 모듈은 본문에서 언급한 알고 리즘을 바탕으로 자체 개발하였다.

사용자 인터페이스(UI)는 Fig. 5에서와 같이 근위대 퇴골의 파라미터 값을 직관적으로 조정할 수 있도록 하였으며, 대퇴골 파라미터들의 조정부와 변형 결과 가 시화 창, 그리고 주요 수치 표시창으로 구성하였다. 또 한 변형된 양과 부위를 직관적으로 확인할 수 있도록 변형량을 모델 상에 색으로 구분하여 표현하였고, 활 용 포맷은 NURBS 포맷인 3DM과 범용 가시화 포맷 인 STL을 채택하였다. 향후의 학술적 목적으로 다양 한 대퇴골 모델들의 비교 분석 모듈 또한 추가되었다.

개발된 소프트웨어에 대한 자세한 정보는 웹사이트 (http://cadlab.hanyang.ac.kr/reformbones)에서 확인할 수 있다.

4. Result and Discussion

제안된 근위대퇴골 모델의 변형 방안의 일반성 및 적합성을 평가하기 위해 총 건강한 한국 성인 48인의 삼차원 대퇴골 형상에 대해 변형 및 검증을 수행하였 다. 모델의 검증방안은 우선 제안된 자동세분화의 결 과를 타 연구의 결과와 비교하여 검증하도록 한다. 그 후, 모델들의 매개변수를 조정하여 변형하는 과정에 서 오류의 발생여부를 검토한 뒤, 변형 모델을 FEA로 해석한 예를 통해 실용성을 검증하도록 한다.

48개의 대퇴골 모델을 대상으로 세분화를 수행하였 을 때 3개의 모델(약6%)을 제외하고는 모두 성공적으 로 세분화가 되었고 매개변수가 측정되었다. 검토 결 과 오류가 발생한 3 개의 모델 중 2개의 모델은 대퇴 골의 상하방향이 반대로 생성되어 있어 발생한 오류 였으며, 나머지 한 개의 모델은 NURBS 곡면으로 변 환 중 조정점의 순서가 잘못 변환되어 발생한 에러였 다. 추후 이러한 사례에 대응하도록 알고리즘을 개선 할 필요가 있다. 그 외 45개의 모델은 해당 단순도형 으로 최적화되어 변수가 측정되었고, 모델들의 평균 오차는 1.048 mm였다. 측정한 결과 대퇴골두의 지름 은 48.04 ± 6.33 mm, 경부의 각도는 124.98 ± 8.73,

경부길이는 48.83 ± 10.88 mm, 그리고 경부의 지름은 32.86 ± 6.78 mm로 측정되었다. 이들을 키에 따라 정 렬하였을 때의 추세는 Fig. 6에 표시하였다. 이러한 측정 결과는 기존 관련 연구들^[1,16]에서 제시한 측정결 과와 적정 오차 범위 내에 드는 결과이다.

각 모델을 매개변수들의 조정으로 변형하였을 때 국부적으로 발생하는 불연속구간이나 형상 왜곡이 발 생하지는 않았다. Fig. 7에 각 파라미터에 따른 변형

Fig. 6. Result of automatic segmentation and parmeter estimation.

Fig. 7. Mophed results with ∆U=[∆uHR, Δ∆uNL,

∆uNA, ∆uNR]^T.

Fig. 8. Result of finite elemental analysis with morphed femur models: varied with (a) femoral head daiameter, (b) neck radius, (c) neck length and (d) neck shaft angle.

된 형상과 변형량을 색으로 표현한 결과를 나타내었 다. 추가로 대퇴골에 부하되는 하중에 대한 응력 분포 해석을 수행한 결과를 Fig. 8에 표시하였다. 각 매개 변수를 달리하여 어떠한 인자에 따른 응력의 변화를 평가할 수 있도록 하였다. 해석에 필요한 힘의 방향 및 크기와 물성치 및 해석 경계 조건은 기존의 연구^[0]

와 동일한 조건으로 수행하였고, 해석 솔루션으로는 Dassault Systems의 Abaqus^TM를 이용하였다. 동일 매 개변수의 모델의 경우 기존 해석 결과와 매우 유사한 응력분포 양상과 수치를 보임으로, 본 연구에서 제시 한 변형 방안이 개인의 생체역학적인 분석에 사용될 수 있음을 확인하였다. 단, 매개변수를 과도하게 조정 하였을 경우, 이로 인한 왜곡 및 불연속 구간이 발생 하였는데, 이를 해결하기 위해 추후에 주어진 모델의 각 매개변수에 적절한 구속조건을 부여하는 연구가 필요할 것으로 판단된다.

5. Conclusion

본 연구에서는 환자 맞춤형 근위대퇴골 모델의 파 라메트릭 변형에 대한 새로운 방안을 제안하였다. 대 퇴골의 적합한 변형을 위해 임상 실험 데이터에 근거 한 세부화 알고리즘을 개발하였고, 대퇴골이 가지고 있는 해부학적 속성과 역학적인 기능들을 바탕으로 변형 알고리즘을 설계하였다. 임의의 48개의 대퇴골 모델에 제안된 변형 방안을 적용하였을 때, 모든 모델 에서 불연속 구간이나 의도하지 않은 형상의 왜곡 없 이 변형됨을 확인하였다. 기존의 관련 연구들과는 달 리, 본 연구는 변형하려는 목표인 삼차원 형상의 입력 없이 단순히 주요 파라미터들을 조정해 형상을 변형 할 수 있다는 장점을 가진다. 이러한 장점은 근위 대 퇴골의 형상에 따른 민감도 분석 및 매개변수식 연구 를 가능하게 하며, FEA를 이용한 가상의 임상 실험에 도 적합한 모델을 제공할 수 있을 것이다. 즉, 고관절 전치환 수술에 이용되는 임플란트의 설계 시 특정 환 자의 골격 구조에 적합한 모델을 고른 후 수술의 과정 이 결정되는데 수술 전에 본 연구에서 제안된 변형방 안을 통해 환자에게 가장 최적화된 형상을 찾을 수 있 을 것이다. 향후에 추가로 본문에서 제시된 변형장의 정의에 모집단의 대퇴골 형상 분포 추이를 통계적으 로 분석, 적용한다면 좀 더 적합한 변형이 가능하리라 예상한다. 또한 현재의 매개변수들이 X-ray를 기반으 로 정의되어서 2차원적인데 이를 3차원적인 변수들로 재정의할 필요가 있다. 본 연구에서 제안된 변형 방안

은 대퇴골의 근위부에 국한되었지만 향후로 적용 범 위를 확대할 예정이다.

감사의 글

이 논문은 국방과학연구소 생존성 기술 특화연구센 터의 사업으로 지원받아 연구되었음 (계약번호 UD090090GD)

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박 병 건

2005년 한양대학교 기계공학부 학사 2007년 한양대학교 기계공학과 공학석사 2007년~현재 한양대학교 기계공학과 박 관심분야: Multi-CAD/CAE Integration,사과정

Bio-CAD

김 재 정

1981년 한양대학교 정밀기계공학과 학사 1983년 미국 George Washington대학공

학석사

1983년~1984년 미국 National Food- Processors Association 연구원 1989년 미국 MIT 공학박사

1989년~1991년 미국 IBM T.J. Watson 연구소 연구원

1991년~1993년 한국 IBM 소프트웨어 연구소 연구원

2002년~2003년 미국 NIST 객원 연구원 2003년 프랑스 Dassault System 객원

연구원

1993년~현재 한양대학교 기계공학부 교수 관심분야: Geometric Modeling, CAD/

CAM 응용, PDM/PLM

채 제 욱

1990년 한양대학교 기계설계학과 학사 1997년 충남대학교 기계설계학과 공학

석사

2006년 충남대학교 기계설계학과 공학 박사

1990년~ 현재 국방과학연구소 책임연 관심분야: Human modeling & simula-구원 tion, Bio-mechanics, Future soldier