3()13()(

연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 베터 공간 1.6

정리 : 모든 연립선형(#차 방정식은 오직 하나의 해를 가지거나 무수히 많은 해를 가지거나 또는 해를 가지지 않거나 ) 셋 중의 하나이다.

증명 :

정리 : ! 가 - × - 가역행렬이면 임의의 - × # 행렬 ( 에대하여 연립선형방정식 !^ )( 는 오 직 하나 의 해를 가진다 즉. , ^ )!^"#( 이다.

증명 : !^ )!

1

!^"#(

3

⁾

1

!!^"#

3

( )1b3( )( 이므로 ^ )!^"#( 는 연립선형방정식 !^ )( 의 해이 다. ^_; 를 연립선형방정식 !^ )( 의 임의의 해라고 하면 !^_;)( 이다. ! 가 가역행렬 이므로

^_;)!^"#( )^. Q.E.D.

예제 : 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오.

$_# ' .$_.' C$_C)E .$_#' E$_.' C$_C)C

$_# ' G$_C)#D

풀이 : !^ )( → ^ ) !^"#(0 여기서 ! )

=

>

?

^@

A

# . C

B

. E C

# ; G 0 ^ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

$_C 0 ( )

=

>

?

^@

A

B

E C

#D 이다.

그러므로 ^ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

$_C )

=

>

?

^@

A

B

"I; #F H

#C " E " C E " . " #

=

>

?

^@

A

B

E C

#D )

=

>

?

^@

A

B

#

" # .

0 ∴ $_#) #0 $_.)" # 0 $_C).

이다.

같은 계수행렬을 가지는 연립 #차 선형 방정식열의 해법( )

!^ )( 0 !^ )(_. 0 ⋯ 0 !^ )(₉

↔ ^_#)!^"#(_#0 ^_.)!^"#(_. 0 ⋯ 0 ^₉)!^"#(₉

↔ P! n (_#n (_.n ⋯ n (₉Q 1첨가행렬3 → Pb n (_#n (_.n ⋯ n (₉Q 1기약 가우스 행렬3

예제 : 다음 연립선형방정식을 푸시오.

(1) $_#' .$_. ' C$_C)I .$_#' E$_. ' C$_C)E

$_# ' G$_C)H

(2) $_#' .$_. ' C$_C)#

.$_#' E$_. ' C$_C)F

$_# ' G$_C) " F

풀이 : P

=

>

?

^@

A

# . C

B

. E C

# ; G n

=

>

?

^@

A I

B

E H

n

=

>

?

^@

A

B

# F

" F

Q → P

=

>

?

^@

A

# ; ;

B

; # ;

; ; # n

=

>

?

^@

A

#

B

;

# n

=

>

?

^@

A

B

.

#

" # Q

그러므로 (1)의 해는 $_#)#0 $_.);0 $_C )#, (2)의 해는 $_#).0 $_.)#0 $_C ) " # 이다.

주목 : (1) ! 가 가역행렬 ↔ (2) !W)b 0 W! )b ↔ (3) !W )b 또는 W! )b

↑ ↑

정의 증명 필요

증명 : W! )b 라고 하면 ! 는 가역행렬이다. [왜냐하면 ! 가 가역행렬이기 필요충분조건은 !^ ); 여기 (

서 ; )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1영행렬3 이 자명해 즉) ( , ^ ); 만 가진다 이다) . ^; 가 임의의 해 라고 하자. 그러면

!^_;); 그리고 그래서 . W!^_;)W; → b ^_;); → ^_;);. ]

W! )b 양변에 !^"# 을 곱하면 W!!^"#)b!^"# → Wb )b !^"# → W )!^"#

마찬가지로

!W)b → W )!^"# Q.E.D.

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다. .

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다.( .)

(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b_- 이다. (3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

연립선형방정식

(4) !^ ); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^ )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든

(5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 항상 해를 가진다. 모든

(6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 오직 하나의 해를 가진다.

증명 :

정리 : ! 0 W 는 똑같은 크기를 가지는 정사각형행렬이라고 하자 행렬곱 . !W 가 가역적이면 행렬 ! 와 W 도 가역 적이다.

증명 : !W 가 가역적이므로 1!W3^"# 가 존재한다 한편 . 1!W3^"#)W^"#!^"# 이므로 !^"#0 W^"# 가 존재한 다. Q.E.D.

기본문제[Fundamental Proble m] : ! 를 고정된 5 × - 행렬이라고 하자. 이 경우에 연 립선형방정식

!^ )( 가지도록 하는 모든 5 × # 행 렬

( 를 구하시오.

문제 : 다음 연립선형방정식이 해를 가지기 위해서는 (_#0 (_. 0 (_C 가 어떤 조건을 만족시키 면 되는 지 그 조건을 구하시 오.

$ ' % ' .+ )(_#

$ ' + )(_.

.$ ' % ' C+ )(_C 풀이 :

문제 : 가우스 조단 - 소거법 과 계수행렬의 역행렬 두 방법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오

.

.$_# ' $_. " C$_C ' $_I);

' E$_. ' I$_C ' C$_I )#

$_C ' .$_I);

C$_I) " #

벡터 행렬. . -"벡터공간

벡터

벡터란 힘, 속도와같이 크기 와 방향을 가진 양을 의미한다. 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 의에 화 살표를 붙인 문자로 나타낸다. 방향과 크기가 같은 두 벡터는 같다고 말한다. 평면에 놓인 벡터는

평면벡터, 공간에 놓인 벡터는 공간벡터라고 부른다. 벡터는 시작점과 종점을 가지는데 평행이동을

통하여 언제든 두 벡터의 시작점을 일치시킬 수 있다. 이 때 두 벡터 사이의 사이각이 발생하는데 적은 쪽 각을 사이각이라 부른다 사이각이 . ; 도이면 같은 방향이고 사이각이 , #G; 도이면 정 반대 방향이다 크기가 . ; 인 벡터를 영벡터라고 부른다 속력과 같이 크기만 가진 양을 스칼라라고 부른다 예를 들면 실수는 크기만 가진 양으로 취급하고 우리는 실수를 스칼라라. . , 고 부른다 크기가 . # 인 벡터는 단위벡터라고 부르고 영벡터가 아닌 벡터 KV& 방향의 단위벡터는 KnKV& n

KV&

이다 두 벡터가 평행하다는 의. 미는 사이각이 ;^∘ 또는 #G;^∘ 를 의미한다.

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 : KV& 와 KV( 가 KV( 의 시점이 KV& 의 종점에 있도록 위치하고 있으면 합 , KV& ' KV( 는 KV& 의 시점부터 KV( 의 종점까지의 벡터이다.

스칼라 곱의 정의: p 는 스칼라이고 KVq 는 벡터라고 하자 스칼라 곱 . pKVq 의 길이는 npn 와 KVq 의 길이의 곱이고 방향은 pd; 일 때 KVq 와 같고 pr; 일 때는 KVq 와 정반대인 벡터 로 정의한다. p); 또는 KVq )KV; 일 때, pKVq )KV; 이다.

벡터 뺄셈의 정의 벡터 : KV& " KV( 의 시점은 벡터 KV( 의 종점이고 종점은 벡터 , KV& 의 종점이다.

성분 벡터

& ) KV& ) r&_#0 &_.d 는 평면벡터 시점이 ( 원점이고 종점은 평면좌 표

1

^&#0 &_.

3

^{인 벡터 라고 ) 부르고,}

& ) KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd 는 공간벡터 시점이 원점이고 종점은 공간좌 표 (

1

^&#0 &_.0 &_C

3

인 벡터 라고 부른다) .

덧셈과 뺄셈 스칼라 곱 그리고 크기, : KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd0 KV( ) r(_#0 (_.0 (_Cd 이면 KV& ± KV( ) r&_#± (_#0 &_. ± (_.0 &_C ± (_Cd 이다. p 가 스칼ㄹ라이면 pKV& ) rp&_#0 p&_.0 p&_Cd 이다. nKV&n )

T

^K&#. ' &_.^. ' &_C^. 이다.

벡터의 성질

KV& 0 KV( 0 KV* 는 벡터이고, p0 s 는 스칼라일 때 다음이 성립한다, .

1. KV& ' KV( ) KV( ' KV& 2. KV& ' 1KV( ' KV*3 )1KV& ' KV( 3 ' KV* 3. KV& ' KV; )KV& 4. KV& ' 1" KV&3 )KV;

5. p1KV& 'KV( 3 )pKV& ' pKV( 6. 1p ' s3KV& )pKV& ' sKV&

7. 1ps3KV& )p1sKV&3 8. #KV& )KV&

삼차원 단위 기저 벡터

6) r#0 ;0 ; d0 7) r;0 #0 ; d0 9 ) r;0 ;0 # d 를 삼차원 단위 기 저 벡터라고 부른다. 이 때, KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd ) &_#6 ' &_.7 ' &_C9 이다.

문제 벡터 : C6 " 7 ' .9 방향의 단위 벡터를 구하시오.

내적

KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd0 KV( ) r(_#0 (_.0 (_Cd 일 때, KV& 와 KV( 의 내적은 다음과 같이 정의된 스칼라

KV& ∙KV( ) &_#(_# ' &_.(_. ' &_C(_C

내적의 성질

KV& 0 KV( 0 KV* 는 벡터이고, p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다, .

1. KV& ∙KV& ) nKV& n^. ≥;

2. KV& ∙KV( )KV( ∙KV&

3. KV& ∙1KV( ' KV* 3 )KV& ∙KV( ' KV& ∙KV* 4. KV; ∙KV& );

5. 1pKV& 3∙KV( )p1KV& ∙KV( 3 ) KV& ∙1pKV( 3

내적의 기하학적 의미

두 벡터 KV& 와 KV( 사이의 사이각이 i 일 때 다음이 성립한다, .

KV& ∙KV( )nKV& n nKV( n cos i

따라서 두 벡터 , KV& 와 KV( 가 영벡터가 아닐 때 다음이 성립한다.

KV& ⊥ KV( 직교 ( ) ⇔ KV& ∙KV( ); (∵; ≤i ≤S)

사영

1. 벡터 KV( 위로 벡터 KV& 의 벡터 사영: eax7KV(

KV& ) KnKV( n^. KV& ∙KV

( KV(

2. 벡터 KV( 위로 벡터 KV& 의 스칼라 사영: *x5eKV(

KV& ) K nKV( n KV& ∙KV(

두 벡터 KV& 와 KV( 사이의 사이각이 i 가 예각일 때, neax7KV (

KV& n )*x5eKV (

KV& 이다.

문제: KV( ) r#0 " #0 . d 위로 KV& ) r#0 .0 C d 의 벡터 사영과 스칼라 사영을 구하시오.

외적

KV& ) r&_#0 &_.0 &_Cd0 KV( ) r(_#0 (_.0 (_Cd 일 때, KV& 와 KV( 의 외적은 다음과 같이 정의된 벡터이다.

KV& × KV( ) r&_.(_C " &_C(_.0 &_C(_# " &_#(_C0 &_#(_. " &_.(_#d

외적을 계산할 때 다음 행렬식을 이용 하여 계산한다, .

KV& ×KV( )

? ?

^&(^{6 7 9}_#^#&(^._.^&(_C^C

행렬식 추후에 설명

( )

외적의 기하학적 의미

KV& × KV( )1nKV&n nKV( n sin i3KV- 여기서, KV- 은 단위 벡터이고, KV- ⊥KV& 0 KV- ⊥KV( 이고, KV- 의 방향은 오 른손 법 칙을 따른다 그리 고 i 는 두 벡터 KV& 0 KV( 사이의 사이각이다.

그러므로

1. KV& × KV( ) " KV( × KV&

2. KV& × KV( ⊥KV& 0 KV& × KV( ⊥KV( 1∵KV& × KV( ╱╱KV- 3  3. KV& ╱╱KV( ⇔ KV& × KV( )KV;

4. 두 벡터 KV& 0 KV( 로 결정된 평행사변형의 넓이 )nKV& n nKV( n sini )nKV& × KV( n 5. 두 점 z0 c 을 지나는 직선 밖의 점 { 에서 이 직선의 이르는 거리는 다음처럼 주어진다.

| )KV

z{ sin i ) KnKVzc n nKVz{ ×KVzc n

여기서, i 는 KVz{ 와 KVzc 사이의 사이각이다.

문제: 두 점 z1#0 I0 F30 c1#0 " #0 #3 을 잇는 직선 밖의 점 {1" .0 E0 " #3 에서 이 직선에 이르는 거 리를 구하시오.

문제 세 꼭지점이 : z1#0 I0 F30 c1#0 " #0 #3, {1" .0 E0 " #3 인 삼각형의 넓이를 구하시오.

외적의 성질

KV& 0 KV( 0 KV* 는 벡터이고, p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다, .

1. KV& ×KV( ) " KV( × KV&

2. 1pKV& 3 ×KV( )p1KV& × KV( 3 )KV& × 1pKV( 3 3. KV& × 1KV( ' KV* 3 )KV& × KV( ' KV& × KV* 4. 1KV& 'KV( 3 × KV* )KV& ×KV* ' KV( × KV* 5. KV& ∙1KV( × KV* 3 )1KV& ×KV( 3∙KV*

6. KV& × 1KV( × KV* 3 )1KV& ∙KV*3 KV( " 1KV& ∙KV(3 KV*

스칼라 삼중곱

세 벡터 KV& 0 KV( 0 KV* 로 결정되는 평행 육면체의 부피 는 이 들의 스칼라 삼중곱의 크기이다.

} )nKV& ∙1KV( × KV*3n

문제: 세 벡터 KV& ) r#0 I0 " D d0 KV( ) r.0 "#0 I d0 KV* ) r;0 "H0 #G d 는 한 평면의 놓 임을 보이시오.

문제: 세 벡터 KV& )6 ' 7 " 90 KV( )6 " 7 ' 90 KV* ) " 6 ' 7 '9 에 의해서 결 정된 평행육 면 체의 부피를 구하시오.

좌표평면안에 놓이는 직선의 벡터방정식 : 벡터 q 에 평행하고 평면 위의 점 $_; 를 지나는 직선의

방정식은 다음처럼 표현된다 .

$ " $_;~~ q ↔ $ " $_;)Nq 1" ∞ rN r∞3 ↔ $ ) $_; ' N q

여기서 $ 는 직선의 일반적인 점(generic point) 이다.

C차원공간안에 놓이는 평면의 벡터방정식 : 평행하지 않은 두 벡터 q_#0 q_. 에 의해서 결 정된 평면 € 평행하고 C차원공간 위 의 점 $_; 를 지나는 평면의 방정식은 다음처럼 표현된다.

$ ) $_; ' N_#q_# ' N_.q_. 1 " ∞ rN_#r∞0 " ∞rN_.r∞3

여기서 $ 는 평면의 일반적인 점(generic point) 이다.

정의 : c^- )

•

‚ ƒ

„ „

^{r&#0 &.}0 ⋯ 0 &_-d )

=

>

?

^@

A

B

&_#

&_.

⋮

&_-

n &_#0 &_.0 ⋯ 0 &_-∈c

…

†

‡

„ „

^은 - 차원 벡터공간이라고 부른다.

여기서 c 은 실수 스칼라 들의 집합이다( ) . 통상적으로 벡터 r&_#0 &_.0 ⋯ 0 &_-d (시점이 원점이고 종점이

1

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

3

)를 나타내고 이를 , - 차원 벡터라고 부르고 이 것을 - × # 행렬 열벡터( )

=

>

?

^@

A

B

&_#

&_.

⋮

&_-

로 나타낸다.

정의 : c^- 의 공집합이 아닌 부분집합 } 가 c^- 에서 정의된 벡터덧셈과 스칼라곱에 의해서 닫혀 있으 면 } 를 c^- 의 부분공간(subspace)이라고 부른다.

예제 : ˆ;‰0 c^- 은 c^- 의 부분공간이다 우리는 이들 부분공간을 . c^- 의 자명 부분공간이라고 부 른다.

정의 : q_#0 q_.0 ⋯ 0 q_- 은 c^- 안에 있는 벡터 들이라고 하자.

Me&-

ˆ

^q#0q_.0 ⋯ 0 q_-

‰

⁾

ˆ

^N#q_# ' N_.q_. ' ⋯ ' N_-q_-n N_#0 N_. 0 ⋯ 0 N_-∈c

‰

정리 : Me&-

ˆ

^q#0q_.0 ⋯ 0 q_-

‰

⁾

ˆ

^N#q_# ' N_.q_. ' ⋯ ' N_-q_-n N_#0 N_. 0 ⋯ 0 N_-∈c

‰

^은 -"차원 벡터공간

c^- 의 부분공간이다.

정의 : N_#q_# ' N_.q_. ' ⋯ ' N_-q_-을 벡터 q_#0 q_.0 ⋯ 0 q_- 의 선형결합(linear 이라고 부른다

combination) .

정의 : U_#) r#0 ;0 ⋯ 0 ; d U_.) r;0 #0 ⋯ 0 ; d

⋮

U_-) r;0 ;0 ⋯ 0 # d

은 -"차원 벡터공간 c^- 의 표준 단위 벡터 들이라고 부른다.

주목 : 벡터공간 c^- 안에 놓이는 모든 벡터는 벡터공간 c^- 의 표준 단위 벡터

U_#) r#0 ;0 ⋯ 0 ; d U_.) r;0 #0 ⋯ 0 ; d

⋮

U_-) r;0 ;0 ⋯ 0 # d

들에 의해서 생성된다 즉. , c^-)Me&-

ˆ

U_#0 U_.0 ⋯ 0 U_-

‰

^.

예제 : c^. 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리(categories)로 분류하시오.

영 부분공간 즉 (1) ( , ˆ;‰)

원점을 통과하는 모든 직선 (2)

(3) c^.

예제 : c^C 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리(categories)로 분류하시오.

영 부분공간 즉 (1) ( , ˆ;‰)

원점을 통과하는 모든 직선 (2)

원점을 통과하는 모든 평면 (3)

(4) c^C

정리 : 행렬 ! 는 5 × - 이고 $ ∈c^- 이라고 하자. 제차 연립선형방정식

!$ ); 의 해집합은 c^- 의 부분공간이다 우리는 이 부분공간을 . !$ ); 의 해공간 이라고 부른다 그리고 이 해공간을

(solution space) . null1!3 로 표 현한다.

증명 :

문제 : 연립선형방정식 !$ ); 의 해공간을 구하시오.

여기서 , ! )

=

>

?

^@

A

B

# C " . ; . ;

. F " E " . I " C

; ; E #; ; #E

. F ; G I #G

이다.

정리 : ! 0 W 는 5 × - 행렬이라고 하자.

(1) !$) ; 의 해공간이 c^- ↔ ! ) ; (2) ! )W ↔ !$ ) W$ 0 ∀$ ∈ c^-

증명 :

#차독립[linea r independence ]

정의 : q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 은 c^- 안에 있는 벡터들이라고 하자.

*_#q_# ' *_.q_. ' ⋯ ' *₉q₉); 1*_#0 *_.0 ⋯ 0 *₉는 스칼라3 일 때마다

*_#);0 *_.);0 ⋯ 0 *₉); 이면 벡터 q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 는

#차 독립(linearly independen t)한다고 말한다 그렇지 않다면. 즉 스칼라

( , *_: 1# ≤: ≤93 들 중 적어도 하나가 ; 이 아니다) q_#0 q_.0 ⋯ 0 q₉ 는 #차종속 (linearly 이라고 말한다

dependent) .

예제 : ‹)

ˆ

;0 q_#0 ⋯ 0 q₉

‰

^는 #차독립이 아니다 (∵ ; ∈‹)

정리 : ‹ )

ˆ

^q#0 q_.0 ⋯ 0 q₉

‰

^{⊆c- 이다.}

‹ 가 #차종속이기 위한 필요충분조건은 ‹ 안에 있는 벡터들중 적어도 하나가 ‹ 안에 있는 다른 벡터들의 선형결합 으로 표현되는 것이다.

증명 :

정리 : 연립선형방정식 !$ ) ; 이 자명해 영 해 만 가지기위한 필요충분 조건은 행렬 ( ) ! 의 열벡 터들이 #차 독립이 다.

증명 :

문제 : 다음 벡터들이 #차독립인 지 아닌 지를 결정하시오, .

q_#) r#0 .0 # d 0 q_.) r.0 E0 ; d 0 q_C) rC0 C0 G d

기억 : 벡터는 열벡터를 의미한다.

정리 : c^- 안에 있는 - ' # 개 이상의 벡터들은 #차종속이다.

증명 :

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자.

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다.( .)

(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b_- 이다. (3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

연립선형방정식

(4) !^ ); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^ )

=

>

?

^@

A

B

;

;

⋮

;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든

(5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 항상 해를 가진다. 모든

(6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^ )( 는 오직 하나의 해를 가진다. (7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.

(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.

정의 : 예를들면

$ ' C+ ) " .

% " .+) #

생각하면 변수

$0 % 는 첨가행렬(augment matrix) 안에 선행 # 에 대응됨으로 선행 변수(leadin g 라고 부르고 나머 지 변수

variable) + 는 자유 변수(free variable) 라고 부른다.

정리 : 비제차 연립선형방정식 !$ ) ( 이 해를 가지고, € 가 제차 연립선형방정식 !$ ) ; 의 해공간이면 비제차 연립선형방정식 !$ ) ( 의 해집합은 다음과 같은 이동부분공간 (translated subspace)이다.

$_; ' € 1여기서 $_;은 !$ ) ( 의임의의 해이다3

증명 :

문제 : ! )

=

>

?

^@

A

B

# C " . ; . ;

. F " E " . I " C

; ; E #; ; #E

. F ; G I #G

이다.

비제차 연립선형방정식 !$ )

=

>

?

^@

A

B

;

" # E F

의 해집합을 이동부분공간으로 표현하시오.

정리 : ! 는 5 × - 행렬이다 다음 두 명제는 동치이다. .

(1) !$ ) ; 이 자명해(trivial solution)만 가진다

(2) c⁵안에 있는 임의의 벡터 ( 에 대하여 !$ ) ( 가 많아야 한 해를 가진다

증명 :

정리 : 선형방정식의 개수보다 더 많은 미지수를 가지는 비제차 연립선형방정식은 해를 가지지 않거 나 무수히 많은 해를 가지거나 둘 중의 하나이다

.

증명 :

정의 : ! 는 5 × - 행렬이라고 허자. ! 의 - 개의 열벡터(column vectors)에의해서 생 성된 벡터공간을 열공간(column space)이라고 부르고 행렬 , ! 의 열공간은 col1!3 로 표현하고, ! 의 5 개의 행벡터(row

에의해서 생성된 벡터공간을 행공간 이라고 부르고 행렬

vectors) (row space ) , ! 의 행공간은 row1!3 로 표현한다.

정리 : 연립선형방정식 !$ ) ( 가 해를 가지기 위한 필요충분 조건은 ( ∈ col1!3 이다.

예제 : 벡터 O ) rH0 #0 ; d 는 벡터

q_#) r#0 .0 C d 0 q_.) r#0 I0 F d 0 q_C) r.0 " C0 " E d 에 의해서 선형결합으로 표 현할 수 있 는지 결정하고 만일 그렇다면, , O 를 그 벡터들의 선형결합으로 표현하시오.

풀이 :

=

>

?

^@

A

B

# # .

. I " C C F " E

=

>

?

^@

A

B

*_#

*_.

*_C )

=

>

?

^@

A H

B

#

;

→

=

>

?

^@

A

B

# # . H

. I " C # C F " E ;

1첨가행렬3 → *_#)#0 *_.).0 *_C)C

그러므로 O ) q_# ' .q_. ' Cq_C 이다.

주목 : (1) &_#$_# ' &_.$_.)(

1

^{여기서 &}#0 &_.둘중 적어도 하나는 ; 이 아니다

3

^는 $%"평면에서 직선 을 나타내고

(line)

(2) &_#$_# ' &_.$_.' &_C$_C)(

1

^{여기서 &}#0 &_.0 &_C셋 중 적어도 하나는 ; 이 아니다

3

^는 $%+"공

간에서 평면 을 나타낸다

(plane) .

(3) &_#$_# ' &_.$_.' ⋯ ' &_-$_-)(

1

^{여기서 &}#0 &_.0 ⋯0 &_- 중 적어도 하나는 ; 이 아니다

3

^는

-"공간에서 초평면(hyperplane)을 나타낸다.

&_#$_# ' &_.$_.' ⋯ ' &_-$_-);

1

^{여기서 &}#0 &_.0 ⋯0 &_- 중 적어도 하나는 ; 이 아니다

3

^는

-"공간에서 원점을 통과하는 초평면(hype rplane)을 나타낸다.

편리한

notation : &_#$_# ' &_.$_.' ⋯ ' &_-$_-)( 를 내적(inner product)을 이용 하여 다음처럼 표현할 수 있다.

& ∙$ )(

여기서

& )

P

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

Q

^는 # × - 행렬 행벡터 이고 ( ) $ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

⋮

$_-

는 - × # 행렬 열벡 터( )

이다.

정의 : &^⊥ ) ˆ$ n & ∙$); ‰ 즉( , 행벡터 & 와 직교하는 모든 열벡터 $ 들의 모임 를 ) & 의 라고 부른다

orthogonal comple ment .

문제 : 행벡터 & ) P#0 " .0 IQ 의 &^⊥ 를 구하시오.

정리 : ! 는 5 × - 행렬이라고 하자 연립선형방정식 . !$ ) ; 의 해공간(null 1!3 은 ) ! 의 모든 행벡터들

과 직교하는 c^- 안에 놓이는 벡터 열벡터 들로 구성된다( ) .

증명 :

정의 : } 는 벡터공간이라고 하자. } 를 생성하는 #차독립한 벡터들의 가장 큰 } 의 부분집합을 } 의 기저(basis) 라고 부르고 기저안에 속하는 , #차 독립한 벡터들의 갯수를 벡터공간 } 의 차원(dimension)이라 부른다.

정리 : W_#0 W_. 가 벡터공간 } 의 기저라고 하면 W_# 에 속하는 벡터들의 갯수와 W_. 에 속하는 벡 터 들의 개수는 같다.

예제 : (1) 영공간은 차원이 ; 이고 (2) 직선은 차원이 # 이고 (3) 평면은 차원이 . 이다.

문제 : 다음 연립선형방정식의 해공간 해공간의 차원을 구하고 행렬 , ! 의 모든 행벡터들이 해공간 null1!3 에 속하는 모 든 벡터 들과 직교함을 확인하시오.

!$ ) ;

여기서 ! )

=

>

?

^@

A

B

# # # . . . C C C

0 $ )

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_.

$_C 0 ; )

=

>

?

^@

A

;

B

;

;

행렬의 종류 대각행렬 삼각행렬 대칭행렬

1.7 : . .

대각행렬 은 다음처럼 정의된

(1) (diagonal matrix) - × - 정사각형행렬이다.

| )

P

^,67

Q

⁾

=

>

?

^@

A

B

,_## ; ⋯ ;

; ,..⋯ ;

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

; ; ⋯,--

1여기서 ,₆₇)

ˆ

^,;^{67 0 6 )7}0 6 ≠ 7 3

ㄱ

( ) 6 )#0 .0 ⋯ 0 - 에 대해서 ,₆₆≠ ; 이면

|^"#)

=

>

?

^@

A

B

K,_##

# ; ⋯ ;

; K,_..

# ⋯ ;

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

; ; ⋯ K,_--

#

이다.

ㄴ 그리 고 임의의 양의 정수

( ) 9 에 대하여 |⁹)

=

>

?

^@

A

B

,_##⁹ ; ⋯ ;

; ,_..⁹⋯ ;

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

; ; ⋯,_--⁹ 이다.

문제 : ! )

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; " # ;

; ; " #

일 때 !^"#0 !^.;#E 0 !^".;#E 를 구하시오.

삼각행렬

(2) (trian gular matrix)

삼각행렬은 정사각형행렬이다.

ㄱ 상삼각행렬

( ) (uppe r triangular ma trix)

• )

P

^&67

Q

^1&67 ) ; 0 6d73

예제 :

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. &_#C

; &_.. &_.C

; ; &_CC

ㄴ 하삼각행렬

( ) (lower triangula r matrix)

Ž )

P

^&67

Q

^1&67 ) ; 0 6r73

예제 :

=

>

?

^@

A

B

&_## ; ;

&_.# &_.. ;

&_C# &_C. &_CC

정리 : (1) 하삼각행렬 ! 의 전치행렬 !^_ 는 상삼각행렬 이고 상삼각행렬 ! 의 전치행렬 !^_ 는 하 삼각행렬 이다.

하삼각행렬의 곱은 하삼각행렬이고 상삼각행렬의 곱은 상삼각행렬이다

(2) .

삼각행렬

(3) ! 가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 ! 의 주대각선상에 있는 모든 성 분이 ; 이 아니다.

가역적 하삼각행렬의 역행렬은 하삼각행렬이고 가역적 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행

(4) 렬이다 .

예제 : ! )

=

>

?

^@

A

# C " #

B

; . I

; ; E

0 W)

=

>

?

^@

A C " . .

B

; ; " #

; ; #

일 때

!^"#)

=

>

?

^@

A

B

# " K.

C KE

D

; K.

# " KE .

; ; KE

#

0 !W )

=

>

?

^@

A

B

C " . " .

; ; .

; ; C

0 W! )

=

>

?

^@

A

B

C E " #

; ; " E

; ; E

정의 : ! )

P

^&67

Q

는 정사각형행렬이고 !^_)! 이면 ! 를 대칭행렬(sy mmetric matrix)이라 고 부르고

!^_) " ! 이면 ! 를 skew-symmetric 행렬이라고 부른다.

, 1!3즉 ₆₇)1!3₇₆ 또는 &₆₇)&₇₆이면 ! 는 대칭행렬이고 1!3₆₇) " 1!3₇₆ 또는 &₆₇) " &₇₆이 면

! 는 skew-symmetric 행렬이다.

예제 : =

>? ^@ AB D .

. C 1대칭행렬3 =

>? ^@ AB D .

" . C (skew-symmetric)

정리 : ! 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이고 9 는 임의의 스칼라일 때

!^_0 ! ' W0 W " ! 그리고 9! 는 대칭행렬이다.

주목 : ! 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이면1!W3^_)W^_!^_)W! 이다.

정리 : ! 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이고 !W )W! 이면 !W 는 대칭행렬이다.

증명 : 1!W3^_)W^_!^_)W! )W! Q.E.D.

정리 : ! 가 가역적 대칭행렬이면 그의 역행렬 !^"# 는 대칭행렬이다.

증명 :

1

!^"#

3

^_)

1

!^_

3

^"#)!^"# Q.E. D.

주목 : ! 가 5 × - 행렬이고 W 가 - × 5 행렬이면 !W 는 5 × 5 행렬이고 W! 는 - × - 행렬이 고

1

!!^_

3

^_)

1

!^_

3

^_!^_)!!^_0

1

!^_!

3

^_)!^_

1

!^_

3

^_)!^_! 이므로

!!^_0 !^_! 는 대칭행렬이다

.

! )

P

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

Q

^1&6는 !의 6"번째 열행렬3 라고 놓으면

!^_! )

=

>

?

^@

A

B

&_#^_

&_.^_

⋮

&_-^_

P

^&#0 &_.0 ⋯ 0 &_-

Q

⁾

=

>

?

^@

A

B

&_#^_&_# &_#^_&_. ⋯ &_#^_&_-

&_.^_&_# &_.^_&_. ⋯ &_.^_&_-

⋮ ⋮ ⋮

&_-^_&_# &_-^_&_. ⋯ &_-^_&_- 이고

&_#0 &_. 가 - × # 행렬 열벡터 이면 내적은 다음처럼 정의된다( )

&_#∙&_.)&_#^_&_#

정리 : ! 가 정사각형행렬이 때 !0 !^_! 0 !!^_ 는 동시에 가역행렬이거나 동시에 특이행렬이다 가역행렬이 [ 아니다].

행렬의 고정점[fixed points of a ma trix]

정의 : ! 가 - × - 정사각형행렬이고 $ 가 - × # 열벡터이고 !$ ) $ 이면 $ 를 행렬 ! 의 고 정점이 라고 부른다.

이 것은 다음 관계를 의미한다

.

!$ ) $) b $ ↔ 1b " ! 3$ ) ;

=

>? ^@ AB

; ;

" . ;

=

>

?

^@

A

B

$_#

$_. )=

>? @ AB

;

; ↔ " .$_#); ↔ $_#);0 $_.)N 1N 는 임의의 스칼라3

그러므로 고정점은 열벡터 $ )=

>? @ AB

;

N (N 임의의 스칼라 이다 그러므로 무수히 많은 고정점이 존재한다) ( ) 주목 : !⁹) ; 1여기서 9 는 양의 정수3 일 때

# " $⁹)1# " $3

1

# ' $ ' $^. ' ⋯ ' $^{9 " #}

3

이므로

1b " !3

1

b ' ! ' !^. ' ⋯ ' !^{9 " #}

3

)b " !⁹ 이고

결국은

1b " !3

1

b ' ! ' !^. ' ⋯ ' !^{9 " #}

3

)b 이다.

그러므로

1b " !3^"# ) b ' ! ' !^. ' ⋯ ' !^{9 " #} 이다.

정리 : ! 가 정사각형행렬이고 !⁹); 1여기서 9 는 양의 정수3 이면 b " ! 는 가역행렬이고 1b " !3^"# ) b ' ! ' !^. ' ⋯ ' !^{9 " #} 이다.

예제 : ! )

=

>

?

^@

A

B

; . #

; ; C

; ; ;

→ !^.)

=

>

?

^@

A

B

; ; F

; ; ;

; ; ;

0 !^C)

=

>

?

^@

A

B

; ; ;

; ; ;

; ; ; ) ;

그리고

b " ! )

=

>

?

^@

A

B

# " . " #

; # " C

; ; ;

,

1b " !3^"#)b ' ! ' !^.)

=

>

?

^@

A

# . D

B

; # C

; ; #

문제 : 행렬 ! 에 대하여 !^C0 !^"C 을 구하시오.

! )

=

>

?

^@

A

B

# ; ;

; " # ;

; ; K.

#

문제 : !^. ' E! ' Fb_.); 을 만족시키는 모든 . × . 대각행렬을 구하시오.

정사각형행렬 ! 의 Ž• "분해 여기서 [ Ž 은 하삼각행렬, • 는 상삼각행렬]

연립선형방정식의 풀이법

!$ ) (

1. 가우스 소거법

2. 가우스 조단 소거법-

3. 역행렬 이용법 [!$ ) ( 미지수의 개수와 방정식의 갯수가 같은 경우 그리고 계수행렬의 역행 렬이 존재 하는 경우에 한해서만]

4. !$ ) ( 미지수의 개수와 방정식의 갯수가 같은 경우 우리는 또다른 방법 ! 의 Ž• "분해법을 이용할 수 있다 (! 가 Ž•

로 부해되는 경우에 한해서만)

(1) ! )Ž• 로 분해

(2) Ž•$ ) ( , •$ ) % (3) Ž% ) ( 로부터 % 를 구한다 (4) •$ ) % 로부터 $ 를 구한다

정의 : 정사각형행렬 ! 가 ! ) Ž• 여기서 [ Ž 은 하삼각행렬, • 는 상삼각행렬 로 표현되면 이 와같은 ] ! 의 분해를 행렬 ! 의 Ž• "분해 라고 불리어진다.

주목 : 행렬 ! 의 Ž• "분해 는 항상 존재하는 것이 아니고 존재한다고 하더라도 그 분해는 유일 하지 않다.

분해방법 : 기본행연산중에서 행렬의 교환을 이용하지 않고 정사각형행렬 ! 를 행 사다리꼴 가우스 행렬 로 줄일 수 ( ) 있다면 행렬 ! 의 Ž• "분해 는 항상 존재한다.

(1) l₉ ⋯l_.l_#! )• 1행 사다리꼴3 여기서 명백히 기 본행렬 [ l₆ 는 하삼각행렬이다] (2) ! )l_#^"#l_.^"# ⋯l₉^"#• ) Ž•

1

여기서 Ž )l_#^"#l_.^"# ⋯l₉^"# 8 하삼각행렬

3

(3) • 의 주대각선상의 선행 # 을 만들 때 사용된 수의 역수가 Ž 의 주대각선상에 배치된다 (4) • 안의 ; 성분을 만들 때 사용된 배수의 음의 부호를 붙힌 수가 순서적으로 Ž 에 배치된다.

예제 : 행렬 ! )

=

>

?

^@

A F " . ;

B

H " # #

C D E

의 Ž• "분해 를 구하시오.

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

H " # #

C D E

1#행에 KF

#을 곱함3

=

>

?

^@

A F ; ;

B

∙∙ ;

∙∙∙

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

; . #

; G E

1#행에 " H 곱하여.행에더함0 #행에 " C을 곱하여 C행에더함3

=

>

?

^@

A

B

F ; ; H∙ ; C∙∙

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

; # K.

#

; G E

1.행에 K.

# 곱함3

=

>

?

^@

A F ; ;

B

H . ; C ∙∙

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

; # K.

#

; ; #

1.행에 " G을 곱하여 C행에 더함3

=

>

?

^@

A

B

F ; ; H . ; C G ∙

• )

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

; # K.

#

; ; #

1C행에 #을 곱함3 Ž )

=

>

?

^@

A

B

F ; ; H . ; C G # 그러므로

! )Ž• )

=

>

?

^@

A

B

F ; ; H . ; C G #

=

>

?

^@

A

B

# " KC

# ;

; # K.

#

; ; #

이다.

문제 : Ž• " 분해 를 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오.

!$ ) ( 0 여기서 ! )

=

>

?

^@

A

B

. F .

" C " G ;

I H .

0 ( )

=

>

?

^@

A .

B

. C

이다 .