Chap 5 . Geometrical Optics-Paraxial Theory

Chap 5 . Geometrical Optics-Paraxial Theory

기하광학은 광의

wavefront

를 용도에 맞게 조작하는 기술의 학문으로 회절을 무시하고 반사나 굴절만 적용된다.

5.1 Lenses

용어 설명(

Glossary

)

초점(

focal point

): 구형파(

spherical wave

)의 일부가 수렴(

converging

)하는 점.

광 시스템(

optical system

): 반사나 굴절물체의 근방에 점 광원(

point source

)을 가짐으로써 그 광을 이용하도록 설계된 구조 체계.

Stigmatic

(우측 그림 참조): 점

S

로부터 온 콘(

corn

) 형태의 광이 한 점을 지나가는 점

P

가 존재할 때 이 구조(

system

)를

stigmatic

하다고 한다. 이때

P

를

S

의 완전한 상(

perfect image

)이라 하고

P

와

S

를 켤 레 점(

conjugate points

),

S

가 있는 곳을 사물공간 (

object space

),

P

있는 곳을 상공간(

image space

)이 라 한다.

Aspherics

: 평면(

planar

)이나 구(

sphere

)가 아닌 면을 가진 광 요소이며 예로서 렌즈나 거울(

mirror

)이 있다.

Vertex

: 광 축에 놓인 구면의 꼭지점.

광축(

Optical axis

): 렌즈나 거울에서 꼭지점(

vertex

)과 중심을 잇는 선. 그림에서

SP

.

o

,

i

s s

또는

p i ,

: 꼭지 점으로부터 각각 사물과 상의 거리(

object and image distance

).

5.1.1 구면의 굴절식

아래 그림과 같이 광이 이루어지면 광로는 일정(

Fermat's principle

)하다. 즉 광이 어떤 길을 취하 여

P

점에 가든 그것은 일정하다. 이것을 수학적 표현으로 바꾸면

OPL  constant

^이며



^{에 대}

한 미분 값은

0

이다.

1 2

OPL  n l

_o

 n l

_i

 constant

^(5.1)

2 2 1/ 2

[ ( ) 2 ( ) cos ]

l

o

 r  p r   r p r  

2 2 1/ 2

[ ( ) 2 ( ) cos ] l

i

 r   i r  r i r  

이들을 (5.1)에 대입하고



에 대해 미분.

( )

d OPL 0 d  ^

^:

2 2

1

1 [ ( ) 2 ( ) cos ]

2

_o

n d r p r r p r

l d 

 ^{   }

2 2

2

1 [ ( ) 2 ( ) cos ] 0

2

_i

n d r i r r i r

l d 

      

1

( ) sin

2

( ) sin

1

( )

2

( )

0 0

o i o i

n r p r n r i r n p r n i r

l l l l

 

   

    

위의 수식을 정돈하면

1 2 2 1 1 2

1

2 1

( )

o i i o o i i o

n r n r n i n p n n n i n p

l  l  l  l  l  l  r l  l

^(5.2)

삼각함수의 전개

2 4 6

cos 1

2! 4! 6!

  

    

3 5 7

sin 3! 5! 7!

  

     

만일 점

A

가

V

에 접근, 즉 광 축에 접근하는 광선(

paraxial ray

)이라면

l

_o

p

,

l

_i

i

^{. 이 조건}

은

  0

^으로

cos   1

이며, 이러한 경우의 광학을

first-order

,

paraxial

, 또는

Gaussian optics

라 한다. 이때 (5.2)는 다음과 같이 표현된다.

1 2

2 1

1 ( )

n n

n n

p  i  r 

^(5.3)

이것은 하나의 구면에서 나타나는 공식으로

p i r , ,

은 각각 광축에 놓인 구면의 꼭지점

V

^로부터

거리로 모두 양수(

positive number

^)이다.

초점(

focus

^{) 구하기}

(a) 물체공간(

object space

)의 어떤 특정 지점에서 오는 광이 무한대의 거리에 상을 맺을 때, 즉 상 공간(

image space

)에서 평행으로 광이 진행하여

i  

인 지점에서 상을 맺는 다고 가정할 때, 이때의 점을 물체공간에 있는 초점거리(

first or object focal length

⁾

f

_o로 정의하고 그 점

F

_o

를 첫 번째(

first

^{) 또는}

object focus

^{라 한다.}

1 2 1

2 1

2 1

1 ( )

( )

o o

n n n

n n f r

f   r    n n

 

^(5.4)

(b) 무한대에 놓여 있는 물체, 즉

p  

로부터 온 빛은 한 점에 상을 맺는다. 이 경우

i

^{를 상}

쪽에 있는 초점거리(

second or image focal length

⁾

f

_i로 정의 하고 그 점

F

_i^{를 두 번째(}

second

⁾

또는

image focus

^{라 한다.}

1 2 2

2 1

2 1

1 ( )

( )

i i

n n n

n n f r

f r n n

    

 

^(5.5)

만일

n

₁

 1

(공기나 진공)인 경우 렌즈의 굴절률을

n

₂

 n

이라 하면 (5.3)~(5.5)식은 다음과 같다.

1 1

( 1)

n n

p   i r 

^(5.6)

1 ( 1)

f

o

r

 n



^(5.7)

( 1)

i

f n r

 n



^(5.8)

5.1.2 ^{얇은 렌즈(} Thin Lens ⁾

다양한 면에 수식 (5.3)을 적용하기 위하여 공식이 만들어진 구면의 상황을 잘 기억하여야 한다.

즉 볼록 구면의 곡률반경

r

은 우측, 소스

S

는 좌측,

S

에 대한 상

P

(

S

의 켤래 점)는 우측 그 리고

n

₂

 n

₁임을 명심하도록 하자.

렌즈의 종류

수렴렌즈(볼록렌즈:

convex lens

): 빛이 실 초점

(real focus

)에 모이는 렌즈.

발산렌즈(오목렌즈:

concave lens

): 빛이 허초점(

virtual focus

)에 모이는 렌즈.

렌즈의 부호 협약(

Convention

)

구면에 따라서 적용되는 반경의 부호는 아래 그림처럼 정의 된다.

(a) 좌측의 곡면이 볼록(

convex

)이면

r

₁

 0

, 반대로 오목

(concave

)이면

r

₁

 0

(b) 우측의 곡면이 볼록이면

r

₂

 0

, 오목이면

r

₂

 0

(c) 평면(

planar

)이면 항상

r  

렌즈공식(

Gaussian lens formula

)

단일 구면에 대한 공식 (5.3)을 이용하여 렌즈공식을 유도한다.

1 2

2 1

1 ( )

n n

n n

p  i  r 

^[5.3]

우측

( n

₂

 n

₁

) / r

이 고정된 값에 대해

p

^{가 크면}

i

는 상대적으로 작다. 따라서

p

^{가 감소하면}

i

는 꼭지점(

vertex

)으로부터 멀어지며

p  f

^이면

i  

로 이 경우 다음식이 성립한다.

1

2 1

1 ( )

n n n

p  r 

만일

p

가 이보다 작아지면

i

^{는 음수(}

negative

)가 되고 상은

virtual

이다. 아래 그림은 광원

S

^가

놓인 자리에 따라 맺어지는 상을 보여준다.

양면을 가진

Lens

의 공식 유도

양면이 곡면인 렌즈에 적용되는 일반공식을 유도하려면 우선 단일 구면의 점들에 대한 물리적인 상황을 이해하는 것이 필요하다. 여기서

S

와

P

,

P '

은 다음과 같이 기술되는 점들이다.

S

에서 나온 광은

V

₁의 곡면에서 굴절하여

P '

^의

virtual image

를 맺는다. 한편 그림에서 곡면

V

2의 관점에서 보면

P '

은

P

에서 나와 모인 점이다. 즉

P '

은 다음의 두 가지 해석이 가능하다.

(a)

P '

은

V

₁ 곡면에 의해 만들어지는

S

의 가상 켤레 점(

virtual conjugate point

)이다.

(b)

P

^는

V

₂ 곡면에 의해 만들어지는

P '

의 실제 켤레 점(

real conjugate point

)이다.

이들에 대한 렌즈 관계식을 유도하자. 렌즈 주위의 굴절률을

n

₁, 렌즈의 굴절률을

n

₂라 하면

V

^{에 대한}

S P , ' conjugate points

관계식은 (5.3)으로 주어진다.

1 2

2 1

1 1 1

1 ( )

n n

n n

p  i  r 

^(5.9)

V

2에 대한

P

,

P ' conjugate points

관계식은 다음의 식으로 주어진다.

1 2

1 2

2 2 2

1 ( )

n n

n n

i  p  r 

^(5.10)

2 1

p    i d

이므로 (5.10)은

1 2

1 2

2 1 2

1 ( )

n n

n n i  i d  r 

 

^(5.11)

(5.9)



^{(5.11): 1 1 2 2} _{2 1}

1 2 1 1 1 2

1 1

( )( )

n n n n

n n

p  i  i  i d   r  r



1 1 2

2 1

1 2 1 2 1 1

1 1

( )( )

( )

n n n d

n n

p  i   r  r  i i d



^(5.12)

만일 렌즈의 두께가

d  0

⁽

thin lens

)라면 (5.12)는

1 1

2 1

1 2 1 2

1 1

( )( )

n n

n n

p  i   r  r

^(5.13)

Thin lens

의 경우

V

₂

 V

₁^이고

p

₁

 p

^,

i

₂

 i

^{로 수렴한다.}

n

₁

 1

^(공기),

n

₂

 n

^{로 표기하면}

1 2

1 1 1 1

( n 1)( )

p   i  r  r

^(5.14)

p

1

 

^이면

i

₂

 f

_i로 수렴한다. 즉

i

₂는

image space

의 초점거리

f

_i가 된다.

i

2

 

이면

p

₁

 f

_o로 수렴한다. 즉

p

₁은

object space

의 초점거리

f

_o가 된다.

p  

^{, 또는}

i  

일 때

f  f

_o

 f

_i.

1 2

1 1 1

( n 1)( )

f   r  r

^(5.15)

(5.15)는 다음과 같이

Gaussian lens formula(Lens maker’s formula)

로 표현된다.

Gaussian Lens Formula

^:

1 1 1

p   i f

^(5.16)

(예제)

n  1.5

인 얇은 볼록-평면 렌즈(

convex-planar lens

)의 반경이 각각

r

₁

 5cm

^,

r

₂

 

^그

리고 빛이 볼록 렌즈 방향에서 입사할 때 초점거리

1 1 1

(1.5 1)( ) 10 cm

5cm f

f     



렌즈에서 빛의 진행 방법

(a) 렌즈의 중심을 지나는 광선은 굴절 없이 통과한다.

(b) 광 축에 평행하게 들어오는 광선은 초점을 지난다.

(c) 초점을 지나는 광선은 광 축에 평행하게 나간다.

상이 맺어지는 위치(

P P

_{1 2})는 이중 두 선 이상이 만나는 지점이며 크기 및 종류(

real or virtual

^)는

렌즈로부터

source

⁽

S S

_{1 2})가 놓인 위치에 따라 결정된다.

거리의 부호(

The sign convention of distance

⁾

(a) 실제 광이 지나가거나 만나서 이루어지는 축 상의 거리들은 양수이다.

아래 그림에 나타난 축 상의 거리들은 지나는 광들에 의해 만들어 지므로 p i f x x, , , _o, _i 0 (b) 광의 연장선상에 맺어지는 거리들은 음수이다.

오목렌즈에서 평행하게 들어온 광은 발산하며 그 발산된 광을 역으로 그리면 초점에서 만난다. 이 때의 초점은 허초점으로 그 거리는

f  0

, 또한 상도 허상을 만들면 렌즈로부터 상까지의 거리는

0 i 

^이다.

(c) 축 상의 거리들은 위로 서면 양수, 아래로 서면 음수이다. 아래 그림에서

y

_o

 0

^,

y

_i

 0

^.

기하학에 의한

thin-lens equation(Gaussian lens formula)

의 증명

위의 그림에는 두 각이 같은 다음의 닮은 꼴(

similar

) 삼각형이 존재하며, 그에 따른 다음의 비례 식이 성립한다.

2 1 o o

S S F BOF

 

^:

| |

o o

i

y p f x

y f f

  

^(5.17)

2 1

i i

AOF P PF

 

^:

| |

o

i i

y f f

y  i f  x



^(5.18)

2 1 2 1

S S O P PO

 

^:

| |

o i

y p

y  i

^(5.19)

(5.17)과 (5.19)를 결합하면,

p f p

f i

 

^:

1 1 1

p 1 p

f   i  p   i f

(5.18)과 (5.19)를 결합하면,

f p i f  i



^:

1 1 1

i f i

f p p i f

    

이들은 위에서 유도한 (5.16)의

Gaussian lens formula

이다.

상 및 배율 상(

image

)의 종류

(a) 실상

(real image

): 광이 맺어져 만드는 상으로 단일 얇은 렌즈(

thin lens

)에서는 음수의 배율을 가지며 역상(

inverted image

)이다.

(b) 허상(

virtual image

): 광의 연장선상에 가상적으로 맺어지는 상으로 단일 얇은 렌즈에서는 양 수의 배율을 가지며 직립상(

erected image

)이다.

배율의 정의

(a)

Lateral or transverse magnification M

_T

 m

정의: ⁱ

o

m y

 y or i

m   p

^(5.20)

여기서

y

_i

 0

이다.

M

_T는 (5.17)과 (5.18)에 의해 달리 표현될 수 있다.

2 1 o

S S O BOF

 

^{: i}

o

x m f

x f

   

^(5.21)

렌즈 방정식에 대한

Newtonian form

:

f

²

 x x

_{i o} (5.22) (b)

Longitudinal Magnification M

_L

(5.22)를 미분하면

0

_{o i i o} ^{i i}

o o

dx x

x dx x dx

dx x

    

^(5.23)

정의: _L ⁱ _L ⁱ

o o

dx x

M M

dx x

   

^(5.24)

(5.22)의

x

_i

 f

²

/ x

_o를 (5.24)에 대입하고 (5.21)을 적용하면

2 2

( )

i

L L

o o

x f

M M m

x x

      

^(5.25)

(예제)

f  10cm

⁽

r  2 f

)인 볼록렌즈에서 물체의 위치에 따른 상의 위치, 배율 및 형태.

(a)

p  60cm

⁽

p  r

^):

1 1 1

12 cm

60 10 i

  i  

배율 및 상의 형태:

12 1

60 5

m    

렌즈의 반경보다 멀리 있는 물체의 상은 역 실상 (

inverted real image

)이며 물체 보다 작다.

(b)

p  20cm

⁽

p  r

^):

1 1 1

30 cm

15 10 i

  i  

배율 및 상의 형태:

20 20 1 m    

렌즈의 중심에 놓인 물체의 상은 역 실상이며 물체의 크기와 같다.

(c)

p  15cm

⁽

f   p r

^):

1 1 1

30 cm

15 10 i

  i  

배율 및 상의 형태:

30 15 2 m    

초점과 렌즈의 반경 사이에 놓인 물체의 상은 역 실상이며 물체보다 크다.

(d)

p  10cm

⁽

p  f

^):

1 1 1

10 10 i

  i   

초점에 놓인 물체의 상은 맺어지지 못한다.

(e)

p  5cm

⁽

p  f

^):

1 1 1

10 cm

5 10 i

  i   

배율 및 상의 형태:

10 5 2 m    

초점 안에 놓인 물체의 상은 직립 허상(

erected imaginary image

)이며 물체보다 크다.

5.1.3 Thin lens combinations (compound lenses)

광선 추적

(a) 렌즈

L

₂가 렌즈

L L

₁

,

₂의 초점들 사이에 위치할 때

그림에서 일단

L

₂^{를 무시하고}

L

₁^{에 대한 광선(}

ray

)들을 그려보면 광선

1

은 광 축에 평행하게 들 어와

L

₁^{의 초점}

F

_i1으로 굴절하며, 광선

2

^는

L

₁^{의 초점}

F

_o1을 지나 평행으로 진행한다. 그리고

L

1 렌즈의 중심을 지나는 광선

3

은 굴절 없이 진행하며 언급된 모든 광선들은

P '

^{에서 만난다.}

역으로

P '

^에서

L

₂의 중심으로 향하는 광선

4

^{는 직진하여}

L

₁^에서

object S

로 굴절하는 것으로 추정할 수 있다. 광선

2

^는

L

₂^{를 무시한}

L

₁에 의해 만들어지는 광이므로 두 렌즈의 조합에서 이 광은

L

₂에서 이것의 초점

F

_i2로 굴절한다. 그러므로 광선

4

^{와 광선}

5

가 만나는 곳에 복합렌즈

L

1^과

L

₂의 상이 만들어진다.

(b) 렌즈

L

₂^{가 렌즈}

L L

₁

,

₂의 초점들 밖에 위치할 때

L

1^{에 의해 광선}

1

^과

3

^이

P '

실상을 만들고 다시 이 광선들이 진행하여

L

₂^{에 의한 상}

P

^{를 만든}

다. 광선

2

는

P

로부터 역 추적 선으로

L

₂의 중심을 지나

L

₁에서

S

로 그려진다. 이 조합에서

P

는

P '

의 위치에 따라 상의 종류가 달라진다. 만일

P '

이 밖에 위치하면 그림과 같이 그려지고,

'

P

이 안 쪽에 있으면

L

₂의 좌측에 허상을 만든다. 즉

OP '  f

이면 우측 직립 실상,

OP '  f

이면 좌측 역전 허상이다.

수식적 분석

L

1에 대한

lens

의

Gaussian form

을

i

₁과

p

₁으로 각각 표현하면

1 1 1

1 1 1

p   i f

^(5.26)

1 1 1

1 1

i p f p f

 

^(5.27)

1 1 1

1 1

p i f i f

 

^(5.28)

L

2에 대한

lens

의

Gaussian form

을

i

₂와

p

₂로 각각 표현하면

2 2 2

1 1 1

p   i f

^(5.29)

2 2 2

2 2

i p f

p f

 

^(5.30)

2 2 2

2 2

p i f

i f

 

^(5.31)

그림에서

p

₂

  d i

₁ (5.32)

두 번째 그림은 (5.32)와 일치하지만 첫 번째 그림은 일치하지 않는 것처럼 보인다. 그러나

P '

이 실제 광선으로 맺어지는 상이 아니기 때문에 이 그림에서

i

₁은 수식적용 시

 i

₁^{이어야 한다.}

(5.30)에 (5.32)와 (5.27)을 대입하면

1 2 2 1 1 2 1 1

2

1 2 2 1 1 1 1

( ) /( )

/( )

d i f df p f f p f

i d i f d f p f p f

  

 

    

^(5.33)

배율(

magnification

^): ₁ ¹

1

m i

  p

^, ₂ ^{2 2}

2 1

i i

m   p   d i



^(5.34)

총 배율(

total magnification

):

m  m m

_{1 2} ^(5.35)

1 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1

( )( )

( ) /

i i i i i

m   p  d i  p d i  p d i p

  

(5.27)의

i

₁^{을 대입: 2 2 1}

1

/(

1 1

/

1 1

)

1

(

1 1

)

1 1

i i f

m  p d p f p f p  d p f p f

   

^(5.36)

복합(

combination

) 렌즈의 초점거리

얇은 렌즈의 초점을 구하는 방법, 즉 초점

F

_o1에 위치한 물체로부터 오는 광은 광 축에 평행하게 진행하므로 무한대의 거리에 상을 맺으며, 이와 반대로 무한대에 있는 물체(

p  

^{)로부터 온 빛}

은 한 점에 상을 맺는다는 원리를 이용하여 복합렌즈의 초점들을 구한다.

(a) 만일

L

₂에 의해 만들어 지는 상이 무한대에 있다면

L

₂에 들어오는

object P '

은 초점

F

_o2에 있을 것이다. 즉,

i

₂

 

이면

p

₂

f

₂이다. 이 때 (5.32)는

i

₁

d  f

₂.

(5.28)에 이 조건을 적용하면

1 1 2 1

1 1 2

1 1 1 2

( )

|

ⁱ

( )

i f d f f

p p

i f

^

d f f

   

  

^(5.37)

p

1은 복합렌즈

L

₁의 좌측 vertex로부터 거리이며 특별히

f f l . . .

(

forward focal length

)이라 한 다. 다른 말로 표현하면 이점에 물체가 놓이면 복합렌즈의 상은 맺어지지 않고 광은 평행하게 진 행하여 무한대에서 상을 맺는다.

2 1

1 2

( )

. . .

( )

d f f f f l

d f f

 

 

^(5.38)

(b) 같은 방법으로,

p

₁

 

이면

( p

₁

 f

₁

) p

₁. 이 경우 (5.30)은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

2 1 1 2 1 1

2

2 1 1 1 1

/( )

/( )

df p f f p f

i d f p f p f

 

 

  

1 2

2 1

1 2

( )

|

^p

( )

d f f

i

^

d f f

 

 

^(5.39)

i

2는

L

₂의 우측

vertex

로부터의 거리이며 특별히

f b l . . .

(

backward focal length

)이라 한다. 다른 말로 표현하면,

L

₁으로부터 먼 곳에서 들어온 광은 복합렌즈의

f b l . . .

에 수렴한다.

1 2

1 2

( )

. . .

( )

d f f f b l

d f f

 

 

^(5.40)

특별한 경우의

f f l . . .

과

f b l . . .

(a) 만일

d   f

₁

f

₂ 이면,

f f l . . .  f b l . . .  

. 즉 초점 길이들이 존재하지 않는다. 이것은 파가 굴절 없이 평면 파로 들어와 평면 파로 나가는 것을 의미한다.

(b) 만일

d  0

이면, 즉 두 렌즈가 접촉된 경우

1 2

1 2

. . . . . . f f f f l f b l

f f

 



^(5.41)

이것은 얇은 렌즈

2

개가 붙어 있을 경우로 결합된 복합 얇은 렌즈의 실제적인 초점거리 (

effective focal length

)를 정의해 준다.

1 2

1 1 1

f  f  f

^(5.42)

일반화하여

n

개의 접촉렌즈(

contact lens

)들의 effective focal length는

1 2

1 1 1 1

f  f  f   f

n ^(5.43)

수식의 요약

2 1

1 2

( )

. . .

( )

d f f f f l

d f f

 

 

^(5.44)

1 2

1 2

( )

. . .

( )

d f f f b l

d f f

 

 

^(5.45)

2 1 1 2 1 1 2

2 1 1 1 1

/( )

/( )

df p f f p f

i d f p f p f

 

   

^(5.46)

2 1

1 1 1 1

( )

m i f

d p f p f

  

^(5.47)

(예제)

L

₂의 위치에 따른 초점거리, 상의 위치 및 배율

1

30 cm

f 

^,

f

₂

 50 cm

^,

p

₁

 50 cm

^{라고 가정하자.}

(a)

p

₁

 d

^{의 경우로}

d  20cm

^{일 때}

(20 50)(30)

. . . 15cm

20 (30 50)

f f l 

 

  (20 30)(50)

. . . 8.33cm

20 (30 50)

f b l   

 

2

(20)(50) (50)(30)(50) /(50 30)

26.2 cm 20 50 (50)(30) /(50 30)

i  

 

  

(26.2)(30)

0.715 (20)(50 30) (50)(30)

m   

 

역 허상이 되는 것을 알 수 있는 이유:

L

₁에 의해 만들어진 상은

L

₂^{의 초점}

F

_o2⁽

f

₂

 50 cm

^)의

오른 쪽에 존재한다. 따라서

L

₂에 의해 만들어지는 상은 허상이다.

(b)

p

₁

 d

^{의 경우로}

d  60cm

^{일 때}

(60 50)(30)

. . . 15cm

60 (30 50)

f f l 

  

  (60 30)(50)

. . . 75cm

60 (30 50)

f b l    

 

2

(60)(50) (50)(30)(50) /(50 30)

15.54 cm 60 50 (50)(30) /(50 30)

i  

 

  

(15.54)(30) (60)(50 30) (50)(30) 1.55

m   

 

5.2 Stops

Aperture stop

⁽

A.S.

): 상의 질을 높이기 위하여 광 량을 조절하고 렌즈의 가장자리로부터 들어오는 광 을 차단하도록 역할 하는 조리개(

diaphrgam

^)이며

일반적으로 렌즈 뒤에 위치한다.

Field stop

⁽

F.S.

^):

System

에 의해 상으로 만들어지는 물체의 크기(

size

^{)나 각 폭(}

angular breadth

^{)을 제한}

하는 요소. 이것은 장비의

field-of-view

^{를 결정하는}

요소이다.

5.2.1 Entrance and Exit Pupils

Entrance pupil

: 이것은

Lens

나

A.S

.가 없다면 그림처럼 광 축의 렌즈 중심과 물체의 중심으로 부터 온 광이 만나는 지점으로

A.S.

의

image

이다.

Exit pupil

:

Entrance pupil

을 만드는 선에서 실제 광과 렌즈의 중심에서 온 선이 만나는 위치에 서의

A.S. image

이다.

Chief ray

:

A.S

의 중심을 지나가는 광 축에서 빗겨난

ray

.

Chief ray

는

entrance pupil

의 중앙 점(

E

_np)으로 들어와

exit pupi

l 의 중앙 점(

E

_xp)을 통해 지나가는 선을 말한다.

Chief ray

는 렌즈의

aberration

(초점의 퍼짐 현상)을 교정할 때 특별히 중요하다.

5.2.2 Relative Aperture and f-number

Image

평면에서

flux density

:

( D f / )

²

여기서

D

는

entrance diameter

.

D f /

는

relative aperture

.

f  number( f /#

):

f /#  f D /

(5.48)

/#

f

는

single symbol

이다. 예로서

25 mm aperture

,

50 mm focal length

이면

f /#

는

2

이다.

사진의 노출시간(

photographic exposure time

)은

f /#

의 자승에 비례한다. 이것을 렌즈의 속도 (

speed

)라 한다.

f /1.4

렌즈는

f / 2

렌즈 보다 두 배 정도 더 빠르다.

5.3 Mirrors 5.3.1 ^{평면 거울}

허상: 반사 빛의 연장선상에 맺히는 상 실상: 빛의 진행하는 방향에 맺히는 상

평면거울은 허상을 만든다.

상이 맺히는 위치:

i   p

허상의 경우 상이 맺히는 거리는 음수이다.

자신의 전체를 보려면 자기 키의

1/ 2

되는 평면 거울이 필요하다.

5.3.2 ^{구면 거울}

구면 거울에 사용되는 정의

초점(

focus

)

F

: 광 축에 평행으로 들어온 광이 구면에서 반사하여 통과 하는 한 점.

곡률 중심(

center

)

C

: 구면 거울의 중심.

꼭지점(

vertex

)

V

: 중심축(광축)이 구면과 만나는 점.

곡률 반경

r

: 구면의 원에 대한 반지름.

초점거리

f  r / 2

: 구면으로부터 초점까지의 거리.

물체 거리

p

:

V

로부터 물체까지의 거리.

상 거리

i

:

V

로부터 상까지의 거리.

오목과 볼록 거울에서 맺어지는 상을 찾는 법(광선 추적 법) (a) 중심축에 평행한 광선은 반사 후 초점을 지난다.

(b) 초점을 지나 반사한 빛은 중심축과 평행하게 진행한다.

(c)

Vertex

에 들어온 빛은 같은 각도로 반사한다.

(d) 거울의 중심으로 들어온 빛은 반사 후 같은 경로로 되돌아간다.

오목거울(

concave mirror

)

물체가 놓인 위치에 따라 맺어지는 상의 상태(그림 참조) 중심 밖에 놓인 물체: 실상,

inverted,

배율

| m | |  y

_i

/ y

_o

| 1 

중심에 놓인 물체: 실상,

inverted, | m | 1 

중심과 초점 사이: 실상,

inverted,

배율

| m | 1 

초점에 놓인 물체: 상을 맺지 못함

초점과

vertex

사이: 허상,

erected | m | 1 

볼록거울(

convex mirror

) 허상,

erected, | m |  1

거울의 부호 협약(

sign convention

)

실제 광이 진행하는 쪽에 있는 모든 값들의 부호는 (



^).

광의 연장선상에 있는 상의 거리, 초점거리 및 반경의 부호 는 (



^).

(예) 오목거울의 경우 빛은 실 초점(

real focus

)에 모이며(

converging

) 초점거리는

f  0

^{. 이와}

반대로 볼록거울은 빛이 분산하는(

diverging

) 연장선 상의 허 초점(

virtual focus

)에 모이는 것처 럼 보이며 이 때 초점거리는

f  0

^이다.

오목거울:

f r , , p  0

. 실상을 맺을 때

i  0

, 허상을 맺을 때

i  0

^.

볼록거울:

p  0

^,

f r i , ,  0

^.

배율: ⁱ

o

i y

m    p y

^(5.49)

여기서

y

_i와

y

_o는 광 축의 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수이다.

0

m 

: 바로 선 상(

erected image

)

0

m 

: 거꾸로 선 상(

inverted image

)

5.3.3 Mirror ^공식

 SAI

^는

CA

에 의해서

2

등분된다. 이 경우

SC CI

SA  IA

(5.50)

| | SC   p r   p r

| | ( )

CI  r     i r i

축에 근접해 들어오는 광

(paraxial rays

)은

SA p

,

IA  i

이들을 (5.50)에 대입하면

1 1 2

p r i r

p i p i r

       

(5.51)

초점의 정의

lim

_o

i

p f





^:

1 1 2

o

2

o

f r f    r   



^(5.52)

lim

_i

p

i f





^:

^{1 1 2}

i

2

i

f r

f r

     



^(5.53)

(5.52)와 (5.53)에 의해 구면 거울의 초점은 다음과 같이 정의 된다.

2

o i

f f f

    r

^(5.54)

따라서 (5.54)는 렌즈에서의 (5.16)식인

Gaussian lens formula

와 동등하게 표현된다. 즉

1 1 1

p   i f

(5.55)

5.4 Prisms

프리즘은 빛의 분산이나 상의 위치변환(

a change in the orientation of an image

)에 주로 사용된다.

5.4.1 ^확산 (Dispersive) Prism

우측 그림의 사각형

ABCD

에서

   BCD  180

^o

1 2

t i

    

(5.56)

Angular deviation

: 프리즘에 입사한

ray 1

과 프리즘을 떠나는

ray 3

이 만드는 각.

1 1 2 2 1 2 1 2

(

_{i t}

) (

_{t i}

) (

_{i t}

) (

_{t i}

)

                

1 2

(

_{i t}

)

      

(5.57)

공기(

n

_a

 1

^{)에 대한}

ray 1

과

2

,

ray 2

와

3

에 대해

Snell's law

를 적용하고 (5.56)의

2 1

i t

    

를 대입하면

1 1 1 1

sin 

_i

 n sin 

_t

 sin 

_t

 sin 

_i

/ n

(5.58)

2 2 1

sin 

_t

 n sin 

_i

 n sin(   

_t

)

^(5.59)

(5.59)의 우측 항을 전개하고 변형하면

1 1 1

sin(   

_t

)  sin  cos 

_t

 cos sin  

_t

2 1/ 2 2 1/ 2

1 1 1

cos 

_t

  (1 sin 

_t

)   (1 sin 

_i

/ ) n

2 1/ 2

1 1 1

sin(   

_t

)  (sin ) (1 sin   

_i

/ ) n  cos sin  

_i

/ n

(5.60) (5.60)에 의해 (5.59)는

2 2 1/ 2

2 1 1

sin 

_t

 (sin ) (  n  sin 

_i

)  cos sin  

_i

1 2 2 1/ 2

2

sin [(sin )( sin

1

) cos sin

1

]

t

n

i i

 

^

     

(5.61)

Angular deviation

(5.57)은

1 2 2 1/ 2

1

sin [(sin )( sin

1

) cos sin

1

]

i

n

i i

   

^

       

^(5.62)

굴절률

n

는 주파수



의 함수, 즉

n ( ) 

이므로 (5.62)는

angular deviation

이



에 의존함을 보 여 준다. 그러므로



은 주파수 또는 파장의 함수로 표기할 수 있다.

    ( )

^또는

    ( )

단색 광(

monochromatic beam

)을 사용하여 입사각에 의존하는 최소(

minimum

)

deviation

을 (5.62)로 측정할 수 있다. 이 값을 찾으려면 입사각에 대한

d   / d

_i1

 0

인 지점이다.

좀더 쉬운 수식 (5.57)을 미분하면

2

2 1

1 1

1

^t

0

_{t i}

i i

d

d d d

d d

   

 ^{ }  ^{  }

^(5.63)

또한 (5.56)을 미분하면

1 2 1 2

0  d 

_t

 d 

_i

 d 

_t

  d 

_i (5.64)

Snell's law

인 (5.58)과 (5.59)를 미분하고 여기에 (5.63)과 (5.64)를 이용하면

1 1 1 1 1 1 1 2

cos  

_i

d

_i

 n cos  

_t

d

_t

 cos  

_i

d

_i

  n cos  

_t

d

_i

2 2 2 2 2 1 2 2

cos  

_t

d

_t

 n cos  

_i

d

_i

  cos  

_t

d

_i

 n cos  

_i

d

_i

두식을 나누고 이것을 사인으로 표시하면

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

cos cos 1 sin 1 sin

cos cos 1 sin 1 sin

i t i t

t i t i

   

   

 

  

 

우측은

Snell's law

로부터 다음과 같이 된다.

2 2 2

1 1

2 2 2

2 2

1 sin sin

1 sin sin

i i

t t

n n

 

 

 

  

1

n 

^{이기 때문에}

1 2

i t

  

(5.65)

1 2

t i

  

^(5.66)

deviation

이 최소인

ray

는 프리즘을 등방되게 (

symmetrically

) 횡단한다. 즉

ray

가 프리즘의

base

에 평행으로 진행하면

deviation

은 최소이다.

우측 그림은

n  1.5

^,

  60

^o인 프리즘에서

deviation

값의 변화를 보여준다.

최소

deviation

에 의한 굴절률의 측정

  

m일 때 (5.57)은 (5.65)에 의해

1 2 1

( ) 1 ( )

m i t i

2

m

            

^(5.67)

그리고 (5.56)은 (5.66)에 의해

1 2 1

1

t i t

2

        

^(5.68)

첫 번째 면에 대한

Snell's law

에 (5.67)과 (5.68)을 대입하면

1 1

sin sin[( ) / 2]

sin sin( / 2)

i m

t

n   

 

  

(5.69)

(5.69)는 물질의 굴절률(

refractive index

^{)을 가장 정}

확히 재는 방법의 하나이다. 보통 유리로 만든 빈 프 리즘에 재려고 하는 기체나 액체를 넣고 측정한다. 우 측 그림의

Pellin-Broca

^프리즘은

spectroscopy

^에서

중요한

constant-deviation dispersing

^{프리즘으로 사}

용된다.

5.4.2 Reflecting prisms

이등변삼각형(

isosceles

)인 우측 그림의 프리즘에 광 이 들어온다고 가정할 때, 입사각이 임계각 이상이면

internal reflection

^{이 일어나므로}

sin 

_c

 n

_{t i} ( _{t i} ^t

i

n n

 n

)

들어오는 광과 나가는 광 사이의

deviation angle 180

^o

BED

   

^(5.70)

ABCD

^에서

360

o

ABE BED EDA

        360

o

BED  ABE EDA

    

o

90

_i1

ABE 

  

o

90

_t2

EDA 

  

o o o o

1 2 1 2

360 (90

_i

) (90

_t

) 180

_{i t}

BED      

          

^(5.71)

(5.71)을 (5.70)에 대입하면

1 2

i i

      

^(5.72)

 BFC

^와

 DGC

^에서

 BFC   DGC

^,

 BCF   DCG

^.

그러므로



_t1

 

_i2

이것은

Snell's law

^{에 의해}



_i1

 

_t2와 동등하다. 따라서

2

_i1

    

^(5.73)

(5.73)의



^는

n

에 의존하지 않기 때문에 이 경우 프리즘은 무색(

achromatic

)하다고 말한다.

5.5 Fiber Optics

5.5.1 Fiber Optics 의 원리

Optic fiber

의

diameter

는

D

, 길이

L

, 전 반사하여 공 기로 나오기 까지

fiber

내에서 진행한 총 길이를

l

이라 하면,

/ cos

_t

l  L 

(5.74)

Snell's law

:

sin 

_i

 n sin 

_t

 cos 

_t

2

2 1/ 2 1/ 2

2

cos

_t

(1 sin

_t

) (1 sin

ⁱ

) n

      

^(5.75)

(5.75)를 (5.74)에 대입하면

2 2 1/ 2

( sin

_i

) l nL

n 

 

^(5.76)

The number reflection N in the fiber

:

1 / sin

_t

N l

D 

 

2 2 1/ 2

sin 1

( sin )

i i

N L

D n



  



^(5.77)

5.5.2 Fiber-optic Sensors and their Applications

(i)

응용원리, 구조 및 형태

Optic-fiber

장비들은 전기선으로 이루어진 장비들을 광

fiber

로 대치한 것과 같다. 다른 점은 전 기 장비들이 구리 선을 통해 전기신호를 보낸다면

optic-fiber

장비들은 빛 신호를

fiber

^{선을 통}

해 보낸다. 장비에서 송신기(

transmitter

)는 전기선에서 오는

cord

화 된 신호를 받아 이것을 빛의 신호로 바꾸는 역할을 한다. 일반적으로 다이오드[

light-emitting diode

⁽

LED

)]나 또는 레이저 다 이오드[

injection-laser diode

⁽

ILD

)]가 전기신호를 광 신호로 바꾸는 일을 담당한다. 그리고 렌즈 로서 빛 신호를 집속하여 광

fiber

로 들어가게 한다. 일단 빛 신호가 목적지에 도달하면 그 신호 는 광 리시버(

receiver

)에 전달되고 여기서 다시 전기 신호로 바뀌면서 컴퓨터나 전화 또는

TV

^와

같은 통화 장치에 신호를 전달한다.

(a) 구 조

모든

optical fiber

는 낮은 굴절률의

cladding

이 높은 굴절률을 갖는

core

를 감싸고 있는 형태를 취하며 일반적으로 위의 그림과 같은 구조를 갖고 있다.

Core

: 순도가 높은

silica

나

germanium

의 복합물질이거나 또는 특수 플라스틱이며 이 속으로 빛 이 보내진다.

Cladding

:

core

에 입혀진 순수한

silica

로 굴절률이

core

보다 약간 작다. 이것은 빛이

core

속에 머무르게 하는 역할을 한다.

Buffer coating

:

Core

와

cladding

을 보호하는 피복.

Strength material

: 케이블이 당겨질 때 늘어나는 것을 방지하기 위한 물질.

Jacket

: 화학물질이나 다른

solvent

로부터 내부를 보호하기 위한 피복 막.

(b) 형 태

Optic-fiber

의 형태는 사용 용도에 따라 기본적인 두 종류가 존재한다.

(1) 다중모드

fiber

⁽

multi-mode fiber

⁾

다중 모드의 의미는 빛이

fiber

^의

core

내에서 많은 다른 길(일명 모드)을 따라 여행할 수 있는 것 을 의미하며 따라서 광

fiber

^의

core

가 상대적으로 굵다. 즉

fiber

로 들어오는 빛이 다양한 각에 서 들어온다.

-약 62.5 미크론 이상의 큰

core

^.

-신호 발생장치로는 주로 830-1300

nm

^의

LED

^{가 사용됨.}

-

LAN

⁽

Local Area Network

^{)으로 사용}

여기에는 다시

core

내에서 굴절률의 차이를 두어 광 신호가 어떻게 진행하는 가에 따라 두 종류 로 분류된다. 즉 재질이 한 종류의 유리로 이루어져 빛이 직선으로 진행하는 계단식 굴절 다중모 드

fiber

⁽

step index multi-mode fiber

)와 굴절률이 다른 많은 다른 층으로 이루어진 경사 굴절 다중모드

fiber

⁽

graded index multi-mode fiber

)로 구분된다. 경사굴절 다중모드

fiber

^{는 큰}

core

사이즈를 갖고 있고

source power

^의

coupling

^{이 사용된다.}