4.9. 절대수렴과 조건수렴
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4.9. 절대수렴과 조건수렴
[4.9.1 정의] 절대수렴, 조건수렴
∞
이 수렴할 때,
∞ 은 절대수렴(absolute convergence)한다고 하고,
∞ 은 수렴하지만
∞
이 수렴하지 않을 때,
∞ 은 조건수렴(conditional convergence)한다고 한다.[예제 1]
∞
은 절대수렴하고,
∞ 은 조건수렴한다.
[4.9.2 정리]
∞
: 절대수렴 ⇒
∞
: 수렴
[증명]
≤
[정의]
∞
에서 , 를 각각 다음과 같이 정의하자.
≥ ,
≥ 그러면 다음이 성립한다. ,
∀∈
, ≤ ≤ , ≤ ≤ 예를 들어
∞
∞ 에서
∞
⋯
∞
⋯
이다.
[4.9.3 정리]
(a)
∞ : 절대수렴 ⇔
∞ ,
∞ : 둘 다 수렴[증명] ∀∈
, ≤ ≤ , ≤ ≤ 이고
∞ 이 수렴하므로.(b)
∞ : 조건수렴 ⇒
∞ ,
∞ : 둘 다 발산[증명]
∞ 이 수렴하므로,
∞ 와
∞ 둘 중 하나가 수렴하면 나머지 하나도 수렴한다. 즉,
∞
이 수렴한다. 모순.
[4.9.4 정의] 재배열급수
전단사함수
→
와 급수
∞ 에 대하여
∞ 을 주어진 급수
∞ 의재배열급수(rearrangement of
∞ )라고 한다.[4.9.5 정리]
∞
: 절대수렴 ⇒ ∀전단사함수
→
,
∞
∞
[증명]
∞
,
∞ 의 부분합의 수열을 각각
,
이라 하고,
∞
라 하자.먼저
∞ 이 수렴하고
∞
∞ 임을 보이자.(i) ∀∈
, ≥ 인 경우 max ⋯ 이라 하면,
⋯ ≤ ⋯
≤
이므로
은 위로유계이고, 따라서
∞ 은 수렴하고
≤
이다. 한편,
∞ 은
∞ 의 재배열급수이므로 같은 방법으로
≤
이다. 따라서
이다.(ii) ∃∈
, 인 경우
∞
이 절대수렴하므로 [4.9.3 정리]에 의해
∞ 와
∞ 모두 수렴한다. 에 대하여
∞ ,
∞ 는 각각
∞ ,
∞ 의 재배열급수이므로 수렴하고,
∞
∞ ,
∞
∞ 이다. 따라서
∞
∞
∞
∞
∞
∞ 이다.4.9. 절대수렴과 조건수렴
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또한
∞ ,
∞ 이 모두 수렴하므로 [4.9.3 정리]에 의해
∞ 이 절대수렴하고,
∞
∞
∞ 이다.[4.9.6 주]
실수의 무한 개의 합 즉,
∞ 에서는
∞ 이 절대수렴할 때 교환법칙이 성립한다.[4.9.7 정의]
두 급수
∞ ,
∞ 에 대하여 ⋯
일 때,
∞ 을 두 급수의 Cauchy 곱(Cauchy product)이라고 한다.[예제 2]
이라고 할 때, 두 급수
∞ ,
∞ 는 각각 수렴하지만, 두 급수의 Cauchy곱은 수렴하지 않는다.
(∵ ) ⋯
⋯
≥
⋯
이므로,
lim
≠ 이고 따라서
∞ 은 발산한다.[4.9.8 정리]
두 급수 중 어느 하나가 절대수렴하면, 그 두 급수의 Cauchy 곱은 수렴한다.
즉,
∞ 이 절대수렴하고
∞
,
∞ 이 수렴하고
∞
라 하면, 두 급수의 Cauchy 곱
∞
은 수렴하고
∞
이다.[증명]
,
,
,
이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
⋯ ⋯
⋯
⋯
⋯ 여기서 ⋯ 이라 할 때,
lim
임을 보이면 된다.lim
이므로, ∀ , ∃
∈
, ≥
⇒
∞
라고 하면 다음이 성립한다.
≥
⇒ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ⋯ ⋯
≤ ⋯
를 고정하고, →∞ 이면lim
sup ≤ 이므로lim
sup 이다.따라서
