1)
1. 서 론
하천유량은 어느 특정지점에서의 하천수로 내에 흐르는 단
†To whom correspondence should be addressed.
Korea Associate Research Fellow, Urban Research Division, Korea Research Institute for Human Settlements
E-mail: [email protected]
위시간당의 물의 용적을 말하며 수문해석과 수자원 관리체계 를 구축하는데 있어서 필수적으로 요구되는 자료이다. 수문분 야에서는 하천의 이수, 치수 및 하천환경문제에 주된 관심을 가지며 이를 해결하기 위한 목적 변수는 결국 하천 유량이다.
따라서 하천 유량 자료는 수문분석에 있어 가장 기초가 되는 자료로써 지속적으로 확보하는 것이 대단히 중요하다. 일반적 으로 직접측량은 인력, 비용, 장비, 시간 등의 문제로 연속적인
Bayesian과 Bootstrap 방법을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석
임종훈･권형수
*･ 주홍준･왕원준
**･ 이종소
***†･ 유영훈･김형수
인하대학교 토목공학과
*㈜수일엔지니어링
**(사)방재관리연구센터
***국토연구원
Uncertainty Analysis of Stage-Discharge Curve Using Bayesian and Bootstrap Methods
Jonghun Lim･Hyungsoo Kwon
*･Hongjun Joo･Won-joon Wang
**･Jongso Lee
***†･Younghoon You･Hungsoo Kim Department of Civil Engineering, Inha university
*
SOOIL Engineering Co., Ltd.
**
Disaster Management Research Center
***
Korea Research Institute for Human Settlements
(Received : 19 March 2019, Revised: 07 May 2019, Accepted: 10 May 2019)
요 약
본 연구는 수위-유량 관계곡선을 이용한 하천 유량 산정방법의 불확실성을 감소시키는 것을 목적으로 하였다. 하천 유량 자 료는 수문해석과 수자원 관리를 하는데 있어서 필수적으로 요구되는 자료이기 때문에 정량적으로 정확한 산정 방법을 고찰 할 필요가 있다. 이를 위해 Bayesian 및 Bootstrap 방법을 이용한 수위-유량 관계식의 매개변수와 기존의 매개변수를 비교하 였으며, 불확실성을 평가하기 위해서 표준오차법에 -분포를 적용한 추정치 결과의 신뢰구간을 비교하였다. 그 결과, 본 연 구를 통해 개발된 회귀분석에 의한 추정값은 약 1~5 %미만의 차이가 보이며, 각 지점에서 수위에 따라 기존보다 더 적용성 이 우수한 결과를 보이는 부분도 존재함을 확인하였다. 따라서 본 연구에서 제시한 방법별로 하천의 특성 및 수위에 맞게 적용한다면 보다 더 신뢰성 있는 유량 자료를 확보할 수 있을 것으로 생각된다.
핵심용어 : Bayesian 방법, Bootstrap 방법, 불확실성, 수위-유량 관계곡선
Abstract
The objective of this study is to reduce the uncertainty of the river discharge estimation method using the stage-discharge relation curve. It is necessary to consider the quantitative and accurate estimation method because the river discharge data is essential data for hydrological interpretation and water resource management. For this purpose, the parameters estimated by Bayesian and Bootstrap methods are compared with the ones obtained by stage-discharge relation curve.
In addition, the Bayesian and Bootstrap methods are applied to assess uncertainty and then those are compared with the confidence intervals of the results from standard error method which has t-distribution. From the results of this study, The estimated value of the regression analysis developed through this study is less than 1 ~ 5%. Also It is confirmed that there are some areas where the applicability is better than the existing one according to the water level at each point. Therefore, if we use more suitable method according to the river characteristics, we could obtain more reliable discharge with less uncertainty.
Key words : Bayesian method, Bootstrap method, Stage-Discharge curve, Uncertainty
측정이 현실적으로 어렵기 때문에(Yoon, 2007) 비교적 측정 이 용이한 하천수위를 연속적으로 측정해 수위-유량 관계를 수립하여 유량으로 환산하게 된다.
직접측량과 수위-유량 관계를 통해 얻어진 유량 자료는 측 정하는 방법이나 환산하는 방법에서 오차가 발생하게 되는데 이는 산정한 유량자료의 오차로 이어지게 된다. 즉, 직접 측정 으로 얻어진 유량자료는 수위-유량 관계가 비선형적인 특성을 가지며 이로 인해 불확실성이 내재 되어 있어 측정 시 계측오 차나 개인오차로 인해 불확실성이 발생한다. 또한 수위-유량 관계곡선식을 통해 산정된 유량자료는 수위-유량 관계곡선식 의 매개변수를 추정하는 과정에서 발생하는 오차로 인해 불확 실성이 발생한다. 따라서 정확하고 신뢰성 있는 유량 자료를 산정하기 위해서는 수위-유량 관계곡선의 불확실성을 줄이는 것이 필수적이다. 최근에 여러 기관(홍수통제소, 한국수자원공 사, 한국농어촌공사 등)수위-유량 관계곡선의 신뢰도 문제에 대한 연구가 이루어지고 있으나, 기존 개발방식에서 크게 변화 하지는 못하고 있다.
국내의 연구동향을 살펴보면, Kwon et al.(2004)은 시계열 자료 내의 다수의 점을 이용할 수 있는 Bootstrap 신뢰구간 추 정방법을 수문 시계열인 일 저수지 수위에 적용하여 적용성 및 신뢰성을 검토해 보았다. Lee et al.(2005)는 비매개변수적 방법인 Bootstrap 방법과 이에 가중치를 부여한 SIR 알고리즘 을 이용해 홍수 빈도해석과 위험도 분석을 수행하였다.
Moon(2010)은 Bootstrap 방법과 SIR 알고리즘을 결합한 방 식을 이용하여 극한 강우 사상의 확률강우량을 산정하였다.
Lee et al.(2011)은 불확실성을 고려하기 위하여 연최대 강우 량자료를Bootstrap 방법, SIR 알고리즘을 통해 재추출함으로 써 불확실성을 고려한 확률강우량을 산정하였으며, 산정된 현 재의 확률강우량과 불확실성을 고려한 경우의 확률강우량을 이용하여 HEC-HMS를 통해 홍수량을 산정, HEC-RAS를 통해 지점별 홍수위를 산정하였다. Kim et al.(2018)은 매개변 수 빈도해석 방법과 부족한 자료의문제점을 보완할 수 있는 표본 재추출 기법인 Bootstrap방법과 SIR(Sampling Importance Resampling)알고리즘을 적용하여 적설량의 빈도 해석을 실시하였으며, 관측표본이 적은 적설량의 빈도해석 및 불확실성 범위의 제시가 가능함을 확인하였다. Kwon et al.(2008)은 저수위와 고수위를 나누는 기준값을 하나의 변수 로 가정하여 Bayesian 분석으로부터 수위-유량 관계곡선을 추 정하였다. 이를 위해 불확실성 분석과 함께 저수위-고수위를 정량적으로 구분할 수 있는 Hierarchical Bayesian 방법을 개 발하여 정량적으로 저수위와 고수위를 구분하였으며, 매개변 수들에 대한 불확실성을 파악할 수 있어 계측자료의 불확실성 과 모형의 불확실성을 효과적으로 구분할 수 있었다. Kim and Lee(2008)은 Bayesian 회귀분석을 이용하여 수위-유량 관계 곡선식의 매개변수를 추정한 후, 유량의 불확실성을 나타내는 범위를 산정하고 기존 방법과의 장단점을 비교하기 위해 t-분 포를 사용하여 불확실성을 산정한 결과와 Bayesian 회귀분석 결과를 비교하였다. Hwang et al.(2009)은 측정된 유량자료를 이용하여 지점별 수위-유량 관계곡선식의 정확도를 분석하고, 작성된 수위-유량 관계곡선식을 이용한 환산유량과 실측 유량 값을 비교·분석함으로써 유량자료에 대한 신뢰성을 검증하고
문제점을 분석하였다. Kwon et al.(2012)은 Bayesian MCMC(Monte Carlo Markov Chain) 방법을 활용하여 수위 -유량 관계곡선식 매개변수들의 사후분포를 추정하여 매개변 수의 최적화 및 불확실성을 평가하였다. Woo(2012)는 수위- 유량 관계곡선식의 불확실성을 평가하기 위하여 남강댐 유역 내의 주요 관측소에서 실측된 유량과 수위-유량 관계곡선식에 의해 산정된 환산유량을 비교·분석하여 유량측정 자료에 대한 신뢰도를 평가하였다. Kim et al.(2016)은 Bayesian 모형기반 Multi-Segmented 수위-유량관계곡선(Bayesian M-S)을 활용 하여 저·고수위를 분리할 수 있는 새로운 수위-유량 관계곡선 을 개발하고 기존수위-유량 관계곡선과 비교·분석을 실시하여 Bayesian M-S기법이 기존 수위-유량 관계곡선식 보다 개선 된 결과를 도출하였다. Kim et al.(2013)은 도시하천을 대상으 로 Monte Carlo Simulation(MCS) 방법에 의한 모의 발생 방 법 적용으로 최적화된 강우-유출 모형과 홍수위 추적모형 연 계를 통한 고수위 Rating Curve 작성법을 제안하였다.
국외의 연구동향을 살펴보면, Moyeed and Clarke(2005)는 Bayesian MCMC 적합 방법을 이용하여 수위-유량 관계곡선 의 매개변수 추정과 불확실성을 분석하였다. Arnason(2005) 은 Bayesian 방법을 이용하여 수위-유량 관계 곡선의 비선형 성을 평가하였다. P. Rustomji and S. N. Wilkinson(2008)은 Bootstrap과 Monte Carlo 리샘플링기법을 사용하여 부유된 침전물 부하를 계산하는데 사용하였으며, 곡선 형태의 불확실 성과 사실상 모든 환경에서 부유 된 퇴적물 농도와 배출 사이 의 관계에 특징적인 잔류 산란으로부터 생기는 침전물 부하의 불확도를 정량화하였다. Reitan and Petersen-Øverleir (2008) 는 자연하천에서 발생하는 복합적인 수위-유량 관계의 문제를 다루기 위하여 Bayesian 방법을 이용하였다. Ingimarsson et al.,(2010)은 수위-유량 관계곡선에서 유량을 산정하는데 B-spline을 기반으로 하여 Bayesian 방법을 적용하였다.
Westberg et al,.(2011)은 수위-유량 관계곡선에 대한 가중 Fuzzy 회귀분석방법을 이용하여 유량과 불확실성을 산정하였 으며, 수위-유량 관계에서의 큰 시간적 변동성은 낮은 유량에 서 발견되었음을 제시하였다. Olga Vigiak and Ulrike Bende-Michl(2013)은 최소제곱법에 의한 회귀계수로 추정한 유량-부하량 곡선의 한계를 극복하고 일자료 및 장기간의 유 량-부하량곡선을 생성하고 예측하기 위해 Bootstrap 과 Bayesian 방법을 사용하였다. Coz et al,.(2014)은 Bayesian 방 법으로 수위-유량 관계곡선의 정상성을 분석하기 위해 BaRatin 방법을 소개하고, 수문관측소 3곳을 선정하여(자연 하천, 구조물에 의해 단면 통제를 받는 하천, 복잡한 하천 상 황) 적용성을 판단하였다. 그 결과 신뢰할 수 있는 결과를 얻 기 위해서는 수리학적 통제의 철저한 분석과 계측 불확실성의 정량화가 필요함을 제시하였다.
기존 연구들은 수위-유량 관계곡선의 작성과 관련하여 주 로 Bayesian 방법을 이용하여 수행하여 왔으며, 수위-유량 관 계곡선에 Bootstrap 방법을 적용하여 불확실성을 평가하는 연 구와 통계적인 방법을 이용한 비교 평가부분에 대한 연구는 부족한 실정이다. 본 연구에서는 객관적이고 신뢰성 있는 유량 자료를 확보하기 위하여, Bootstrap과 Bayesian 회귀분석 방법 이 수위-유량 관계곡선식의 매개변수 추정과 유량의 불확실성을
합리적으로 나타내는 지를 평가하고, 기존에 개발된 수위-유 량 관계곡선식과 장·단점을 비교하였다. 또한, -분포를 적용 하여 불확실성을 산정한 결과와 본 연구에서 제안한 Bayesian 방법과 Bootstrap 방법을 통한 불확실성 결과를 비교·분석하 였다.
2. 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석 방법
2.1 수위-유량 관계곡선의 불확실성
수위-유량 관계곡선 작성 시 발생하는 불확실성을 정확하 게 산정하는 것은 유량의 정확성 및 불확실성의 규명을 위한 기본적인 과정이라 할 수 있다. 수위-유량관계는 하천의 주요 지점에서 수위와 유량을 동시에 측정하여 수위-유량 관계를 곡선으로 도시하여 측정된 수위자료를 유량으로 환산하는 것 이 주목적이다. 일반적으로 수위-유량 관계곡선식은 당해 연 도에 수위관측소에서 측정된 수위와 유량자료를 이용하여 과 거에 측정된 수위-유량 자료와의 상관성을 검토한 후, 최적의 곡선으로 개발되고 있다. 수위-유량 관계곡선식은 비선형으로 서 대수변환을 통해 관계식을 선형화하는 것이 편리하다.
따라서 수위-유량 관계의 불확실성은 수위-유량 관계곡선 식에 의해 산정된 환산유량이 실측유량과의 차이에서 발생하 는 표준오차(standard error, )는 Eq. (1)과 같다.
ln ln
(1)여기서 는 실측유량(㎥/sec), 는 환산유량(㎥/sec)이다.
은 자료의 수이다.
평균에 대한 불확실도 은 Eq. (2)에 의한 불확실성을 계산할 수 있으며, 분포를 이용하여 95% 신뢰구간 오차를 산정할 수 있다. (ISO, 1998; Lee, 2012).
±
lnln
lnln
× (2)
여기서, 는 수위(m)이며, 는 영수위(m), 는 자료 크기 에 따른 검정통계량이다.
2.2 불확실성 분석 방법 2.2.1 Bayesian 방법
Bayes 정리는 Thomas Bayes에 의해 정립된 개념으로 두 확률변수의 경계확률 및 조건부 확률 사이의 관계를 나타낸다.
또한, Bayesian 해석에 따르면 Bayes 정리는 새로운 사후근거 가 제시될 때 신뢰값을 갱신 및 정정할 수 있는 방법을 설명한 다(Gelman et al., 2004). Bayesian 확률은 사전확률을 기준으 로 자료의 증가에 따라 정보가 갱신되며 최종적으로 조건부로 바뀌는 사후확률을 추정하는 과정이며, Bayes 이론은 본질적 인 불확실성과 통계적 불확실성을 조합한 이론이며 이를 모형 화한 것이다. 이것은 자료로부터 문제에 해결방법을 제공한다
(Noortwjik et al., 2003). 와 두 임의 변량(random variables)은 다음과 같다.
(3a)
(3b)
Eq. (3a)에서 임의 변량 는 해를 찾고자 하는 모수 (parameter)이고, 이것이 일어나는 사전확률(prior probability) 이 이다. 그리고 임의 변량 를 관측하고, 관측된 의 조건에 서 사전확률을 갱신하여 인 의 사후확률(posterior probability)을 얻는다. 또한 그 비율 /을 곱한 값이 다. 이 비율이 1보다 크면, 관측되는 는 의 확률을 증가시킨다.
여기서, 를 우도함수(likelihood function), 를 주변 밀도 함수(marginal density function)라 한다. Eq. (3b)의 분모는 Eq. (4)에서 모든 가능한 의 값에서의 합이다.
(4)
연속 변량은 Eq. (5a)과 같다.
(5a)
∝ (5b)
즉, 의 사후분포(posterior distribution)는 주어진 에서
의 조건부 분포(conditional distribution)와 의 사전분포 (prior distribution)의 곱에 비례한다. 의 사후분포는 에 관한 추정을 하기 위해 필요한 모든 정보가 포함된다. 우도함 수 는 가 주어졌을 때 임의변량 의 본질적인 불확 실성을 표현하는 반면, 사전분포 와 사후분포 는
에서 통계적 불확실성을 표현한다. 에서 통계적 불확실성 은 모수의 불확실성(parameter uncertainty)이다. Bayes 이론 을 사용하면, 새로운 관측치가 추가되면 사전분포를 사후분포 로 갱신할 수 있다. 즉, 관측된 자료로부터 얻은 모수에 대한 정보와 모수에 대한 과거의 경험이나 주관적 견해를 모형화한 사전분포를 결합하여 모수를 탐색하는 특징이 있으므로, 관측 치가 많을수록 모수의 불확실성은 더 작아진다(Noortwijk et.
al., 2003). Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 매개변 수를 미지의 상수로 간주하는 것이 아니라 미지의 난수로 간 주하게 됨으로써 추정의 관심이 되는 매개변수의 불확실성의 정도를 확률 모형을 이용하여 표현할 수 있게 된다. 결국 Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 자료로부터 얻은 매개변수에 대한 정보와 매개변수에 대한 과거의 경험 또는 주관을 사전분포로 표현함으로써 보다 정확한 매개변수의 불 확실성에 대한 탐색에 그 목적이 있다고 할 수 있다(Kim, 2008).
구체적으로, 간단히 모수들의 벡터인 ′를 포함하 는 모형에서 에만 초점을 두면 의 결합사후분포(joint posterior distribution)는 다음과 같다.
∝ (6)
에 대한 추론은 의 주변사후분포(marginal posterior distribution)로부터 유도된다. 즉, 다음과 같다.
(7)의 주변사후분포는 장애모수(nuisance parameter) 가 주어진 상태에서 의 조건부사후밀도(conditional posterior density)의 가중 평균이다. 가중치는 장애모수 의 주변사후 밀도에 의하여 주어진다. 장애모수들에 대한 평균을 구하는 것 이 바로 주변화 과정(marginalisation process)의 일반적인 형 태이다(축산기술연구소, 1999). Bayesian 방법의 적용에 있어 가장 큰 기술적인 문제 중의 하나는 주변화(marginalisation) 였다. 근사값을 구하는 몇 가지 방법이 제안되었고 수치 해석 적 적분 방법이 사용됐다. 하지만 적분을 통한 모든 매개변수 에 대한 추정은 불가능하며, 중요비 추출(Importance Sampling), 마크오브 연쇄 몬테 칼로(MCMC) 방법 등은 Bayesian 패러다임(Bayesian paradigm)을 도입하여 매개변수 의 사후분포를 추정할 수 있다.
2.2.2 Bootstrap 방법
Bootstrap 방법은 Efron(1979)이 제안한 방법으로서 주어 진 표본을 바탕으로 재표본추출을 하여 분석 대상이 되는 통 계량의 성질을 파악하는 방법이다. 통계적 추론의 한 분야인 추정에 있어 추정량의 편의와 표준오차를 줄이고 모수의 분포 를 확실히 알 수 없거나 복잡한 형태일 경우, 주어진 자료로부 터 그 분포를 추정하는 통계적 방법이다. Bootstrap 방법은 알 려지지 않은 확률분포 로부터 크기가 인 무작위 표본
⋯ 을 얻을 경우, 이 관찰값 로부터 경험적 분포를 만든 뒤 무작위 추출 표본 ⋯ 을 로부터 얻는 것을 뜻하며, 이를 Bootstrap 표본이라고 통칭한다. 여기서 근본적인 생각은 표본 ⋯ 에 근거한 추측통계량과 조건부확률변수인 Bootstrap 표본 ⋯ 에 의한 추측통계량의 조건부확률분포가 적절한 조건하에서 유사할 것이라는 점이 다. 따라서 관찰된 자료에 근거한 Bootstrap분포로서 표본분포 를 추정하는 것이다(Jhun, 1990; Moon 등, 2010). Bootstrap 방법에는 Bootstrap-t 방법, Bootstrap 백분위수 방법, BCa 방법(Bias-Corrected and Accelerated) 및 표준 Bootstrap 방 법 등이 있다.
3. 수위-유량 관계 곡선의 불확실성 분석 및 신뢰구간 평가
3.1 대상 지점 자료 수집 및 수위-유량 관계 곡선식 본 연구에서 선정한 대상 지점은 배수영향이 없거나 비교적 하상의 변화가 작은 낙동강 권역에 위치한 길안, 도천, 산양을
대상으로 2009년~2013년의 관측된 수위 자료를 이용하여 분 석하였다. 또한 유량 실측자료는 한국수자원조사기술원에서 제공받아 사용하였으며, 길안 지점은 2009년, 2011년, 2012 년, 2013년 유량자료, 도천 지점은 2011년, 2012년, 2013년 유량자료, 2009년, 2012년, 2013년 유량자료를 이용하였다.
대상 지점별 수위-유량 관계곡선식은 Table 1과 Fig. 1에 정 리하여 나타내었다.
(a) Gilan
(b) Docheon
(c) Sanyang
Fig. 1. The stage-discharge Curves for water level stations
길안 지점은 2009년 이후 개발된 곡선식은 거의 유사한 경 향이 나타나고 있으나 저수위에서는 통제특성의 변화에 따라 곡선식의 전이가 발생하고 있다. 따라서 2013년 수위-유량 관 계곡선식은 저수위 측정자료와 확보된 자료에 의한 곡선식의 검증 및 보완된 곡선식이다. 도천 지점의 수위-유량 관계곡선 식은 2010년~2013년 개발된 곡선식을 적용한 식이며, 2013 년 개발된 곡선식은 2012년 개발된 식 그대로 사용하였다.
2012년 고수위 곡선식은 2011년 자료와 함께 적용하여 보완 된 곡선식이다. 산양 지점의 수위-유량 관계곡선식의 저·중수 위 구간은 0.87m부터 0.98까지이며, 고수위 구간은 2013년에 호우 사상에 대한 최고수위가 주수로를 넘지 않아 중고수위는 상한 적용수위인 1.69m 이상부터 2.37m까지 중고수위 곡선 식을 그대로 외삽하여 사용하였다. 2.37m 이상부터 제방고 4.28m까지 외삽 추정식이다. 또한 Table 1에 관측치가 존재하 는 구간에 대해 기존 수위-유량 관계곡선식과 관측값의 상관 계수를 나타내었다.
3.2 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석
3.2.1 Bayesian 방법을 통한 불확실성 분석
Bayesian 회귀분석을 이용한 적용성을 검토하기 위해 기존
에 개발된 수위-유량 관계곡선식과 Bayesian 회귀분석을 통해 개발된 수위-유량 관계곡선식을 비교분석 하였으며, Eq. (8) 과 같은 멱함수 형태의 수위-유량 관계곡선식을 산정하였다.
(8)
여기서, 는 유량, 는 에 상응하는 수위, 와 은 회귀 상수이고, 는 유량이 0(zero flow)인 점에서의 수위이다. 상 수 은 단면형상(사각형단면 1.5, 삼각형단면 2.5, 폭넓은 하 천 1.67)에 따라 값이 달라진다(Kim, 2010).
또한, 단면 형상에 따라 저수위, 고수위 또는 저수위, 평 수위, 고수위로 구분하여 수위-유량 관계곡선식의 매개변 수를 산정하였다. 이에 대한, 결과로 Fig. 2는 Bayesian 회 귀분석에 의한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 범위를 조 건부로 바뀌는 사후확률추정의 유의수준 5% 이내로 설정 하여 불확실성의 범위를 나타낸 결과이다. Table 2는 각 지 점에 대해 단면 형상에 따라 나눈 수위별로 수위-유량 관 계곡선식을 나타낸다.
Fig. 2a는 길안지점을 나타내는 결과이며, 회귀분석을 이용 하여 실측자료보다 큰 유량에 대한 자료에 대해서도 수위-유 량 관계곡선을 연장하였다. 내삽구간에서 Bayesian 회귀분석 Table 1. The stage-discharge curve equations for water level stations
Station Water level (m) Stage-discharge Relation No. of data used (year) Remarks r
Gilan
0.88≤≤1.05
× 18 (2009) 9 (2011) 18 (2012) 18 (2013)
Extrapolation estimation equation
0.9985 1.05＜≤2.62
× Extrapolation less than 1.14m2.62≤≤3.91
× Extrapolation more than 3.70m 3.91＜≤7.26
× Extrapolation estimation equationDocheon
1.17≤≤1.81
× 20 (2011) 27 (2012) 15 (2013)
Extrapolation estimation equation
0.9986 1.81＜≤2.49
× Extrapolation less than 1.88m2.49≤≤3.54
× -3.54＜≤10.60
× Extrapolation more than 5.40mSanyang
0.43≤≤0.87
× 10 (2009) 20 (2012) 13 (2013)
Extrapolation estimation equation
0.9947 0.87＜≤0.98
× Extrapolation less than 0.91m0.98≤≤2.37
× Extrapolation more than 1.69m 2.37＜≤4.28
× Extrapolation more than 5.40mTable 2. The stage-discharge curve equations obtained by Bayesian method
Station Water level classification Average Confidence interval for uncertainty
2.5% 97.5%
Gilan Low Water Level (1.05<h≤2.62)
High Water Level (2.62<h≤3.91)
Docheon
Low Water Level (1.81<h≤2.49)
Ordinary Water Level (2.49<h≤3.60)
High Water Level (3.60<h≤10.6)
Sanyang Low Water Level (0.87<h≤0.98)
High Water Level (0.98<h≤2.37)
을 통한 유량 최대값과 실측된 유량 최대값의 차이는 0.617m3/s 이었고, 도천지점(Fig. 2b)에서는 18.821m3/s, 산양 지점(Fig. 2c)은 10.710m3/s 정도로 각각의 차이를 보였다. 또 한, 불확실성 측면에서 세 지점 모두 대부분의 실측자료들이 Bayesian 회귀분석의 신뢰구간 사이에 존재함을 확인할 수 있 었다.
3.2.2 Bootstrap 방법을 통한 불확실성 분석
Bayesian 방법 이외에 불확실성을 정량화하기 위해서 Bootstrap 방법 적용하였으며, Bootstrap 방법은 무작위로 추출 방법으 로 수위-유량 자료로부터 추출 가능한 Bootstrap 표본에 대해 구하고자 하는 통계량의 Bootstrap 분포를 추정하였 다. Efron과 Tibshirani(1986)은 정확한 신뢰구간 추정하기 위해서는 최소한 1,000개의 표본이 적절하다고 제안하였 다. 따라서 재추출한 표본자료의 수는 1,000개로 하여 Bootstrap 표본으로부터 통계량을 구하고 Bootstrap 추정
값을 산정하였다. 이러한 Bootstrap 추정값을 이용하여 신 뢰구간을 BCa 방법 통해 산정하였으며, 위와 동일하게 Eq.
(8)을 이용한 멱함수 형태의 수위-유량 관계곡선식을 산정 하였다. BCa(Bias Corrected and accelerated)방법은 백분 위수 방법을 개선한 방법으로 BCa 신뢰구간은 백분위방법 과 마찬가지로 Bootstrap 분포의 백분위로 나타나게 된다 (Efron & Tibshirani, 1994).
결과로서 Fig. 3은 Bootstrap 회귀분석에 의한 수위-유량 관계곡선에 대한 불확실성을 유의수준 5%로 나타내고 Table 3은 수위-유량 관계곡선식을 나타낸다.
Fig. 3a은 길안지점에 대한 결과이며, 회귀분석을 이용하여 실측자료보다 큰 유량에 대한 자료에 대해서도 수위-유량 관 계곡선을 연장하였다. 내삽구간에서 Bootstrap 회귀분석을 통 한 유량 최대값은 실측된 최대유량값과 3.288m3/s 의 차이를 보였으며, 도천지점(Fig. 3b)은 40.468m3/s, 산양지점(Fig. 3c) 은 0.182m3/s 으로 각각의 차이를 보였다. 또한, Bayesian 분 (a) Gilan
(b) Docheon
(c) Sanyang
Fig. 2. Confidence interval for uncertainty of stage-discharge curve obtained by Bayesian method
석과 동일하게 불확실성 측면에서 세 지점 모두 대부분의 실 측자료들이 신뢰구간 사이에 존재함을 확인하였다.
3.3 불확실성의 신뢰구간 평가를 통한 결과 분석 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석을 위해 본 연구에서
개발된 모형과 -분포를 적용하여 불확실성을 비교 평가하였 다. Bayesian과 Bootstrap 방법의 적용성을 평가하기 위해서 상 관계수(r), 결정계수(R2), 평균제곱근오차(Root Mean Square Error ; RMSE)를 사용하여 수위-유량 관계곡선의 정확도를 평가하였다. r은 -1 과1 사이에 범위를 가지고 ±1에 가까울 (a) Gilan
(b) Docheon
(c) Sanyang
Fig. 3. Confidence interval for uncertainty of stage-discharge curve obtained by Bootstrap method Table 3. The stage-discharge curve equations obtained by Bootstrap method
Station Water level classification Average Confidence interval for uncertainty
2.5% 97.5%
Gilan Low Water Level (1.05<h≤2.62)
High Water Level (2.62<h≤3.91)
Docheon
Low Water Level (1.81<h≤2.49)
Ordinary Water Level (2.49<h≤3.60)
High Water Level (3.60<h≤10.6)
Sanyang Low Water Level (0.87<h≤0.98)
High Water Level (0.98<h≤2.37)
수록 적용성이 높으며, 결정계수는 상관계수를 제곱한 값으로 상관계수와는 달리 변수 간 영향을 주는 정도 또는 인과 관계 의 정도를 정량화해서 나타낸 수치이다. RMSE는 값이 작을수 록 모형의 오차가 작은 것으로 판단할 수 있다.
기존관계식, Bayesian과 Bootstrap 방법을 적용하였으며, 적용 결과는 Fig. 4와 같다. 각 방법의 평균값은 차이가 있지 만 비슷하게 산정되었다. 불확실성을 표현해주는 신뢰구간에
서는 기존 표준오차에 t 분포한 신뢰구간이 본 연구를 통해 산 정된 신뢰구간 보다 5~9% 과다 추정되었다. 각 방법 별 수위 -유량 관계곡선식의 통계분석의 결과는 Table 4 ~ 6에서 제 시하였으며, 수위별로 통계를 분류하였다. 관측값과 각 방법에 의한 적합성은 길안, 도천지점에 대해 결정계수(R2)가 0.98 이 상의 큰 값으로 나타났으며, 상관계수는(r) 또한 0.99 이상으 로 높은 상관성을 나타내었다. 산양지점은 수위별로 나눈 자료
(a) Gilan
(b) Docheon
(c) Sanyang
Fig. 4. Confidence interval for uncertainty of rating curve obtained by each method
Table 4. Statistical error evaluation for discharges obtained from the stage-discharge curves (Gilan)
Station Number of data Analysis method Water level classification r R2 RMSE
Gilan 63
Nonlinear regression Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.9972 0.9944 1.2669 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9941 0.9882 7.6777 Bayesian Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.9972 0.9944 1.4298 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9941 0.9882 6.7582 Bootstrap Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.9972 0.9944 1.2669 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9942 0.9884 7.6777
의 수의 한계로 인해 저수위에서 상관계수는 0.8이상, 결정계 수는 0.6이상의 결과를 보였다. 모형의 오차를 나타내는 RMSE는 길안지점 저수위에서 기존 모형과 Bootstrap으로 산 정한 유량이 Bayesian방법보다 우수하였지만, 고수위에서는 Bayesian방법이 더 우수한 결과를 나타낸다고 말할 수 있다.
도천지점의 저수위와 평수위에서는 Bootstrap방법의 적용성이 더 훌륭하였고, 고수위에서는 기존방법이 더 나은 결과를 보였 다. 산양지점의 저수위에서는 Bootstrap방법, 고수위에서는 기 존관계식의 적용이 우수한 결과를 보였다.
4. 결 론
본 연구에서는 수위-유량 관계곡선의 불확실성을 정량화하 여 객관적이고 신뢰성 있는 유량 자료를 확보할 수 있는 기반 을 구축하고자 하였다. 이에 국내·외 수위-유량 관계곡선식의 불확실성을 산정하는 방법을 조사하여 장·단점을 비교·분석하 였으며, 배수영향이 없거나 비교적 하상의 변화가 작은 낙동강 권역에 위치한 길안, 도천, 산양지점을 선정하였다. 선정된 지 점을 대상으로 Bayesian 및 Bootstrap 방법을 이용하여 수위- 유량 관계곡선식의 불확실성을 산정 방법을 제시하고 수위별 로 기존의 수위-유량 관계곡선식과 본 연구에서 적용한 수위- 유량 관계곡선식을 비교 하였다.
이를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
(1) 회귀분석에 있어서 기존 수위-유량 곡선식의 추정값과 본 연구를 통해 개발된 회귀분석에 의한 추정값은 약 1~5 % 미만의 차이가 보이며, 하천의 특성에 따라 방법의 적합성이 다른 것을 확인하였다.
(2) Bayesian과 Bootstrap 회귀분석은 기존 수위-유량 관계
곡선식의 불확실성을 감소시켜 표현해 주기 때문에 불확실성 측면의 결과를 이용하는 데 있어서 유리하다고 할 수 있다.
(3) 각 지점별로 수위에 따라 기존 방법과 Bayesian, Bootstrap방법을 사용하여 적용성을 통계적으로 판단하였으 며, 그 결과로서 길안지점의 고수위에서는 Bayesian방법, 도천 지점의 저수위와 평수위에서는 Bootstrap방법, 산양지점의 저 수위에서는 Bootstrap방법이 기존보다 더 우수한 결과를 나타 내었다.
위와 같은 통계적 분석의 결과, 기존의 분포에 의한 방법 이외에도 Bayesian과 Bootstrap 회귀분석에 의한 방법의 적용 성에도 통계적으로 유의미한 결과를 도출하였다. 따라서 기존 의 분포와 Bayesian과 Bootstrap방법 의해 산정된 불확실성 을 비교분석하여 수위-유량 관계곡선을 산정함으로서 수위별 로도 하나의 방법이 아닌 더 나은 방법을 채택함으로서 불확실 성을 줄일 수 있다. 본 연구에서 기존 관계식 이외에 신뢰성 있 는 유량자료의 산정방법은 향후 하천구조물 설계와 같은 수자 원 관리를 위한 기초자료로 활용할 수 있을 것으로 기대된다.
사 사
이 논문은 2017년도 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(No. 2017R1A 2B3005695).
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Station Number of data Analysis method Water level classification r R2 RMSE
Docheon 62
Nonlinear regression
Low Water Level (1.81<h≤2.49) 0.9917 0.9835 0.7088 Ordinary Water Level (2.49<h≤3.60) 0.9952 0.9904 2.7515 High Water Level (3.60<h≤10.6) 0.9976 0.9952 13.5700
Bayesian
Low Water Level (1.81<h≤2.49) 0.9917 0.9835 0.7088 Ordinary Water Level (2.49<h≤3.60) 0.9952 0.9904 2.7515 High Water Level (3.60<h≤10.6) 0.9976 0.9952 13.7348
Bootstrap
Low Water Level (1.81<h≤2.49) 0.9918 0.9837 0.6621 Ordinary Water Level (2.49<h≤3.60) 0.9957 0.9914 2.3733 High Water Level (3.60<h≤10.6) 0.9975 0.9950 14.3667
Table 6. Statistical error evaluation for discharges obtained from the stage-discharge curves (Sanyang)
Station Number of data Analysis method Water level classification r R2 RMSE
Sanyang 43
Nonlinear regression Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.8278 0.6853 0.0397 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9940 0.9880 6.0910
Bayesian Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.8243 0.6795 0.0404 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9940 0.9880 6.1098
Bootstrap Low Water Level (1.05<h≤2.62) 0.8300 0.6889 0.0387 High Water Level (2.62<h≤3.91) 0.9935 0.9870 6.1688
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