Data Analysis of Simple Harmonic Motion for the Pendulum by Using a Smart-phone Sensor

Data Analysis of Simple Harmonic Motion for the Pendulum by Using a Smart-phone Sensor

Se-Hun Kim ^∗

Faculty of Science Education, Jeju National University, Jeju 690-756, Korea (Received 6 October 2014 : revised 26 October 2014 : accepted 27 October 2014)

We investigated the simple harmonic motion of a pendulum by using the accelerometer sensor embedded in a smart-phone. For data collection, the pendulum’s motion were measured by using the 3D accelerometer sensor, and the recorded acceleration data were transferred from the smart-phone’s memory to the personal computer holding Microsoft Excel files by means of an e-mail attachment.

The physical quantities, maximum amplitude of the angular displacement, the damping factor, the angular frequency, the relaxation time, etc., were produced by using a regression analysis correlated to the experimental acceleration data. The angular frequency, the angular velocity, the angular acceleration and the phase space were simulated on the basis of the computed fitting parameters.

PACS numbers: 07.07.Df, 04.80.-y, 06.30.Gv, 07.05.Hd, 07.05.Tp

Keywords: Smart-phone, Simple pendulum, Acceleration sensor, Harmonic motion, Free Damped motion

­

Ž ² ŽË ] Ø  ï " eõ u §  › ͓ Ó Þ” X ¢ ‰ ˜ mà à Å 8 ý  º× D Æ U ؎ Ò Þ A 0V Ä



™ »: cg Y @ ^∗

]

jÅ Ò@ /† < Ɠ § õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ õ  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤„  / B N, ] jÅ Ò 690-756

(2014¸   10 Z 4 6{ 9  ~ à Î6 £ §, 2014¸   10 Z 4 26{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2014¸   10 Z 4 27{ 9  > F  S X ‰& ñ )

Ä

ºo  Šҁ  \ " f ™  ¥ y   6   x ÷ &  H Û ¼ à Ԙ : r _  ? / © œ÷ &# Q e ”   H 5 Å q • ¸>  G ' p" f\  ¦  Ö ¸6   x # Œ é ß –”   _  › ¸



oî  r1 l x`  ¦ K $ 3  % i  . ”   _  î  r1 l x`  ¦ 3-D 5 Å q • ¸ G ' p" f\  8 £ ¤& ñ  ) a  ± ú ˜– ÐÕ ª ’    ñ\  ¦ Û ¼ à Ԙ : r # Qe  ¦ á Ô

–

ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦  6   x # Œ n t » 1 Ï X <s ' – Ð Ã º| 9  % i “ ¦ s B j{ 9 `  ¦ : Ÿ x # Œ PC (Personal Computer) \  $  © œ

% i  . Û ¼ à Ԙ : r ”   _   Ä »y Œ ™û Z\    É r z  ´+ « >  õ ü < 5 Å q • ¸ › ' a > d ” \  & h 6   x ô  Ç Ê ê „  í ß –´ ú » ¡ § _   r) ì

 r$ 3 `  ¦ : Ÿ x # Œ y Œ •  0 A þ j@ /”  ; Ÿ ¤, y Œ ™û Z“   , y Œ •”  1 l x à º, ¢ - a  or ç ß – 1 p x _  Ó ü t o   à º\  ¦ í ß –Ø  ¦ ½ + É Ã º e ” % 3  .

s

 Qô  Ç í ß –Ø  ¦ ) a   à º\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ”   _  î  r1 l x`  ¦ y Œ •”  1 l x à º, y Œ •5 Å q • ¸, y Œ •5 Å q • ¸, 0 A © œ/ B N ç ß –Ü ¼– Ð & ñ x 9  >  Õ

ªA á Ԗ Ð ³ ð‰ & ³† < ÊÜ ¼– Ð" f z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K  Ó ü t o  s K \  ¦ • ¸— ¸ % i  .

PACS numbers: 07.07.Df, 04.80.-y, 06.30.Gv, 07.05.Hd, 07.05.Tp Keywords: Û ¼ à Ԙ : r, é ß –”   , 5 Å q • ¸ G ' p" f, › ¸ oî  r1 l x,  Ä »y Œ ™û Z

∗

E-mail: [email protected]

1229

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any

medium, provided the original work is properly cited.

I. " e  ] Ø

‰

&

³@ / Û ¼ à Ԙ : r s  V , o  ˜ Ð/ å L ÷ &€  " f é ß –í  H 6 £ §$ í : Ÿ x  o l  0

p

x ü @\  # Qe  ¦ s    H 6 £ x6   x á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦ ½ ¨1 l x † < ÊÜ ¼– Ð" f  

€

ª œô  Ç  Ö ¸6   x$ í õ  ¼ # o ô  Ç l 0 p x Ü ¼– Ð  6   x  \ >  € 9 כ ¹ô  Ç  כ

`

 ¦ ’ < H~ 1 >  ] j/ B N “ ¦ e ”  . Û ¼ à Ôl l _  ¼ # o ô  Ç l 0 p x ×  æ


“   ? / © œ÷ &# Q e ”   H 5 Å q • ¸ G ' p" f\  ¦  6   x # Œ † < Ɠ §
 :

£

¤ à ºô  Ç „  ë  H& h “   z  ´+ « > z  ´_ þ vz  ´s   m  8 • ¸ Ä ºo  Šҁ   _

 z  ´Ò q t Ö ¸ \ " f ’ < H~ 1 >  Ó ü t o  z  ´+ « >s  0 p x † < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ×  ¦ à º e ”

  [1–6]. z  ´+ « > á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦ ½ ¨1 l x K  ×  ¦ à º e ”   H „  ë  H



© œ6   x # Qe  ¦`  ¦ z  ´' Ÿ † < ÊÜ ¼– Ð" f † < ÆÒ q t[ þ t s  ( Ž É Ó'  l ì ø Í z  ´+ « >

MBL (Microcomputer based laboratory) õ  Ä »  >  r  ç

ß –õ  / B N ç ß –_  ] jô  Ç`  ¦ ~ à Ît  · ú §Ü ¼ 9 Ó ü t o z  ´+ « >_  ¼ # o $ í `  ¦

•

¸— ¸½ + É Ã º e ”  . s  Qô  Ç › ' a& h \ " f Û ¼ à Ô l l \  ? / © œ  ) a

5 Å q • ¸ G ' p" fü < # Qe  ¦ á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦ 1 l x r \  ƒ  1 l x # Œ X <s  '

 à º| 9 _  ¼ # o † < Êõ   Ö  ¦  Q  6   x   ¨ 8 Š â _  • 2 ;¸ n q † < ÊÜ ¼– Ð

ƒ

 ] j # Qn " f
 ’ < H~ 1 >  z  ´+ « >z  ´_ þ v “ §¹ ¢ ¤`  ¦ l \  Ø  æì  r 



. Ä »  >  MBL ì  r$ 3 `  ¦  6   x † < Ê\  e ” # Q Ö  r ï 8 ¢ ¸  H Ê

ë@ /˜ : r 1 l x% ò  © œ > 8 £ ¤  © œu  1 p x`  ¦  Ö ¸6   x # Œ 1 p x ç ß –  Ü ¼– Ð O É Œ

% ò

 ) a Ó ü t ^ ‰_  0 Au , 5 Å q • ¸, 5 Å q • ¸ 1 p x î  r1 l x \  › ' a ô  Ç ì  r$ 3    Y

V e ”   [7,8]. ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Û ¼ à Ԙ : r \  ? / © œ÷ &# Q e ” 



 H 3 " é ¶ 5 Å q • ¸ G ' p" fü < # Qe  ¦`  ¦ t “ ¦ z  ´+ « >z  ´ ¨ 8 Š â õ 

“

¦  © œq _  E – Ð\  ¦ ~ à Ît  · ú §“ ¦ ’ < H~ 1 >  Ó ü t o z  ´+ « >s  0 p x ô

 Ç a % ~“ É r \ V\  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ ¾ »‡   % i † < Æ\  @ /ô  Ç & h 6   x õ  z  ´+ « >   õ

 S \ ‰1 p q ) a X <s ' _  „  í ß – ´ ú » ¡ § ì  r$ 3 s  0 p x † < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ Å Ò

“

¦  ô  Ç .

II. T Â ] ØX ì Ä 9 0ß O Ë

Figure 1“ É r | 9 | ¾ Ó`  ¦ Á ºr ½ + É Ã º e ” “ ¦ Z þ t # Q
t  · ú §  H U  ´ s

 l “   ×  ¦ _  = å Q \  | 9 | ¾ Ó m“   Æ Ò ý aÄ º– Ð ”  1 l x   H  כ `  ¦

  · p . ×  ¦ õ  à ºf ” ‚  s  s À ҍ  H y Œ •• ¸\  ¦ θ  “ ¦  9 θ

  Œ •`  ¦  â Ä º (θ  1) Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x`  ¦ é ß –í  H › ¸ oî  r1 l x Ü ¼– Ð

& ñ ½ + É Ã º e ”  . Æ Ò\  K    H j Ë µ“ É r ×  ¦ _   © œ§ 4  T õ  ×  æ

§

4  mg  e ”  . Æ Ò_  z  ´] j ”    î  r1 l x“ É r  ¹ 1 Ï\  _  # Œ r  ç

ß –s  t ± ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ y Œ ™û Zî  r1 l x`  ¦ >   ) a  . 5 Å q • ¸\  q Y V   H



¹ 1 ϧ 4 `  ¦ “ ¦ 9 # Œ Æ Ò_  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ¾ »‡  _  î  r1 l x ] j 2Z O g Ë :\  _  # Œ  6 £ § õ  ° ú  s   ) a  .

j Ë

µ = 4 Ÿ ¤" é ¶§ 4  + $ † ½ Ó§ 4 

ml ¨ θ = −mg sin θ − bl ˙ θ (1) d ”

 (1)\ " f y Œ •  0 A θ  Œ • €   sin θ ≈ θ– Ð   H  ½ + É Ã º e ” 



. y Œ ™û Z“    (damping factor) β\  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _  

“

¦ β = _2m ^b , y Œ •”  1 l x à º ω 0 = p g

l \  ¦ d ”  (1) @ /{ 9  >  ÷ &€  

Fig. 1. (Color online) The simple pendulum motion un- der the acceleration of gravity.

y

Œ

™û Z› ¸ oî  r1 l x \ " f î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r  6 £ § õ  ç ß –é ß –y  ³ ð‰ & ³  ) a



.

θ + 2β ˙ ¨ θ + ω ₀ ² = 0 (2)



 " f ”   _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ r ç ß –\  @ /ô  Ç 2  p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”

_  K – Ð ½ ¨ô  Ç Ê ê  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ o ½ + É Ã º e ”  .

y

Œ

•  0 A θ(t) = θ m e ^−βt cos(ω ₁ t + φ), ( é ß –, ω 1 =

q

ω ² ₀ − β ² s  .) (3)

y

Œ

•5 Å q • ¸ ˙θ(t) = −θ ^m e ^−βt [β cos(ω 1 t + φ) + ω 1 sin(ω 1 t + φ) (4) y

Œ

•5 Å q • ¸ ¨ θ(t) = θ _m e ^−βt [(β ² − ω ² ₁ ) cos(ω ₁ t + φ) +2βω 1 sin(ω 1 t + φ)) (5)

#

Œl " f, ω ⁰ ü < β_  › ' a > – РÒ'  $ y Œ ™û Z ”  1 l x (ω 0 > β, Un- derdamped oscillation), e ” >  ”  1 l x (ω 0 = β, Critical os- cillation), õ y Œ ™û Z ”  1 l x (ω 0 < β, Overdamped oscilla- tion) Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r ) a  . ˜ Ð: Ÿ x ”   _  î  r1 l x \ " f / B N l ü < ° ú  s 



¹ 1 Ïs   Œ •`  ¦  â Ä º $ y Œ ™û Z ”  1 l x Ü ¼– Ð
 è ß –  [9–11].

III. Ž ì ŏ Œ U ê s0 n É

Figure 2  H | 9 \ " f Û ¼ à Ԙ : r`  ¦ z  ´\  ƒ     # Œ …  ; © œ\  B

² ú ˜  › ¸ o ”  1 l x z  ´+ « >`  ¦ % i  .  6   x ) a Û ¼ à Ôl l   H



s …  Ò' u  (iPod touch) 4[ j@ /s  9 …  ; © œÜ ¼– РÒ'  U  ´s 

€



• l = 130 cm“   z  ´_  = å Q \  Û ¼ à Ԙ : r _  | 9 | ¾ Ós  ]  t  9 e ” 

#

Q é ß –í  H › ¸ o î  r1 l x s   & ñ “ ¦ z  ´+ « >`  ¦ à º' Ÿ  % i  . Û ¼



à Ô l l  ^ ‰ ”   _  Æ Ò % i ½ + É`  ¦ Ù ¼– Ð ”   _  › ¸ o î

 r1 l x \  e ” # Q" f / B N l ü <_   ¹ 1 Ï\  _ K  ”  ; Ÿ ¤ s  y Œ ™û Z÷ &  H

Fig. 2. (Color online) Experiment of simple harmonic motion by using the smart phone pendulum at home.

Fig. 3. (Color online) Graph of accelerometer data collec- tion for the smart-phone pendulum by using SPARKvue app.

î

 r1 l x`  ¦ >   ) a  . Û ¼ à Ô l l _  r Û ¼% 7 › î  r% ò ^ ‰>  iOS 6.1.6 _   s ò  r Ý ¼\ " f PASCO scientific  _  SPARKvue

#

Qe  ¦`  ¦  î  r ~ à Î  # Qe  ¦`  ¦ [ O u ô  Ç Ê ê 6 £ x6   x á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦ ½ ¨ 1

l

x r v €    ) a   [12]. Figure 3“ É r 5 Å q • ¸ G ' p" f\  { 9 § 4  ) a ’    

ñ\  ¦ X <s '  à º| 9  “ ¦   õ \  ¦ Û ¼ à Ԙ : r  o€  \ " f z  ´r  ç

ß – Õ ªA á Ԗ Ð ˜ Ð# Œï  r  . à º| 9  ) a X <s ' \  ¦ Excel á Ԗ ÐÕ ªÏ þ › csv S X ‰  © œ   { 9 – Ð $  © œô  Ç Ê ê s B j{ 9 `  ¦ : Ÿ x K  PC\ " f   î

 r – Ð× ¼ô  Ç . " é ¶ r  5 Å q • ¸ X <s ' \  ¦ Õ ªA á Ô ì  r$ 3  á Ԗ ÐÕ ª Ï þ

›“   ORIGIN 8.0 ^{T M} \  ¦  6   x # Œ " é ¶î  r1 l x \ " f 5 Å q • ¸\ 

› '

a ô  Ç Ã ºd ” `  ¦ @ /{ 9  # Œ  r) ì  r$ 3 `  ¦ † < ÊÜ ¼– Ð" f y Œ ™û Z”  1 l x \ 

@

/ô  Ç $ † ½ Ó> à º 1 p x Ó ü t o    à º\  ¦ í ß –Ø  ¦ ½ + É Ã º e ”  .

IV. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

Figure 4  H Û ¼ à Ô G ' p" f\  ¦ s 6   x # Œ ”   _  5 Å q • ¸ ’    

ñ\  ¦ r ç ß –\     l 2 Ÿ ¤ ô  Ç Õ ªA á Ôs  . 5 Å q • ¸_  þ j@ /° ú כ

“

É r ”   _  5 Å q • ¸  _  0s  ÷ &  H € ª œ= å Q t & h \ " f þ j@ /

Fig. 4. (Color online) Time dependent of acceleration of the smart-phone pendulum measured by the smart- phone sensor.

Fig. 5. (Color online) Time dependence of the accelera- tion of smart pendulum obtained by smart app. and sen- sor. The dashed line corresponds to the line fit obtained by using a convolution of the acceleration equation (5).

÷

&“ ¦ 5 Å q • ¸ þ j@ / ÷ &  H î  r X < ×  æd ” \ " f  H þ j™ è  ) a



. 5 Å q • ¸> \ " f l 2 Ÿ ¤ ) a ° ú כ“ É r 5 Å q • ¸_  ~ ½ ӆ ¾ ӓ É r “ ¦ 9½ + É Ã

º \ O “ ¦ 5 Å q • ¸_  ß ¼l ë ß – ’    ñ– Ð Ã º| 9  >  ÷ &Ù ¼– Ð ”    _

 Å Òl   H  À Òü <  À Ò  s  ç ß –  _  2C  ÷ &  H r ç ß –s 

 ) a  .

Figure 5  H r ç ß –\  _ ” > r   H ”   _  5 Å q • ¸\  ¦ à ºd ”  (5) \  @ /{ 9 ô  Ç Ê ê ( Ž É Ó' – Ð  r) ì  r$ 3  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð „  í ß –´ ú 

»

¡

§ # Œ Õ ªA á Ԗ Ð
  · p  כ s  . Õ ªA á Ô\ " f ”   _   5

Å

q • ¸  H t à º † < Êà º& h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H y Œ ™û Z”  1 l x`  ¦ ô  Ç . : £ ¤ y

 z  ´+ « > X <s ' \  ¦ ( Ž É Ó'  „  í ß – ´ ú » ¡ §   H X < e ” # Q" f s  p

 „  Õ ü t ô  Ç  ü < ° ú  s   À Òü <  À Ò s _  Å Òl  ^T 2 s Ù ¼

–

Ð d ”  (5)\ " f y Œ •”  1 l x à º ω 1 \  ¦ 2ω 1 – Ð u  ¨ 8 Š # Œ  r) ì  r$ 3 

`

 ¦ à º' Ÿ  % i  . Table 1“ É r X <s '  „  í ß –´ ú » ¡ § \  _ K  í ß –Ø  ¦

 )

a þ j@ / y Œ •  0 A ”  ; Ÿ ¤, y Œ ™û Z“    (damping factor), y Œ •î  r 1

l

x | ¾ Ó, ¢ - a  or ç ß –_  Ó ü t o   à º[ þ t s  . : £ ¤ y , ”   _  5 Å q • ¸

 t à º† < Êà º– Ð y Œ ™û Z   H e ⁻¹ r ç ß –, 7 £ ¤, œ íl  5 Å q • ¸ ß ¼l 

Fig. 6. (Color online) Time dependence of (a) angular displacement, (b) angular velocity and (c) angular acceleration obtained from the fitted parameters.

Fig. 7. Phase space plot for the damped oscillation of the smart pendulum.

_

 36% ÷ &  H ¢ - a  or ç ß – (Relaxation time, τ = ¹ β )“ É r €  • 29

œ

í & ñ • ¸ ÷ &% 3  .

í ß

–Ø  ¦ ) a y Œ •  0 A þ j@ /”  ; Ÿ ¤ θ m , y Œ ™û Z“    β, y Œ •”  1 l x à º ω ¹



 à º[ þ t`  ¦ t “ ¦ d ”  (3), (4), (5)\  @ /{ 9 ô  Ç Ê ê z  ´] j Û ¼



à Ô ”   \  ¦ r ç ß –\  _ ” > r   H y Œ •  0 A, y Œ •5 Å q • ¸, y Œ •5 Å q • ¸ _

 y Œ •y Œ • Õ ªA á Ô\  ¦ Fig. 6 \ 
 ? /% 3  . y Œ •  0 A, y Œ •5 Å q • ¸, y

Œ

•5 Å q • ¸_  Õ ªA á Ô\ " f  À Òü <  À Ò  s _  Å Òl   H T = 2.2825 (s)  ÷ & 9 d ”  (1) ∼ (3) › ' a > d ” \  @ /{ 9 † < ÊÜ ¼– Ð" f z 

´+ « >`  ¦ à º' Ÿ ô  Ç | 9 \ " f ×  æ§ 4 5 Å q • ¸ g = 9.85 (m/s ² ) \  ¦ í ß – Ø

 ¦ ½ + É Ã º e ” % 3  .

Figure 7“ É r y Œ •  0 A, y Œ •5 Å q • ¸\  ¦ x-, y- » ¡ ¤ Ü ¼– Ð   H 0 A



© œ/ B N ç ß – (Phase space)`  ¦
  · p  כ s  . 0 A © œ/ B N ç ß –_  ] j 4  ì  r \ " f r  Œ •÷ &# Q
‚  + þ A r > ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð [  t€  " f " é ¶& h  Ü

¼– Ð Ã º§ 4  >   ) a  . s  כ “ É r Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x s  y Œ ™û Z”  1 l x`  ¦

  H  כ `  ¦ r  ô  Ç . 0 A © œ/ B N ç ß –\ " f y © œô  Ç y Œ ™û Z (Strong damping){ 9   â Ä º Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x r  Œ •& h \ " f / å L >  " é ¶& h  Ü

¼– Ð † ¾ Ó # Œ   H ì ø ̀   ‘ : r z  ´+ « >\ " f  H " é ¶& h `  ¦ † ¾ ÓK   H

‚  _   r„  à º à ºz    r ì ø Í4 Ÿ ¤ ÷ &“ ¦
×  æ \  & ñ t  ÷ &# Q €  •

Table 1. The computational fitting parameter obtained from the regression analysis by using the equation (5).

Maximum amplitude of

θ

m

= 0.06497 ± 0.00386 (rad) Angular displacement

Damping factor β = 0.03419 ± 0.00389 (s

⁻¹

) Angular frequency ω

1

= 2.75271 ± 0.00131 (rad/s)

Offset 10.26485 ± 0.03896 (m/s

²

) Relaxation time τ = 29.24831 (s)

ô

 Ç y Œ ™û Z (Weak damping, β= 0.03419 s ⁻¹ ) – Ð î  r1 l x “ ¦ e ”

6 £ §`  ¦ ˜ Ð# Œï  r   [13–15]. ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Æ Ò_  y Œ ™û Z”  1 l x Ü

¼– Ð “  ô  Ç y Œ ™û Z“    β = 0.03419 s ⁻¹ \  ¦ í ß –Ø  ¦ % i “ ¦ s 



Qô  Ç y Œ ™û Z“   \  ¦    or ~  ´ ë ß –ô  Ç Å Ò  ) a כ ¹“  “ É r ' Í P :– Ð …  ;

&

ñ \  B ² ú ˜ 9 e ”   H “ ¦o ü < Æ Òü < ƒ     ) a z  ´_  j þ ta Ë >\  _ ô  Ç



¹ 1 ϖ Ð ^  ¦ à º e ” Ü ¼ 9 Ñ ü t P :– Ѝ  H Æ Òü < / B N l _  Ø  æ[  t \  _ ô  Ç



¹ 1 ϖ Ð “   # Œ  ¹ 1 Ï\  -t  \ P \  -t – Ð   ¨ 8 Š õ & ñ \ " f y

Œ

™û Z”  1 l x Ü ¼– Ð ^  ¦ à º e ”  . s  Qô  Ç y Œ ™û Z“   _     o\  ¦ · ú ˜



˜ Ðl    “  [ þ t`  ¦ : Ÿ x ] j   H z  ´+ « >`  ¦ à º' Ÿ † < ÊÜ ¼– Ð" f - \ V\  ¦ [

þ

t # Q Æ ÒÊ ê z  ´_  U  ´s \  ¦    o r &  y Œ ™û Z“   _     o\  ¦ q 

“

§ ì  r$ 3    H ”    z  ´+ « >`  ¦ ”  ' Ÿ † < ÊÜ ¼– Ð" f -  ¹ 1 Ï_    H" é ¶`  ¦ Æ

Ò& h ½ + É Ã º e ”   H   õ \  ¦ í ß –Ø  ¦ ½ + É  כ Ü ¼– Ð l @ /½ + É Ã º e ”  .

Õ

ªo “ ¦ ¾ »‡   î  r1 l x% i † < Æ\ " f ”   _  î  r1 l x \ " f œ íl  ü @§ 4 

`

 ¦  # Œ y © œ] j”  1 l x › ¸| _  z  ´+ « >~ ½ ÓZ O \  e ” # Q" f• ¸ Û ¼  à

Ԙ : r G ' p" f\  ¦  6   x # Œ 5 Å q • ¸ X <s ' \  ¦ à º| 9 ô  Ç Ê ê  © œl 

ƒ

 / å L ô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ì  r$ 3  0 p x ½ + É  כ s  .

V. + s Ç Â ] Ø

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H Û ¼ à Ô l l _  5 Å q • ¸ G ' p" f,  © œ6   x # Qe  ¦ á

Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦  6   x # Œ é ß –”   _  › ¸ o î  r1 l x \  › ' a # Œ z  ´+ « >

% i  . r ç ß –\  _ ” > r   H 5 Å q > \  l 2 Ÿ ¤ ) a X <s '  à º| 9  _

 6   x s $ í õ  „  í ß – ´ ú » ¡ § _   r) ì  r$ 3 `  ¦  6   x † < ÊÜ ¼– Ð" f ”    _

 y Œ •  0 A, y Œ •5 Å q • ¸, y Œ •5 Å q • ¸\  ¦ & ñ S X ‰ y  í ß –Ø  ¦ ½ + É Ã º e ” % 3 



. 0 A © œ/ B N ç ß –\ " f Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x s  r > ~ ½ ӆ ¾ Ó_ 
‚  + þ AÜ ¼

–

Ð  r„   “ ¦ & ñ t  H † d Ü ¼– Ð" f €  •ô  Ç y Œ ™û Z”  1 l x (β = 0.03419 s ⁻¹ ) Ü ¼– Ð î  r1 l x † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 7 á x A  † < ÆÒ q t[ þ t \ >  é ß –”    _

 › ¸ oî  r1 l x z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K  é ß –í  H y  ×  æ§ 4 5 Å q • ¸ 8 £ ¤& ñ `  ¦ 

~

  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤z  ´+ « > ~ ½ ÓZ O \ " f Û ¼ à Ԙ : r _  l 0 p x`  ¦ ¶ ú ˜ 9 0 A



© œ/ B N ç ß –õ  ° ú  “ É r Õ ªA á Ô\  ¦ Õ ª 9 4 Ÿ § Ü ¼– Ð" f y Œ ™û Zî  r1 l x \  @ / ô

 Ç s K \  ¦ • ¸Ö  ¦ à º e ”   H  © œ& h s  e ”  . s  Qô  Ç y Œ ™û Z“    _

 " é ¶ “  s  Á º% Á “  t  · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ   “  [ þ t`  ¦ : Ÿ x ] j 



 H z  ´+ « >`  ¦ à º' Ÿ † < ÊÜ ¼– Ð" f  ¹ 1 Ï_    H" é ¶`  ¦ Æ Ò& h ½ + É Ã º e ”   H

 

õ \  ¦ í ß –Ø  ¦ ½ + É  כ Ü ¼– Ð \ V © œ½ + É Ã º e ”  . ‰ & ³@ / Ò q t Ö ¸ \ " f

€ 9

à º¾ ¡ § s  ÷ &# Q! Q 2 ; Û ¼ à Ԙ : r`  ¦ õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ \  & h 6   x † < ÊÜ ¼– Ð

"

f Û ¼ à Ԙ : r \   © œ‚ Ã Ì  ) a G ' p" f\  ¦  Ö ¸6   x # Œ õ † < Æz  ´+ « >\    6

 

x 0 p x ô  Ç  Y V\  ¦ ] jr  % i  . Û ¼ à Ԙ : r`  ¦ s 6   x ô  Ç õ † < Æ z 

´+ « >“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  Û ¼ à Ԙ : r õ  # Qe  ¦ á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›`  ¦ s 6   x # Œ z 

´+ « >z  ´ ¨ 8 Š â \  @ / # Œ \ O B s t  · ú §  Ó ü t o z  ´+ « >_  ] X   H

$ í

õ  ¼ # o $ í `  ¦ • ¸— ¸  9  Ö  ¦  Q  € ª œô  Ç Ó ü t o s  : r õ  ì  r

$

3 \  & h 6   x ½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ l @ /½ + É Ã º e ”  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2014 † < Ƹ  • ¸ ] jÅ Ò@ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü t”  < É ªƒ  ½ ¨q  t 

"

é

¶  \ O \  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

REFERENCES

[1] P. Vogt and J. Kuhn, Phys. Teach. 50, 182 (2012).

[2] T. Nadji, Phys. Teach. 50, 307 (2012).

[3] N, Silva, Phys. Teach. 50, 372 (2012).

[4] K. Forinash and R. F. Wisman, Phys. Teach. 50, 242 (2012).

[5] K. Forinash and R. F. Wisman, Phys. Teach. 50, 566 (2012).

[6] J. W. Streepey, Phys. Teach. 51, 54 (2013).

[7] R. J. Beichner, Am. J. Phys. 64, 1272 (1996).

[8] R. J. Beichner, J. Res. Sci. Teach. 27, 803 (1990).

[9] R. A. Serway and J. W. Jewett, Physics for Scien- tists and Engineers with Modern Physics (Cengage Learning, USA, 2013).

[10] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics (Addison Wes- ley, USA, 1977), Vol. 1.

[11] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamen- tals of Physics, 9th ed. (Wiley, USA, 2011).

[12] https://itunes.apple.com/kr/app/sparkvue/id36190 7181?mt=8 (accessed Aug., 3, 2014).

[13] G. R. Fowles and G. L. Cassiday, Analytical Me- chanics (Cengage Learning, Canada, 2005).

[14] S. T. Thornton and J. B. Marion, Classical Dy- namics of Particles and Systems (Cengage Learn- ing, USA, 2003).

[15] H. Goldstein, C. P. Poole Jr. and J. L. Safko, Clas-

sical Mechanics, 3rd ed. (Addison-Wesley, USA,

2001).