Review of the Unit on the Mixed Calculations in the 4th Grade

대한수학교육학회지 수학교육학연구 제 22 권 제 4 호 Journal of Educational Research in Mathematics Vol. 22, No. 4, 477 ~ 494. Nov 2012

초등학교 4학년 혼합계산 지도에 대한 고찰

고 정 화

본 연구는 혼합계산 문제에 대한 학생들의 반응 사례 및 오류유형, 혼합계산 지도 에 널리 활용되는 기억술, 혼합계산의 핵심인 연산 순서의 규칙에 관한 역사적 논의 및 성격을 고찰하였다. 또한 이를 바탕으로 자연수의 혼합계산 단원의 교과서의 내용 구성 및 전개 방식을 비판적으로 분석하고 지도에 관한 개선 방안을 다음과 같이 제 시하였다. 첫째, 실생활 문제 상황과 연산 순서의 규칙 사이의 왜곡된 논리적 연결성 을 지적하였다. 둘째, 연산 순서의 규약적 성격을 고려하여 교과서를 구성하여야 함 을 제시하였다. 셋째, 연산 순서의 문제는 식의 구조에 대한 이해와 결부시켜야 함을 지적하였다. 넷째, 혼합계산식의 이해를 돕는 다양한 교수학적 전략을 참고할 것을 제시하였다. 본 연구는 차후 혼합계산과 관련된 교과서 개발을 위한 시사점을 제공한 다는 점에서 의의를 가진다.

Ⅰ. 서론

초등학교 4학년 1학기에 다루는 혼합계산에 관한 내용은 5차 교육과정부터 하나의 단원으로 도입되기 시작하여 개정 교육과정에 이르고 있 다. 초등학교 4학년 1학기 5단원의 혼합계산은 자연수의 사칙계산을 모두 다룬 후, 자연수의 범 위에서 여러 가지 형태의 복잡한 계산 문제를 정확하게 처리할 수 있도록 하여 높은 단계에서 학습하게 되는 분수, 소수의 혼합계산을 할 수 있는 능력을 가지도록 지도된다(교육과학기술부, 2011, p.236). 자연수의 사칙계산은 이후 중학교 에서 정수와 유리수의 사칙계산으로 연결된다.

중학교에서는 연산이 지니는 다양한 성질들을

명확하게 드러내어 탐구하게 되고, 따라서 그러 한 연산의 성질을 식을 계산하고 정리하는 데에 편리하게 이용할 수 있게 된다. 연산의 성질에 대한 학습은 궁극적으로는 수 대신 문자를 도입 하여 표현되는 대수식을 학습하기 위한 기초가 된다.

한편, 혼합 계산식의 계산 방법 및 결과와 관 련하여 ‘48÷2(9+3) = ?’이라는 문제가 온라인상 에서 뜨거운 이슈가 되었다. 이 식은 연산을 수 행하는 순서에 따라 결과가 달라진다.

<그림 Ⅰ-1> 나눗셈을 먼저 한 경우

* 춘천교육대학교 ([email protected])

1) 자연수의 혼합계산 지도가 분수와 소수의 혼합계산 능력을 위한 선행 학습의 역할을 하고 분수의 혼합 계산은 유리수의 사칙계산에 포함된다면, 중학교에서 연산의 다양한 성질을 이용하여 사칙계산을 보다 포괄적이고 풍부하게 학습할 내용을 굳이 초등학교에서 학습할 필요가 있는가 하는 문제를 제기할 수 있다. 이와 관련하여서는 차후에 언급하기로 한다.

<그림 Ⅰ-2> 곱셈을 먼저 한 경우

나눗셈을 먼저 계산하면 288이 되고, 생략된 곱셈을 먼저 하면 2가 된다. 하나의 식에 대해 이렇게 다른 결과를 얻게 되는 이유는 연산의 순서에 관한 문제가 논리적으로 이끌어 내어진 산물이라기보다는 표기의 문제이자 규약의 문제 이기 때문이다.

앞서의 예는 곱셈의 기호를 생략하여 표현하 게 되는 중학교에 해당하는 문제이지만, 초등학 교에서도 연산 순서의 문제는 혼합계산 단원 학 습의 중심이면서 그로부터 다양한 어려움이 나 타난다. 본 연구자는 국가수준 학업성취도 평가 연구에서 다음과 같은 식에서 가장 먼저 계산해 야 할 부분이 무엇인지를 묻는 문항을 개발한 적이 있었다.

물론 이 문항은 검토 과정에서 채택되지 못했 다. 4학년 교과서에 제시된 연산 순서에 관한 규 칙이 절대적인 것이라면 ⑤번이 정답이 되지만

②번, ④번, ⑤번 그 어떤 것을 먼저 계산해도 되기 때문이다. 연산 순서는 아무런 생각 없이 외우는 것이라기보다는 이해를 요구하는 전대수 적 개념이다(Ameis, 2011, p.420). 산술에 대한 개 념적 배경이 바탕이 될 때 대수에 대한 학습과 이해도 용이하다.

본 연구에서는 다양한 문헌을 중심으로 혼합

계산 단원을 고찰하되, 특히 연산 순서에 초점을 맞추고자 한다. 혼합계산 문제에 대한 학생들의 반응 사례 및 오류 유형, 외국의 경우 혼합계산 오류의 원인이 되면서 혼합계산 지도에 널리 활 용되는 PEMDAS 기억술을 살펴본다. 다음으로 연산 순서가 현재의 방식으로 정해지게 된 배경 과 관련된 역사적 논의 및 연산 순서에 , 혼합계 산 문제가 지닌 문화적 성격에 대해 살펴본다.

또한 혼합계산에 관한 교육과정과 교과서의 내 용 구성 및 전개 방식을 비판적으로 분석하고 혼합계산 지도에 관한 몇 가지 대안을 제시한다.

Ⅱ. 선행 연구

1. 학업성취도 평가 결과 분석

초등학교의 경우 4학년부터 6학년까지의 내용 을 범위로 하는 국가수준 학업성취도 평가(이하 학업성취도 평가)에서는 혼합계산에 관한 문항 을 다수 출제하였다. 이하 연도별 문항의 내용과 결과를 통해 반응 특징을 살펴보고자 한다.

[2000-2] 다음을 계산하여라.

   ÷  ×   

점수별 빈도(%) 4점 0점

55.8 44.2

2000년 학업성취도 평가에서는 서술형 문항이 단답형으로 출제되었으며 정답률은 55.8%이었다 (이명희 외, 2000). 다만 앞에서부터 차례로 계산 하는 각 단계의 연산 수행 결과가 자연수이므로 풀이 과정에서 오류가능성을 점검하지 않았을

2) 위의 문제는 곱셈을 나타내는 부호를 명시적으로 드러내 표기하느냐 생략하여 암묵적으로 나타내느냐 하는 것으로부터 촉발되는 문제라고 할 수 있다. 암묵적 곱셈(



 ×  



 × 



수 있다.

[2001-5] 다음을 계산하면 얼마인가?

 ×    ÷   

①











답지반응분포(%) ① ② ③ ④ ⑤

2.2 13.0 2.5 76.7 5.3

이 문항은 2001년 학업성취도 평가에서 ‘기초 필수’ 문항으로 개발되었으며 정답률이 76.7%이 었다(나귀수 외, 2002). 반응이 비교적 높게 나타 난 오답지 ②번은 괄호를 무시하고 곱셈과 나눗 셈을 먼저 계산한 후 앞에서부터 차례로 계산하 여 얻게 되는 값이다.

[2002-5] 다음을 계산하면 얼마입니까?

   ÷    ×     

①











답지반응분포(%) ① ② ③ ④ ⑤

1.6 1.6 18.6 5.4 72.6

2002년 국가수준 학업성취도 평가에서는 사칙 계산이 모두 포함되고 소괄호, 중괄호가 포함된 혼합계산 문항이 출제되었으며, 전체정답률은 72.6%이었다(나귀수 외, 2003). 18.6%의 비율을 보인 ③번 오답지는 괄호 부분을 정확히 계산하 였으나 이후 앞에서부터 차례로 식을 계산하면 얻게 되는 경우이다. 5.4%의 반응 비율을 보인

④번 오답지는 소괄호 부분을 계산하여 6이라는 값을 얻은 후 7에서 빼고 3을 곱하여 중괄호 부 분을 3으로 얻었을 때 나올 수 있는 값이다. 즉, 소괄호를 계산한 후 인접한 수와의 계산을 먼저 수행한 경우라고 할 수 있다.

[2003-3] 다음을 바르게 계산한 것은 어느 것입니까?

   ×    ÷ 

①











답지반응분포(%) ① ② ③ ④ ⑤

2.5 46.3 44.6 1.0 5.7 문

항 문항설명 전체

정답률 (%)

성취수준별 정답률(%) 우수

학력 보통 학력 기초

학력 기초 미달 3 자연수의

사칙연산 46.3 86.5 47.0 18.5 20.5

2003년 학업성취도 평가의 전체정답률은 46.3%에 불과했다(조영미 외, 2004). 특히, 오답 지 반응 분포를 보면 ③번이 44.6%로 정답지와 비슷한 비율을 보였는데, 이는 곱셈이나 나눗셈 을 덧셈이나 뺄셈보다 먼저 해야 한다는 연산 순서를 적용하지 않고 앞에서부터 차례로 계산 하는 경우 얻어지는 값이다. 우수학력, 보통학력 이 각각 86.5%, 47.0%로 보통학력 학생들의 정 답률이 상당히 낮았는데, 이들 중 상당수가 앞에 서부터 차례로 계산한 ③번 오답지를 선택한 것 으로 보인다.

[2005-수행평가1] 다음을 계산하시오

(반드시 풀이과정을 쓰시오).[6점]

(1) 5 + 3 - 2 = [1점]

(2) 5 + 3 × 2 = [1점]

2005년 학업성취도 평가에서 자연수의 사칙계 산 문항은 덧셈과 뺄셈의 혼합계산과 뒤에서부 터 계산해야 하는 덧셈과 곱셈의 혼합계산 문항 이 출제되었다(김선희 외, 2006). 1(1)은 96.4%, 1(2)는 40.9%의 정답률을 보였다. 1(2)는 16을 답 으로 제시한 비율이 55.6%로 정답률보다 높았는 데, 이는 앞에서부터 차례로 계산한 결과이다.

우수학력, 보통학력, 기초학력, 기초미달은 순서

대로 21.4%, 59.6%, 79.7%, 82.0%가 16으로 응답

하였는데, 이는 성취수준이 낮을수록 연산 순서

에 관한 규칙을 적용하지 않고 앞에서부터 차례

로 계산한다는 것을 보여준다. 연산 순서를 혼돈

한 사례는 다음과 같다.

다음은 중학교 이상에서 사칙연산에 관해 출 제된 학업성취도 평가 결과이다.

[2000-1] 다음 식을 계산한 결과로 알맞은 것은?

     ÷   

①











답지반응 분포(%)

① ② ③ ④ ⑤

중학교 1.6 2.4 93.7 1.4 0.9 고등학교 0.6 1.2 97.0 0.7 0.4

2000년 학업성취도 평가에서는 중․고등학교 문항 중에 자연수의 사칙연산에 관한 문항을 출 제하였다. 정답률이 각각 93.7%, 97.0%로 중․고 등학교 학생들은 자연수 범위의 사칙연산 문제 를 어렵지 않게 해결하였다(이명희 외, 2000).

자연수의 혼합계산에 대한 학업성취도 평가 결과를 살펴본 결과, 괄호에 우선순위가 주어진 다는 것을 무시한 경우, 괄호 안의 값을 계산한 후 나머지 연산의 구조와 무관하게 괄호에 인접한 연산부터 수행한 경우, 연산의 종류와 무관하게 앞에서부터 차례로 계산한 경우 등 연산의 순서 를 적용하는 부분에서 많은 오류를 범하는 것을 볼 수 있다. 한편, 중․고등학교 학생들은 자연 수 범위의 혼합계산은 대부분 잘 해결하였다.

2. 혼합계산에서의 오류

혼합계산과 관련하여 나타나는 오류 유형을 분석한 연구들은 다음과 같다. 구미애(1998)의 초등학교 4, 6학년 아동의 혼합 연산을 적용하는 문제만들기 연구에 따르면, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나 눗셈이 혼합된 문제, 숫자의 제시 순서와 연산 순서가 일치하지 않는 문항에서 오답률이 높게 나타났으며, 두 가지 요인이 복합된 경우 4학년

은 97.4%의 오답률을 보였다. 이 외에 분수와 소수의 혼합계산에서 오류를 분석한 연구 역시 계산 순서의 오류를 언급하고 있다(이혜경 외, 2010; 황재용, 2012).

Glidden(2008)은 381명의 예비 초등교사들을 대 상으로 한 사칙연산 문제의 결과를 분석하였다.

이들은 상대적으로 수학을 잘하고, 자신감도 있 고, 수학을 싫어하지도 않았다. 그럼에도 불구하 고 각 문항 당 연산 순서에 기인하는 오답 비율 이 21.7%에서 78.5%이었다. 더욱이 절반 이하의 피험자만이 두 문제 이상에 대해 정확하게 반응 하였다. 덧셈보다 곱셈을 먼저 수행한 이들 중 에, 30.9%는 연산 순서와 상관없이 뺄셈보다 덧 셈을, 38.0%는 연산 순서와 상관없이 나눗셈보 다 곱셈을 우선시 하였다. Pappanstos, Hall &

Honan(2002)은 신입생이 아닌 경영학과 학생 333 명을 대상으로

_,

_{두 개의 산술} 식의 값을 구하도록 하였다. 14.8%의 학생들이 첫 번째 식의 값, 33.3%의 학생들이 두 번째 식 의 값을 옳게 구하지 못했다.

3. PEMDAS와 혼합계산 지도

여기서 제시한 외국의 연구 사례는 혼합계산 지도에서 널리 사용되는 PEMDAS 기억술과 관 련된다. PEMDAS가 어떤 점에서 혼합계산에서 의 오류에 영향을 주며 그와 관련하여 어떤 논 의들이 있는지 살펴보자.

PEMDAS는 연산의 순서를 쉽게 기억하도록 하기 위해 교사들이 흔히 사용하는 것으로 다음과 같은 단어의 첫 글자를 따서 붙여진 이름이다.

Ÿ Parenthesis - 괄호

Ÿ Exponents - (세)제곱, (세제곱)루트 등 Ÿ Multiplication - 곱셈

Ÿ Division - 나눗셈

Ÿ Addition - 덧셈

Ÿ Subtraction - 뺄셈

아이들은 “Please Excuse My Dear Aunt Sally”

라는 문구를 사용하여 연산의 순서를 암기한다.

하지만 연산 규칙을 정확히 이해하지 못하고 이 와 같은 문구만을 단순 암기할 경우 또 다른 문 제를 낳는다. 소괄호(parentheses) 이외의 중괄호 (braces)나 대괄호(brackets)와 같은 그룹핑 기호, 분수선 등 다른 기호에 관한 언급이 없기 때문 에 학생들은 분수선이나 제곱근을 처리하는 과

정에서 흔히 오류를 범하기도 한다

(Nurnberger-Haag, 2003; Merlin, 2008). 예를 들면, 제곱근보다 그 안에 포함된 덧셈 연산이 우선한

다는 것을 간과할 경우







, 분수를 나눗셈의 관점 에서 생각할 때 나눗셈보다 분모, 분자에 들어있 는 연산이 우선한다는 것을 간과하면

  

  

 



과 같은 오류를 범하게 된다.

무엇보다 PEMDAS 기억술은 덧셈과 뺄셈, 곱 셈과 나눗셈이 연산 위계에 있어 다른 수준인 것처럼 보이게 한다(Rambhia, 2002;

Nurnberger-Haag, 2003). 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 경우 순서대로 계산해야 하지만, PEMDAS 는 곱셈을 나눗셈보다 먼저 해야 하는 것으로 이해될 수 있다는 것이다. 덧셈과 뺄셈도 마찬가 지이다. PEMDAS에서 MD와 AS는 편의상 선택 한 ‘규약’으로 PEDMSA라고 해도 하등 문제될 것이 없다. 그럼에도 불구하고 PEDMSA보다 PEMDAS를 이용하여 순서를 암기하는 것은 학 교수학에서 덧셈과 곱셈이 각각 그 역연산인 뺄 셈과 나눗셈보다 선행하며 또한 약어라는 측면 에서 암기하기 편리하기 때문이다. 괄호에 관한 더 많은 정보를 담지 않는 것도 약어 표현의 간

결성을 고려하였기 때문이다.

이 편의성 때문 에 오히려 오류가 범하는 아이러니가 발생한다.

PEMDAS라는 선형적인 배열이 야기하는 오류 를 어느 정도 방지하기 위해 Kirshner(1989)는

<표 Ⅱ-1>과 같이 연산의 위계에 관한 표를 제 시함으로써 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈, 지수와 근호 풀이가 동등한 수준의 위계를 갖는다는 것 을 이해하도록 하고 있다. Ameis(2011) 역시 비 슷한 맥락에서 [그림 Ⅱ-1]과 같은 연산자 위계 삼각형을 제안하였다.

수준 1 덧셈 뺄셈

수준 2 곱셈 나눗셈

수준 3 지수 근호 풀기

(수준 2는 수준 1보다 높고, 수준 3보다 낮다.)

<표 Ⅱ-1> Kirshner의 연산 위계표

[그림 Ⅱ-1] Ameis의 연산자 위계 삼각형

이상의 선행연구를 통해 볼 때 연산 순서를 어떻게 지도할 것인가 하는 문제가 4학년 혼합 계산 단원의 지도에서 가장 핵심이 됨을 알 수 있다. 또한 혼합식의 계산 순서와 관련하여 특정 한 문구를 이용하여 암기하는 것보다 더 중요한 것은 연산 순서에 대한 규약이 의미하는 것, 그

3) Parentheses를 Brackets으로, Exponentiation은 Indices, Powers, Orders로 표현하기도 한다. 영국에서는 BODMAS(Brackets-Orders-Divide-Multiply-Add-Subtract)와 같은 약어를 사용하며, 캐나다에서는 BEDMAS(Brackets-Exponents-Divide-Multiply-Add-Subtract)를 사용한다(Back to School: Order of Operations and the Infamous "48÷2(9+3)" Meme에서 인용). 또한 Multiplication과 Division이 상호 교환가능하기 때문 에, PEMDAS는 BEDMAS, BIDMAS, BODMAS, BERDMAS, PERDMAS, BPODMAS와 같은 약어로 표현 되기도 한다.

리고 관습이 사용되는 이유를 이해하는 것임을 알 수 있다.

Ⅲ. 문화적 규약으로서의 연산 순서

1. 역사적 논의

연산의 순서가 정해지지 않았다면 여러 가지 연산이 포함된 하나의 식은 다른 의미 즉, 다른 방식으로 해석될 수 있다.

_이 라는 식을 생각해보자. 이는 연산 순서에 따라 다음과 같이 여러 가지로 계산될 수 있다.

곱셈과 나눗셈을 덧셈이나 뺄셈보다 먼저 하 고 왼쪽부터 차례대로 계산한 경우

 ×    ÷               

덧셈과 뺄셈을 나눗셈과 곱셈보다 먼저하고 왼쪽부터 차례대로 계산한 경우

 ×    ÷      ×  ÷    ÷   

연산에 우선순위를 두지 않고 모든 연산을 왼 쪽부터 차례대로 계산한 경우

 ×    ÷        ÷      ÷   

     

위의 사례는 수식이 의미하는 바에 대해 합의 하지 않으면 서로 다른 답을 얻게 된다는 것을 보여준다.

그렇다면 연산 순서에 관한 규칙이 언제 나타 난 것일까? 이에 대해서는 명백한 자료를 찾기 가 쉽지 않다. 다만 대수적 표기체계가 존재하기 전에 규칙이 존재하기는 어려웠으며 형식을 달 리하여서는 그 전부터 존재했을 가능성이 있다

(Peterson, 1998, 2000). 누가 그 규칙을 발명했는 지 말할 수 없지만 수 세기에 걸쳐 점진적으로 변화되었으며 여전히 발전되고 있다는 것이다.

수학적 표기에 관한 연구에서 Miller(2006)는 16세기 상징적 대수를 사용하는 가장 초기의 책 이 이 기본적인 규약을 따르고 있다고 말한다 (Merlin, 2008, p.15 재인용). 실제로 Van Schooten 의 1646년 Vieta 편집본에는





 를



 

 



와 같이 표현하고 있다.

즉 B의 곱셈의 영향을 받는 부분을 괄선을 그어 나타내고 있다(Cajori, 1928, p.386). 괄선이 없다 면



로 이해될 것이다. Peterson(2000)에 따르면, 곱셈이 덧셈에 선행한다는 기본 규칙은 1600년대 대수적 표기가 발달할 때 특별한 반대 없이 자연스럽게 발생하였으며 그러한 규약의 필요성이 제기되었다.

그렇다면 곱셈이 덧셈보다 우선되어야 한다는 규칙은 우연히 성립된 것인가? 만약 우연이 아 니라면 이 규칙이 정해진 근거나 배경은 무엇일 까? 이와 관련하여서는 분배법칙과 다항식의 표 현으로 설명하는 견해가 우세하다.

Peterson(1998, 2000)은 연산 순서가 임의적인 규약에 불과하다는 견해와 달리, 연산에 대한 분 배법칙이 곱셈이 덧셈보다 우선하는 자연스러운 위계를 함의한다고 말한다. 또한 가능한 괄호를 적게 사용하여 다항식을 나타낼 수 있다는 점에 서도 곱셈이 덧셈보다 우선하는 것이 바람직하 다고 말한다.

덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙을 설명하는 식 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 ×      ×    × 

만약 곱셈이 덧셈에 선행한다는 연산 순서를

4) 실제로 다양한 기호체계가 나타나면서 책의 서두에 자신이 따르는 규약을 제시할 필요는 있었지만, 연 산 순서와 관련하여 대체로 인정되었기 때문에 그와 관련하여 장황하게 설명할 필요는 없었다.

바꾸어 덧셈이 곱셈에 우선한다면, 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙은 다음과 같이 표현된다.

 ×      ×    × 

위와 같이 덧셈이 곱셈에 우선한다면 ‘분배’의 의미가 잘 드러나지 않게 된다. 유사하게 지수는 다음과 같이 곱셈에 대해 분배법칙이 성립하며, 지수가 곱셈에 우선한다는 연산 순서에 관한 규 칙에 따르면 다음과 같이 표현이 가능하다.

 × ^ ^× ^

하지만 위의 논의와 마찬가지로 곱셈이 지수에 우선한다면, 분배법칙은 다음과 같이 표현된다.

 × ^ ^ × ^

이 역시 ‘분배’의 의미가 잘 드러나지 않는다.

따라서 분배법칙은 수학자들이 현재 우리가 사 용하는 연산 순서를 결정하게 된 강력한 이유 중의 하나일 가능성이 높다.

한편, 다항식의 경우 연산 순서가 없다면



    를 

     와 같이 거의 모든 항을 괄호를 사용하는 아주 어색한 방식으 로 쓸 수밖에 없게 된다. 기호 대수의 주요한 대 상인 다항식이 곱으로 이루어진 항들의 합(sums of products)으로 표현되기 때문에 다항식을 기호 적 표기로 쉽게 나타내려면 덧셈보다 곱셈을 우 선하는 것이 훨씬 유리하다. 이것이 현재의 관습 을 유발하였을 가능성이 있다(Wu, 2007).

사실 곱셈이 나눗셈에 우선해야 하는가 아니 면 동등하게 다루어져야 하는가에 대해서는 수 학적 기호의 역사를 연구한 Cajori가 살던 1920 년대에도 아직 정립되지 않았다. 당대의 교과서 저자들은 각각 다양한 입장을 제시한다.

Bailey(1892)는 「American Mental Arithmetic」에 서 “그러한 표현을 피하는 것이 가장 좋은 방 법”이라고 언급하고 있으며, Hawkes(1910)는 “곱 셈과 나눗셈은 나오는 순서대로 수행해야 한다”

고 하고, Slaught and Lennes(1907)은 “왼쪽부터 오른쪽으로 수행하되 곱셈을 먼저하고 그 다음 에 나눗셈을 한다”고 하였으며, Fisher and Schwatt(1898)는 “

_는

_{와 같} 이 해석된다”고 적고 있다(Cajori, 1928, p.274 재 인용). 다만, 의미를 명확히 하기 위해 괄호가 사용되어야 한다는 일반적인 규칙이 있었다.

결국, 연산 순서에 관한 규약이 어떻게 현재와 같은 형태로 정립되게 되었는지 역사적 자료에 의해 명확하게 밝혀지지는 않았다. 그렇다고 해 서 혼합식의 계산에서 연산의 위계가 단순히 모 호함을 없애기 위해서 임의의 방식으로 정해졌 다기보다는, 대수적 성질과 대수 전개의 편의성 을 도모하고자 하는 의도가 반영된 것이라 할 수 있다.

2. 문화적 규약으로서의 연산 순서

앞에서 제기한 혼합식의 계산에 관한 문제는 수학 문제라기보다는 언어의 문제이자 문화의 문제이다. 수학적 표기의 역사를 보면 분수를 서로 다른 방식으로 표기하였으며, 미적분과 관련된 표기의 선택은 수학의 발전에 큰 영향을 미치기 도 하였다. 곱셈 기호를 생략하여 쓰는 규칙 역 시 일반적이라고 할 수 없으며, 나눗셈보다 곱셈 을 먼저 해야 한다는 규칙에 대한 논리적 일관 성에 대해 얼마든지 논쟁할 수 있다. 중요한 것 은 이러한 문제가 수학적 개념에 대한 논쟁이라 기보다는 표기에 관한 관습의 문제라는 점이다.

서두에 제시한 식의 값이 2인지 288인지 결정

하는 논쟁에서는 수학적 개념과 구분되는 수학

적 표기의 문제에 집중해야 한다. 수학적 표기는

초1 초2 초3

․간단한 수의 덧셈과 뺄셈

․두 자리 수의 덧셈과 뺄셈 ․두 자리 수의 덧셈과 뺄셈

․세 자리 수의 덧셈과 뺄셈

․곱셈

․네 자리 수의 덧셈과 뺄셈

․곱셈 ․나눗셈

초4 초5 초6

․자연수의 사칙계산

․분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈

․소수의 덧셈과 뺄셈

․분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈

․분수의 곱셈과 나눗셈

․소수의 곱셈과 나눗셈

․분수의 나눗셈

․소수의 나눗셈

․분수와 소수의 혼합 계산

중1 중3 고1

․정수의 사칙계산

․유리수의 사칙계산 ․근호를 포함한 식의 사칙계산 ․복소수의 사칙계산

<표 Ⅳ-1> 사칙계산 지도 계열

수학적 개념을 전달하기 위해 사용하는 특수화 된 언어로서 지역이나 문화에 따라 다르게 나타 날 수 있다는 점을 인정해야 한다. 따라서 연산 순서에 관해 지도할 때에도 마치 연산 순서가 수학적 진리인 것처럼 강조되어서는 안 된다. 오 히려 연산의 순서를 달리 하면 다른 값을 갖게 되는데, “관습적으로” 또는 “약속에 의해” 연산 순서를 하나의 규칙으로 정하여 그 규칙에 따르 는 것임을 지도할 필요가 있다.

‘48÷2(9+3)은 얼마입니까?’라는 질문을

‘48÷2(9+3)=2 입니까? 아니면 48÷2(9+3)=288 입 니까?’와 같이 바꾸면, 오히려 어떻게 두 가지 답이 나올 수 있는지 의문을 갖게 되고 그것을 판단할 충분한 정보를 필요로 한다는 것을 고민 하게 된다. 괄호를 사용하여 보다 분명하게 표기 할 경우 답은 명확해진다.

48÷(2(9+3))=2 (48÷2)(9+3)=288 하지만 이 역시 괄호에 최우선권을 주는 관습 에 따라 연산을 시행하는 것이다.

이러한 논쟁은 혼합계산을 한 단원으로 지도 하는 현 교육과정에서 중요한 의미를 준다. 문화 적 관습의 문제, 표기의 문제를 수학적 개념, 수 학적 진리의 문제와 혼동해서는 안 된다는 것이 다. 문화적 관습을 진리로 취하는 것은 수학적으 로 어떤 유의미한 결론을 이끌어내지 못한다. 오 히려 표기와 같은 문화 내지는 관습의 문제에

관해서는 늘 다른 가능성을 열어놓을 필요가 있 으며, 특정 관습을 채택하게 되더라도 그것이 절 대적인 진리가 아니라 문화적 규약이라는 것을 상기시킬 필요가 있을 것이다.

Ⅳ. 교과서 분석

이 장에서는 5차 교육과정부터 2007 개정 교 육과정까지의 혼합계산 단원의 내용 구성 및 전 개 방식을 살펴보고, 이를 비판적으로 분석하는 가운데 개선 방안을 제시하고자 한다.

1. 교육과정 및 교과서의 전개

개정 교육과정에서 사칙계산과 관련된 내용은 다음 <표 Ⅳ-1> 사칙계산 지도 계열을 따라 지 도되고 있다.

초등학교 1학년에 덧셈과 뺄셈을 도입한 후

수의 범위를 확대해가면서 연산도 수의 범위를

확대해간다. 곱셈과 나눗셈은 각각 초등학교 2학

년과 3학년에 도입되어 초등학교 4학년이 되면

자연수와 함께 그 사칙계산을 완성하게 된다. 이

후 분수와 소수, 정수와 유리수, 실수와 복소수

등으로 연산의 범위가 확대되며, 문자를 활용한

대수식의 등장과 함께 다항식에 대한 연산으로

5차 6차 7차 2007 개정

<1차시>

( )가 있는 식에서는 ( ) 안의 계산을 먼저 한 다.

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 는 식에서는 앞에서부터 차례대로 계산한다.

<2차시>

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서는 앞에서부 터 차례대로 계산한다.

<3차시>

( ) 안이 곱셈일 때에는 ( )를 생략하여 나타내 고 다음과 같은 순서로 계산한다.

덧셈, 뺄셈과 곱셈이 섞 여 있는 식에서는 곱셈 을 먼저 계산한다.

( ) 안이 나눗셈일 때에 는 ( )를 생략하여 나타 내고 다음과 같은 순서 로 계산한다.

덧셈, 뺄셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서는 나 눗셈을 먼저 계산한다.

<4차시>

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 이 섞여 있는 식에서는 곱셈과 나눗셈을 순서에 따라 먼저 계산한다.

( )와 { }가 있는 식에 서는 ( )안의 계산을 먼 저 하고, 그 다음에 { } 안의 계산을 한다.

<5차시>

연습

<1차시>

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 는 식에서는 왼쪽부터 차례로 계산한다.

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 고, ( )가 있는 식에서는 ( ) 안을 먼저 계산한다.

<2차시>

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서는 왼쪽부터 차례로 계산한다.

곱셈과 나눗셈이 섞여 있고, ( )가 있는 식에서 는 ( ) 안을 먼저 계산 한다.

<3차시>

덧셈, 뺄셈, 곱셈이 섞여 있는 식에서는 곱셈을 먼저 계산한다.

덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 섞 여 있는 식에서는 나눗 셈을 먼저 계산한다.

<4차시>

( )가 없고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있 는 식에서는 곱셈, 나눗 셈을 먼저 계산한다.

( )와 { }가 있는 식에 서는 ( ) 안을 먼저 계 산하고, 그 다음에 { } 안을 계산한다.

<5차시>

연습

<1차시>

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 는 식에서는 앞에서부터 차례로 계산합니다.

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 고, ( )가 있는 식에서는 ( ) 안을 먼저 계산합니 다.

<2차시>

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식에서는 앞에서부 터 차례로 계산합니다.

곱셈과 나눗셈이 섞여 있고, ( )가 있는 식에서 는 ( ) 안을 먼저 계산 합니다.

<3차시>

덧셈, 뺄셈, 곱셈이 섞여 있는 식에서는 곱셈을 먼저 계산합니다.

덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 섞 여 있는 식에서는 나눗 셈을 먼저 계산합니다.

<4차시>

( )가 없고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있 는 식에서는 곱셈이나 나눗셈을 먼저 계산합니 다.

( )와 { }가 있는 식에 서는 ( ) 안을 먼저 계 산하고, 그 다음에 { } 안을 계산합니다.

<5차시>

재미있는 놀이

문제를 해결하여봅시다.

<1차시>

덧셈과 뺄셈이 섞여 있 는 식은 앞에서부터 차 례로 계산합니다.

<2차시>

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식은 앞에서부터 차례로 계산합니다.

<3차시>

덧셈, 뺄셈, 곱셈이 섞여 있는 식은 곱셈을 먼저 계산합니다.

<4차시>

덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 섞 여 있는 식은 나눗셈을 먼저 계산합니다.

<5차시>

( )가 있는 식은 ( ) 안 을 먼저 계산합니다.

<6차시>

식에 쓰이는 괄호에는 ( ),

{ }가 있습니다. ( ),{

}가 있는 식은 ( ) 안을 먼저 계산한 후 { } 안 을 나중에 계산합니다.

<7차시>

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗 셈,

( ), { }가 섞여 있는 식은 다음과 같이 계산 합니다.

<8차시>

문제를 풀어보시오 탐구활동

<표 Ⅳ-2> 교육과정 시기별 혼합계산 단원의 전개

그 외연이 더욱 확대된다.

한편, 자연수의 혼합계산은 제5차 교육과정부 터 하나의 단원명을 가지고 지도되기 시작하여 개정 교육과정에까지 이르고 있다.

교과서의 내용 구성 및 전개를 살펴보면 다음 과 같은 사실을 확인할 수 있다.

첫째, 교육과정의 변천에 따라 혼합계산 단원 의 전개 방식이 차이를 보인다. 가장 두드러진 차이는 괄호가 포함된 식을 도입하는 순서이다.

괄호가 포함된 식을 먼저 다루느냐 나중에 다루 느냐는 전체적인 구성에 적지 않은 영향을 미치 게 된다. 5차 교과서(문교부, 1990)는 ‘( )가 있 는 식에서는 ( ) 안의 계산을 먼저 한다’는 것 을 약속하고 그 후에 ‘덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식에서는 앞에서부터 차례대로 계산한다’라는 약속을 하게 된다. 괄호가 최우선권을 갖는다는 것을 가장 먼저 제시하기 때문에 이후에 제시하 는 연산 규칙에서 괄호를 생략하는 조건으로 연 결된다. 이에 반해 6차 교과서(교육부, 1994a)와 7차 교과서(교육인적자원부, 2005)에서는 ‘왼쪽부 터 차례로’라는 규칙을 먼저 제시하고 괄호가 포함된 경우의 규칙을 제시한다. 2007 개정 교과 서에서는 연산이 두 가지 또는 세 가지 혼합되 어 있는 경우의 순서 규칙을 4차시에 걸쳐 다룬 후 괄호가 있는 식에 관한 규칙은 5차시에 처음 제시한다.

둘째, 연산 순서를 약속할 때 그 약속의 배경 을 설명하지 않고 문제 상황을 제시한 후 연산 을 이용하여 그 문제를 해결해가는 과정을 통해 연산 순서의 규칙을 약속한다. [그림 Ⅳ-1]과 [그 림 Ⅳ-2]는 각각 5차 교과서와 개정 교과서의 1 차시 도입부이다.

<표 Ⅳ-2>의 내용 전개에서 본 바와 같이, 5차 교과서(문교부, 1990)는 제시된 문제를 해결하기 위해 식으로 나타내면 덧셈과 뺄셈이 포함되면 서 뒤의 값부터 계산해야 하므로 괄호가 도입되

는 상황으로, 2007 개정 교과서(교육과학기술부, 2010)는 덧셈과 뺄셈 연산이 포함되면서 앞에서 부터 차례로 계산하게 되는 상황으로 시작한다.

셋째, 매 차시 연산 순서에 관한 규칙을 약속 할 때 그 규칙을 아래와 같은 도식을 이용하여 나타내고 있다.

[그림 Ⅳ-1] 5차 교과서

[그림 Ⅳ-2] 개정 교과서

[그림 Ⅳ-3] 2007 개정 교과서의 순서 도식

그리고 더 나아가 모든 규칙을 마무리하게 되

는 7차시에는 사칙계산과 괄호가 포함된 식을

제시하고 ‘혼합계산의 계산 순서를 나타내고 순 서에 맞게 계산’하도록 하고 있다.

2. 혼합계산 지도 개선 방안

이 절에서는 교과서의 전개 방식의 문제점과 개선 방안을 몇 가지로 살펴보고자 한다.

첫째, 실생활 문제 상황과 연산 순서의 규칙에 관한 논리적 연결성이 왜곡되어 있다는 점이다.

앞서 제시된 [그림 Ⅳ-1]과 [그림 Ⅳ-2]와 같이 교과서는 매 차시 연산 순서에 관한 규칙을 제 시하기 앞서 실생활 문제 상황을 제시한다. 그리 고 이러한 실생활 문제를 해결하는 과정에서 계 산하는 순서를 알아보기 위해 계산하는 방법을 식으로 나타내도록 하고 있다. 그리고 마치 그와 같이 식을 나타내어 봄으로써 연산 순서에 대한 규칙이 논리적으로 유도되는 것처럼 전개되고 있다. 하지만 개정 교과서와 같이 ‘문제 상황’

→ ‘두 식을 하나의 식으로 만들어 보시오’ →

‘위의 식을 어떤 순서로 계산하면 좋을까요?’ →

‘식을 계산하는 순서에 대하여 서로 이야기해 보시오’와 같은 순서로 지도하면 ‘덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식은 앞에서부터 차례로 계산합니다’

와 같은 규칙이 논리적으로 도출되는 것이 아니 다. 오히려 그러한 과정을 통해 약속이 논리적으 로 도출되는 것처럼 지도하는 것은 논리적 비약 이다.

교과서의 문제 상황은 어디까지나 덧셈 과 뺄셈을 포함한 식으로 표현되면서 앞에서부 터 차례로 계산해야 하는 상황일 뿐이다. 실제로 2007 개정 교과서 5차시에서 알 수 있듯이 덧셈 과 뺄셈 연산이 포함되는 상황 중에는 나중에 나오는 연산부터 수행해야 하는 상황이 존재하 며 바로 그것 때문에 괄호의 필요성이 대두되는 것이다.

따라서 문제 상황은 연산 순서에 관한 규칙을 논리적으로 유도하기 위해서라기보다는 오히려 괄호의 필요성이나 실생활에서 혼합계산이 중요 하게 활용된다는 점을 부각시키는 방향에서 활 용할 수 있다.

먼저 실생활 문제 상황은 괄호의 필요성을 소 개하기에 적합하므로 그와 같은 방향에서 교과 서를 구성할 수 있다. 예컨대, 5차 교과서의 도 입부에 제시된 문제 상황을 하나의 식으로 나타 내고자 하면 주어진 값에서 두 수를 더한 값을 빼야하는 상황이 된다. 이때 더한 값을 빼는 상 황을 통해 자연스럽게 괄호의 도입 필요성을 제 시할 수 있다.

거스름돈을 계산하는 방법을 생각하여 보시 오.

두 식에 공통으로 들어가는 수는 무엇인지 동 그라미로 표시하시오.

동그라미 표시한 수를 이용하여 두 식을 하나 의 식으로 나타내어 보시오.

동그라미로 표시된 을 먼저 계산해야 합니다. 이와 같이 먼저 계산해야 하는 식을 나타낼 때 괄호 ( )를 하여 나타냅니다.

다음으로 실생활 문제 상황은 혼합계산이 실 생활에서 활용된다는 것을 보여준다. 또한 문제 상황을 식으로 간결하게 표현함으로써 구하고자 하는 값을 효율적으로 구할 수 있게 해준다. 실 생활 문제해결에서 혼합계산이 효율적으로 사용 될 수 있는 예를 살펴보자(Dr Fong Ho, Chelvi

& Michelle, 2006).

[그림 Ⅳ-3]은 20명의 아가씨

들이 제빵 수업에 참여하여 각자 계란판을 샀는 데, 각 판에 12개의 계란이 들어 있고 케이크를 만들기 위해 각자 3개씩 사용하였을 때 모두 얼 마의 계란이 남아 있는지 알아보는 실생활 문제 를 제시하고, 이를 해결하는 2가지 방법을 제시 한다.

[그림 Ⅳ-4] 혼합계산식을 이용한 실생활 문제해결

이는 괄호를 가장 먼저 수행한다는 규칙을 설 명하기 위한 예로 제시된 것이지만, 구하고자 하 는 값을 구하기 위해 방법 1과 같이 순차적으로 해결해나갈 수도 있지만, 모든 사람이 동일한 조 건 하에 있으므로 방법 2와 같이 풀이 절차를 간결하게 혼합계산식으로 표현함으로써 보다 빠 르고 효율적으로 해결할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 실생활 문제를 해결하기 위해 혼합계산 식을 세우는 것은 문제를 이해하고 해결하는 능 력에 해당하며, 일단 식이 만들어진 후에 그 식 의 값을 구하는 것은 연산 순서에 대한 규칙에 따르게 된다.

둘째, 연산 순서의 규약적 성격을 어떻게 전달 할 것인가에 관한 입장이 제시되어야 한다는 점 이다. 혼합계산에서 연산 순서에 대한 규칙은 그 야말로 규약이다. 실생활이나 그 어떤 근거에 의 해 논리적으로 도달하게 된 수학적 진리가 아니 라 연산의 순서를 정할 필요성이 대두됨에 따라 암묵적인 합의 하에 정해진 것이다. 따라서 실생 활 문제 상황으로부터 마치 연산의 순서가 정해 지는 것처럼 구성하는 것은 수학적 규약에도 어

긋나고 학생들에게 오해를 불러일으킬 소지가 있다.

6차 교사용지도서(교육부, 1994b)에서는 ‘덧셈, 뺄셈과 곱셈 또는 나눗셈이 섞여 있는 식에서 곱셈 또는 나눗셈을 먼저 계산하는 것은 수학적 약속에 해당한다’는 것을 지도상의 유의점으로 제시하여 연산 순서가 규약적임을 강조하고 있 다(p.43). 3차 교과서(문교부, 1975)는 연산 순서 가 규약적임을 보다 강조하고 있다. 6학년 2학기 분수와 소수의 계산 단원에서 혼합계산식을 다 루는데, 이때 규칙을 어떤 상황과 결부시키지 않 고 식을 이용하여 연산 순서에 관한 규칙을 곧 바로 제시한다. 그 후 식을 이용하여 규칙을 적 용하는 방법을 구체적으로 예시하고 연습하게 한다. 또한 경우에 따라서는 아래와 같이 규칙을 제시하고 그 규칙의 적용 예를 보여준 후 연습 하도록 하고 있다.

계산의 편리를 위하여 곱하기와 더하기 및 빼기가 함께 들어 있는 식의 계산에서는 곱 하기를 먼저 계산하기로 약속한다. 그러므로 곱하기를 먼저 계산해야 할 경우에는 괄호를 하지 않아도 된다.

즉,





× 



 ^는

 

× 



로 쓰고,







× 



 ^는

 

× 



로 써도 좋다.

...

그러나 더하기나 빼기를 먼저 계산해야 할 경우에는 반드시 괄호를 해야 한다.

(중략)

⑴ 다음 계산을 하여라.

㈎

×



 



 ^㈏

× 

 



(중략)

싱가포르 대부분의 학교에서 사용하고 있는

6)「My Pals are Here!」5A, p.43.

교과서 「My Pals are Here」에서도 내용 전개 방식이 유사하게 나타난다. 이 책 역시 연산 순 서에 관한 규칙을 곧바로 제시한다. 다음으로 그 규칙의 적용을 받는 문제 상황이 예시되어 첫 번째 수행하게 되는 연산과 그 결과 얻어지는 수식, 두 번째 수행할 연산과 그 결과 얻어지는 수식 등 답에 이르는 계산 과정이 순차적으로 제시된다. 그 후 수식이 주어지고 앞에서 예시한 대로 연산을 순차적으로 수행하면서 얻어진 수 식을 찾도록 발문이 주어진다. 마지막으로 다양 한 혼합계산식의 값을 구하도록 하고 있다.

[그림 Ⅳ-5] 싱가포르 교과서의 연산순서 지도

이 역시 연산 순서가 철저하게 규약적인 것임 을 그 구성 방식에서 드러내고 있다. 따라서 연 산 순서에 관한 규칙이 특정 상황이나 전제로부 터 논리적으로 도출되는 것이 아니라 약속에 의 해 정립된 것이라면 그러한 측면을 직접적으로 드러내어 제시할 필요가 있다.

셋째, 혼합계산식에서 연산 순서의 문제는 식 의 구조에 대한 이해와 결부시켜 이해되어야 한 다는 점이다. 앞서의 [그림 Ⅳ-3]은 매 차시 연산 순서에 대한 규칙과 함께 제시되는 도식이다. 이 러한 도식은 연산 순서를 하나의 방식으로 결정

한 후 이를 나타낸 것으로, 규칙에 따라 연산 순 서를 이미 결정한 상태에서 그 과정을 도식으로 나타낸 것이다. 이는 식의 값을 정확하게 결정하 는 데에는 무리가 없지만, 자칫 잘못하면 혼합계 산의 계산 순서가 유일하게 정해지는 것처럼 인 식하게 할 가능성이 있다. 연산의 순서에는 자연 수의 성질이 관련되어 있고, 순서에 관한 규칙을 적용하여 식을 변형하는 과정에서 식의 구조를 인식하는 것은 이후 대수 학습과 관련하여서도 매우 중요하다. 그런데 교과서의 도식은 연산 순 서에 대한 규칙이 자연수의 성질과 관련되어 있 음을 보여주지 못할 뿐만 아니라 식을 구조적으 로 파악하고 인식하도록 하지 못한다. 식의 구조 에 대한 이해나 규칙의 적용을 통해 순서를 정 한 후에 그 결과를 나타내는 것일 뿐이다.

이와 달리 Merlin(2008)의 수형도를 이용한 식 의 시각화된 표시방법은 연산 순서 지도 및 식 의 구조적 이해에 큰 시사점을 제공한다.

[그림 Ⅳ-6] 연산 위계 수형도

[그림 Ⅳ-6]은 수형도를 이용하여 연산의 위계 를 나타내는 방식이다. 이를 식으로 표현하면 앞 의 것은

가 되고, 뒤의 것은

   × 

_{, 즉}

가 된다. 수형도를 통

해 연산 순서를 나타내는 것은 연산의 위계를

직관적으로 쉽게 파악하게 해준다. 수형도에서

소위 ‘가지’는 아래로 뻗어나가는 형태로 그리게

되는데 아래쪽에 위치할수록 우선순위를 갖게

된다. 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 것과 관련

하여 수형도에서는 두 연산이 나무의 독립된 두

개의 주요한 가지로 나타나기 때문에 둘이 서로

독립적이라는 것을 보기가 쉽다.

[그림 Ⅳ-7] 수형도 : 연산의 독립성

무엇보다 이 수형도는 식을 구조적으로 분해 하는 능력을 길러준다. 교과서에 제시된 혼합계산 규칙은 절대적인 것이 아니다. 경우에 따라서는 연산의 순서를 교과서식 규칙과 달리 적용하여 보다 효율적으로 정리할 수도 있다. 따라서 중요 한 것은 식이 가지고 있는 구조를 파악하는 것 이라 할 수 있다. [그림 Ⅳ-8]은 수형도를 통해 식의 구조를 어떻게 파악할 수 있는지를 보여준다.

[그림 Ⅳ-8] 수형도 : 식의 구조 분해

연산 순서가 절대적이라는 잘못된 인식을 갖 지 않도록 하기 위해서는 수형도를 이용한 식의 구조적 분석을 통해 연산의 순서가 다양한 방식 으로 결정될 수 있다는 경험을 활용하는 것이 매우 유용해 보인다.

넷째, 혼합계산식을 이해하도록 돕는 다양한 교수학적 전략을 참고할 필요가 있다는 점이다.

규칙을 암기하는 것과 규칙을 적용하는 것은 차 이가 있다. 연산 순서의 규칙이 몇 가지로 제시 될 수 있지만, 그러한 규칙들을 적용할 혼합계산 식은 괄호 여부, 연산의 종류와 개수 등 얼마든

지 다양하게 구성할 수 있다. 따라서 식이 어떻 게 구성되든지 간에 각 사례에 맞게 연산을 수 행할 수 있어야 한다. 우리 교과서에서는 혼합계 산식을 분석하는 다양한 전략이 제시되지 않고 있는데, 이와 관련하여 몇몇 연구자들이 제안하 고 있는 전략을 참고할 수 있을 것이다.

Rambhia(2002)는 [그림 Ⅵ-5]와 같이 선 그리기 방법을 제안한다. 먼저 괄호에 의해 그룹핑 기호 에 둘러싸이지 않은 덧셈과 뺄셈 부호를 중심으 로 식을 나누고, 다음으로 각 부분의 값을 순차 적으로 계산해나가고, 마지막에 덧셈과 뺄셈 연 산을 하여 마무리 한다. 이는 복잡한 식을 더 단 순한 식으로 쪼개어 식에 대한 부담감을 없애 줄 수 있다.

[그림 Ⅳ-9] 선 그리기 방법

Barnard(2002)는 식이 지닌 구조를 시각적으로

지각하도록 하기 위해 다른 색으로 표시하기, 하

이라이트 사용하기, 괄호를 동그라미로 표시하

기, 아래와 같이 등식의 항에 박스를 그려 항 앞

의 부호 강조하기 등을 제안한다.

        

Pierce & Stacey(2007)는 분수식에서 분모와 분 자를 다른 색으로 표시하여 두 식의 나눗셈임을 강조할 것을 제안한다.

한편, 연산 순서에 대한 규칙을 외우는 것과 실제로 이를 식의 값을 구하는데 사용하는 것은 차이가 있다. 따라서 연산의 순서를 올바르게 실 행하는 연습에 유용한 게임이 제안된다.

Silver(2008)는 빙고판에 수를 각자 적어 넣고 뽑 힌 식의 값을 계산하여 그 값에 해당하는 칸을 지워나가는 빙고 게임을 제시하였다.

Zordak(2008)이 제안하는 Krypto 게임은 우리 교 과서에서도 제시된 것으로, 주어진 카드 5장으로 주어진 목표 수가 나오도록 연산순서를 적용한 식을 세우는 것이다. 이러한 다양한 전략과 게임 은 혼합계산식의 이해 및 계산에 유용하게 사용 될 수 있을 것이다.

Ⅴ. 요약 및 결론

본 연구에서는 학생들이 혼합계산 문제에 대 한 학생들의 반응 사례 및 오류 유형, 외국의 경 우 혼합계산 오류의 원인이 되기도 하면서 혼합 계산 지도에 널리 활용되는 PEMDAS 기억술, 연산 순서의 규칙에 관한 역사적 논의 및 성격 등에 관해 고찰하였다. 또한 이를 바탕으로 교과 서의 내용 구성 및 전개에 관해 분석하고 혼합 계산 지도에 관한 몇 가지 대안 및 제안점을 제 시하였다.

혼합계산 단원의 매 차시가 실생활 문제 상황 을 통해 전개되는데, 실생활 문제 상황과 연산 순서의 규칙에 관한 논리적 연결성이 왜곡되어 있음을 지적하고, 실생활 문제 상황을 괄호나 연 산의 순서를 정할 필요성을 설명하거나 혼합계

산이 실생활 문제해결의 효율성을 높여준다는 것을 인식할 수 있도록 활용할 것을 제시하였다.

또한 연산 순서의 규약적 성격을 고려해야 하며, 이에 대한 하나의 방편으로 3차 교과서의 방식 및 외국 교과서의 사례를 제시하였다. 한편, 혼 합계산식에서 연산 순서의 문제는 식의 구조에 대한 이해와 결부되어야 한다는 점을 지적하고, 이를 위한 한 가지 방안으로 수형도를 통한 식 의 구조 분석을 제시하였다. 그리고 혼합계산식 을 이해하도록 돕는 다양한 교수학적 전략을 참 고할 필요가 있음을 지적하고, 이와 관련하여 제 안된 바 있는 몇 가지 전략들을 제시하였다.

마지막으로 본 연구가 교과서의 내용 구성 및 전개 방식을 비판적으로 분석하고 개선 방안을 제시한 만큼 차후 교과서 및 교육과정 개발과 관련하여 다음의 제안을 하면서 글을 끝맺고자 한다. 사칙계산의 혼합계산을 반드시 4학년 1학 기에 지도할 필요가 있는지 진지하게 고려할 필 요가 있다는 것이다. 3차 교과서에서는 3학년에 분배법칙의 원리를 이해하는 데에 할애하고 있 으며 혼합계산의 규칙이 6학년 분수와 소수의 계산에서 소개된다. 이는 자연수의 사칙계산을 학습하였다면 굳이 혼합계산을 배우지 않더라도 이후 학습에 큰 영향을 끼치지 않음을 간접적으 로 시사한다. 한편, 분수와 소수의 혼합계산이 6 학년 2학기에 다루어지는데 중학교 1학년에 정 수와 유리수의 성질을 바탕으로 정수와 유리수 의 혼합계산을 다루므로 둘 사이의 연계를 고려 할 필요가 있다고 판단된다.

중학교 1학년 유리수의 계산 단원에서는 셋

이상의 유리수의 사칙계산을 다루는데, 초등학교

4학년에 포함된 ‘앞에서부터 차례로’ 또는 ‘왼쪽

부터 오른쪽으로’라는 내용이 포함되어 있지 않

다. 또한 교사용지도서(조태근 외, 2001, p.134)에

서는 지도의 유의점으로 다음과 같이 말하고 있

다. “사칙이 혼합된 식의 계산에서 계산 순서를

그대로 외우게 할 필요는 없으며, 대체로 다음과 같은 순서를 따르도록 한다.” 이는 연산의 성질 과 식의 구조를 인식하게 되면 연산의 순서를 기계적으로 암기할 필요가 없으며, 오히려 연산 순서를 지나치게 구체화하는 것이 위험을 내포 하고 있기 때문이다. 연산 순서에 관한 규칙과 관련하여, 교환법칙이나 결합법칙과 같은 연산의 성질을 고려하면 ‘왼쪽에서 오른쪽으로’라는 규 칙은 연산순서에 관한 규칙과는 무관하며, 덧셈 과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈의 역연산 관계를 이해하 면 연산 규칙이라는 것은 ‘지수 먼저, 다음 곱셈, 그 다음 덧셈’과 같이 간결한 명제로 표현될 수 있다(Wu, 2007).

선행연구에서 살펴본 바와 같이 4학년 학생들 의 사칙계산에 대한 정답률은 동일한 문제에 대 한 중학교 1학년 학생들과 비교할 때 차이가 크 게 나타난다. 초등학교와 중학교의 사칙계산의 차이는 연산의 대상이 되는 수의 범위이며 사칙 계산의 근본적인 성질은 변하지 않는다. 최지 영․방정숙(2011)에 따르면, 2학년, 4학년, 6학년 학생들의 상당수가 문제 상황에 포함된 연산의 성질을 제대로 파악하지 못하고, 연산의 성질을 적용하여 문제를 해결하는 데 많은 어려움을 겪 고 있다. 따라서 연산 순서가 연산의 성질과 관 련되어 있음을 생각할 때, 초등학교에서는 연산 의 성질을 지속적으로 경험하는 가운데 개념적 이해를 강화하고 추후 연산의 성질을 보다 확실 하게 배우는 중학교 과정에서 혼합계산을 총체 적으로 다루는 것도 하나의 대안이 될 수 있을 것이다. 추후 교과서 개발 과정에서 이에 대한 진지한 논의가 이루어지기를 기대한다.

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Review of the Unit on the Mixed Calculations in the 4th Grade

Ko, Jung Hwa(Chucheon National University of Education)

This study is to review the content organization and developmental ways of the unit on the mixed calculations and explore the alternatives on the basis of students' responsive examples and error patterns with relation to the mixed calculations, mnemonics of PEMDAS and historical context with relation to the order of operations. Then I analyzed the textbook and manual for teachers of the unit of mixed calculations of fourth grade and improvement about teaching the mixed calculations.

First, I pointed out illogical connection between practical problem and rules of order of operations.

Second, I suggested constructing a textbook by considering conventional character of order of operations. Third, I pointed out the importance of structural understanding of an expression of mixed calculations and various strategies with relation to teaching and learning. This study is suggestive for textbook development of the mixed calculations.

Key Words : Mixed Calculations(혼합계산), Order of Operations(연산 순서), Addition(덧셈), Subtraction (뺄셈), Multiplication(곱셈), Division(나눗셈)

논문접수 : 2012. 10. 2

논문수정 : 2012. 10. 19

심사완료 : 2012. 11. 12