정전기력 가진에 의한 외팔보형 탄소나노튜브 공진기의 비선형 동적 응답

(1)

http://dx.doi.org/10.5050/KSNVE.2011.21.9.813

정전기력 가진에 의한 외팔보형 탄소나노튜브 공진기의 비선형 동적 응답

Nonlinear Dynamic Response of Cantilevered Carbon Nanotube Resonator by Electrostatic Excitation

김 일 광* ․ 이 수 일†

Il Kwang Kim and SooIl Lee

(2011년 5월 26일 접수 ; 2011년 7월 18일 심사완료)

Key Words : Carbon Nanotube(탄소나노튜브), Nano-resonator(나노공진기), Nonlinear Response(비선형 응답)

ABSTRACT

This paper predicted nonlinear dynamic responses of a cantilevered carbon nanotube(CNT) resonator incorporating the electrostatic forces and van der Waals interactions between the CNT canti- lever and ground plane. The structural model of CNT includes geometric and inertial nonlinearities to investigate various phenomena of nonlinear responses of the CNT due to the electrostatic excitation.

In order to solve this problem, we used Galerkin’s approximation and the numerical integration techniques. As a result, the CNT nano-resonator shows the softening effect through saddle-node bifurcation near primary resonance frequency with increasing the applied AC and DC voltages. Also we can predict nonlinear secondary resonances such as superharmonic and subharmonic resonances.

The superharmonic resonance of the nano-resonator is influenced by applied AC voltage. The period-doubling bifurcation leads to the subharmonic resonance which occurs when the nano-resonator is actuated by electrostatic forces as parametric excitation.

*

1. 서 론

CNT(carbon nanotube)는 잘 알려진 나노스케일의 형상 특성과 뛰어난 기계적, 전기적 성질로 다양한 나노소자로의 응용이 연구되고 있다. CNT의 전도성 을 이용한 정전기력 가진에 의한 전기역학적 공진의 실험⁽¹⁾이래로 나노공진기^(2,3), 질량 탐지기⁽⁴⁾와 바이오

† 교신저자; 정회원, 서울시립대학교 기계정보공학과 E-mail : [email protected]

Tel : (02)2210-5667, Fax : (02)2210-5575

* 서울시립대학교 대학원 에너지환경시스템공학과

# 이 논문의 일부는 2011년 춘계 소음진동 학술대회에서 발표되어 우수논문으로 추천되었음.

센서⁽⁵⁾ 등의 다양한 연구 결과가 진행되었다. 이러한 나노소자들은 나노공진 거동에 기초하는데, 특히 정 전기력의 비선형 가진에 의한 CNT의 공진 특성에 따라 복잡한 비선형 거동이 나타난다⁽³⁾.

CNT기반의 나노공진기는 나노스케일 영역에서 정전기력⁽³⁾뿐 아니라 van der Waals 힘도 비선형 작용력으로 영향을 미치므로⁽⁶⁾, 정전기력 인가 전압 에 따라 비선형 동적응답 특성을 갖는다. 질량 탐지 기 등의 응용을 위해서 추가되는 질량 효과에 의한 CNT의 정적 및 동적변형과 기하학 및 관성 비선형 영향도 함께 고려해야 한다. 하지만 지난 연구들에서 는 이러한 비선형 동적 특성에 대한 고려가 종합적 으로 다루어지지 못하고 제한적으로 이루어졌다. 최 근 Ke⁽²⁾는 선형보로 가정한 CNT의 구형파 전압가진

(2)

에 의한 시간응답을 예측하였으며, Ouakad 등⁽³⁾은 CNT의 기하학적 비선형성까지 고려한 비선형 주파 수 응답과 안정성을 예측하였다. 이러한 연구 결과 들은 기본적인 선형계 가정 또는 기본적인 비선형 효과만 포함하여 전반적인 비선형 현상을 종합적으 로 예측하는데 한계가 있다.

따라서 이 연구는 CNT의 기하학적 및 관성 비선 형성을 동시에 고려한 외팔보형 나노공진기의 운동 방정식을 수립하였다. CNT 가진에 작용하는 외력 으로는 바닥 전극과 이루는 DC 및 AC 전압의 정 전기력과 CNT와 바닥 전극 원자 사이의 van der Waals 힘을 고려하였다. 하지만 CNT의 재료 및 열 등의 영향은 고려하지 않았다. 유도한 운동방정식으 로부터 CNT 나노공진기의 진동 변위에 대한 주파 수 및 위상 응답을 구하였다. 비선형 특성을 보이는 주파수응답으로부터 분기 현상에 따른 안정성을 판 별하였으며, 그때의 과도 및 정상 상태 시간 응답으 로 비선형 응답 특성을 예측하였다.

2. 나노공진기의 모델링

나노공진기의 개념도를 Fig. 1에 간략히 나타내었다.

여기에서 CNT와 전극과 이루는 정전기력을 qelec, CNT가 전극에 접근할수록 영향력이 커지는 van der Waals 힘을 qvdW로 나타내었다. 이들과 CNT 굽힘의 탄성 변위 영역의 동적 힘 평형 관계로부터 운동방정 식을 유도하여 무차원식으로 정리하였다.

2.1 운동방정식

Chaterjee 등⁽⁷⁾의 마이크로 외팔보에 대한 비선 형 방정식에서 기하학 및 관성 비선형 항 유도과 정을 참고하여 CNT 외팔보의 비선형 운동방정식 을 수립하였다. 반지름이 R, 길이가 L인 CNT의

Fig. 1 CNT based electrically actuated nanomechanical resonator

축방향 변위 u(x,t)와 횡방향 변위 w(x,t)의 비신장 (inextensibility) 관계식⁽⁷⁾으로부터 감쇠와 CNT의 비선형성을 고려한 나노공진기의 운동방정식과 경 계조건은 식(1a, b)와 같다.

2 4

2 2

w w w

A EI c

t x t

w w w

EI x x x x x ρ ^∂ + ^∂ + ^∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎛ ⎞⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ⎢⎣∂ ∂ ⎜⎝∂ ∂ ⎟⎠⎥⎦

2 2 0 2

,

x x L

attraction elec vdW

w w w w

A dxdx

x x x t x x t

q q

ρ ^{∂ ∂}^⎡⎢ ^⎧^⎪^{∂ ∂}^⎛ ^⎞^∂ ^⎛ ^{∂ ∂}^⎛ ^⎞^⎞ ^⎫^⎪ ^⎤⎥ + ∂ ⎢⎣∂ ⎨⎪⎩∂ ⎜⎝∂ ⎟⎠∂ +⎜⎝∂ ⎜⎝∂ ⎟⎠⎟⎠ ⎬⎪⎭ ⎥⎦

= +

∫ ∫

(1a)

2 3

(0, ) 0, w(0, ) 0, w( , ) 0, w( , ) 0.

w t t L t L t

x x x

∂ ∂ ∂

= = = =

∂ ∂ ∂

(1b) 식(1a)에서 괄호로 묶인 네 번째 및 다섯 번째 항은 각각 CNT의 기하학적 및 관성 비선형성을 나 타낸다. 또한 ρ , A, I는 각각 CNT의 밀도, 원통형 단면의 넓이와 단면관성모멘트를 의미한다. 그리고 E는 영률, c는 감쇠계수, qelec과 q_vdW^attraction은 전극과 거리 D만큼 떨어진 CNT에 작용하는 외력으로 정 전기력⁽⁸⁾ 및 van der Waals 힘⁽⁸⁾을 의미한다. 문제 를 간단하게 전개하기 위해 우선 CNT는 단일벽으 로, 평면 전극도 그래핀(graphene) 단일층으로 설정 하였으며, 정전기력 전압 V는 DC와 AC 가진을 포 함하는 형태로 V_DC+V_ACcos tΩ 와 같이 된다. van der Waals 힘은 Lennard-Jones 포텐셜관계식⁽⁹⁾으로 부터 유도할 수 있으며 이 논문에서는 원자 간 반 발력은 따로 고려하지 않았다.

식(1)을 다음 식 (2)의 무차원 변수들을 이용하여

* * * 0

0 0 0 0

* * *

2

( )

, , ,

, , .

n

D w

w R D

D D D D

x t EI

x t

L L ρA ω

= = = = −

= = Ω = Ω

(2)

식(3a, b, c)와 같이 무차원 운동방정식과 경계조건 으로 정리할 수 있으며, 편의상 위첨자(*)를 생략하 였다. 여기서 D 는 단일벽CNT와 그래핀 전극과의 0

초기 거리, 고유진동수 ωn_은 ² _/ ⁴

n EI AL

β ρ , V는

(3)

{ }

1 2

1 1 0

[ ( ) ]

x x ( )

w w cw w w w

w w w w dxdx

γ γ

′′′′ ′ ′ ′′ ′ ′

+ + +

⎡ ′ ′ ′ ′ ⎤′

+ ⎢⎣

∫ ∫

+ ⎥⎦

²

2

(1 )(1 2 )

2 1

(1 w)(1 w 2 ) log 1R _R^w ^w _R^w ^R γ

− − +

= −

⎡ ⎤

− − + ⎣ + + ⎦

3

4 3 2 2 3 4

5 5

(1 )(1 2 )

(8(1 ) 32(1 ) 72(1 ) 80(1 ) 35 ) (1 ) (1 2 )

R w w R

w w R w R w R R

w w R

γ

+ − − +

− + − + − + − +

× − − +

(3a)

(0, ) 0, (0, ) 0, (1, ) 0, (1, ) 0,

w t = w′ t = w′′ t = w′′′ t = (3b)

2 2 2 4 2 2 4

0 0 6

1 2 2 3 5

0 0

, , , .

2

n D V L C L

c Q L D EI D EI

β γ ^⎛ ^⎞ γ πε γ σ π

= =⎜⎝ ⎟⎠ = = ^(3c)

cos 2 t

DC AC n

V +V β Ω , C 은 탄소와 탄소 간의 van 6

der Waals 힘의 상수 값으로 15.2eV Α^o⁶이며 σ 는 CNT와 그래핀에서 탄소의 면 밀도이다.

2.2 Galerkin 근사화 및 곡선접합

나노공진기의 무차원 운동방정식을 계산하기 위 해 Galerkin 근사화를 이용하여 이산화하였다. 나노 공진기의 응답 w(x,t)의 근사해는 굽힘에 대한 1차 모드응답으로 가정하여 다음 식 (4)과 같으며,

1 1

( , ) ( ) ( )

w x t = y tφ x , (4)

여기서 y t 는 시간에 대한 응답 함수, 1( ) φ1( )x 는 외 팔보의 1차 고유함수⁽¹⁰⁾로 식(5)와 같다.

[

( )

1 1 1 1

1 1

( ) sin sinh sin sinh

cos cosh cos cosh

x A x x

L L

x x

L L

φ β β

β β β β

β β

= −

+ ⎤

− + − ⎥⎦

(5) 무차원 운동방정식 식(3)을 Galerkin 근사화로 식(6)과 같이 정리할 수 있다.

{ }

2

1 1 1 1

3 2 2

1 1 1 1 1 1 1

1 0 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( , ) ( , ) ,

G I

attaction

elec vdW

y t cy t y t

y t y t y t y t y t x q x t q x t dx

ω η γ η γ

φ

+ +

+ + +

=

∫

+

₍₆₎

여기서 η_G와 η_I는 각각 CNT의 기하학적 및 관성 비선형항의 계수를 의미한다.

식(6)에서 외력의 Galerkin 적분식은 모드형상함 수 와 시간해의 조합이 음함수형으로 직접 적분을

통한 시스템의 시간해를 구하는 데 어려움이 따른 다. 하지만 Ouakad 등⁽³⁾에 의하면 이 경우에도 수 치적분을 이용하여 시간해를 순차적으로 계산할 수 있다고는 하나 상당한 계산 시간이 소비된다.

이 연구에서는 복잡한 음함수형 적분항의 계산의 간편함과 신속함을 위해 외력항을 다음과 같이 사 전에 곡선접합을 진행하였다. CNT가 최대 처짐을 갖는 끝 단 φ1(1)=φmax을 기준으로 전극과 이루는 간격에 따라 변하는 외력의 크기를 미리 적분 계산 하였다. CNT 끝단의 무차원 최대 변위 w(1,t)는 1 이므로 시간해의 크기는 y t₁( ) 1/≤ φ_max의 범위를 갖게 된다. 다음으로 분수함수 꼴의 곡선접합을 이 용하여 각 힘을 y t 에 대하여 5 % 내외의 오차를 1( ) 갖는 정전기력과 van der Waals 힘을 각각 식 (7), (8)로 근사화하여 나노공진기의 거동을 해석하였다.

1 2

0 max 1

( ) ( , ) ,

(1/ ( ))

elec m

x q x t dx d

φ γ y t

= φ

∫

− ⁽⁷⁾

1 3

0 max 1

( ) ( , ) ,

(1/ ( ))

attaction

vdW n

x q x t dx d

φ γ y t

= φ

∫

− ⁽⁸⁾

3. 해석 결과

2장에서 유도한 나노공진기의 운동방정식을 AUTO⁽¹¹⁾와 MATLAB을 이용하여 각각 비선형 주 파수 응답과 시간 응답을 계산하였다. 여기서, CNT 의 길이 L은 2500 nm, 반지름 R은 5.45 nm, 전극 과의 초기 간격 D 는 390 nm일 때, 식 (7), (8)의 0

계수들은 Table 1과 같다.

(4)

3.1 주 공진과 고조화 공진응답

나노공진기의 Q 값이 150일 때, 전극에 인가시키 는 고정된 AC전압 V_AC =0.3과 DC전압의 변화에 따른 주파수응답 특성을 예측하였다. 가진 전압에 따 라 CNT에 작용하는 정전기력은 V 에 비례하므로²

2 2 2

2 cos 1

DC DC AC

V =V + V V β Ω +t

2 2

1

1 (1 cos 2 ),

2V^AC β t

+ + Ω

(9)

식(9)와 같이 각 DC와 AC전압이 나노공진기의 응답에 미치는 영향을 예상할 수 있다. 예를 들어

DC 0

V = 일 때, 정전기력은 식 (9)에서 V_AC²(1+

2

cos 2β1 Ωt) / 2만이 유효하게 된다. 즉, 선형 주 공 진주파수(primary resonance frequency)의 약 절반 의 주파수로 나노공진기를 가진하더라도 가진주파 수의 두 배로 정전기력 가진이 진행되며, 이에 해당 하는 고조화(superharmonic) 주파수 응답 피크가 무 차원화 가진주파수 Ω =0.5에 나타난다.

Fig. 2(a)에서는 이러한 고조화 응답이 나타나는 것을 확인할 수 있는데 이는 AUTO⁽¹¹⁾를 이용하여 수치연속(numerical continuation) 기법으로 계산한 주파수 응답이다. 또한 위상 응답에서는 고조화 주 파수에 해당하는 지점에서 위상이 약간 변화함을 확인하였다. 그러나 고조화 공진에서는 일반적인 선 형 주 공진에서와 같이 위상이 π만큼 변화하는 현 상이 나타나지는 않는다.

Fig. 2(b)와 같이 ^V^AC⁼^0.3로 고정하고 V_DC=0.15 로 증가시켰을 때는 DC전압의 영향으로 식 (9)에서 주 공진과 고조화 공진에서 모두 가진이 발생한다.

따라서 Ω=0.5 및 Ω = 에서 응답피크를 확인할 1 수 있으며, 또한 고조화 공진피크보다 주 공진응답 의 피크가 더 크게 나타난다. 특히 위상 응답에서는 1차 공진주파수에서 위상이 π만큼 변화하는 것을 알 수 있다.

Fig. 2(c)는 앞에서와 같이 V_AC =0.3로 고정하고 AC전압보다 DC전압을 높게 인가시킨 V_DC=1.0인

Table 1 The coefficients of Eq. (7)

2

β1 d2 d₃ d₄ m n

3.516 0.02 0.007 0.00087 0.75 3.5

경우, 비로소 다양한 비선형 주파수응답이 나타나는 것을 확인하였다. 주파수 및 위상응답에서 고조화 응답은 Fig. 2(b)에서보다 피크값이 약간 증가하였 다. 그리고 Fig. 2(c)의 (A)-(D)에 해당하는 가진 주 파수의 시간 응답을 각각 Fig. 3(a), (d)에 나타내었는 데 고조화 공진주파수 근처 Ω =0.49에서 진폭 응 답의 피크와 Fig. 3(a)에 나타낸 정상상태 시간응답의 진폭의 크기가 일치함을 확인할 수 있다. 이러한

(a) V_DC=0V

(b) V_DC =0.15V

(c) V_DC=1.0V

Fig. 2 Frequency responses of CNT nano-resonator with different DC voltages on V_AC =0.3 and

150 Q=

(5)

고조화 공진응답은 Fig. 2(a), (b)에서와 같이 가진주 파수의 2배 주파수를 갖는 응답으로 Fig. 4에서와 같이 가진 전압의 파형과 그때의 시간응답을 비교 하면 고조화 공진의 특징을 잘 알 수 있다. 한편,

(a) Ω =0.49

(b) Ω =0.85

(c) Ω =0.94

(d) Ω =1.95

Fig. 3 Time responses of CNT nano-resonator at different excitation frequencies with VDC = 1.0V , V_AC =0.3V and Q=150

주 공진주파수 피크는 Fig. 2(b) 경우보다 크게 증 가하여 비선형 연화 효과를 나타낸다.

3.2 주파수 연화 효과와 저조화 공진응답 Fig. 2(c)에서는 주 공진응답의 주파수 연화효과를 확인할 수 있는데 이는 인가전압의 크기 V 가 증가 할수록 CNT에 작용하는 정전기력의 비선형 가진 영 향이 커진다. 즉 나노공진기의 무차원 운동방정식을 균형점 근방 y t1( ) 0≈ 에서 테일러 급수로 전개하여 3차 비선형 항을 정리하면 식 (10)과 같다.

( )

( ) ( )

2

1 1 1 1 1

2 3 4

3 3 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

y t cy t a bV y t a b V y t O y t

+ + − +

+ − + + =

"

" ^. ⁽¹⁰⁾

이 식에서 전압 V가 증가할수록 3차 비선형항의 계수가 음의 값을 갖게 될 개연성이 커지고 따라서 나노공진기의 변위(혹은 진폭)가 증가할수록 강성이 감소하는 주파수 연화 효과⁽¹¹⁾를 보인다.

또한 이는 안장점(saddle-node; SN) 분기 현상으 로 해석할 수 있으며 피크에 이르는 두 개의 해 가 지 중 공진 아래 쪽 해 가지의 안정성이 변화하는

(a) Applied voltage

(b) Time response

Fig. 4 The applied voltage and time response of the nano-resonator on V_DC =1.0V,V_AC =0.3V,

Ω =0.49 and Q=150

(6)

것으로 볼 수 있다. 여기서 실선은 안정한 해 가지, 점선은 불안정한 해 가지를 의미한다.

더욱이 이러한 연화효과와 함께 나노공진기의 가 진주파수가 주 공진주파수 영역의 탈출 구간 (escape band)⁽³⁾내에 속할 때 CNT가 전극에 달라 붙는 (pull-in) 거동을 보인다. 그러면 더 이상 공진 기로 사용하기 어려운 상태가 되는데 Fig. 3(c)에서 와 같이 과도 상태의 시간 응답으로 pull-in함을 확 인하였다.

Fig. 2(c)와 같이 주 공진주파수 2배 근처 Ω = 1.95 에서 주기배가(period-doubling; PD) 분기가 나 타남을 알 수 있다. 이는 정전기력이 CNT에 매개 가진(parametric excitation)으로 작용하는 것으로 알 수 있다⁽¹²⁾. 주기배가 분기가 발생하면 기존의 작은 진폭 응답이 불안정해지고 새로이 큰 진폭의 저조 화(subharmonic) 응답 피크가 형성된다. 또한 저조 화 공진응답도 주 공진응답과 같이 주파수 연화 효 과가 발생하였다. 매개 가진 효과가 선형 항뿐 아니 라 3차항과 같은 비선형 항에서도 미치기 때문이다.

Fig. 3(d)는 주기배가 분기 영역에 속하는 시간응답 으로 과도 및 정상상태의 시간응답을 보여준다.

(a) Ω =1.95

(b) Ω =1.99

Fig. 5 The different period of the nano-resonator at each excited frequency in steady state with

DC 1.0V

V = _,V_AC =0.3V_andQ=150

주기배가 분기에 의한 저조화 공진현상을 확인하 기 위해 분기 영역 내에 속하는 가진주파수 Ω = 1.95와 분기 영역에 속하지 않은 가진주파수 Ω = 1.99 의 정상상태 시간 응답을 비교하면 된다. Fig.

5(a)는 가진주파수 대비 약 절반의 주파수를 갖는 (주기가 2배) 시간 응답을 보여주지만, Fig. 5(b)는 주기배가 분기 영역 밖에 있는 주파수로 가진 할 때의 시간응답으로 응답주파수는 가진주파수와 일 치함을 알 수 있다.

4. 결 론

이 논문은 정전기력 가진과 van der Waals 힘 효과에 의한 외팔보형 CNT 공진기의 비선형 동적 응답과 안정성을 예측하였다. 나노공진기는 전극과 CNT 사이에 인가하는 AC 및 DC 전압에 따라 고 조화 공진, 안장점 분기를 통한 주파수 연화 효과와 주기배가 분기를 통한 저조화 공진 등 다양한 비선 형 응답 특성을 갖는다.

나노공진기의 고조화 공진응답은 AC전압에 영향 을 받으며, 주 공진응답은 DC전압에 영향을 받는 다. 특히 DC전압의 세기가 증가할수록 비선형 항의 영향이 증가하여 다양한 비선형 응답특성을 보이는 데, 주 공진주파수 및 저조화 응답에서 주파수 연화 효과가 발생하였다. 그리고 정전기력이 나노공진기 에 비선형 매개 가진으로 영향을 미치기 때문에 저 조화 응답의 주기배가 분기의 응답이 나타났다. 특 히 탈출구간 내에 속하는 주파수 및 전압의 제어 값으로 나노공진기를 구동할 경우 CNT가 전극에 달라붙어 정상정인 공진기로 이용할 수 없으므로 이러한 제어 조건에 유의해야 할 것이다.

후 기

이 연구는 2010년도 연구재단 기본연구지원사업 (과제번호 2010-0011761)의 지원으로 이루어졌음.

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