18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer

Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer

Chapter 18

Convective Heat Transfer

18.2 Significant Parameters in Convective Heat Transfer 18.3 Dimensional Analysis

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer

18.5 Approximate Integral Analysis of the Thermal Boundary Layer 18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

18.7 Turbulent Flow Considerations

- 1 -

대류 열전달

본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니다.

참고문헌 : J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.1 Fundamental Considerations in Convective Heat Transfer

 Heat transfer by convection

 표면과 인접 유체 사이의 에너지 교환

 유체의 움직임 (fluid motion)과 관련이 깊음.

 Rate equation for convection : ∆

 h : heat transfer coefficient, 단위 : [ W/m

K ]

 h 값은 유체 흐름의 mechanism, 성질 등과 관계됨.

Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill, 2011

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.1 Fundamental Considerations in Convective Heat Transfer

 Natural or free convection (자연대류) vs. Forced convection (강제대류)





18.1 Fundamental Considerations in Convective Heat Transfer

 Newton’s law of viscosity (뉴턴의 점도법칙) (Ch. 7)

[두 평행판 사이를 지나는 유체]

유체의 속도 (velocity) 전단응력 (shear stress)

[뉴턴의 점도법칙]

*

∶

*

: viscosity

[N∙s/m²] = [kg/m∙s]

*

ν

m

/s

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.1 Fundamental Considerations in Convective Heat Transfer

 Boundary-layer concept (경계층의 개념) (Ch. 12)

[평판 위에서의 경계층]

Boundary layer development on a flat plate

 층류 (laminar flow) : 속도분포 규칙적, 1차원, 포물선형

 난류 (turbulent flow) : 속도분포 불규칙적, 3차원, 직선형

 자유흐름속도 (free-stream velocity, υ_∞) : 평판의 마찰력 영향을 받지 않은 유체의 속도

 경계층의 두께 ( ) : 자유흐름속도의 99%에 도달하는 거리

Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill, 2011

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D.

G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.1 Fundamental Considerations in Convective Heat Transfer

 Reynolds number (레이놀즈 수) (Ch. 12)

(a) Re_x < 2ⅹ10⁵ : 층류

(b) 2ⅹ10⁵ < Re_x < 3ⅹ10⁶ : 전이영역 (c) 3ⅹ10⁶ < Re_x : 난류

Local Reynolds number 무차원수

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

 Prandtl number (프란틀 수)

Thermal diffusivity :



  

c

k

   



 



 t L

 

 



 t L

Momentum diffusivity :

운동량 확산도

= kinematic viscosity

열 확산도

무차원 수

* Pr >1 : hydrodynamic boundary layer (유체역학적 경계층)이 더 빨리 성장.

* Pr <1 : thermal boundary layer (열 경계층)이 더 빨리 성장.

18.2

Significant Parameters in Convective Heat Transfer

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석





= 대류 열전달속도

 ^



 h T T A

q

S y

0



 



y

k T

 Nusselt number (누셀트 수, 무차원) 거리 x에 따른 heat transfer

coefficient 를 구할 수 있다.

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석



(길이 L 인 판 전체에서)





h

dx h L

0

1 ^ _L 

_x ^k     ^Re

^{Pr dx}

3 / 1 2

/

332

. 0

1    





dx

x Pr Re

L k

2 / 1 3

/

332

. 0 Re

0.332

Pr

/

/

0.664

Pr

/

/

0.664

Pr

Re

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석



0.664

Re

 Film temperature (경막온도)

 이 온도 기준에서 유체의 성질 값을 활용한다.

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석

 [문제 1] (교과서 연습문제 #7)

문제)

0.5 cm

5 cm 세포 (cell)가 고정된 scaffold

300 K, 1 atm O₂ 기체

물과 유기 영양분

*세포 : 0.5 mmmol O₂/cm³ cells-hr 의 속도로 O₂를 소모함.

*방출되는 호흡에너지 : 468 J/mmol O₂

 O₂ 기체 온도와 scaffold 표면 온도가 10 °C 이상 차이가 나지 않으려면, (즉, 표면 온도가 310 K = 37 °C 이하) O₂의 유량은 (flow rate)?

*O₂ 기체의 물성

ρ = 1.3 kg/m³, c_p = 920 J/Kg∙K μ = 2.06 X 10^-5 kg/m∙s,

k = 0.027 W/m∙K

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석

a) 흐르는 유체의 Pr number 는?

0.5 cm

5 cm 세포 (cell)가 고정된 scaffold

300 K, 1 atm O₂ 기체

물과 유기 영양분

*O₂ 기체의 물성

ρ = 1.3 kg/m³, c_p = 920 J/Kg∙K μ = 2.06 X 10^-5 kg/m∙s,

k = 0.027 W/m∙K

풀이) 2.06 X 10 kg/m∙s x [920 J/Kg∙K]

0.027 W/m∙K 0.702

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석

0.5 cm

5 cm 세포 (cell)가 고정된 scaffold

300 K, 1 atm O₂ 기체

물과 유기 영양분

*O₂ 기체의 물성

ρ = 1.3 kg/m³, c_p = 920 J/Kg∙K μ = 2.06 X 10^-5 kg/m∙s,

k = 0.027 W/m∙K

b) 필요한 열전달 계수

h

*세포 : 0.5 mmmol O₂/cm³ cells-hr 의 속도로 O₂를 소모함.

*방출되는 호흡에너지 : 468 J/mmol O₂

 O₂ 기체 온도와 scaffold 표면 온도가 10 °C 이상 차이가 나지 않으려면, (즉, 표면 온도 가 310 K = 37 °C 이하) O₂의 유량은 (flow rate)?

풀이) Scaffold의 부피 : 폭을 1 cm로 가정하면, 2.5 cm³

방출되는 호흡에너지 : 0.5 mmmol O₂/cm³ cells-hr x 2.5 cm³ x 468 J/mmol O₂

= 585 J/hr = 585 J/hr X (1 hr / 3600 s) = 0.1625 W q = hAΔT = h X 0.0005 m² X 10 K  h = 0.1625 / (0.0005 X 10)

= 32.5 W/m²∙K 보다 커야함.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석

c) Nu number 는?

0.5 cm

5 cm 세포 (cell)가 고정된 scaffold

300 K, 1 atm O₂ 기체

물과 유기 영양분

*O₂ 기체의 물성

ρ = 1.3 kg/m³, c_p = 920 J/Kg∙K μ = 2.06 X 10^-5 kg/m∙s,

k = 0.027 W/m∙K

풀이) _{. .}

.

d) O₂ 흐름이 층류 일 때, (Re < 2 X 10⁵), 평균 h 값을 구하기 위한 대류 열전달 관계식은?

.

.

18.4 Exact Analysis of the Laminar Boundary Layer 층류 경계층 해석

e) 필요한 Reynolds 수와 유체속도

?

0.5 cm

5 cm 세포 (cell)가 고정된 scaffold

300 K, 1 atm O₂ 기체

물과 유기 영양분

*O₂ 기체의 물성

ρ = 1.3 kg/m³, c_p = 920 J/Kg∙K μ = 2.06 X 10^-5 kg/m∙s,

k = 0.027 W/m∙K

풀이)

0.664

Pr

Re



0.664

0.05 m 0.027 0.702

Re

32.5 보다 커야 함.

Re

. .

3.3 m/s 보다 커야 함.

18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 Reynolds analogy (Reynolds 유사성), Colburn analogy



식에 곱한다.

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 ^



 h T T A

q

S y

0



 



y

k T

 평면에서의 열전달속도 (전도)

= 대류 열전달속도

∶

/

18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 Reynolds analogy ( 를 알면 h 값을 구할 수 있음.)

 ∶





St : Stanton number

(스탠튼 수)

 Colburn analogy





18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 Reynolds analogy (Reynolds 유사성), Colburn analogy



식에 곱한다.

J. R. Welty, G. L. Rorrer, D. G. Foster,“Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, 6th ed., Wiley, 2013.

18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 ^



 h T T A

q

S y

0



 



y

k T

 평면에서의 열전달속도 (전도)

= 대류 열전달속도

∶

/

18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 Reynolds analogy ( 를 알면 h 값을 구할 수 있음.)

 ∶





St : Stanton number

(스탠튼 수)

 Colburn analogy





18.6 Energy- and Momentum-Transfer Analogies

 표면마찰계수 (coefficient of skin friction) 관련 식 (Ch. 12)

∶

,

0.664

1.328

^



18.7 Turbulent Flow Considerations

 Reynolds analogy, Colburn analogy

 Pr =1 인 경우에만 적용.

 층류 흐름에 적용.



 Pr =1 일 때, Reynolds analogy 와 같아짐.

 Prandtl analogy

 Turbulent outer layer, laminar sublayer 효과 고려함.



 Pr =1 일 때, Reynolds analogy 와 같아짐.

 Von Karman analogy

 Buffer layer 효과까지 고려함.



 Pr =1 일 때, Reynolds analogy 와 같아짐.

 [문제 2] (교과서 연습문제 #6)

문제)

1 m 25 cm

a) 평균 표면 마찰 계수는 (C_fL)?

b) 공기흐름에 의해 평면에 가해진 총 항력 (drag force)?

c) 평면에서 공기흐름으로의 총 열전달 속도?

*공기 (air)의 물성 (T_f = (80+25)/2 = 52.5

°

. kg/m³, C_p = J/kgK,

k = 0.028 W/mK, ν = 1.807 X 10^-5 m²/s

1.328

a) 평균 표면 마찰 계수는 (

C

*공기 (air)의 물성 25 °C, 2.8 m/s 공기

1 m

25 cm 80 °C ^{. kg/m}

3, C_p = J/kgK,

k = 0.028 W/mK, ν = 1.807 X 10^-5 m²/s

1.328

Re

ν

1 2.8

1.807 10 1.55 10

1.328

1.328 1.55 10

3.37 10

*공기 (air)의 물성 25 °C, 2.8 m/s 공기

1 m

25 cm 80 °C ^{. kg/m}

3, C_p = J/kgK,

k = 0.028 W/mK, ν = 1.807 X 10^-5 m²/s

b) 공기흐름에 의해 평면에 가해진 총 항력 (drag force)?

3.37 10 . .

2 1 m 0.25 m 3.59 10 N

*공기 (air)의 물성 25 °C, 2.8 m/s 공기

1 m

25 cm 80 °C ^{. kg/m3, C}_p ^{= J/kgK,}

k = 0.028 W/mK, ν = 1.807 X 10^-5 m²/s

c) 평면에서 공기흐름으로의 총 열전달 속도?

Pr ν

ν 1.807 10 1.087 1000

0.028 0.702 Colburn analogy를 적용한다.

St

2 0.702

^{3.37 10}

2 ^{2.13 10}

*공기 (air)의 물성 25 °C, 2.8 m/s 공기

1 m

25 cm 80 °C ^{. kg/m3, C}_p ^{= J/kgK,}

k = 0.028 W/mK, ν = 1.807 X 10^-5 m²/s c) 평면에서 공기흐름으로의 총 열전달 속도?

∆ 6.48 1 0.25 80 25 89.1

St 2.13 10

2.13 10 1.087 2.8 1000 6.48 /