2017학년도 경찰대학 제1차 시험
수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
1.
1) 다음을 만족시키는 정수 의 순서쌍 의 개수는?[3점][2017년 경찰대]
log log
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 좌표평면에 세 점 O A B 과 선분 AB 위의 점 P에 대하여 삼각형 OAP의 무게중심을 G라 하자.∆OAG
∆OAB일 때, 점 P의 좌표는?
[3점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
4.
4 ) 한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 라 하고 복소수 를 라 할 때, 가 실수일 확률은?[3점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
5.
5 ) 양수 에 대하여 두 집합 A B가 다음과 같을 때, A∪B B 를 만족시키는 의 최솟값은?[4점][2017년 경찰대]
A ≥ ≥ ≤ , B ≤
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━7.
7) 집합 A B C 에 대하여 두 함수 A → B B → C의 합성함수 ∘ A → C가 역함 수를 갖도록 하는 순서쌍 의 개수는?[4점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8) 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 장 중에 서 한 장을 뽑을 때, 적힌 수가 다음 세 조건을 만족하는 경우 의 수는?[4점][2017년 경찰대]
(가) 적힌 수는 홀수이다.
(나) 각 자리의 수의 합은 의 배수가 아니다.
(다) 적힌 수는 의 배수가 아니다.
① ② ③
④ ⑤
9.
9 ) 아래 그림은 어느 도시의 도로를 선으로 나타낸 것이다. 교차 로 P에서는 좌회전을 할 수 없고, 교차로 Q는 공사 중이어서 지나갈 수 없다고 한다. A를 출발하여 B에 도달하는 최단경로 의 개수는?[4점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) 좌표평면에서 직선 은 자연수)와 원 이 만나는 점을 A B이라 하자. 원점 O와 A의 중점을 P이 라 하고, AP BQ을 만족시키는 직선 위의 점을 Q이라 하자. (단, Q은 원 외부에 있다.) 점 Q의 좌표를 이라 할 때,
lim
→∞
의 값은?[4점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3
11.
11) 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 에 대하여 함수를
로 정의하자. 다음 조건을 만족 시키는 이차함수 중에서 의 최솟값은?[4점][2017년 경찰대]
′는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
① ② ③ ④ ⑤
12.
12) 함수 에 대하여 를 로 나눈 나머지를 라 하자. 함 수 의 극댓값과 극솟값의 합은?
[4점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
13.
13) 서로 다른 개의 물건을 남김없이 서로 다른 개의 상자에 임의로 분배할 때, 빈 상자가 없도록 분배할 확률은?[4점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
14.
14) 두 곡선 에 모두 접하고 기울기가 양수인 직선 이 있다. 직선 과 곡선 의 접점을 P, 직선 과 곡선 의 접점을 Q라 할 때, 선분 PQ의 길이는?[4점][2017년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━15.
15) 방정식 가 서로 다른 세 실근을 갖 도록 하는 모든 실수 의 값의 합은?[4점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
16.
16) 좌표평면에서 원 과 직선
이 만나는 점을
A B라 하자. 점 P
≠
에 대하여 다음 조건을 만족 시키는 점 C의 개수를 라 하자.(가) C는 A나 B가 아닌 원 위의 점이다.
(나) A B C를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 A B P를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이와 같다.
lim
→
이고
lim
→
일 때, 의 값은?
[4점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
17.
17) 이고 자연수 에 대하여
⋯
⋯
이라 하자.
log
log A일 때, A의 값은?
[5점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
18.
18) 실수 에 대하여 다음 식의 최솟값은?[5점][2017년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5
19.
19) 함수 과 이차함수 는 어떤 실수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) ′ ′
(나) ′ ′
두 곡선 와 로 둘러싸인 영역의 넓이를 , 곡 선 와 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 라 할 때,
의 값은?
[5점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
20.
20) 다음 두 수 에 대하여
의 값은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
[5점][2017년 경찰대]
,
① ② ③
④ ⑤
[21～25] 각 문항의 답을 답안지에 기재하시오.
21.
21) 일 때,
의 값을 구하시오.
[3점][2017년 경찰대]
22.
22) 실수 가 다음을 만족시킬 때, 의 값을 구 하시오.[4점][2017년 경찰대]
수 리 영 역
6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━23.
23) 다음 조건을 만족시키며 일 동안 친구 A B C를 초대하는 방법의 수를 구하시오.[4점][2017년 경찰대]
(가) 매일 A B C 중 명을 초대한다.
(나) 어떤 친구도 번 넘게 초대하지 않는다.
24.
24) 좌표평면에서 직선 를 따라 거울 , 축을 따라 거울 이 놓여 있다. 점 A 에서 거울 을 향해 쏜 빛은 과 에 차례로 반사되어 점 A로 되돌아 왔다. 빛이 이 동한 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2017년 경찰대]
25.
25) 정수 는 다음 조건을 만족시키는 등차수열
의 공차이 다.(가)
(나)
인 자연수 이 존재한다.모든 의 합을 라 할 때, 를 으로 나눈 나머지를 구하 여라.
[5점][2017년 경찰대]
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7
[2017학년도 경찰대 해설지]
1) ④
log log
log 이므로 ·이며
이므로 의 순서쌍은 ·의 약수의 개수와 같다 따라서 개다.
2) ③
∆OAG
∆OAB이고 두 삼각형 모두 를 변으로 하므로 의
좌표와 의 좌표의 비가 인 것을 알 수 있다.
따라서 의 좌표는
이며, 의 의 좌표가
인걸 알 수 있다.
따라서 의 의 좌표는
이다.
3) ②
을 따르고 에 근사한다.
따라서 ≤ ≤
4) ③
이므로 실수가 되기 위해선
이어야 한다. 따라서 가능한 순서쌍 는
개이므로
이다.
5) ②
영역을 그림으로 나타내면,
(이 때,
≥ 이므로 ≥ 이다.) 따라서 이며, 이는 아래로 볼록이고 축이 인 이차 함수이므로 일 때,
최솟값 을 가진다.
7) ④
에서 개를 뽑고
에서 를 대응시키고
에서 를 대응시킨다. × (의 치역 개를 먼저 순열로 대응시킨후 나머지 하나를 대응시킴)
따라서 개다.
8) ②
1에서 1000까지의 자연수 중에서 a)홀수=500개
b)홀수&3의배수=167개 c)홀수&5의배수=100개 d)홀수&15의배수=33개 a)b)c)d)에서
500-167-100+33=266
9) ④
전체 경로 중 불가능한 경로를 제거하자 전체 경로는
불가능한 경로는
의 경우 ·
의 경우 ·
이므로 이다.
10) ③
문제에는 과 의 위치가 나와 있지 않지만, 편의상 을 1사분면
을 사분면에 잡도록 하자. 문제 조건에 의하여 과 을 찾으면
수 리 영 역
8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━lim
→∞
lim
→∞
이다.11) ②
′ 이며 이 때 실수 전체에서 미분가능하기 위해서는 모든 에서 ≥ 이어야 한다.
대입하면 ≥
≥ 12) ⑤
라 하자.
를 로 나눈 나머지를 라 하자.
이를 로 표현하면,
이다.
(단, 는 몫 는 나머지 의 차수는 차 이하)이므로
이다.
이제 극댓값과 극솟값을 구하자.
′ 이므로
에서 극솟값 을 가지고
에서 극댓값
을 가진다.
따라서 두 개의 합은
이다.
13) ③
함수를 생각해서 풀자.
다음 상황은
정의역 공역 , 에 대하여 전사함수가 될 확률을 구하는 문제이다.
따라서
··
이다.
14) ⑤
라 하자.
이 두 곡선 에 접하므로 판별식을 이용하면,
이고 이를 풀면 이다.
따라서 직선이 이고
두 곡선의 도함수가 ′ ′ 이며 접선의 기울기가 이므로
이므로 그림에서의 접점은
이다.
이를 에 대입하여 값을 구하면
이다.
또
접점을 먼저 찾으면
접선의 기울기가 인 접점을 찾으면 된다.
이므로 그림에서의 접점은
이다.
이를 에 대입하여 값을 구하면
이다.
따라서 두 수의 합은 이다.
16) ③
주어진 조건의 의하여
직선 와 점 사이의 거리와 직선 와 점 사이의 거리가 같아야 한다.
따라서
이다.
이에 를 구하면 이다.
그러므로 이다.
17) ①
⋯ 라고 하면,
수 리 영 역
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9
라 생각하면 세 선분이 직선일 경우가 최단거리 이므로
의 거리인 이 답이다.
19) ⑤
라고 두면 (가), (나)에 의하여
계수비교하면
,
∴
∴
21)
이다.
22)
× ×
23)
수 리 영 역
10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━이 때, 이므로 이다.
또한 와 직선 직교 하므로
이다. 이를 연립하여 풀면
이다.
이 때 의 중점이 직선 위에 있으므로
이다. 따라서 이다.
25)
이므로 이다.
따라서 이다.
×× 에서
는 과 그리고 그들의 곱으로 만들어지므로
의 가능한 순서쌍은
이고, 이때 모든 의 합은 6120
∴ 6120을 1000으로 나눈 나머지 = 120
