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2006학년도 고3 경기도학업성취도평가 문제지
수리 영역 (가형)
제 2 교시
성명 수험번호 3
1
◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생 이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시 오. 배점은 2점, 3점, 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
를 간단히 하면? [2점]①
②
③
④
⑤
2.
무한수열 ,
,
,
, ⋯,
, ⋯ 의 극한값은? [2점]
①
②
③
④
⑤
3.
분수방정식
의 모든 근의 곱은?
[3점]
①
②
③
④
⑤
2 수리 영역 (가형)
4.
함수 에 대하여lim
→
의 값은?
[3점]
①
②
③
④
⑤
5.
미분가능한 함수 가lim
→
,
lim
→
를 만족시킬 때,
lim
→
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
6.
이 아닌 양수 , 에 대하여 ≪ ≫ 라 정의할 때,<보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [3점]
보 기 ㄱ. ≪ ≫≪ ≫ ㄴ. ≪ ≫≪ ≫ ㄷ. ≪ ≫×≪ ≫
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수리 영역 (가형) 3
3 16
7.
두 함수 , 에 대하여 의 그래프가다음과 같을 때,
lim
→
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
8.
다음은 두 학생 가 나눈 대화의 일부이다.: 너희 반의 남학생, 여학생은 몇 명이니?
: 남학생은 명이고 여학생은 명이야.
: 너희 반은 학업성취도평가에서 수리영역을 모두 선택했니?
: 응. 모두 선택했어. 수리 가형을 선택한 남학생은 명이고, 수리 나형을 선택한 여학생은 명이야.
: 그럼 너희 반에서 수리 가형을 선택한 학생들 중 한 명을 뽑을 때, 그 학생이 여학생일 확률은 얼마일까?
이 대화에서 의 마지막 질문에 대한 옳은 답은? [3점]
①
②
③
④
⑤
4 수리 영역 (가형)
9.
개의 문자 ,,,,,중에서 개를 선택하여 일렬로 나열할 때, 만들 수 있는 서로 다른 문자열의 개수는? [3점]①
②
③
④
⑤
10.
역을 출발하여 역에 도착한 기차가 있다. 세 지점 , ,를 차례로 통과할 때의 속력은 각각 시속 , 시속
, 시속 이었다. 각 구간에서의 기차의 속력에 대한 설명으로 항상 옳은 것은? [3점]
• • • • •
① 구간 에서 시속 인 지점이 적어도 두 곳 있었다.
② 구간 에서 시속 인 지점이 적어도 한 곳 있었다.
③ 구간 에서 시속 인 지점이 적어도 두 곳 있었다.
④ 구간 에서 시속 인 지점이 적어도 세 곳 있었다.
⑤ 구간 에서 시속 인 지점이 적어도 두 곳 있었다.
11.
곡선 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 이라 하자.
점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 , 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 ,
⋮
점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 이라 할 때, 의 값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
수리 영역 (가형) 5
5 16
12.
이차 정사각행렬 , 에 대하여 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, 는 단위행렬, 는 영행렬 이다.) [4점]
보 기 ㄱ.
ㄴ. 이면 또는 이다.
ㄷ. 이면 의 역행렬은 이다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
13.
한 변의 길이가 인 정육각형에 내접하는 원이 있다. 원의 반지름의 길이가 매초 의 속력으로 증가할 때, 초 후 원의 넓 이의 증가율은? [4점]
①
②
③
④
⑤
6 수리 영역 (가형)
14.
나라에 수출을 하는 회사가 있다. 회사는 앞으로의 수출 전략을 수립하기 위해 기획팀에서 수출전망 보고서를 작성하였다.서 론
A 나라는 최근 높은 실질성장률을 보이고 있어 우리 회사의 지속적인 수출증가세가 예상 된다.
부정적인 요인 긍정적인 요인
매년 어떤 시기에 우리 회사 제품의 수출량은 전년도 같은 시기의 수출량에 비해 8% 증가하 였으며 앞으로도 같은 추세로 수출증가세가 유 지될 전망이다.
수 출 전 망
결 론
…
…
중략 중략
이 보고서의 결론대로 수출증가세가 유지된다고 할 때, 회사 의 수출량이 현재의 배 이상이 되는 것은 최소 몇 년 후부터인 가? (단, , ) [4점]
① 년
② 년
③ 년
④ 년
⑤ 년
15.
그림과 같이 인 ∆ 의 세 변 ,, 위에 각각 점 , , 가 있다. 다음은 선분 가
와 평행하고 선분 가 와 평행하며 , ,
가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 사각형 의 둘레의 길이를 구하는 과정이다.
, , 라 하면
, , 가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 (가) ⋯⋯ ㉠
⫽이고 ⫽이므로
⋯⋯ ㉡
∆ ∆ 이므로
(나) ⋯⋯ ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 , , 를 구할 수 있다.
따라서, 사각형 의 둘레의 길이는 (다) 이다.
이 과정에서 (가)～(다)를 바르게 짝지은 것은? [4점]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
수리 영역 (가형) 7
7 16
16.
다음은 부터 개의 연속한 자연수의 합에 대하여 ⋯ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
[증명]
ⅰ) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 성립한다.
ⅱ) 일 때 성립한다고 가정하면
⋯ 일 때 성립함을 보이자.
⋯ (가)
⋯ (나) (나)
(다)
그러므로 일 때도 성립한다.
ⅰ), ⅱ)에 의해서 모든 자연수 에 대하여 성립한다.
이 증명에서 (가)～(다)를 바르게 짝지은 것은? [4점]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
17.
그림과 같이 이고 점 는 선분 을 로 내분 하는 점이다. 점 는 선분 을 로 내분하는 점, 점 은 선분 를 로 내분하는 점, ⋯⋯, 점 은 선분을 로 내분하는 점이다. 점 는 선분 을 로 내분하는 점, 점 은 선분 를 로 내분하는 점, ⋯⋯, 점 은 선분 을 로 내분하는 점이다.
선분 을 지름으로 하는 반원의 호의 길이를 , 선분
을 지름으로 하는 반원의 호의 길이를 이라 할 때, 무한 급수
∞
의 합은? [4점]
⋯
⋯
①
②
③
④
⑤
8 수리 영역 (가형)
단답형
18.
방정식 을 만족하는 의 값을 구하시오.[2점]
19.
회의 시행에서 어떤 사건 가 일어날 확률을 이라고 하자.
회의 독립시행에서 사건 가 회 일어날 확률을 라고 할 때,
의 값을 구하시오. [3점]
20.
갑은 단축마라톤대회에 참가하기 위하여 연습을 하고 있다.처음 구간의 평균속력을 남은 구간의 평균속력보다 시속 만큼 빠르게 하여 를 시간 이내에 달리려고 한다. 처음 구간의 평균속력을 시속 라고 할 때, 의 최소값을 구하시오. [3점]
수리 영역 (가형) 9
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21.
책상 위에 서로 다른 개의 동전이 앞면 개, 뒷면 개가 보이도록 놓여 있다. 이 중에서 임의로 개를 뒤집어 놓을 때, 앞면 이 보이는 동전의 개수를 확률변수 라 하자. 확률변수 의 평균을
이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, ,은 서로소인 자연수이다.) [4점]
22.
, 에 대한 연립방정식
가 이외의 해를 가질 때, 의 최대값을 구하시오.
(단, , ) [3점]
23.
좌표평면에서 ≦ ≦ , ≧ 이고, 연립부등식
≦ ≦ 을 만족시키는 영역의 넓이를 구하시오. [4점]
10 수리 영역 (가형)
24.
어느 과자 공장에서 생산되는 과자의 무게는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 과자의 무게가 이하이면 불량품으로 판정한다. 표준정규 분포표를 이용하여 이 공장에서 생산된 과자가 불량품일 확률 을 구하면 라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] ≦≦
25.
어떤 암석에 포함되어 있는 물질 는 시간이 지남에 따라 점차적으로 물질 로 변한다. 물질 와 의 양을 측정함으로써 그 암석의 생성연도를 알 수 있다. 암석이 생성된 억년 후의의 양과 의 양을 각각 , 라 하면 상수 에 대하여
이 성립한다.
처음에 물질 는 없고 물질 만 있는 암석이 억년이 지난 후, 의 양과 의 양의 비가 이 되었다. 암석이 생성 되어 억년이 지난 후 의 양과 의 양이 같아질 때, 의 값 을 구하시오. (단, 으로 계산한다.) [4점]
수리 영역 (가형) 11
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미분과 적분
26. lim
→
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
27.
,가 예각이고 일 때, 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
28.
중심각의 크기가 직각인 부채꼴 가 있다. 호 위의 두 점 에 대하여 ∠ 라고 하자. 일 때, 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
12 수리 영역 (가형)
29.
방정식 을 만족시키는 모든 해의 개수는? (단, ≦ ) [4점]①
②
③
④
⑤
단답형
30.
≦ 에서 함수 는 에서 최소값, 에서 최대값을 갖는다.
이 때,
의 값을 구하시오. [4점]
수리 영역 (가형) 13
13 16
확률과 통계
26.
다음은 어느 반 학생 명의 수리영역 표준점수를 나타낸 것 이다. 줄기단위는 , 잎단위는 로 하여 줄기와 잎 그림을 그 렸을 때, 잎이 가장 많은 줄기는? [3점]
①
②
③
④
⑤
27.
표는 , 두 반 학생들의 수학 점수에 대한 누적도수분포표 이다. 수학 점수의 전체 석차가 상위 % 이내에 들어 있는 반 학생의 수는? [3점]점수 반(명) 반(명)
이상~ 미만
~
~
~
~
~
①
②
③
④
⑤
28.
어떤 모임에 가입되어 있는 회원들의 평균 연령은 세이다.남자 회원의 평균 연령이 세이고 여자 회원의 평균 연령이
세이다. 남자 회원 수를 , 여자 회원 수를 라고 할 때,
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
14 수리 영역 (가형)
29.
주머니 에는 흰 구슬이 개, 검은 구슬이 개 들어 있고, 주머니 에는 흰 구슬과 검은 구슬을 합하여 개가 들어 있다.주머니 에서 한 개의 구슬을 꺼내어 주머니 에 넣고 잘 섞은 다음, 주머니 에서 한 개의 구슬을 꺼낼 때 그것이 흰 구슬일 확률은
이다. 이 때, 주머니 에 처음 들어 있던 흰 구슬의 개수는? [4점]
①
②
③
④
⑤
단답형
30.
에서 까지의 자연수 중에서 한 개의 수를 뽑을 때, 그 수가의 배수이거나 일의 자리와 십의 자리 중 적어도 어느 한 자리 의 숫자가 일 확률을
라고 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, ,는 서로소인 자연수이다.) [4점]
수리 영역 (가형) 15
15 16
이산 수학
26.
그림에서 점 를 출발점과 도착점으로 하는 한붓그리기를 할 때, 그릴 수 있는 경우의 수는? [3점]
①
②
③
④
⑤
27.
명이 영화관에 갔더니 관람이 가능한 서로 다른 영화 편이 있었다. 각자 한 편만 선택하기로 하였다면 명이 영화를 선택 할 수 있는 경우의 수는? [3점]①
②
③
④
⑤
28.
개의 사과를 세 바구니에 나누어 담으려고 할 때, 반드시 성립하는 것은? [3점]① 모든 바구니에 사과가 반드시 있다.
② 사과가 없는 바구니가 반드시 있다.
③ 모든 바구니에 3개 이하의 사과가 있다.
④ 개 이상의 사과가 있는 바구니가 반드시 있다.
⑤ 개 이상의 사과가 있는 바구니가 반드시 있다.
16 수리 영역 (가형)
29.
자연수 을 개로 분할하는 경우의 수를 라고 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]보 기 ㄱ.
ㄴ. ㄷ.
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
단답형
30.
그림과 같이 사각형 의 꼭지점과 변 위에 개의 점이 있다. 이 중에서 개의 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오. [4점]
