■ 이항분포와 그에 관련된 분포들
○ 베르누이(Bernoulli) 시행
① 각 실험에서 발생 가능한 결과는 단 2가지 - 예: (성공,실패), (앞면,뒷면)
② 각 실험이 독립적으로 수행
③ 모든 실험에서 결과의 확률은 항상 동일 - ,
Jacob Bernoulli Johann Bernoulli
◉ 불량품검사
◦ 10개의 제품중 3개가 불량품
- 2개를 복원추출하는 경우 ⇨ 베르누이 시행
×
- 2개를 비복원추출하는 경우 ⇨ 독립? 확률고정?
×
◦ 10000개의 제품중 3000개가 불량품
- 2개를 복원추출하는 경우 ⇨ 베르누이 시행
×
- 2개를 비복원추출하는 경우
×
≠ ≃
※ 모집단의 크기가 크고 표본의 크기가 상대적으로 크지 않는 경우, 독립적으로 반복되는 베르누이 실험으로 간주해도 큰 차이가 없음 ⇨ 근사모형으로 사용가능
◯ 베르누이 확률변수
◦ 성공할 확률 = 인 경우 ∼ 로 표시하며 -
성공실패- 성공 , 실패
⇨
◦ 기댓값
- 성공
- 성공
- 성공실패
□ 이항분포 (Binomial distribution)
◦ 성공할 확률이 인 베르누이 실험을 번 반복했을 때, 성공횟수()의 분포
◦ 성공횟수 는 개의 베르누이 확률변수를 합한 것
⋯
⋯ ↓
⋯ 성공횟수 - ∼
◦ 베르누이 시행은 독립을 의미 -
-
◉ 주사위 세 번 던지기
◦ : 1이 나온 횟수 (1이면 , 아니면 )
◦ 일반식:
, … ◦ 표시 ∼
- 은 시행횟수이고 는 성공할 확률
◦ 과 값은 이항분포의 모양을 결정
⇨ 분포의 특성(모양, 기댓값 등)을 완전히 결정하는 값을 모수(parameter)라고 함
◦ 분포의 모수를 알면 해당 분포의 모든 것을 알 수 있음
⇨ 통계학 문제: 모수는?
◉ 항암제 완치율
◦ 어떤 암에 대한 기존 항암제의 완치율은 50%
◦ 어느 제약회사에서 새로운 항암제를 개발하여 항암제의 효과를 확인하기 위해 15명의 환자를 대상으로 실험
◦ 만약 새로운 항암제의 완치율이 기존과 같다면
① 8명이 완치될 확률은?
② 적어도 10명까지 치유될 확률은? 0.941
◦ 통계문제: 환자 중 12명의 환자가 치유되었다면, 새로운
항암제의 효과가 기존의 것보다 있다고 할 수 있는가? 0.018
□ 초기하분포 (Hypergeometric Dist.)
◦ 크기가 인 모집단이 크기가 과 인 두 개의 부모집단으로 나누어진 경우 ⇨ 유한모집단
◦ 개의 표본을 비복원으로 추출할 때, 크기가 인 부모집단(A)에서 추출될 표본 수의 분포
◦ 확률질량함수 :
◦ 초기하분포도 각 시행에서 A 집단에서 추출되면 1 다른 집단에서 추출되면 0으로 표시한 확률변수의 합
⋯
⋯ ↓
⋯ 에서 추출된 표본의 수
- , - ⇨
◦ 다른 점은 추출이 비복원으로 각각의 시행이 독립이 아님
⇨ ?
◦ 에 비해 이 상대적으로 큰 경우
- 비복원의 효과가 적기 때문에 베르누이 실험으로 근사 - 초기하 분포은 인 이항분포로 근사
◉ 품질관리 – Operating Characteristic(OC) curve
◦ 50개의 전구들이 들어 있는 상자에서 10개의 전구를 무작위로 선택하여 검사
◦ 불량전구의 개수가 1개 이하이면 이 회사의 전구를 구매
◦ 만약 이 상자에 10개의 불량품이 있을 때, 구매할 확률은?
◦ 만약 개 불량품이 있을 때, 구매할 확률은?
◉ 본관 앞 연못에 사는 물고기는 몇 마리?
◦ 꼬리표를 붙인 20마리의 물고기를 연못에 넣고 어느 정도
지난 후 물고기 15마리를 잡았을 때 꼬리표가 있는 물고기의 분포는?
◦ 15마리 중 4마리가 꼬리표가 있는 물고기라면?
□ 포아송분포 (Poisson distribution)
◦ 발생 가능성이 희박한 사건이 임의의 구간 안에서
평균적으로 번 발생할 때, 이 사건이 일어날 횟수의 분포
◦ 확률질량함수
… - 표시: ∼
○ 이항분포의 포아송 근사
◦ 가 작고 이 큰 경우, 이항분포의 확률을 포아송분포를 사용해서 근사할 수 있음
- 라고 하면,
≃ ◉ 컴퓨터 프로그램 버그
◦ 500개 모듈 당 평균 한 개의 버그 발생
◦ 독립적으로 제작된 1500개 다른 모듈로 이루어진 프로그램 패키지에서 버그가 2개 이하일 확률은?
- 모듈 당 버그가 발생할 확률
- : 패키지에서의 버그 수, ∼
⇨ ≤
- ⇨ ≤ ≃
