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2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지
수학 영역 (가형)
제 2 교시
1
1.
lim
→
의 값은? [2점]
①
②
③ ④
⑤
2. 반지름의 길이가 , 중심각의 크기가
인 부채꼴의 호의 길이는?
[2점]
①
②
③
④ ⑤
3. 쌍곡선
의 점근선의 방정식이 , 이다.
양수 의 값은? [2점]
①
②
③
④
⑤
4. 닫힌 구간 에서 함수
의 최솟값은? [3점]①
②
③
④
⑤
2 수학 영역(가형)
5.
cos 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
6. 곡선 ln의 변곡점의 좌표는? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
7. 자연수 의 분할 중 이하의 자연수의 합으로 나타내어지는 분할의 수는? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
3
수학 영역(가형)
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www.LegendStudy.com 8. 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는?
[3점]
①
②
③
④
⑤
9. ≤ 에서 부등식 sin 의 해가 일 때, cos 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
10.
의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값은?[3점]
① ② ③ ④ ⑤
4 수학 영역(가형)
11. 함수
sin에 대하여 함수 를
∘ 라 할 때, ′의 값은? [3점]
① ②
③
④
⑤
12. 좌표평면 위에 두 점 F , F′ ( )을 초점으로 하고 점 A 을 지나는 타원 가 있다. 두 점 A, F′을 지나는 직선이 타원 와 만나는 점 중 점 A가 아닌 점을 B라 하자.
삼각형 ABF의 둘레의 길이가 일 때, 선분 FF′의 길이는?
[3점]
① ② ③ ④ ⑤
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수학 영역(가형)
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www.LegendStudy.com 13. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 의 도함수 ′가
′
ln
이다. 일 때, 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
14. 그림과 같이 인 실수 에 대하여
두 곡선 log 과 이
서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 점 A가 축 위에 있고 삼각형 OAB의 넓이가
일 때, 선분 AB의 중점은 M 이다.
의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]
O
A
B
log
①
② ③
④ ⑤
6 수학 영역(가형)
15. 곡선
과 두 직선 , 및 축으로 둘러싸인
부분의 넓이를 라 하자. 곡선
과 두 직선 , 및
축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 가 되도록 하는 모든 양수 의 값의 합은? [4점]
①
②
③
④
⑤
16. 그림과 같이 곡선 위의 두 점 A
, B
에서의 접선을 각각 , 이라 하자. 두 직선 과 이 이루는 예각의 크기가
일 때, 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는?
(단, ) [4점]
O
A
B
① ln
② ln
③
ln
④ ln
⑤
ln
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수학 영역(가형)
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www.LegendStudy.com 17. 인 실수 에 대하여
두 곡선 과 이 만나는 점의 좌표를 라 할 때,
→
lim
의 값은? [4점]
①
②
③ ④ ⑤
18. 그림과 같이 포물선 에 대하여
포물선의 준선 위의 한 점 A가 제사분면에 있다.
점 A에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이 만나는 점을 B, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발을 H, 준선과 축이 만나는 점을 C 라 하자.
AC × CH 일 때, 삼각형 ABH의 넓이는? [4점]
O C
A H B
① ②
③
④ ⑤
8 수학 영역(가형)
19. 다음은 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 세 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단, ≥ )
주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우는
‘(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우’에서
‘(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우’와
‘(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수 중 두 수만 연속되는 경우’를 제외하면 된다.
(ⅰ)의 경우 :
개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우의 수는 C이다.
(ⅱ)의 경우 :
주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우의 수는 이다.
(ⅲ)의 경우 :
연속되는 두 수 중 하나가 인 경우의 수는 가
이고, 마찬가지로 연속되는 두 수 중 하나가 인 경우의 수도 가 이다.
또한 연속되는 두 수 중 어느 하나도 과 이 아닌 경우의 수는 나 이다.
따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는
×
가
나 이다.(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수는 다 이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때,
×
의 값은? [4점]
①
② ③
④ ⑤
20. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 P , Q를 ∠PAB , ∠QAB 가 되도록 잡는다.
선분 AB의 중점 O에 대하여 선분 OQ와 선분 AP 가 만나는 점을 R 라 하자. 호 PQ와 두 선분 QR , RP 로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값은? (단,
) [4점]
O
P
Q
B A
R
①
②
③ ④
⑤
9
수학 영역(가형)
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www.LegendStudy.com 21.
에서 정의된 미분가능한 함수 가 이고
′
을 만족시킨다. 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
보 기 ㄱ. ′
ㄴ.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
단답형
22. 방정식 log 을 만족시키는 실수 의 값을 구하시오.
[3점]
23. 함수 에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점]
10 수학 영역(가형)
24. 좌표평면에서 곡선 sin
( ≤ ≤ ) 위의 점 중좌표가 정수인 점의 개수를 구하시오. [3점]
25. 함수
에 대하여 부등식 ′ 의 해가
일 때, 의 값을 구하시오. [3점]
26. 숫자 , , , , 에서 중복을 허락하여 개를 선택할 때, 짝수가 두 개가 되는 경우의 수를 구하시오. [4점]
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수학 영역(가형)
11 12
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www.LegendStudy.com 27. 자연수 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
ln
의 최댓값을 이라 하자.
의 값을 구하시오. [4점]
28. 그림과 같이 두 초점이 F , F′ ( )이고, 주축의 길이가 인 쌍곡선
과
점 A 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 가 있다.
제사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q에 대하여 PQ PF′ 의 최솟값이 일 때,
의 값을 구하시오. (단, 와 는 상수이다.) [4점]
F P A Q
O F′
12 수학 영역(가형)
29. 집합 에서 집합 로의 함수 중에서
(은 정수) 를 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오. [4점]
30. 함수
과 양의 실수 에 대하여 닫힌 구간 에서 함수 의 최댓값을 , 최솟값을 라 할 때, 두 함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
(나) 양수 에 대하여 닫힌 구간 에 있는 임의의 실수 에 대해서만 가 성립한다.
(다)
×
일 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 이 아닌 상수, 와 는 서로소인 자연수이고,
lim
→∞
이다.) [4점]
