이 보고서는 ｢비용추계의 통계적 접근에 관한 연구｣에 대한 국회예산정책처의 정책연구 용역사업에 의한 것임
2013. 12.
비용추계의 통계적 접근에 관한
연구
비용추계의 통계적 접근에 관한 연구
2013. 12.
연 구 책 임 자 이 선 순 (서울대학교 자연과학대학 연구원)
연 구 원 이 홍 석 (성균관대학교 정보통신대학 선임연구원)
이 연구는 국회예산정책처의 정책연구 용역사업으로 수행된 것으로서, 본 연구에서 제시된 의견이나 대안 등은
국회예산정책처의 공식의견이 아니라 본 연구진의 개인 의견임.
제 출 문
국회예산정책처장 귀하
본 보고서를 귀 국회예산정책처의 정책연구과제
｢비용추계의 통계적 접근에 관한 연구｣의 최종 보고서로 제출합니다.
2013. 12.
서울대학교 자연과학대학 연구원 이선순
목 차
1. 자료의 생성 ···1
1.1 통계학이란 무엇인가? ···1
1.2 자료의 속성 ···2
2. Statgraphics의 기초 및 데이터 관리 ···3
2.1 Statgraphics 시작하기 ···3
2.2 데이터 파일 작성 ···3
2.3 데이터의 변환 및 생성 ···7
2.4 데이터 생성(generating) ···12
3. 자료의 정리 ···14
3.1 모집단의 대표값 ···14
3.2 표와 그림을 통한 자료의 요약 ···15
3.3 수치를 통한 연속형 자료의 요약 ···18
3.4 Statgaphics에서 일표본 분석(Analyzing a Single Sample) ···22
4. 통계적 추론 ···29
4.1 추정 ···29
4.2 가설검정 ···32
4.3 한 모평균에 관한 추론(를 모를 때) ···34
4.4 한 모분산에 관한 추론 ···35
4.5 Statgaphics에서 한 모평균에 관한 추론 ···36
5. 두 표본 비교하기 ···43
5.1 대응표본에 의한 두 모평균의 비교 ···43
5.2 독립표본에 의한 두 모평균의 비교 ···44
5.3 두 모분산에 관한 추론 ···47
5.4 Statgraphics에서 대응표본 비교하기 ···48
5.5 Statgraphics에서 두 독립표본 비교하기 ···53
6. 범주형 자료의 분석 ···60
6.1 범주형 자료 요약 ···60
6.2 적합도 검정(Goodness-Of-Fit Tests) ···63
6.3 교차표 ···66
6.4 독립성 검정(Test of Independence) ···70
6.5 분할표(Contingency tables) ···71
7. 상관분석과 회귀분석 ···73
7-1 상관분석 ···73
7-2 Statgraphics에서 상관분석 ···75
7-3 회귀분석(regression analysis) ···79
7-4 단순회귀분석(simple regression) ···81
7-5 Statgraphics에서 단순회귀분석(simple regression) ···87
7-6 중회귀분석(Multiple regression) ···93
7-7 Statgraphics에서 중회귀분석(Multiple regression) ···96
8. 분산분석 ···111
8.1 분산분석이란? ···111
8.2 일원배치법 ···112
8.3 Statgraphics에서 일원배치법 ···115
8.4 이원배치법 ···125
8.5 Statgraphics에서 이원배치법 ···128
9. 시계열분석 ···133
9.1 시계열 자료란 무엇인가? ···133
9.2 시계열 도표란? ···134
9.3 시계열의 변동요인 ···134
9.4 시계열의 기초분석 ···137
9.5 추세분석 ···139
9.6 statgraphics에서 추세모형 적합 ···143
9.7 시계열모형 ···150
9.8 Automatic Model Selection ···152
참고문헌 ···157
별첨 1. 표준정규분포표 ···158
별첨 2. t 분포표 ···159
별첨 3.
분포표 ···160
별첨 4. F 분포표 ···161
1. 자료의 생성
1.1 통계학이란 무엇인가?
1) 통계학이란?
- 주어진 문제에 대하여 합리적인 답을 줄 수 있도록 숫자로 표시되는 정보(data)를 수집하고 정리하며, 이를 해석하고 신뢰성 있는 결론을 이끌어 내는 방법을 연구하는 과학의 한 분야
- 관찰자료(observation data : 관찰로 얻은 자료만을 의미하기 보다는 넓은 의미로 실험계획 이나 조사연구를 통하여 얻은 자료 모두를 포함)에 수학적 원리를 적용하는 응용수학의 한 분야 로서 모집단(population), 변분(variation ; 분산), 자료축약방법(Methods of data reduction) 을 연구대상으로 하는 학문
2) 통계학의 분류
① 기술통계학(Descriptive Statistics) : 자료를 수집하고 정리하여 도표나 표를 만들거나 자료 를 요약하여 대표값이나 변동의 크기 등을 구하는 방법
② 추측통계학(Inferential Statistics) : 자료에 내포되어 있는 정보를 분석하여 불확실한 사실 에 대한 추론을 하여 모집단의 일부(표본)로부터 집단의 특징이나 경향을 추측하는 분야
3) 모집단과 표본
① 모집단(Population) :관심의 대상이 되는 모든 개체의 특성을 나타내는 관측값의 전체 - 유한모집단(Finite Population) : 유한개의 추출단위로 구성된 모집단
- 무한모집단(Infinite Population) : 무한개의 추출단위를 가지는 모집단 ② 추출단위(sampling unit): 전체를 구성하는 각 개체들
③ 특성값(Characteristics): 각 추출단위의 특성을 나타내는 값 ④ 표본(sample):통계적 분석을 위하여 실제로 관측한 측정값의 집합 ⑤ 관찰값(Observed values):표본의 특성값
⑥ 전수조사(총조사, census): 모집단 전체를 대상으로 조사를 하는 것 대표적 예) 인구총조사*(census)
⑦ 표본조사(sample survey): 모집단의 일부분을 대상으로 하는 조사, 대부분의 통계조사 -“표본추출을 공평하게 하면 모집단의 특성을 잘 닮는다”(확률적 원리에 기반함)
원리1 : 모집단으로부터 표본을 뽑고 필요한 것을 조사하여 표본의 특성을 기초로 모집단의 특성 을 아는 것이 통계적 분석의 기본적인 방식
원리2 : 표본을 뽑을 때 모집단의 특성이 잘 나타나도록 랜덤하게 뽑을 필요가 있다.
예) 18세 이상 한국인 1,500명을 대상으로 한‘한국인의 독서실태조사’
4) 자료에 의한 의사결정 과정
어떤 종류의 자료이든지 간에 그 자료가 얻어지는 대상이 있으며, 이 자료의 대상이 되는 집단전 체가 모집단이다.
일반적으로 이 모집단의 크기는 방대하며 모집단 전체를 빠짐없이 관찰한다는 것은 물리적으로나
통한 측정) 하는 대신에 이 모집단으로부터 일부분을 랜덤(random)하게 추출하여 모집단을 대표 하는 표본으로 삼고, 이 표본 자료를 분석하여 모집단에 대한 정보를 얻으며, 기타 방법으로 취해 진 정보와 함께 검토한 후 의사결정을 하고, 모집단에 대한 적절한 조치와 행동을 취하는 것이다.
모집단 표 본 자 료 통계 분석
의사 결정 분석결과의 정보화
조사 실험
측정
모집단 표 본 자 료 통계 분석
의사 결정 분석결과의 정보화
조사 실험
측정
1.2 자료의 속성
- 자료(data): 어떤 현상을 설명하기 위하여 수치적 특성이나 사실적 특성으로 나타낸 것으로 사실이 나 수치의 결합으로 이루어짐
1) 자료의 형태
- 양적자료(quantitative data): 자료 자체가 숫자로 표현되며 숫자자체가 자료의 속성을 반영
① 이산형 자료(discrete data) or 계수형 자료 (counting data): 자료의 형태가 셀 수 있거나 유 한한 경우로서, 자녀의 수, 교통사고건수, 불량품의 수등과 같이 셀 수 있는 정수 형태의 자료 ② 연속형 자료(continuous data): 어느 구간내의 모든 연속적인 값을 취할 수 있는 경우로서, 몸 무게, 키, 전구수명 등과 같이 셀 수 없는 소수점을 포함하는 형태의 자료
- 질적 자료(qualitative data) or 범주형 자료(categorical data): 관측결과가 몇 개의 범주 또는 항목의 형태로 나타나는 자료, 성별(남, 여), 혈액형(A, B, O, AB), 학년 등과 같이 속성을 나타냄 ① 명목형 자료(nominal data): 성, 직업, 지역 등과 같이 자료값의 크기나 순서에 대한 의미가 없 고 자료값 자체의 이름만 의미를 부여한 자료
② 순서형 자료(ordinal data) : 순위, 성적등급 등과 같이 어떤 기준에 따라 자료값들의 순서에 의 미를 부여한 자료
- 변수의 속성이 양적자료를 가지면 양적변수(quantitative variable), 질적자료의 속성을 가지면 질 적변수(qualitative variable)
2) 변수의 구분
① 반응변수 & 종속변수(종속변인) Dependent Variable: 어떤 데이터의 변화와 같이 주요 관심의 대상이 되며 변수에 의해 영향을 받는 변수
② 독립변수 & 설명변수(독립변인) Independent Variable: 반응변수에 영향을 주는 변수 예) 사이버 중독증(독립변수)이 청소년의 정신건강(종속변수)에 영향을 미친다.
의료보험료 인상(독립변수)이 서민의 생활척도(종속변수)에 영향을 미친다.
2. Statgraphics의 기초 및 데이터 관리
2.1 Statgraphics 시작하기
1) STATGRAPHICS DataBook
2) Spreadsheet Data Editor
• DataBook은 데이터를 입력할 수 있는 직사각형 형태의 A~Z까지 26개의 datasheet로 구성됨
• 각행은 표본으로부터 얻은 개별적인 관측치들의 정보
• 각열은 변수를 나타냄
2.2 데이터 파일 작성
1) DataBook에 직접 입력하기
● 2000년 미국 census 데이터
State Population Median Age Percent Female PerCapitaIncome
Alabama 4447100 35.8 51.7 18819
Alaska 626932 32.4 48.3 22660
Arizona 5130632 34.2 50.1 20275
Arkansas 2673400 36 51.2 16904
California 33871648 33.3 50.2 22711
Colorado 4301261 34.3 49.6 24049
...
1단계 : 변수(column)의 정의
① column name : 변수 이름 • 1~32개까지의 문자
• +, - 등의 산술연산기호를 제외하 모든 문자 사용 가능
• 숫자로 시작할 수 없고 대소문자는 구별하지 않음 • 공백은 허용함
② Comment : 변수 설명
• 1~64개까지의 문자 입력 가능 • 선택항목이므로 입력안해도 됨 ③ Type : 데이터의 형태
• 문자형, 숫자형
• 숫자가 큰 경우에는 콤마(,)를 입력하지 않음
2단계 : 2000년 미국 census 데이터의 변수이름을 저장
3단계 : 2000년 미국 census 데이터를 입력
2) 데이터 저장하기
① File 메뉴에서
File – Save – Save Data File
② 확장자가 ".sgd"로 저장됨
3) 저장된 STATGRAPHICS 파일 불러오기
① File 메뉴에서 File – Open – Open Data Source
②
census2000.sgd
선택
4) 외부파일에서 데이터 불러오기
● Excel, ASCII, XML로 만들어진 파일 또는 다른 외부데이터파일 불러오기
① File 메뉴에서 File – Open – Open Data Source
Open Data Source Dialog Box에서 External Data File 선택
② 대화상자에서 불러올 파일의 유형을 지정
- Input file type : Excel, Matlab, Minitab, JMP, SPSS, SAS 등의 불러올 파일의 유형 지정 • Excel files (*.xls*) : MS엑셀 워크북으로부터 선택된 시트를 불러옴
• Text files(*.txt, *.csv, *dat) : 데이터가 구분자 또는 일정한 열(column) 형태로 정리된 ASCII 텍스트 파일을 불러옴
• XML(*.xml) : tagged format의 XML 파일로부터 데이터를 불러옴
- File name : BROWSE 버튼을 눌러 불러올 파일이 저장되어 있는 경로를 지정
- Worksheet : 불러올 파일에서 가져올 worksheet를 지정. 한번에 한 개의 sheet 지정
- Column widths : 콤마에 의해 구분된 각 열(column)의 너비 지정(for formatted ASCII files only).
- Delimiter : 열(column) 구분자 지정 (for delimited ASCII files only).
- Rows : worksheet에서 읽어오게 될 행(rows)의 범위를 지정. 변수이름, 주석 포함
- Header : Excel과 같은 spreadsheet프로그램들은 첫 2행에 변수이름이나 주석들을 쓸 수 있는데 외부파일을 불러올 때 이것을 선택하여 불러올 수 있음
- Missing value identifier : 결측치(missing data)를 표현, 불러올 외부파일에 NA와 같이 특별한 부호를 사용하여 결측치(missing data)를 표현했다면 STATGRAPHICS 에서는 이 셀의 값은 공백 (empty cells)으로 처리함
③ 추가정보 입력 대화상자
- Column Header : 엑셀 파일에 변수의 이름이 포함되 어 있으면 이름을 가져옴
- Sheet number : 불러올 엑셀 파일안의 워크시트의 번호 - Start row and End row : 불러오는 워크시크의 범위
5) 외부파일로 입력되어 있는 파일에서“복사하여 붙여넣기”로 데이터 작성하기
2.3 데이터의 변환 및 생성
Statgraphics 데이터셋에서는 데이터를 변환하거나 생성할 수 있음
1) ‘복사와 붙여넣기’를 이용
-
Modify Column
대화상자에서 데이터 유형 변경 가능 - 각 열의 유형을 주의2) 기존의 변수(column)로 부터 새로운 변수 생성
- 기존의 변수를 연산식등을 통해 새로운 변수로 변환하거나 생성
(1) 변수를 데이터시트에 저장하지 않고 직접적으로 새로운 변수(열) 생성하기 - 통계적 절차의 데이터 입력대화상자에서 새로운 변수 생성
● 예 : StatGraphics에 내장된 “93cars.sgd"의 데이터 변환
One-Variable Analysis 절차를 이용하여 새로운 변수를 생성하나 변수를 저장하지 않음
- 절차 : MENU에서 Describe ⇒ Numeric Data ⇒ One-Variable Analysis 선택
Creating a Transformation “"On-The-Fly”"
- One-variable analysis 창에서 관심변수에 대하여 연산식을 작성하고 누름
One-Variable Analysis of Transformed Data
- 변환된 “ 100*MPG City /MPG Highway" 변수에 대하여
One-Variable Analysis
절차가 수행되고 그 결과를 보여줌(2) 새로운 변수(열) 생성하기
- 절차 : Data Sheet에서 Col_27을 더블 클릭 ⇒ Modify column 대화상자에서 새로운 변수를 지정(변수이름과 변수타입 지정) 아래 Formula 칸에 연산식 입력
Creating a Formula Column Appearance of a Formula Column in a Datasheet
- 연산식 “ 100*MPG City /MPG Highway" 에 의하여 Col_27에 새로운 값들이 저장됨
3) 데이터 변환
- 수학함수를 이용하여 데이터를 변환
- 통계적 절차에서 직접 변수를 변환하거나 데이터시트에서 새로운 변수 생성하여 저장
● 예 : 자동차 무게의 로그값과 갤런당 마일 비교 플롯 그리기 X-Y Plot절차를 이용하여 변수 변환
- 절차 : MENU에서 Plot ⇒ Scatter Plots ⇒ X-Y Plot 선택 ⇒ Y 축에 관심변수 입력
⇒ 직접 연산식을 작성 또는 Y 축에 관심변수 입력 ⇒ 누름 후 연산자 및 변수 선택
Transforming Data on a Data Input Dialog Box Dialog Box Displayed by the Transform Button
X-Y Plot Procedure Using Transformed values of Weight
● Statgraphics에서 사용하는 연산자(수학함수)
• 절차1 : MENU에서 Edit ⇒ Sort data를 선택
• 절차2 : 해당하는 변수이름을 마우스로 선택 ⇒ 우측버튼 클릭 ⇒ Sort file 선택
● 예 : 변수
MPG City
와 변수MPG Highway
를 기준으로 정렬Sort Options Dialog Box 93cars.sgd File after Sorting
5) 데이터값 변환(Recording)
- 기존 변수의 데이터값을 유사한 값끼리 그룹화하거나 목적에 의하여 변환
- 방법 : 해당하는 변수 이름을 마우스로 선택 ⇒ 우측버튼 클릭 ⇒ Recorde data 선택
● 예 : Recoding Data대화상자에서 변수 Domestic 에서 0 → Foreign , 1→ U.S로 변환
Dialog Box for Recoding Data
6) 다수의 열을 단일 열로 결합
● 예 : 12개 관측치가 4개의 열에 배열되어 있는데 1개 열로 결합하여 배열하는 경우 - 방법 1 : copy and paste
- 방법 2 : Edit ⇒ Combine Columns를 선택
Sample Data in Multiple Columns
Data Input Dialog Box for Combine Columns Data Combined into Single Column
⇒
￭ Data : 단일 열로 결합할 다수의 열을 지정
￭ Select : 요구되는 표준 집합 선택을 입력. 새로운 열에 배치되는 행을 제한할 수 있음 ￭ Put in Datasheet : 결합될 데이터가 저장된 데이터 시트
￭ Column Order : 데이터가 새 열에 배치되는 순서를 나타냄. 데이터가 하나의 열 또 다른 위, 끝 과 끝을 스택 또는 행 번호로 순서가 될 수 있음
￭ Create column with row numbers : 결합된 데이터 열의 각 값과 관련된 원래 행번호가 입력 ￭ Create column with identifiers : 결합된 데이터 열의 각 값과 관련된 원래 열 이름이 입력 ￭ Remove missing values : 새 열이 생성될 때 결측치나 빈값의 셀은 삭제됨
2.4 데이터 생성(generating)
- 단순한 패턴으로 데이터 생성(generating), 랜덤 난수 생성(genersting)
1) 단순한 패턴으로 데이터 생성(Generating Patterned Data)
● 예 : 다음과 같은 이차원표 자료를 Statgraphics 데이터셋으로 입력 : 이 데이터는 Multifactor ANOVA 절차를 수행하여 분석
Desired Data Structure
• 절차1 : 데이터시트에서 Column#1 클릭 ⇒ Edit ⇒ Generate Data 선택 ⇒ Expression : REP(COUNT(1,4,1),3) 입력
• 절차2 : 데이터시트에서 Column#2 클릭 ⇒ Expression : RESHAPE(COUNT(1,4,1),3) 입력
Generating Blend Numbers
￭ COUNT(from, to, by) : 주어진 구간(from~to~)에 서 지정된 구간(by~)에 따라 값을 생성
- COUNT(1,4,1) : 1,2,3,4 생성
￭ REP(X, repetitions) : 변수 X의 값을 지정된 repetitions 횟수 만큼 반복해서 생성
- REP(COUNT(1,4,1),3) : 1,2,3,4를 3회 반복
￭ RESHAPE(X, size) : 변수 X의 값을 지정된 size 값까지 순환 반복
- RESHAPE(COUNT(1,3,1),12) : 1,2,3을 4회 반복
2) 랜덤 난수 생성(Generating Random Numbers)
- Statgraphics에서 각종 분포에서 난수를 생성할 수 있음• 절차1 : 데이터시트에서 Column#1 클릭 ⇒ Edit ⇒ Generate Data 선택 ⇒ Expression : RNORMAL(100,20,2) 입력
- exponential, gamma, lognormal, normal, uniform, 또는 Weibull 분포 등의 난수를 생성
￭ RNORMAL(n, mu, sigma) : n 개의 평균 mu, 표 준편차sigma를 갖는 정규분포의 난수 생성
• 절차2 : 데이터시트에서 Column#1 클릭
⇒ Describe ⇒ Distribution fitting ⇒ Probability Distribution 절차 선택
3. 자료의 정리
3.1 모집단의 대표값
- 표본추출의 목적은 모집단의 모집단의 분포를 추측하기 위함 - 모집단의 분포를 추측하는 것은 매우 복잡하고 어려운 일임
⇒ 모집단의 특성을 나타내는 대표값을 추측하여 모집단의 분포를 이해한다.
1) 위치의 측도
(1) 모평균(population mean) :
⋯
(2) 제 p 백분위수(p th percentile)
- 특성값을 작은 것부터 나열했을 때 p%의 특성값이 그 값보다 작거나 또한 (100-p)% 의 특성 값이 그 값보다 크거나 같게되는 값으로 정의함
(3) 사분위수
- 제1사분위수
Q
1 = 제25백분위수 - 제2사분위수Q
2 = 제50백분위수 - 제3사분위수Q
3 = 제75백분위수- 제2사분위수
Q
2 = 제50백분위수는 모중앙값(median), 모집단 분포의 중심위치를 나타내는 측도이며 특성값이 연속적인 무한모집단의 경우에는 밀도곡선의 전체넓이를 이등분함2) 산포의 측도
(1) 모분산() :
(2) 모표준편차() :
(3) 사분위수 범위(interquartile range) -
IQR
=Q
3-Q
1- 모집단 가운데 50% 특성값의 범위
(4) 상관관계의 측도 - 두 특성의 변화관계 - 모상관계수(correlation coefficient) - 성질
① ≦ ≦
② 모집단의 분포가 좌표평면에서 양의 방향이면 양의 값을, 음의 방향이면 음의 값을 가짐 ③ 기울기가 0이 아닌 한 직선 주위에 모집단의 분포가 집중될수록 상관계수의 값은 그 직선 의 방향에 따라 양 극단값에 가까워짐
3.2 표와 그림을 통한 자료의 요약
● 자료의 정리와 요약의 중요성 : 자료가 주어질 때, 특히 자료가 방대하여 한 눈에 쉽게 알아볼 수 없을 때에는 자료의 정리와 요약을 통해 자료에 내포된 내용을 쉽고 빠르게 파악할 수 있음
데이터의 형태
종류 이진형 범주형 연속형
그래프의 종류
도수분포표 원그래프 막대그래프
도수분포표 원그래프 막대그래프 (가로,세로)
도수분포표 히스토그램
점도표 줄기-잎그림
상자그림
1) 범주형 자료의 요약
- 범주형 자료에서는 각 범주가 나타나는 횟수를 요약함으로써 개요를 파악할 수 있다.
(1) 도수분포표 (Frequency Table)
- 도수(frequency): 각 범주에 속하는 관측값의 개수
- 상대도수(relative frequency): 도수를 자료의 전체개수로 나눈 비율
- 도수분포표(frequency table): 범주와 그 범주에 대응하는 도수와 상대도수를 나열하여 표로 작성한 것
- 어느 콩밭에서 60개의 콩깍지를 임의로 추출하여 각 깍지에서의 콩의 개수를 세어 얻어진 자 료를 이용하여 도수분포표를 만들었다.
4, 3, 4, 1, 5, 5, ……… 4
콩의 개수 도수 상대도수
1 2 0.033
2 4 0.067
3 21 0.350
4 18 0.300
5 10 0.167
6 5 0.083
합 60 1.000
(2) 원형그래프 (Pie Chart)
- 원에 각 범주의 상대도수에 비례하게 중심각을 나누어 그린 그림
- 각 범주 또는 몇 개의 범주가 전체에서 차지하는 비율을 한눈에 알 수 있음
- 범주간의 도수를 비교하거나 도수 크기의 차이를 파악하기 어려움 => 도수나 상대도수를 기입
(3) 막대그래프 (Bar Chart)
- 수평축에 서로 다른 특성값을 배열하고, 막대높이가 상대도수나 도수에 비례하도록 막대를 그 린 그래프
- 각 범주간의 도수를 비교하는데 용이함
1990년도 산업별 취업자 구성비의 변화
SOC등
55.3% 제조업
26.3%
광공업 0.8%
농립어업 17.6%
농립어업 제조업 광공업 SOC등
2) 이산형 자료의 요약
- 관측값의 종류가 적은 경우에는 범주형 자료를 요약하는 기법을 이용 - 관측값의 종류가 많을 경우에는 연속형 자료를 요약하는 기법을 사용
3) 연속형 자료의 요약
(1) 점그래프 : 모든 자료를 수직선 위에 점으로 표시한 것
예) 소음을 데시벨(decibel)단위로 측정
95 120 117 99 110 107 125 98 85 127 105 114 103 112 92 101 122 120
80 90 100 110 120 130
80 90 100 110 120 130
(2) (계급별) 도수분포표 (Frequency Table)
- 연속형 자료에서는 관측값의 종류가 많기 때문에 범주형 자료에서와 같이 작성할 수 없음
- 모든 관측값을 포함하는 범위를 몇 개의 구간으로 나누어 각 구간에 포함되는 관측값의 개수 를 세어 작성
- 나뉘어진 각 부분을 계급이라 하고, 각 계급에 포함되는 값의 범위를 계급구간, 각 계급구간 의 크기를 계급구간의 폭이라 함
- 예) 어느 집단에서 40명을 추출하여 키를 측정하여 도수분포표 작성
계급 도수 상대도수
137.5 ~ 145.5 145.5 ~ 153.5 153.5 ~ 161.5 161.5 ~ 169.5 169.5 ~ 177.5 177.5 ~ 185.5
2 2 5 13 10 8
0.050 0.050 0.125 0.325 0.250 0.200
합계 40 1.000
줄기-잎 그림(Stem-and-Leaf Plot) 변수명: 키
Stem Unit: 5 Leaf Unit: 1
1 15 2 6 15 88889
20 16 00000001223334 ( 8) 16 56777899 23 17 000011133344 11 17 6778889 4 18 0013
(3) 히스토그램 (Histogram)
: 자료 전체를 여러 개의 계급으로 나누어 도수분포표를 작성, 각 계급의 상대도수를 기둥의 넓 이로 나타내어 그린 그림. (직사각형의 높이=상대도수/계급의 폭)
- 전체 직사각형의 넓이의 합은 1이 된다.
- 정보의 손실이 많지만 자료의 시각적 이해에 도움이 된다.
- 계급의 폭(계급의 개수)에 따라 모양이 달라질 수 있다.
- 히스토그램 또한 자료가 밀집된 부분에 계급의 폭을 작게 하여 그릴 수 있다.
- 계급의 폭이 일정한 경우에는, 직사각형의 높이를 도수나 상대도수로 하기도 한다.
- 예) 어느 집단에서 40명을 추출하여 키 자료의 히스토그램
(4) 줄기-잎-그림 (Stem-and-leaf Plot) - 히스토그램을 90°회전시킨 모양.
- 히스토그램과 달리 자료값을 그대로 갖고 있으므로 정보의 손실이 거의 없다.
- 자료의 형태 파악이 쉽고, 이상점 자료에 대한 정보를 제공한다.
- 자료의 개수가 많은 경우에는 그리기가 어렵다.
- 표와 그림을 동시에 볼 수 있음
- 예) 어느 통계학개론 수강생 51명의 키의 자료로 작성된 줄기-잎 그림
(5) 상자그림 (Box Plot)
- 다섯수치요약그림(최소값, 최대값, 제1사분위수, 제3사분위수, 중앙값)
- 히스토그램, 줄기-잎 그림 등에서는 알 수 없는 수치들(사분위수, 최소값, 최대값)을 제공 - 줄기-잎-그림을 보완하여 도수분포표의 특성을 요약해 주는 역할을 하는 그림
- 줄기-잎-그림이 도수분포표의 중심부분을 잘 설명해 주는 반면에 상자그림은 특히 꼬리부분 의 설명에 중점을 두고 있음
- 상자그림 작성 방법
Step1.
을 구한다.Step2. 안울타리(Inner Fence), 바깥울타리(Outer Fence)를 정의
Step3. 인접값(adjacent value)을 찾아 상자의 양끝을 연결
인접값 : 안울타리 안쪽에 있는 값들 중에서 안울타리에서 가장 가까운값
Step4. 보통이상점(mild outlier) : 안울타리와 바깥울타리 사이에 있는자료, “0”으로 표시 Step5. 극단이상점(extreme outlier) : 바깥울타리 밖의 자료,“*”으로 표시
(6) 산점도
- 두 변수 사이의 관계를 평면좌표에 그림으로 나타내는 유용한 기법
- 산점도의 모양이 직선에 밀집해 있을수록 두 변수 사이에 강한 연관성이 있음을 뜻하고 - 산점도의 모양이 특별한 경향을 띄지 않으면서 퍼져있는 경우는 연관성이 약함을 뜻함
3.3 수치를 통한 연속형 자료의 요약
- 표나 그림은 자료값들의 흩어진 상태를 시각적으로 빠르고 쉽게 전달, 작성자에 따라 다를 수 있어 일관성과 객관성이 부족한 면이 있음
- 몇 개의 의미 있는 수치만으로 방대한 자료값들이 흩어진 상태를 대략적으로 파악할 수 있음
● 중심위치의 측도(measure of center) : 평균 (Mean), 중앙값 (Median), 최빈값(mode), 절사평균
● 산포(퍼진 정도)의 측도(measure of dispersion) : 분산 (Variance), 표준편차(Standard deviation), 사분위수 범위 (Interquartile Range), 범위(Range)
※ 표본자료이면서, 연속형 자료인 n 개의 관측값들
⋯
이 주어졌다고 하자.1) 중심위치의 측도 (measure of center)
(1) 평균 (mean)
- 자료값들의 무게중심으로서의 중심위치
- 표본평균 (sample mean) :
총 자료의 개수 모든 관측값들의 합
⋯
- 특징 :
① 중심위치의 측도로 가장 많이 사용된다.
② 모든 관측값들이 반영된다.
③ 극단적으로 크거나 작은 값에 민감하다.
(2) 중앙값 (median)
- 전체 관측값을 크기 순서로 배열했을 때, 가운데 위치하는 값.
- 극단적으로 크거나 작은 값에 영향을 받지 않음
- 이상치에 영향을 받는 평균의 단점을 보완해 주는 중심위치의 측도로 가운데 위치한 관측값이 외의 관측값들의 크기는 중요치 않음
- 자료에 이상치가 포함되어 있을 때, 또는 한쪽으로 심하게 치우친 분포의 경우에는 중앙값이 평균보다 중심위치를 나타내는 수치로 더 적합함
※ 표본평균, 중앙값의 비교
표본평균은 가장 많이 쓰이는 중심위치의 측도이지만, 이상치에 민감하게 반응한다. 반면, 중앙값은 이상치에는 강하나 자료 전체를 이용하지 않는다. 따라서, 전체의 경향을 볼 때 극단적인 관측값의 영 향을 배제하고 싶으면 중앙값이 바람직하고, 전체 관측값을 모두 포함하고 싶으면 평균을 사용하는 것이 바람직하다.
(3) 최빈값(mode) : 자료들 중에서 가장 출현 빈도가 많은 자료값을 최빈값이라고 함.
(4) 절사평균
-
x
p : 100p% 절사평균- 표본을 순서대로 나열하여 양쪽에서 100p%씩 버린 후에, 가운데 100(1-2p)% 특성값의 평균을 구한다.
- 이상점의 영향을 적게 받는다.
-
x
0 .1 : 양 끝에서 10%씩 절사시키고, 나머지의 평균(5) 제 100× p 백분위수 (the 100× p-th Percentile) (0<p<1) : 자료값을 크기 순으로 나열했을 때, 그 값 이하인 자료값들이 100*p % 이상이고, 그 값 이상인 자료값들이 100*(1-p) % 이상 인 값
(6) 사분위수 (quartile)
-
: 제 25 백분위수, 제 1 사분위수 (first quartile)-
: 제 50 백분위수, 제 2 사분위수 (second quartile) (= 중앙값) -
: 제 75 백분위수, 제 3 사분위수 (third quartile)2) 산포의 측도
- 자료값들이 흩어진 상태를 요약할 때, 중심위치의 측도만으로는 부족, 산포의 측도도 필요함 ※ 산포 : 중심위치로부터 자료값들이 퍼진 정도
(1) 분산과 표준편차 (variance and standard deviation) ① 편차(deviation) : 각 관측값과 평균의 차이
, 으로 표현하며, 그 합은 항상 0이다.
② 표본분산 (sample variance) :
자료의 개수 편차의 제곱들의 합
③ 표본 표준편차 :
(자료의 단위와 일치함) ④ 특징- 퍼진 정도를 나타내는 가장 일반적인 측도
- 표본평균과 같이 모든 자료를 사용하므로, 모든 자료를 반영하나, 이상치에 민감함 - 분산이 크면 자료가 평균값을 중심으로 광범위하게 분포되어 있다는 것을 의미함 - 분산이 작으면 평균값을 중심으로 조밀하게 분포되어 있다는 것을 의미함
(2) 범위(Range) :
max
min - 계산은 편리하나 이상치에 민감함(3) 사분위수범위 :
= 제 3 사분위수 - 제 1 사분위수 =
- 중간 50%의 자료값들의 범위이다.
- 이상치에 영향을 받지 않는다.
- 이론적 전개의 어려움 때문에, 널리 쓰이지 않는다.
※ 표준편차, 사분위수범위의 비교
표준편차 - 극단값에 영향을 많이 받는다.
사분위수범위 - 극단값에 영향을 적게 받는다.
(4) 변동계수 :
- 두 조의 자료의 단위가 다르거나, 단위는 같지만 평균의 차이가 클때 두 조의 산포를 비교 할 때 사용.
- 0에 가까울수록 평균에 밀접, 즉 산포가 적다.
(5) 표본상관계수
-
- ≦ ≦
- 두 변수간의 선형관계를 나타내는 측도
- 예 : 여러 가지 경우의 상관관계
(a) (b) (c)
(f) (e)
(d)
(a) (b) (c)
(f) (e)
(d)
(a) (b) (c),(d) (e) (f)
3) 분포의 형태에 관한 측도
위에서 배운 내용들은 모두 자료의 분포(자료값들이 흩어진 상태)를 파악하는 방법들임. 자료의 분 포는 크게 몇 가지 형태로 나타난다. : 종모양, 이봉형, 균일형, 오른쪽으로 편중 (skewed to the left), 왼쪽으로 편중 (skewed to the right)
(1) 왜도(skewness) : 자료의 비대칭성에 대한 측도,
skew
- 표본평균을 중심으로 자료들이 어떻게 산포되어 있는지를 나타내는 통계량 - 분포의 비대칭정도를 나타냄
- 0 : 대칭인 분포의 경우(정규분포),
양수(+) : 꼬리가 오른쪽으로 긴 경우, 음수(-) : 꼬리가 왼쪽으로 긴 경우
(2) 첨도(krutosis) : 자료의 꼬리부분의 두터움에 대한 측도,
kurt
- 정규분포와 비교하여 분포의 뾰족한 정도를 나타내는 값
- 0 : 정규분포의 첨도, 양수(+) : 정규분포보다 더 뾰족함, 음수(-) : 정규분포보다 덜 뾰족함
3.4 Statgaphics에서 일표본 분석(Analyzing a Single Sample)
1) 일표본 분석 절차 수행
● 예. bodytemp.sgd 데이터를 이용하여 일표본 분석 절차 수행
One-Variable Analysis 절차는 일표본 자료에 대하여 요약통계량, 그래프, 가설검정 등을 수행
절차 : MENU에서
1. File – Open – Open Data Source
2. Open Data File 대화상자에서 bodytemp.sgd 선택
Datasheet with Body Temperature Data
3. Describe – Numeric Data – One-Variable Analysis 선택
4. 분석변수 입력
5. Table and Graphs Dialog Box에서 표와 그래프를 지정
6. One-Variable Analysis 결과
① 분석결과 창은 4개로 나뉘어 있는 데 왼쪽 두 개는 표가 출력이 되고 오른쪽 두 개는 그래프가 출력됨
② 하나의 틀(pane)을 두 번 클릭하 면, 화면이 확대됨
2) 요약통계량(Summary Statistics)
Summary Statistics Pane을 더블클릭하여 확대화한 후 Pane options을 선택하여 Summary Statistics Options에서 요약통계량의 종류를 추가할 수 있음
(1) 결과 (Summary Statistics for Temperature) ①
② 130명의 평균체온 :
③ 130명의 체온의 표준편차 :
- 정규분포에서 모든 값의 대략 68%는 모집단 평균의 1 표준편차내에, 대략 95%는 2 표준편 차 내에, 대략 99.73%는 3 표준편차 내에 있음
④ 130명의 체온의 중앙값(Median, 50th percentile) :
⑤ 130명의 평균체온의 변동계수 :
×
⑥ Minimum = 96.3, Maximum=100.8 , Range = Maximum-Minimum = 4.5
⑦ Lower quartile(25th percentile,
) : 97.8⑧ Upper quartile(75th percentile,
) : 98.7⑨ Interquartile Range(
) =
= 0.9⑩ 정규분포 가정을 검토하기 위한 통계량(분포의 형태 요약) - 표준화 왜도(Stand. Skewness),
표준화 첨도(Stand.kurtosis) - 정규분포 : -2~+2 사이의 값
- 체온 자료의 경우에 정규분포를 가정해도 됨
(2) 존 튜키의 다섯숫자요약 ① Minimum = 96.3
② Lower quartile(25th percentile,
) = 97.8 ③ Median(50th percentile) = ④ Upper quartile(75th percentile,
) = 98.7 ⑤ Maximum=100.8(3) Note : Pane options을 선택하여 요약통계량의 종류를 추가하는 것은 단지 현재 분석에서만 유효함. 차후 분석을 위해서 기본(default) 통계량을 바꾸려면 Edit menu ⇒ Preferences 선 택. Preferences 대화상자의 Stats 탭은 One-Variable Analysis 바를 실행할 때 기본으로 제 공되는 통계량 변경할 수 있음
3) 상자수염도(Box and Whisker Plot)
- 상자수염도(Box and Whisker Plot)는 존 튜키에 의해 개발된 그래프로 요약된 자료의 분포를 시각적으로 보는데 유용한 그래프
(1) 절차
① 제1사분위수(Lower quartile, 25th percentile,
)와 제3사분위수(Upper quartile, 75th percentile,
)을 그려 상자를 만든다.② 표본의 중앙값(median, 50th percentile,
)에서 수직선을 그린다. ⇒ 자료가 좌우대칭 분포 를 따르면 상자의 중앙에 위치③ 표본 평균의 위치에 +표시 ⇒ 중앙값과 평균의 차이가 크면, 이상점이 존재하거나 한쪽으로 치우친 분포임을 의미함, 한쪽으로 치우친 분포의 경우에는 평균은 치우친 쪽에 위치
* 이상점 : 다른 자료로부터 많이 벗어난 값, 다른 자료들과 같은 모집단을 따르지 않은 자료 ④ 수염은 상자로부터 인접값(안울타리쪽에 가장 가까운 값)까지 선을 긋는다.
- 안울타리(Inner Fence) :
- 바깥울타리(Outer Fence)는 다음과 같이 정의 :
⑤ 보통이상점(mild outlier, outside points)
- 안울타리와 바깥울타리 사이에 있는 자료로 Statgraphics에서는 “▫”기호로 표시하고 “+”
표시를 넣지 않음
- 자료가 정규분포를 따르더라도 관측치의 표본에서 1~2개의 보통이상점이 나올 확률 은 대략 50% 이고 정확한 이상점이 존재한다는 것은 아니다. 이상점은 단순히 추가로 조사 할 필요가 있음
⑥ 극단이상점(extreme outlier, Far outside points)
- 바깥울타리 밖의 자료로 Statgraphics에서는 “▫”기호로 표시하고 그 위에 “+”를 넣는다.
- 자료가 정규분포를 따르면, 한 점이 극단이상점일 확률은 대략 (표본크기가 인 경우) 표본 크기가 수천개가 아니면, 극단이상점은 정확한 이상점(outlier)이거나 정규분포가 아님
Box-and-Whisker Plot for Body Temperatures
(2) 결과① 상당히 좌우 대칭
② 수염의 길이는 대략 비슷함
③ 표본평균과 중앙값이 거의 비슷하고 상자의 중앙에 가까움
④ 보통이상점 : 3개, 극단이상점 : 없음.
⑤ 마우스로 이상점을 클릭하면 15행의 값으로 100.8 임을 알 수 있음
Box-and-Whisker Plot with a 95% Median Notch
(3) Pane options을 선택하면 중앙값에
notch 추가 가능 ⇒ 추가된 notch는 모집단의 중앙값을 근사신뢰구간으로 나타냄, 중앙값의 추 정값은 98.3이며 중앙값의 95% 신뢰구간은 (98.1567, 98.4433)으로 오차한계는 0.15정도임.
4) 줄기-잎 그림(Stem-and-Leaf Plot)
(1) 왼쪽의 값들은 누적도수를 나타내며 ( )가 있는 곳에 중앙값(median)이 위치함
(2) 결과
① 9개의 계급(줄기)로 나누어짐. 소수점이하 값(잎)을 0~4, 5~9로 나눔.
② 개별적인 값들이 나타나며 표와 그래프의 역할을 함
③ 다른 값들로부터 떨어져 있는 이상점 (100.8)을 확인할 수 있음
5) 히스토그램(Histogram)
One-Variable Analysis 절차로 돌아가서 analysis 툴바에서 tables and graphs를 누르고 Frequency Histogram 선택
(1) 히스토그램의 높이 = 각 체온의 구간에 속하는 관측치의 수
Frequency Histogram with Default Classes
(2) 히스토그램의 계급(class)의 수 조정 방법
• 절차 1 : Edit menu ⇒ Preferences 선택.
Preferences 대화상자의 EDA (ExploratoryData Analysis)탭 선택
￭ Sturges' rule : 계급의 수 ≥ log
￭ log : Sturges' rule보다 많은 바의 수 제공
Pane Options Dialog Box for Frequency Histogram
• 절차2 : 히스토그램을 최대화하여
Pane options 선택하여 계급의 수 지정
(3) 결과
Frequency Histogram with Redefined Classes
① 히스토그램에서 계급의 폭은 0.2도로 96도~101도 사이에 25 구간을 보여줌
② 분포의 전반적인 형태는 종 모양을 나타내며 정규 분포와 유사함
(4) 히스토그램의 데이터를 테이블 형태로 표현 : analysis 툴바에서 tables and graphs를 누 르고 Frequency Tabulation 선택
Frequency Tabulation Table
- 오른쪽 끝열은 도수의 누적확률을 나타내 며 모든 데이터의 89.92%가 99.0도 이하 임을 알려줌
6) 사분위도(Quantile Plot)
- 누적확률을 표현하는 그래프One-Variable Analysis 절차로 돌아가서 analysis 툴바에서 tables and graphs를 누르고 Quantile Plot 선택
- 작성순서
① 작은값부터 큰값으로 오름차순으로 정렬 ② 점(번째 데이터 값,
)을 그래프에 표시
③ 특정 관측 체온 이하의 비율을 추정
④ 앞의 frequancy table 의 가장 우측 열과 마찬가지로 곡선은 누적비율을 표현
⑤ 십자선 : 마우스 우측버튼을 눌러 팝업메뉴에 서 Locate 선택하고 마우스로 십자선을 드래 그하며 이용. 십자선 근방의 작은수의 위치 표시
⑥ 위 그림에서는 십자선이 50번째 백분위수(중 앙값의 위치를 표시함. 수직축이 0.5인 지점 의 체온
7) 백분위수(Percentiles)
analysis 툴바에서 tables and graphs를 누르고 Percentiles 선택
Percentiles Table
- 번째 백분위수 : 모집단의 % 아래의 온도 를 추정
- 표본이 정규분포를 따른다고 가정하면
Pane options을 사용하여 95% 신뢰한계 를 구함
- 90번째 백분위수는 모집단에서 10%의 사람이 초과하는 체온의 추정치는 99.1도이다
90번째 백분위수의 95% 신뢰구간 : (99.0308, 99.3753)
4. 통계적 추론
미래에 나타날 불확실한 현상이니 미지의 값에 대해서 정확하게 추측해야 하는 일은 일상생활에서 흔 히 나타난다. 이러한 것들은 한 모집단의 특성치로서, 모집단의 평균, 분산, 표준편차, 비율등으로 나 타낼 수 있다.
모집단에서 표본을 추출하고, 통계적 이론에 입각하여 추출된 표본을 바탕으로 결론을 내리게 되는데, 이런 추측의 과정을 통계적 추론이라한다.
통계적 추론
추정(점추정,구간추정)
가설 검정 통계적 추론
추정(점추정,구간추정)
가설 검정
4.1 추정
- 미지의 모수에 대한 추측이 목적
- 추정(estimation) : 모수에 대한 추측값을 제공하고 오차한계를 제시하는 과정
1) 용어정리
(1) 모수(population parameter) - 모집단의 특성을 나타내는 상수
- 모집단은 그 모수들에 의해 특징지어 지므로, 통계적 추론은 모수에 관한 추론인 경우가 대부 분임
- 예) 모평균 , 모분산 , 모표준편차 , 모비율 , 상관계수 등
(2) 모수의 추정량(estimator)
- 표본
…
을 이용하여 미지의 모집단의 특성을 나타내는 모수를 추정하는데 사용되는 통계량- 예) 대표적인 모수와 추정량
• 모평균 의 추정량 : 표본평균
(
) • 모분산 의 추정량 : 표본분산
(
) • 모표준편차 의 추정량 : 표본표준편차
(
) • 모비율 의 추정량 : 표본비율 ( )(3) 추정값(estimate) : 추정량의 관측값
※ 추정량과 추정값
모평균 를 추정하기 위해 표본평균
를 사용. 추정에 사용되는 통계량을 추정량(estimator), 추정량의 관측값을 추정값(estimate)전체의 약 95%는 를 포 함 하 리 라 기대
⋮
2) 추정
(1) 점추정(point estimation) : 한 개의 모수를 한 개의 값으로 추정
※ 점추정에서는 오차의 개념이 나타나 있지 않음 : 구간추정은 이러한 점추정의 단점을 보완하 여 점추정에 오차의 개념을 포함한 추정방법
(2) 구간추정(interval estimation) : 모수가 포함되리라 기대되는 구간으로 모수를 추정
(3) 표준오차 : 추정량의 흩어짐의 정도를 나타내는 측도, 추정량의 표준편차를 사용
3) 모평균(
)에 대한 추정(모표준편차
를 알 때)
(1) 모평균 의 추정량과 표준오차 ① 모평균 의 추정량 :
- 성질 :
,
② 의 표준오차 :
의 표준오차의 추정량 :
(2) 모표준편차 를 알때 모평균 의 구간추정 ① 에 대한 % 신뢰구간 :
② % 오차한계(error margin) :
⋅
⋅
- 신뢰구간의 의미(그림)
의 95% 신뢰구간 ±⋅
를 100번 관측
한 결과(100번의 표본으로부터 계산한 결과) 95번은 를 포함하리라 기대
[그림] 의 95% 신뢰구간의 의미
(3) 모평균의 추정에서 표본크기의 결정 (모표준편차 를 알 때)
① 표본크기를 크게 하면 => 표본오차가 감소하여 정밀도가 높아지지만 증가할수록 비용이 증가 하는 문제가 발생
② 모표준편차 를 알 때 오차한계를 이하로 하기 위한 표본의 크기는 ⋅
≦ ≧
⋅
인 최소의 정수로 정해진다.③ 예) =30일 때, 95% 오차한계를 5이하로 만들기 위한 표본크기는?
(풀이) ≧
⋅
⋅
, ④ (를 알 때) 대표적인 오차한계에 대한 표본크기 90% 오차한계에 대한 표본크기 :
95% 오차한계에 대한 표본크기 :
99% 오차한계에 대한 표본크기 :
⑤ 표본조사 설계 => 표본크기 결정
- 오차한계 최소화(표본크기 증가 -> 비용증가)
※ 참고
1. 비율추정에서의 표본크기 신뢰구간
(오차의 한계,%)
표본의 크기
95% 신뢰수준 99% 신뢰수준
±1
±2
±3
±4
±5
±6
±7
±8
±9
±10
9,604 2,401 1,068 601 385 267 196 151 119 97
16,590 4,148 1,844 1,037 664 461 339 260 205 166
2. 크기가 주어진 소규모 모집단에 대한 최소 표본의 크기 모집단의
크기(
)표본의 크기
95% 신뢰수준 99% 신뢰수준
±3% ±5% ±10% ±3% ±5% ±10%
500 1,000 1,500 2,000 3,000 5,000 10,000 20,000 50,000 100,000
250a 500a 624 696 788 880 965 1,014 1,045 1,058
218 278 306 323 341 357 370 377 382 383
81 88 91 92 94 95 96 96 96 96
250a 500a 750a 959 1,142 1,347 1,556 1,687 1,777 1,809
250a 399 460 498 544 586 622 642 655 659
125 143 150 154 158 161 164 165 166 166
4.2 가설검정
예) P씨는 양주를 좋아하며, A회사, B회사의 양주를 구별할 수 있다고 주장한다. P씨의 주장이 참인 지 거짓인지를 알아보기 위해서는 [거짓말을 하고 있다] 전제하에 [두 종류의 위스키를 구별할 수 없다]라는 가설을 세운 후 이 가설이 사실인지 아닌지를 실험으로 확인. 이러한 가설을 귀무가설이 라 하며 다음과 같이 두 종류의 가설을 설정할 수 있다.
- 귀무가설(
) : 두 종류의 위스키를 구별할 수 없다.- 대립가설(
) : 두 종류의 위스키를 구별할 수 있다.※ 만약, [두 종류의 위스키를 구별할 수 있다]을 귀무가설을 한다면 어떻게 될까 ?
이것은 P씨가 100% 구별할 수 있는 가능성으로부터 90%, 80%, 70%,... 등의 여러 가지 가능성이 포함되어 있음을 의미한다. 무한대의 가능성이 내포되어 있으므로 이 모든 것에 대해서 검정을 해야 된다는 것을 의미하는데 현실적으로 불가능하다.
1) 실험
A회사 B회사 양주가 들어 있는 두 잔의 위스키 중, 어느 쪽이 A회사의 양주인지 구별하는 실험을 P 씨에게 시도.
어떤 결과가 나왔을 때, 귀무가설을 버리는 것이 당연한 것일까 ? 실험에서 P씨가 어느 쪽이 A회사의 양주인지를 우연히 맞출 확률 : 1/2
- 한 번의 실험 : 1/2(맞힌 확률)= 0.5
- 두 번의 실험 : 1/2× 1/2=1/4(두번 맞힌 확률) = 0.25
- 세 번의 실험 : 1/2× 1/2× 1/2=1/8(세 번 맞힌 확률) = 0.125 ...
처음엔 요행으로 A회사 양주와 B회사 양주를 구별할 수 있으나 실험의 횟수를 늘리면 이런 요행수의 가능성은 작아진다.
실험을 유한번 시도할 때 요행수의 확률이 작아질 것이나 결코 0상태로 갈 수는 없다.
통계분석의 경험에 의하면, 그 우연히 맞출 확률이 보통 [5% 이하]가 되면 우연이 아닌 것으로 판단 (즉, 요행이 아닌 것으로 판단). 5회의 실험에서 우연히 모두 알아맞출 확률 1/32(3.125%)은 5%보다 작다. 따라서 이러한 경우가 일어나는게 쉽지 않기 때문에 P씨는 A회사 양주와 B회사 양주를 구별할 수 있다고 그 능력을 인정한다.
2) 용어정리
(1) 통계적 가설(statistical hypothesis)또는 가설(hypothesis)
① 대립가설(alternative hypothesis, ) : 새로운 사실을 주장, 입증, 확인, 제시하려는 경 우, 자료로부터 강력한 증거에 의하여 입증하고자 하는 가설.
