쿼드로터의 기준 궤적 추종 제어
박봉석1＊
4
Reference Trajectory Tracking Control of Quadrotor
Bong-Seok Park1*
요 약
본 논문은 쿼드로터의 기준 궤적 추종 문제를 다룬다. 쿼드로터 모델에서 제어 입력은 삼각함수로 이루어진 비선형 함수들과 결합되어 있다. 이러한 비선형 함수들로 인하여 제어기 설계에 어려움이 따르며, 기존의 논문들은 이러한 문제를 해결하기 위해 모델 선형화 과정을 거친다. 그러나 모델을 선형화할 경우 동작 구간이 좁아지기 때문에 쿼드로터의 스피드 및 오일러 각도에 대해 제약 조건이 필요하다. 본 논문에서는 새로운 상태 변환 방법을 제안한다. 상태 변환을 이용하면 제어 입력에 결 합된 삼각함수들이 제거되기 때문에 모델을 선형화 하지 않고 제어기를 설계할 수 있게 된다. 상태 변환을 위해 사용되는 새로운 변수들은 가상 제어기 역할을 하며, 이러한 가상 제어기들을 이용하여 실제 제어 입력을 리아프노프 안정도 이론에 기반을 두어 설계하게 된다. 안정도 분석 결과 제안된 제어기는 모든 오차들을 0으로 수렴하게 만들며, 이는 쿼드로터가 기준 궤적을 정확하게 추종할 수 있음을 나타낸다. 마지막으로 모의실험을 통해 제안된 제어기의 성능을 검증한다.
Abstract
This paper deals with the reference trajectory tracking problem of the quadrotor. In the quadrotor model, the control input is coupled with nonlinear functions consisting of trigonometric functions. Because of these nonlinear functions, it is difficult to design the controller. Thus, existing papers use the linearized model to solve this problem. However, the linearized model has a narrow operating range and it requires constraints on the speed and Euler angles of the quadrotor. This paper proposes a new state transformation method.
Since the proposed state transformations remove trigonometric functions from the control input, we can design the controller without using the linearized model. The new variables used for state transformations act as virtual controllers, and the actual control input is designed based on Lyapunov stability theory using these virtual controllers. From Lyapunov stability theory, it is proved that all tracking errors converge to zero. This implies that the quadrotor tracks the reference trajectory well. Finally, the performance of the proposed controller is verified through simulation.
Keywords : quadrotor, state transformation, tracking, asymptotic stability, Lyapunov stability theory.
1공주대학교 전기전자제어공학부 (충남 천안시 서북구 천안대로 1223-24) 교수
*Corresponding Author : bspark@kongju.ac.kr 접수일자 : 2018. 11. 15.
1차 심사 : 2018. 12. 11.
2차 심사 : 2018. 12. 18.
1. 서 론
쿼드로터는 이착륙의 용이성과 응용 범위가 다양하다는 점에서 최근 널리 사용되고 있다.
현재 상용화되어 있는 대부분의 쿼드로터는 원 격 조정에 기반하고 있으므로 수송, 탐사, 정찰 등 다양한 임무를 효과적으로 수행하기 위해서 는 자율 주행을 위한 제어기의 설계가 필요하 다. 이와 관련하여 지금까지 제안된 다양한 제 어 알고리즘들은 다음과 같다. 비전(vision) 센 서를 이용하여 실내에서 운용 가능한 제어 알 고리즘이 [1]-[3]에서 제안되었고 dynamic programming 기법을 이용한 방법이 [4]에서 제안되었다. [5]에서는 자율 추종과 점 안정화 를 위한 방안이 제시되었고 [6]-[7]에서는 쿼 드로터의 군집 제어 방법이 제안되었다. 불확실 성에 대한 강인성을 위해 슬라이딩 모드 관측 기(sliding mode observer) [8], 기계 학습 (machine learning) [9], 적응 제어[10]을 이용한 방법들도 제안되었다. 그러나 이러한 논 문들 대부분 쿼드로터 모델을 선형화한 후 제 어기를 설계하였다. 이는 쿼드로터 모델의 제어 입력에 비선형 성분이 결합되어 있으며, 이러한 비선형 성분들은 쿼드로터의 상태 변수와 관련 이 있기 때문에 제어기 설계를 어렵게 만들기 때문이다. 그러나 비선형 모델을 선형화 할 경 우 동작 구간이 좁아지는 단점이 있기 때문에 쿼드로터의 움직임에 대해 제약이 발생하며, 만 일 이러한 제약 조건을 벗어나서 쿼드로터를 운용하게 된다면 모델 오차로 인해 제어 성능 이 떨어지게 된다. 따라서 선형화 작업 없이 비 선형 모델을 이용하여 제어기를 설계할 필요가 있다.
본 논문에서는 현재 제안된 방법들이 가지고 있는 문제점을 해결하기 위해 쿼드로터 모델에 대한 선형화 작업 없이 비선형 모델을 직접적 으로 이용하여 제어기를 설계한다. 이를 위해 새로운 상태 변환을 제안하며, 상태 변환으로 인해 제어 입력에 결합되어 있는 삼각 함수 요 소들을 제거할 수 있다. 리아프노프 안정도 이 론(Lyapunov stability theory)에 기반을 두 어 제어기를 설계하며, 설계된 제어기로 인해
모든 오차들이 0으로 수렴함을 증명한다. 마지 막으로 모의실험을 통해 제안한 제어 알고리즘 의 성능을 검증한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서 쿼 드로터 모델 및 문제 정의를 하며, 3장에서 제 어기 설계 및 안정도 분석을 한다. 4장은 모의 실험 결과를 보여주며, 5장에서는 본 논문의 결론을 제시한다.
2. 시스템 모델 및 문제 정의 쿼드로터의 모델은 다음과 같다 [11].
coscosm u m
D
z
sinsin cossincos
sinsincos cossin
(1)
, , 은 각각 쿼드로터의 무게 중심 위치, 오일러 각도(Euler angles)와 질 량을 나타낸다. , 는 항력 계수들을 나타내고 는 중력 가속도이다. 는 제어 입력 을 나타낸다. 식(1)에서 제어 입력에 쿼드로터 의 상태 변수와 연관된 비선형 계수들이 존재 한다. 이러한 계수들이 시간에 따라 변화할 경 우 제어기를 설계하는데 어려움이 따른다. 따라 서 참고문헌 [1]에서는 비선형 계수를 구성하 는 상태 변수, 즉 쿼드로터의 오일러 각도들이 크게 변하지 않는다는 가정 하에 선형화 기법 을 적용하여 제어기를 설계하였다. 그러나 실제 쿼드로터의 경우 오일러 각도들은 제약 조건 없이 자유롭게 변할 수 있기 때문에 선형화 기 법 없이 제어기를 설계할 필요가 있다. 본 논문 에서는 이 문제를 해결하기 위해 상태 변환을 이용하여 해결할 것이다.
제어의 목적은 기준 궤적 을 추종할 수 있는 비선형 제어기를 설계하는 것이다.
가정 1 : 쿼드로터의 질량, 항력 계수들은 양수이며, 알 수 있는 값이다.
가정 2 : 기준 궤적은 미분 가능하다.
가정 3 : 제어 입력 는 다음과 같은 조건을 만족한다.
≥ min
여기서 min 은 상수이다. 은 쿼드로터의 추력이 없는 것을 의미한다. 본 논문에서는 쿼 드로터의 추종 제어기 설계에 목적이 있기 때 문에 항상 는 양의 값을 가져야 한다. 따라서 가정 3은 타당한 가정이다.
3. 제어기 설계
제어 입력과 결합되어 있는 비선형 계수들에 대한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 상태 변환을 이용한다.
arctan arctan (2)
여기서 와 는 위치 추종 제어를 하는데 있어서 부족한 입력을 보상하기 위한 가상 제 어 입력들을 나타낸다. 식(2)로부터 다음과 같 은 식을 얻을 수 있다.
cos
sin
cos
sin
(3)
식(3)을 식(1)에 대입하면 다음과 같다.
sin
cos
sin
cos
(4) 제어기 설계를 위해 위치 오차를 다음과 같
이 정의하자.
cos sinsin cos
(5)여기서
cos sinsin cos
(6)
식(4)를 이용하여 식(5)를 미분하면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.
(7)
여기서 , , 는 다음과 같이 정의된다.
cos
sin
sin
cos
위치 오차들의 수렴성을 보장하기 위해 제어 입력 , 가상 제어 입력 , 를 다음과 같이 설계한다.
(8)
여기서 , , 는 양수인 제어 이득이다.
가정 3으로부터 는 0보다 커야하며, 이는 식(8)에서 제안한 제어기가 특이점 문제 (singularity problem)를 갖지 않는다는 것을 의미한다.
정리 1 : 쿼드로터 모델 식(1)을 고려하자.
식(8)과 같은 제어 입력이 쿼드로터 모델에 적 용된다면 모든 오차들은 0으로 수렴한다. 따라 서 추종 제어의 목적을 달성할 수 있다.
증명 : 안정도를 증명하기 위해 다음과 같은 리아프노프(Lyapunov) 함수를 고려하자.
(9)
식 (7)을 이용하여 식(9)를 미분하면 다음과 같다.
(10) 식 (8)을 식(10)에 대입하면 다음과 같다.
(11)
식 (11)로부터 모든 오차 , , 는 바운 드(bound)됨을 알 수 있다. 이것은 식 (7)과 (8)로부터 식(11)의 미분값 또한 바운드됨을 의미한다. 따라서 Barbalat의 보조 정리 [12]
에 의거하여 모든 오차들이 0으로 수렴함을 보 일 수 있다. 식 (5)에서 이 역행렬이 존재 하기 때문에 모든 오차들이 0으로 수렴한다면
도 0으로 수렴한다. 식 (6)에서 , , 의 정의에 의해 의 수렴성은 추종 오차 , ,
의 수렴성을 보장한다. 따라서 식 (8)에서 설 계된 제어기는 쿼드로터의 기준 궤적을 정확히 추종할 수 있음을 증명할 수 있다.
4. 모의실험
이 장에서는 제안된 제어기의 성능을 검증하기 위해 모의실험을 실시한다. 쿼드로터 모델의 매 개변수는 , , 로 설정하며, 기준 궤적은 다음과 같은 함수에 의해 생성된다.
cos,
sin ,
sin .
제어 이득은 로 설정하였다.
그림 1. 수평축 움직임.
Fig. 1. Horizontal axis movement.
그림 2. 수직축 움직임.
Fig. 2. Vertical axis movement.
그림 3. 추종 오차.
Fig. 3. Tracking errors.
그림 4. 제어 입력.
Fig. 4. Control input.
그림 1. 과 2. 는 각각 쿼드로터의 수평축과 수직축에서의 움직임을 나타낸다. 그림 3. 은 추종 오차를 나타낸다. 이 그림들로부터 볼 수 있듯이 추종 오차는 모두 0으로 수렴하고 쿼드 로터가 기준 궤적을 정확하게 추종하고 있다.
그림 4. 는 제어 입력 를 보여준다. 따라서 이론적으로 증명한 바와 같이 모든 오차들이 0 으로 수렴하고 기준 궤적을 정확히 수렴하기 때문에 본 논문에서 제안된 제어기의 성능이 우수함을 모의실험을 통해 알 수 있다.
5. 결 론
본 논문은 쿼드로터의 기준 궤적 추종을 위 한 제어기를 제안하였다. 새로운 상태 변환을 이용함으로써 제어 입력에 결합되어 있는 비선
형성에 대한 선형화 과정 없이 제어기를 설계 할 수 있다. 이는 기존 논문들에서 제어기 설계 를 위해 요구하는 쿼드로터의 스피드 및 오일 러 각도에 대한 제한 조건을 완화하는 장점을 갖는다. 리아프노프 안정도 이론에 의해 설계된 제어기는 기준 궤적을 정확하게 추종할 수 있 음을 보였고 모의실험을 통해 제안된 제어기의 성능을 검증하였다. 제안된 제어기는 쿼드로터 의 오일러 각도에 대한 모델을 고려하지 않았 기 때문에 추후 과제로는 기준 궤적 추종을 위 해 도출된 쿼드로터의 오일러 각도를 제어할 수 있는 제어기를 설계하는 것이다.
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