12주차
환의 정의 와 기본성질
정의. 집합 R에 덧셈과 곱셈으로 불리는 두 개의 이항연산 +와 ·이 다음 공리를 만족하면 ( R, +,·)을 환(ring)이라고 부른다.
(1) (R, +) 는 가환군(abelian group)이다.
(2) (R, ·)는 연산에대해 닫여있고 결합법칙을 만족한다.
(3) ∀ ∈ a・(b+c) = (a·b) + (a·c)왼쪽분배법칙(left distributive law) 과 (a+b)·c = (a·c)+(b·c)오른쪽분배법칙(right distributive law) 이 성립한다.
예제. (ℤ, +, ·), (ℚ, +,·), (ℝ, +,·), (ℂ, +,·)은 환이다.
note) (1)여기서 환의 곱셈 기호는 생략하고, a·b를 ab로 표현한다.
(2) 괄호가 없이 덧셈과 곱셈이 이어 나오는 경우에는, 관례대로 곱셈을 먼저 계산한다.
(3) 왼쪽 분배법칙은 괄호 없이 다음과 같이 쓸 수 있다.
a(b+c) = ab + ac
예제. 수의 집합들 ℤ, ℚ, ℝ, ℂ가 모두 환이므로 ℚ, ℝ, ℂ가 모두 환이 된다.
예제. 집합 → 함수에서 , ·이 가환군임을 앞에서 배웠다.
이때, 두 함수의 덧셈을 보통의 함수의 덧셈
으로 정의하고 곱셈을 다음과 같이 정의한다.
이제 F가 환이 되는 것은 쉽게 알 수 있다.
note) 함수의 합성은 ∘로 표현한다.
예제. (nr)(ns)=n(nrs)이므로 nℤ는 곱셈에 의하여도 닫혀 있다. (nℤ, +, ·)는 환이다.
이 환의 모든 공리를 만족한다는 것을 쉽게 체크 할 수 있다..
예제. n개의 환 , , ⋯, 이 주어지면 ∊인 n개의 순서쌍 (, ,⋯, )들의 집 합 × , × ⋯× 을 생각하자..
(, , ⋯, )+(, , ⋯, )=( + , + , ⋯,+) (, , ⋯, )(, , ⋯, )=(, , ⋯,)
그러면 × , × ⋯× 도 환이 된다. 군에서와 같이 의 직접곱(direct product)이다.
정리. 환 R의 덧셈항등원을 0이라고 하고 a, b∊R이면 다음이 성립한다.
(1) 0a=a0=0
(2) a(-b)=(-a)b=-(ab) (3) (-a)(-b)=ab
증명) (1) a0+a0=a(0+0)=a0=0+a0, 0a+0a=(0+0)a=0a=0+0a (2) a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0, (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0 (3) (-a)(-b)=-(a(-b)), -(a(-b))=-(-(ab))
ab+(-ab)=0이고 군에서 역원은 유일하므로 -(-ab))=ab이다.
따라서(-a)(-b)=ab 이다.
문제. 단위원 1을 가지는 환 에서 영의 약수는 가역원(단원) 일 수 없음을 보이시오.
환 준동형사상과 동형사상
정의. 두 환 R과 R' 사이의 사상 ∅ : R → R' 이,
∀ ∈ (1) ∅(a+b)=∅(a)+∅(b) (2) ∅(ab)=∅(a)∅(b) 를 만족하면 준동형사상(homomorphism)이다.
예제. 환 → 함수는 a∊ℝ에 대하여, ∊일 때
∅ 으로 정의되는 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)
∅ →ℝ이 있다.
정의. 환 R과 환 R'사이의 동형사상(isomorphism)은 일대일이고 R' 위로 전사되는 준동형사상 ∅ : R → R'이다. 이때 두 환 R과 R'은 동형(isomorphism)이다.
예제. 아벨군으로서 (ℤ, +)와 (2ℤ, )는 동형이다.
왜냐하면, ∅ : ℤ → 2ℤ를 ∅(x)=2x로 정의하면 덧셈군 으로서 동형사상임을 쉽게 보일 수 있다.
그러나 환으로써는 동형이 아니다.
왜냐하면 ∅(xy)=2xy이나 ∅(x)∅(y)=2x2y=4xy이기 때문이다.
정의. 단위원 1( 곱셈에 대한 항등원)을 갖는 환에서 분배법칙을 이용하면 (1+1+ ⋯+1) (1+1+ ⋯+1) = (1+1+ ⋯+1)
n개의 합 m개의 합 nm개의 합 이 되어 (n·1)(m·1) = (nm)·1이 성립한다.
예제. r, s가 정수일 때 gcd(r,s)=1이면, 군 ℤ와 ℤ ×ℤ는 동형이다.
왜냐하면, 함수 ∅:ℤ→ℤ×ℤ는 ∅(n ·1) = n (1, 1)이었다. 또
∅(nm) = (nm)·(1,1) = [n·(1,1)][m·(1,1)] = ∅(n)∅(m) 이 성립하므로 ℤ와 ℤ ×ℤ 은 환 으로서도 동형이다.
정의. 곱셈항등원 1(≠0)을 갖는 환 R의 원소 u∊R가 R 안에 곱셈역원을 가지면, u를 R의 가역원(invertible element)(혹은 단원)이라 부른다.
환 R의 영이 아닌 모든 원소가 가역원이면 R은 나눈셈환(division ring 혹은 skew field)이다.
체(field)는 가환인 나눗셈 환이다. 가환이 아닌 나눗셈환은 “비가환체(strictlty skew field)"라 한다.
예제. 자연수 5는 정수인 곱셈역원이 없으므로 ℤ는 체가 아니다. ℤ의 가역원은 1과 -1뿐이다. 반면에 ℚ와 ℝ은 체이다.
