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x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B

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º |9½+Ë A, B \ @/ #Œ Õª ‹כÖ· ‹כÖA ∪ B \¦ A ∪ B = {x : x ∈ A ¢¸H x ∈ B}



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x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A¢¸H x ∈ B



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 ðøÍts. ðøÍt–Ð zŽ· ‹כÖ A ∩ B, · ‹כÖ A \ B \¦6£§

x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ AÕªo“¦ x ∈ B x ∈ A \ B ⇐⇒ x ∈ AÕªo“¦ x /∈ B õ

 °ú s &ñ_ôÇ. |9½+Ë`¦lÕüt½+É M: sp ·ú˜“¦ e”H |9½+Ë`¦©œ&ñ “¦ Õ

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 ÂҏÉr.

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A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅ A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ A = A, A ∩ A = A

A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B, A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (1)

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¦ \P #Œ ˜Ð. \V–Ð"f A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A \¦ 7£x"î H כ “Ér



6£§¿º "î]j

x ∈ A =⇒ x ∈ B x ∈ A ⇐⇒ x ∈ AÕªo“¦ x ∈ B

 1lxu“ 7£x"î H כ õ ðøÍt“X<, 8 s©œ [O"î½+É €9כ¹ \O Ü

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∅^c= U U^c= ∅ A ∪ A^c = U, A ∩ A^c= ∅

(A ∪ B)^c= A^c∩ B^c, (A ∩ B)^c= A^c∪ B^c (A^c)^c= A

A ⊂ B ⇐⇒ B^c⊂ A^c

(2)

õ

 †<Êa |9½+Ë ƒíߖ_ l‘:rs. 1pxd” (A ∪ B)^c = A^c∩ B^c\¦ 7£x"î l 0

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x ∈ (A ∪ B)^c ⇐⇒ [x ∈ A <ʓÉr x ∈ B]_ ÂÒ&ñ

⇐⇒ x /∈ A Õªo“¦ x /∈ B

⇐⇒ x ∈ A^c Õªo“¦ x ∈ B^c

⇐⇒ x ∈ A^c∩ B^c õ

 °ú s ¶ú˜(R˜Ð€)a.

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x ∈ A1∪ A2 ⇐⇒ i = 1 <ʓÉr i = 2 \ @/ #Œ x ∈ Aⁱs

⇐⇒ x ∈ Ai “ i ∈ {1, 2}  ”>rFôÇ

 $íwn†<Ê`¦·ú˜ ú e”. s\¦%i¿º\ ¿º“¦, |9½+Ë7ᤠ{Ai : i ∈ I}_ ‹כÖ



· ‹כÖS

i∈IAi`¦6£§ x ∈[

i∈I

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i∈I

Ai⇐⇒ e”__ i ∈ I \ @/ #Œ x ∈ Aⁱ  $íwnôÇ

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x ∈ [

i∈I

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⇐⇒ x /∈[

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⇐⇒ [x ∈ Ai “ i ∈ I  ”>rFôÇ]_ ÂÒ&ñ

⇐⇒ e”__ i ∈ I \ @/ #Œ x /∈ Ai s

⇐⇒ e”__ i ∈ I \ @/ #Œ x ∈ A^ci s

⇐⇒ x ∈\

i∈I

A^c_i

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(A ∪ A_i) (4)

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A_r= {x ∈ R : x ≥ r}, r > 0



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Ar= {x ∈ R : x > 0}

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 )a. ¼#_©œ A = {x ∈ R : x > 0}  ¿º€, yŒ• r > 0 \ @/ #Œ A_r ⊂ AsÙ¼–Ð S

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x > 0 =⇒ x ≥ r “ €ªœÃº r > 0 ”>rFôÇ õ

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x ∈ R : x ≥ 1 n



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An= {x ∈ R : x > 0}

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n=1An“Ér S{An : n = 1, 2, . . . }õ ðøÍt >pw Ü

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n=1A_n ⊂ A e”“Ér {©œƒ . %iܼ–Ð A ⊂S∞

n=1An`¦ 7£x"îôǍHכ “Ér6£§ x > 0 =⇒ x ≥ 1

n “ ƒú n = 1, 2, . . . s ”>rFôÇ

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y > 0 =⇒ y ≤ n “ ƒú n = 1, 2, . . . s ”>rFôÇ ü

< ðøÍts. s "î]jH{©œƒôÇ 1pws ˜Ðstëߖ Õªo çߖéߖôÇ כ “Ér



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i, j ∈ I, i 6= j =⇒ A_i∩ Aj = ∅

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(a, b) = {{a}, {a, b}}

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 °ú s &ñ_ôÇ.

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ËP 1.1.1. ¹ÿ›GžB(a, b) = (c, d) T^@a = c Džb = d  )ç· Â6Ò.

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£x"î: €$ a = b “ âĺ\¦ÒqtyŒ• . s âĺ {{a}} = (a, b) = (c, d) = {{c}, {c, d}}

–

ÐÂÒ' {a} = {c} = {c, d} sÙ¼–Ð, a = b = c = d  $íwnôÇ. s]j a 6= b &ñ . ÕªQ€ {a, b} H¿º "鶙è_ |9½+ËsÙ¼–Ð

{c} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}}, {c} 6= {a, b}

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`¦·ú˜ ú e”. "f, {c} = {a} x9 a = c  $íwnôÇ. ðøÍt–Ð {a, b} ∈ {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, {a, b} 6= {c}

(1) &ño 2.3.3 x9 &ño 2.6.1 `¦‚ÃЛ¸ .

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ÐÂÒ' {a, b} = {c, d}  $íwnôÇ. "f, b ∈ {c, d} –ÐÂÒ' b = c <Ê

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Ér b = ds. ÕªX<, b = c s€ a = c = b sÙ¼–Ð a 6= b H &ñ\

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¸íHs. "f b = d  $íwn†<Ê`¦·ú˜ ú e”. 

¿

º |9½+Ë A, B _ ð · ‹כÖA × B H

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

–

Ð &ñ_ôÇ. 6£§ /BNd”[þt

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

(5)

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r–Ð 7£x"î½+É Ãº e”.

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<<K 1.1.3. (5)\
š¸H 1pxd”[þt`¦ 7£x"î #Œ.

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<<K 1.1.4. _|9½+Ë7á¤{Ai: i ∈ I}õ {Bj: j ∈ J }\ @/ #Œ 6£§ 1pxd”[þt [

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Ai

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j∈J

Bj

!

= \

(i,j)∈I×J

(Ai∪ Bj)

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¦ 7£x"î #Œ.

1.2. Á þ Ê Á

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º |9½+Ë X, Y _ YL|9½+Ë X × Y _ ÂÒìr|9½+Ë f ⊂ X × Y  6£§ ¿º

t $í|9

(†<Ê1) x ∈ X =⇒ (x, y) ∈ f \¦ëߖ7ᤠH y ∈ Y  ”>rFôÇ, (†<Ê2) (x, y₁) ∈ f, (x, y2) ∈ f =⇒ y1= y2

`

¦ ëߖ7ᤠ€ s\¦ X\"f Y –Ð H ‹ÈÕ¬£ “¦, (x, y) ∈ f {9 M: f (x) = y <ʓÉr f : x 7→ y H. s M:, X \¦s †<Êú_ _@*9, Y \¦ f _

 ð*9s “¦, s\¦ f : X → Y –Ð H. :£¤y, f : x 7→ y : X → Y

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H f : X → Y  †<Êús“¦, (x, y) ∈ f H _p–Ð H. Óüt:r, y H x

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 _ #Œ &ñ÷&H Y _ "鶙ès. †<Êú f : X → Y H%i X, /BN%i Y x9 X × Y ÂÒìr|9½+Ë f –Ð sÀÒ#Q4R e”ܼټ–Ð, ‘†<Êú’H 6 x#Q\¦6 x

9€ s [j t\¦°ú s ´ú˜K ÅÒ#Q ôÇ. :£¤y, ¿º †<Êú f : X → Y ü

< g : Z → W  ‘°ú ’H ´ú˜`¦ 9€ ĺ‚ X = Z ü< Y = W 

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wnK ôÇ. Óüt:r, %iõ /BN%is ìr"î½+É M:\Hs\¦Òqt|ÄÌ “¦ ‘†<Ê Ã

º’H 6 x#Q\¦ 6 x l•¸ ôÇ. âĺ\ "f, ‘©œ’, ‘¨8Š’ 1px_ 6

x#Q\¦6 x l•¸ HX< —¸¿º †<Êúü< °ú “Ér >pws. |9½+Ë X \ @/ 

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1_X(x) = x, x ∈ X s

. ¢¸ôÇ, A ⊂ X {9 M:, {(a, a) ∈ A × X : a ∈ A} –Ð ÅÒ#Q” †<Êú\¦

†

ԋÈՋÈÕ¬£ “¦, ιA: A ,→ X H. 7£¤, ι_A(a) = a, a ∈ A s

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ËP 1.2.1. ¨£ ‹ÈÕ¬£ f : X → Y ã#g : X → Y  ìm¥ª< ‹ÈÕ¬£GžBL·x˜¢_u (

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f (x) = g(x), x ∈ X T

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£x"î: €$ f = g s€, e”__ x ∈ X \ @/ #Œ

y = f (x) ⇐⇒ (x, y) ∈ f ⇐⇒ (x, y) ∈ g ⇐⇒ y = g(x)

 $íwn Ù¼–Ð f(x) = g(x) e”`¦·ú˜ ú e”. %iܼ–Ð, e”__ x ∈ X \

@

/ #Œ f(x) = g(x) s€,

(x, y) ∈ f ⇐⇒ y = f (x) ⇐⇒ y = g(x) ⇐⇒ (x, y) ∈ g

 $íwn #Œ f = g s. 

†

<Êú f : X → Y ü< g : Y → Z \ @/ #Œ Õª ‹כÖ)ç‹ÈÕ¬£ g ◦ f : X → Z

\

¦6£§

(g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ X (6) õ

 °ú s &ñ_ôÇ. ëߖ{9 f ü< g \¦yŒ•yŒ• X × Y ü< Y × Z _ ÂÒìr|9½+Ëܼ

–

Ð sKôÇ€

g ◦ f = {(x, z) ∈ X × Z : (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ g “ y ∈ Y  ”>rFôÇ}

(7) ü

< °ú s &ñ_)a. [j †<Êú f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → W \ @/ 

#

Œ 6£§ 1pxd”

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) (8) s

 $íwn†<ʓÉr–ÐSX‰“)a. †<Êú f : X → Y _ %i X _ ÂÒìr|9½+Ë A

 ÅÒ#Q&’`¦M:, ½+Ë$í†<Êú f ◦ ι^A: A → Y \¦ f_ <KÂ6Òs HX<, s

\

¦ f |A: A → Y –Ð æ¼l•¸ ôÇ.

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<<K 1.2.1. _{¿º &ñ_ (6) õ (7) s °ú “}Ér&ñ_e”`¦˜Ð#Œ. ¢¸ôÇ, g ◦f ⊂ X ×Z

 †<Êúe”`¦˜Ð#Œ.

' Ö

<<K 1.2.2. ^1pxd” (8) `¦ 7£x"î #Œ.

†

<Êú f : X → Y  6£§$í|9

x1, x2∈ X, f (x1) = f (x2) =⇒ x1= x2

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¦ëߖ7ᤠ€ s\¦ ·ÿ›‹ÈÕ¬£“¦ ÂҏÉr. †½Ó1px†<Êú x9 Ÿí†<ʆ<ÊúHéߖ

†

<Êús. ¢¸ôÇ éߖ†<Êú f : X → Y _ %i X _ ÂÒìr|9½+Ë A  e”`¦ M

:, f _ ]jôÇ f |A“Ér{©œƒy éߖ†<Êús.

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ËP 1.2.2. ‹ÈÕ¬£ f : X → Y ;c 60 #l ‹:?ª<ò6BVT.

() f ¤< ·ÿ›‹ÈÕ¬£T.

(
) g ◦ f = 1X¿ì> ¹ÿ›ø¶; ¤< ‹ÈÕ¬£ g : Y → X  +í<<Â6Ò.

7

£x"î: €$ g ◦ f = 1X\¦ëߖ7ᤠH g e”ܼ€

f (x1) = f (x2) =⇒ x1= (g ◦ f )(x1) = (g ◦ f )(x2) = x2

s

Ù¼–Ð f  éߖ†<Êús. Õª %i`¦˜Ðsl 0A #Œ

B = {y ∈ Y : f (x) = y \¦ëߖ7ᤠH x ∈ X  ”>rFôÇ}



 ¿º. ëߖ{9 y ∈ B s€ f (x) = y \¦ëߖ7ᤠH x ∈ X Ä»{9 > ”>r F

 HX< g(y) = x  &ñ_ “¦, y /∈ Bs€ g(y) HÁºXO>
 &ñ_ôÇ



. \V\¦ [þt€ X _ ôÇ "鶙è x0∈ X \¦“¦&ñ “¦

g(y) =

(x, y ∈ B, y = f (x), x₀, y /∈ B



 &ñ_ € g ◦ f = 1_Xe”s –ÐSX‰“)a. 

†

<Êú f : X → Y  6£§$í|9 e”

__ y ∈ Y \ @/ #Œ f(x) = y \¦ëߖ7ᤠH x ∈ X ”>rFôÇ (9)

`

¦ëߖ7ᤠ€ s\¦ b9 ‹ÈÕ¬£ ÂҏÉr. †<Êú f : X → Y  „s€"f 1

l

xr\ éߖs€ s\¦ b9 ·ÿ›‹ÈÕ¬£ ÂҏÉr. †½Ó1px†<ÊúH Óüt:r„éߖ

†

<Êús.

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ËP 1.2.3. ‹ÈÕ¬£ f : X → Y ;c 60 #l ‹:?ª<ò6BVT.

() f ¤< b9 ‹ÈÕ¬£T.

(
) f ◦ g = 1Y ¿ì> ¹ÿ›ø¶; ¤< ‹ÈÕ¬£ g : Y → X  +í<<Â6Ò.

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£x"î: €$ f ◦ g = 1Y \¦ëߖ7ᤠH†<Êú g : Y → X  ”>rFôÇ“¦ 

&

ñ . yŒ• y ∈ Y \ @/ #Œ x = g(y)  ¿º€ f (x) = f (g(y)) = y s Ù

¼–Ð (9)  $íwn “¦, "f f H„†<Êús. Õª %i`¦˜Ðsl 0A 

#

Œ yŒ• y ∈ Y \ @/ #Œ A^y = {x ∈ X : f (x) = y} ¿º€ AyH /BN

|9

½+Ës m. yŒ• y ∈ Y \ @/ #Œ Ay_ "鶙è\¦ 
 ×þ˜ #Œ⁽²⁾ s\¦ g(y) ∈ X ¿º€ f (g(y)) = y e”s "î . 

†

<Êú f : X → Y \ @/ #Œ 6£§

g ◦ f = 1_X, f ◦ g = 1_Y

`

¦ëߖ7ᤠH†<Êú g : Y → X  ”>rF € s\¦ f_ *9‹ÈÕ¬£ ôÇ. ëߖ {9

 †<Êú f _ %i†<Êú ”>rFôÇ€ Ä»{9 . z´]j–Ð, g ü< h  1lxr\ f_ %i†<Êú€

g = 1_X◦ g = (h ◦ f ) ◦ g = h ◦ (f ◦ g) = h ◦ 1Y = h (10)

)a. †<Êú f : X → Y _ %i†<Êú\¦ f⁻¹ : Y → X–Ð ³ðr l•¸ ôÇ



. ëߖ{9 †<Êú f : X → Y  %i†<Êú\¦t€ &ño 1.2.2 ü< &ño 1.2.3

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 _ #Œ f H „éߖ†<Êús. %iܼ–Ð, f : X → Y  „éߖ†<Êús

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 h ◦ f = 1X“ h : Y → X ü< f ◦ g = 1^Y “ g : Y → X  ”>rF H X

<, (10) \ _ #Œ g = h s“¦ sH f _ %i†<Êú)a. "f, 6£§

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ño\¦%3H.

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ËP 1.2.4. ‹ÈÕ¬£ f : X → Y ;c 60 #l ‹:?ª<ò6BVT.

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m” ×þ˜ Hכ s 0pxôÇ H ëH]jH 7á§8 ’×æôÇ ]XH`¦כ¹ ô

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() f ¤< b9 ·ÿ›‹ÈÕ¬£T.

(
) f  *9‹ÈÕ¬£¿ì>.> .

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<<K 1.2.3. _{¿º †<ÊÃ}º f : X → Y ü< g : Y → Z \ @/ #Œ 6£§`¦ 7£x"î 

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() f ü< g  éߖs€ g ◦ f  éߖs. %iܼ–Ð, g ◦ f  éߖs€ f  éߖ



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() f ü< g  „éߖs€ g ◦ f  „éߖs“¦, (g ◦ f)⁻¹= f⁻¹◦ g⁻¹s.



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() ·ÿ›‹ÈÕ¬£ f : X → Y  +í<<Â6Ò.

(
) b9 ‹ÈÕ¬£ g : Y → X  +í<<Â6Ò.

' Ö

<<K 1.2.4. 2£§&ño 1.2.5 \¦ 7£x"î #Œ.

|

ºM 1. yŒ• ƒú n = 0, 1, 2, . . . \ @/ #Œ f (2n) = −n, f (2n − 1) = n s

 &ñ_ € f Hƒú „^‰_ |9½+Ë⁽³⁾N \"f &ñú „^‰_ |9½+Ë Z

–

Ð H†<Êú)a. ëߖ{9

g(n) = 2n − 1, g(−n) = 2n, n = 0, 1, 2, . . .



 &ñ_ € g H Z \"f N ܼ–Ð H†<Êú ÷&“¦ f ü< g H"f–Ð %i†<Ê Ã

º›'a>s.  '

Ö<<K 1.2.5. _{˜Ðl 1 \
š¸}H f (n)s n P: &ñú ÷&•¸2Ÿ¤ &ñú „^‰\¦

\P #Œ.

(3) ƒú, &ñú, Ä»oú, z´Ãº\ @/K"fH6£§©œ\"f [jy /BNÂÒôÇ. ÕªQ
, #Œ

Q t \V\¦×¼Hâĺ #Qwn= M:ÂÒ' ·ú˜“¦ e”H#ŒQ t ú_ $í|9[þt“ÉrHכ Ü

¼–Ð çߖÅÒôÇ. :£¤y, 0 “Érƒú–Ð 2[/åLôÇ. "f, N = {0, 1, 2, . . . } s.

|

ºM 2. €ªœ_ Ä»oú „^‰_ |9½+Ë Q⁺\¦6£§ 1

1, 1 2,2

1, 1 3,2

2,3 1, 1

4,2 3, 3

2,4 1, 1

5,2 4,3

3,4 2,5

1, 1 6,2

5,3 4, 4

3,5 2, . . . õ

 °ú s Zþt#Q Z~. #Œl"f n P:
š¸H Ä»oú\¦ f (n)s ¿º€ f : N → Q⁺H „†<Êú )a. ëߖ{9 ×æ4Ÿ¤K"f
š¸H Ä»oú\¦ \O E

“¦

1 1,1

2, 2 1,1

3,3 1,1

4,2 3,3

2,4 1,1

5,5 1,1

6,2 5,3

4,4 3,5

2, . . . 1

p

xõ °ú s Zþt#QZ~“ÉrÊê n P:
š¸Hú\¦ g(n)s ¿º€ g : N → Q⁺



 ¿º€ g H„éߖ½+Ëú)a. 

|

ºM 3. ½¨çߖ [0, 1) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} _ "鶙è\¦ z”ZOܼ–Ð ³ð

‰

&

³ ÷& 9  >5Åq
š¸Hכ `¦xôÇ. †<Êú f : [0, 1) × [0, 1) → [0, 1) \¦



6£§

f : (0.a0a1a2. . . , 0.b0b1b2. . . ) 7→ 0.a0b0a1b1a2b2. . . õ

 °ú s &ñ_ € éߖ†<Êús. 7£¤, [0, 1) × [0, 1)\ e”H—¸ŽH&h[þt`¦

½

¨çߖ [0, 1) îߖ\ ‘V,`¦’ú e”. ÕªQ
, ÅÒ_½+É &hܼ–Ð"f 0.090909 . . .

° ú

 “Ér "鶙èH f _ ©œ\ [þt#Qt ·ú§H. Óüt:r [0, 1)\"f [0, 1) × [0, 1)

–

Ð Héߖ†<ÊúH ~1> ëߖ[þtú e”. {9ìøÍ&hܼ–Ð, |9½+Ë X \"f Y –Ð

Héߖ†<Êúü< |9½+Ë Y \"f X –Ð Héߖ†<Êú 1lxr\ ”>rF €, X\"f Y –Ð H„éߖ†<Êú ”>rFôÇ.⁽⁴⁾ 

|

ºM 4. U´s °ú “Ér‚ìr s\ „éߖ†<Êú ”>rF†<ʓÉr "î .

Õ

ªX<, U´s ØÔ8•¸ e”__ ¿º ‚ìrs\ „éߖ†<Êú\¦&ñ_

½

+É Ãº e”. ¿º ‚ìr ABü< CD \¦
êøÍy Z~“¦ AC ü< CD _ ƒ©œ‚s ë

ߖ
H&h`¦ O ¿º. ‚ìr AB 0A\ e”H&h P \ @/ #Œ OP _ ƒ



©œ‚s CD ü< ëߖ
H&h`¦ f (P ) ¿º€ f : AB → CD H„éߖ†<Êú

)a. 

(4) &ño 3.5.2 \¦‚ÃЛ¸ .

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q































 '

Ö

<<K 1.2.6. e”__ ¿º ½¨çߖ s\H„éߖ†<Êú ”>rF†<Ê`¦˜Ð#Œ.

|

ºM 5. |9½+Ë X \"f Y –Ð H †<Êú „^‰_ |9½+Ë`¦ Y^X æ¼. ¢¸ ô

Ç, |9½+Ë X _ ÂÒìr|9½+Ë „^‰_ |9½+Ë`¦P(X) 漓¦, s\¦ X_ '9·

‹ כ

Ös ÂҏÉr. e”__ A ∈ P(X) \ @/ #Œ Φ(A) ∈ {0, 1}^X\¦6£§

Φ(A)(x) =

(1, x ∈ A,

0, x /∈ A (11) õ

 °ú s &ñ_ . ¢¸ôÇ, e”__ †<Êú f ∈ {0, 1}^X\ @/ #Œ X _ ÂÒìr

|9

½+Ë Ψ(f ) ∈ P(X) \¦

Ψ(f ) = {x ∈ X : f (x) = 1}



 &ñ_ . ÕªQ€, e”__ f : X → {0, 1} \ @/ #Œ Φ(Ψ(f ))(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ Ψ(f ) ⇐⇒ f (x) = 1 s

Ù¼–Ð Φ(Ψ(f)) = f s. ¢¸ôÇ, e”__ A ∈ P(X) \ @/ #Œ x ∈ Ψ(Φ(A)) ⇐⇒ Φ(A)(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ A s

Ù¼–Ð Ψ(Φ(A)) = A s. "f, ¿º †<Êú

Φ : P(X) → {0, 1}^X, Ψ : {0, 1}^X → P(X)



H"f–Ð ©œ@/~½Ó_ %i†<Êús. 

|9

½+Ë P(X) \¦ X_ '9· ‹כÖs ÂÒØԓ¦, s\¦ 2^X æ¼l•¸ ôÇ.

¢

¸ôÇ, (11) õ °ú s &ñ_)a†<Êú\¦ A_ m;)ç‹ÈÕ¬£ ÂÒØԓ¦, s\¦ χA



H. 7£¤,

χ_A(x) =

(1, x ∈ A, 0, x /∈ A s

.

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<<K 1.2.7. _6£§ 1pxd”

\

i∈I

P(Xi) = P \

i∈I

Xi

!

, [

i∈I

P(Xi) ⊂ P [

i∈I

Xi

!

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¦ 7£x"î #Œ. ÑütP: d”\"f ”ÂÒìr|9½+Ës ÷&H\V\¦ [þt#Q.

|

ºM 6. (ñߖžÐØÔ⁽⁵⁾) |9½+Ë N \"f ½¨çߖ [0, 1] –Ð H „†<Êú ”>rF

t ·ú§6£§`¦˜Ðs. 7£¤,#Q‹" †<Êú f : N → [0, 1] •¸ „†<Êú|¨c ú

\O

6£§`¦ ˜Ðs9 ôÇ. yŒ• n = 0, 1, 2, . . . _ ©œ f(n) “Ér ÁºôǙèú–Ð ³ð‰&³

|¨

cú e”ܼټ–Ð s\¦6£§õ °ú s æ¼.

f (0) = 0.x00x01x02 . . . x0n . . . f (1) = 0.x10x11x12 . . . x1n . . . f (2) = 0.x20x21x22 . . . x2n . . .

. . . .

f (n) = 0.x_n0x_n1x_n2 . . . x_nn . . . . . . .

y

Œ

• ƒú n = 0, 1, 2, . . . \ @/ #Œ ú\P ha_ni `¦ a_n=

(0, xnn6= 0, 1, xnn= 0,

–

Ð &ñ_ €, ™èú α = 0.a0a1a2. . . an. . . H f (0), f (1), . . . , f (n), . . . ×æ

#

QÖ¼ כ õ•¸ Érús. "f, α ∈ [0, 1] H#Q‹" ƒú n \ @/K

"

f•¸ f(n) s|¨cú \O“¦, "f f H„†<Êú m. 

(5) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845∼1918), 1lq{9 ú†<Æ. Z…\¦2; @/

†<

Æ\"f †<Æ0A\¦ôÇ Êê 1869 ¸ÂÒ' 1905 ¸t Halle @/†<Æ\"fÖ¸1lx %iHX<, ëߖ¸

`

¦&ñ’#î"é¶\"f ˜ÐÍÇx. Õª %ƒ6£§ÂÒ' |9½+ˏ:r`¦½¨©œôÇ כ “Érm“¦, Œ™yŒ•/åLú\¦

ƒ

½¨ Hõ&ñ\"f ÁºôÇ|9½+Ë`¦ÀÒ> ÷&%3. Õª_ \O&h`¦™è>hôÇ Õþ˜Ü¼–Ð [12]  e”

.

' Ö

<<K 1.2.8. _{e”__ |}9½+Ë X \ @/ #Œ X \"f 2^X–Ð H„†<Êú \O6£§

`

¦˜Ð#Œ.

†

<Êú f : X → Y ü< A ⊂ X x9 B ⊂ Y \ @/ #Œ

f⁻¹(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}, f (A) = {f (x) ∈ Y : x ∈ A}



 &ñ_ . |9½+Ë f⁻¹(B) \¦ B_ *9„ç¡s ÂÒØԓ¦, f(A) \¦ A_ „ç¡ s

 ÂҏÉr. †<Êú f  „{9 €9כ¹Øæìr›¸| “Ér f (X) = Y s. {9ìøÍ

&

hܼ–Ð

x ∈ A =⇒ f (x) ∈ f (A) ⇐⇒ x ∈ f⁻¹(f (A)) s

Ù¼–Ð

f⁻¹(f (A)) ⊃ A, A ∈ 2^X

 $íwnôÇ. ¢¸ôÇ, y ∈ f (f⁻¹(B))s€ y = f (x) “ x ∈ f⁻¹(B) ”>r F

 HX<, sH f (x) ∈ B e”`¦ >pwôÇ. "f y = f(x) ∈ B s“¦,  6

£

§›'a>

f (f⁻¹(B)) ⊂ B, B ∈ 2^Y

 $íwn†<Ê`¦·ú˜ ú e”.

' Ö

<<K 1.2.9. †<Êú f  éߖ{9 €9כ¹Øæìr›¸| “Ér f⁻¹(f (A)) = A, A ∈ 2^X e”

`¦ ˜Ð#Œ. ¢¸ôÇ, †<Êú f  „{9 €9כ¹Øæìr›¸| “Ér f (f⁻¹(B)) = B, B ∈ 2^Y e”

`¦ ˜Ð#Œ.

e”

__ i ∈ I \ @/ #Œ Bi ⊂ Y {9 M:, 6£§ 1pxd”

f⁻¹ [

i∈I

Bi

!

=[

i∈I

f⁻¹(Bi), f⁻¹ \

i∈I

Bi

!

=\

i∈I

f⁻¹(Bi) (12)

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 $íwn†<ʓÉr –Ð SX‰“÷&. ÕªQ
, ©œõ “§|9½+Ë_ “§¨8Š\ @/K"fH

›

¸d”K ôÇ. e”__ i ∈ I \ @/ #Œ Ai⊂ X {9 M:, 6£§$í|9

f [

i∈I

Ai

!

=[

i∈I

f (Ai), f \

i∈I

Ai

!

⊂\

i∈I

f (Ai) (13)

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ir –Ð SX‰“½+É Ãº e”. ÕªQ
, y ∈ f(A¹) ∩ f (A2) “ âĺ y = f (x₁) = f (x₂) “ x₁∈ A₁õ x2 ∈ A₂\¦¹1Ô`¦Ãº e”ܼ
, x1= x₂“˜Ð



©œs \Oܼټ–Ð y ∈ f(A¹∩ A2)H:r`¦?/wn= ú \O.

' Ö

<<K 1.2.10. 1pxd” (12), (13) `¦ 7£x"î #Œ. 1pxd” f \

i∈I

Ai

!

=\

i∈I

f (Ai)

s

 $íwn½+É €9כ¹Øæìr›¸| `¦¹1Ô.

t

èߖ ]X\"f &ñ_ôÇ YL|9½+Ë_ &ñ_\¦¶ú˜(R˜Ð. YL|9½+Ë X1× X2_

"

é

¶™è (x1, x2)\ @/ #Œ

p[x1, x2] : i 7→ xi : {1, 2} → X1∪ X2, i = 1, 2 ü

< °ú s †<Êú p[x¹, x2] \¦&ñ_ . ÕªQ€

(x₁, x₂) 7→ p[x₁, x₂] : X₁× X2→ (X1∪ X2)^{1,2}



Héߖ†<Êú ÷&“¦, Õª ©œ“Ér

{f ∈ (X1∪ X2)^{1,2}: f (1) ∈ X1, f (2) ∈ X2}

 )a. s]j, e”__ |9½+Ë7á¤{X_i : i ∈ I}\ @/ôÇ ð · ‹כÖQ

i∈IX_i\¦



6£§

Y

i∈I

X_i=n f ∈ S

i∈IX_i
^I

: f (i) ∈ X_i, i ∈ Io õ

 °ú s &ñ_ôÇ. yŒ• i ∈ I \ @/ #Œ 6£§†<Êú πi: f 7→ f (i) :Y

i∈I

Xi→ Xi

\

¦ ÒqtyŒ•½+É Ãº e”HX<, s\¦ *ås ôÇ. e”__ i ∈ I \ @/ #Œ X_i = Xs€,Q

i∈IX_i= X^Is.

|

ºM 7. z´Ãº „^‰_ |9½+Ë R `¦ n>h YLôÇ YL|9½+Ë`¦ Rⁿs æ¼. ëߖ {9

 n = {0, 1, 2, . . . , n − 1} s ¿º€⁽⁶⁾ sH n\"f R –Ð H†<Êú „

^

‰_ |9½+Ës. s M:, n \"f R –Ð H†<Êú îrX<

i 7→ ai, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1

“

 כ `¦ (a0, a1, a2, . . . , an−1)s ³ðr € ¼#o . 

1.3. ž â n ® ¸ ”N 

|9

½+Ë X \ MÎ34 ÅÒ#Q4R e”H כ “Ér YL|9½+Ë X × X _ ÂÒìr|9½+Ë s

 ÅÒ#Q4R e”Hכ õ ðøÍt ´ú˜s.›'a> R ⊂ X × X s 6£§$í

|9

[þt

(1lx1) e”__ x ∈ X \ @/ #Œ (x, x) ∈ R s, (1lx2) (x, y) ∈ Rs€ (y, x) ∈ R s,

(1lx3) (x, y) ∈ Rs“¦ (y, z) ∈ R s€ (x, z) ∈ R s

`

¦ëߖ7ᤠ€ s\¦ò6BVMÎ34 ÂҏÉr. 1lxu›'a> R ⊂ X × X  ÅÒ#Q4R e”

`¦M:, (x, y) ∈ R `¦ x ∼ y–Ð æ¼l•¸ ôÇ. Óüt:r, l ñ ∼ “Ér#ŒQ  t

–Ð ˨#Q jþtú e”. 0A ›¸| [þt`¦r ôÇ  \P € 6£§ x ∈ X =⇒ x ∼ x,

x ∼ y =⇒ y ∼ x, x ∼ y, y ∼ z =⇒ x ∼ z õ

 °ú s)a.

(6) z´]j–Ð 6£§©œ\"f ƒú n `¦ |9½+Ë {0, 1, 2, . . . , n − 1} –Ð &ñ_ôÇ.

|9

½+Ë X \ 1lxu›'a> ∼  ÅÒ#Q4R e”`¦M: yŒ• x ∈ X \ @/ #Œ [x] = {z ∈ X : z ∼ x}



 &ñ_ . ÕªQ€

x ∼ y ⇐⇒ [x] = [y], x  y ⇐⇒ [x] ∩ [y] = ∅ (14) e”

`¦–ÐSX‰“½+É Ãº e”. ëߖ{9 x ∼ y s€, (1lx2)ü< (1lx3)\ _ #Œ z ∈ [x] ⇐⇒ z ∼ x ⇐⇒ z ∼ y ⇐⇒ z ∈ [y]

 )a. %iܼ–Ð, [x] = [y] s€ x ∼ x sÙ¼–Ð x ∈ [x] = [y]  ÷&“¦, 



"f x ∼ y e”`¦·ú˜ ú e”. ¿ºP: $í|9`¦ 7£x"î HX<

[x] ∩ [y] 6= ∅ =⇒ [x] = [y]

e”

`¦˜Ðs€)a. ëߖ{9 z ∈ [x] ∩ [y] s€ z ∼ x x9 z ∼ y  $íwn “¦,



"f x ∼ y s. e”__ x ∈ X \ @/ #Œ x ∈ [x] sÙ¼–Ð, (14) \ _

#Œ |9½+Ë X H{[x] : x ∈ X}ܼ–Ð ìr½+ÉH†d`¦·ú˜ ú e”.

{9

ìøÍ&hܼ–Ð, |9½+Ë X _ ÂÒìr|9½+Ë7á¤{Ai: i ∈ I} 6£§¿º $í|9 (ìr1) X =S

i∈IAis,

(ìr2) e”__ i, j ∈ I \ @/ #Œ Ai= Ajs
 Ai∩ Aj= ∅s

`

¦ëߖ7ᤠ€, s\¦ X_ (Ûoù–s ôÇ. "f, |9½+Ë X \ 1lxu›'a> ∼

 ÅÒ#Qt€ 1lx&hܼ–Ð X _ ìr½+És Òqt^”`¦·ú˜ ú e”HX<, sQôÇ ìr

½

+É`¦ ·ú¡Ü¼–Ð X/∼ ܼ–Ð ³ðrôÇ. ëߖ{9 yŒ• |9½+Ë [x] _ "鶙è\¦ 
 ×þ˜

#Œ r^x ¿º“¦ I = {r^x: x ∈ X} ¿º€, {[r] : r ∈ I} H"f–Йè“ |9

½

+Ë7á¤s ÷&“¦, "f X =F{[r] : r ∈ I} e”`¦·ú˜ ú e”.

|

ºM 1. &ñú „^‰_ |9½+Ë Z \ 6£§

m ∼ n ⇐⇒ m − n “Ér 2 _ Cús

õ

 °ú s›'a>\¦&ñ_ € 1lxu›'a>e”`¦–ÐSX‰“½+É Ãº e”. s M:, m s

 ‹Œ•Ãºs€ [m] “Ér‹Œ•Ãº „^‰_ |9½+Ës ÷&“¦, m s f.Ëú s€ [m] “Ér f.Ë Ã

º „^‰_ |9½+Ës)a. "f,

Z/∼ = {[m] : m ∈ Z} = {[m] : m = 0, 1} = {[0], [1]}

 ÷&“¦, Z = [0] t [1] s)a. Óüt:r,0A\"f 0 õ 1 @/’\ 8 õ 5 \¦×þ˜

#Œ Z = [8] t [5]  +‹•¸ ðøÍts. 

|

ºM 2. |9½+Ë N × N = {(m, n) : m, n ∈ N} \ 6£§

(m, n) ∼ (m⁰, n⁰) ⇐⇒ m + n⁰= n + m⁰ õ

 °ú s ›'a> ∼ \¦ &ñ_ € 1lxu›'a> )a. ĺ‚ (1lx1)õ (1lx2)

$í

wn†<ʓÉr "î . ëߖ{9 (m, n) ∼ (m⁰, n⁰) x9 (m⁰, n⁰) ∼ (m⁰⁰, n⁰⁰)

$í wn €,

m + n⁰⁰= (m + n⁰) + (m⁰+ n⁰⁰) = (n + m⁰) + (n0 + m⁰⁰) = n + m⁰⁰

 $íwn “¦, "f (m, n) ∼ (m⁰⁰, n⁰⁰) $íwnôÇ. s âĺ

N × N/∼ = {[(0, 0)], [(n, 0)], [(0, n)] : n = 1, 2, . . . } e”

`¦–ÐSX‰“½+É Ãº e”. 

|

ºM 3. |9½+Ë Z × (Z \ {0}) \ 6£§

(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ abd²= cdb² õ

 °ú s›'a>\¦&ñ_ € 1lxu›'a>)a. s ˜Ðl\"f•¸ (1lx1), (1lx2)

 $íwn†<ʓÉr "î . ëߖ{9 (a, b) ∼ (c, d) ü< (c, d) ∼ (e, f)  $íwn

€ abd² = cdb² x9 cdf² = ef d²s. ëߖ{9 c = 0 s€ abd² = 0\

"

f b, d ∈ Z \ {0} sÙ¼–Ð a = 0 s“¦ ðøÍt–Ð e = 0 s. "f (a, b) ∼ (e, f ) e”`¦·ú˜ ú e”. ëߖ{9 c 6= 0 s€

(abf²)(cd³) = (abd²)(cdf²) = (cdb²)(ef d²) = (ef b²)(cd³)

\

"f abf²= ef b²sÙ¼–Ð (a, b) ∼ (e, f) e”`¦·ú˜ ú e”.  s

]j, |9½+Ë X _ ìr½+É P = {X_i: i ∈ I} ÅÒ#Q&’`¦M: ˨–Ð 1lxu

›'

a>\¦ëߖ[þt#Q ˜Ð. |9½+Ë X _ ¿º "鶙è x, y ∈ X  6£§$í|9 x, y ∈ X_i “ i ∈ I  ”>rFôÇ

`

¦ëߖ7᤽+É M: x ∼ y  &ñ_ . ÕªQ€ ∼ s 1lxu›'a>e”“Ér–ÐSX‰“

)

a. z´]j–Ð, x ∈ X s€ (ìr1) \ _ #Œ x ∈ Xⁱ“ i ∈ I \¦¹1Ô`¦ ú e”

“¦, "f x ∼ x  $íwnôÇ. ¿ºP: $í|9 (1lx2) $íwn†<ʓÉr &ñ_

\

 _ #Œ "î . =åQܼ–Ð (1lx3) s $íwn†<Ê`¦˜Ðsl 0A #Œ x ∼ y, y ∼ z &ñ . ÕªQ€ x, y ∈ X_i“ i ∈ I ü< y, z ∈ Xj“ j ∈ I 

”

>rFôÇ. ÕªX< y ∈ Aⁱ∩ AjsÙ¼–Ð Aⁱ = Ajs“¦, "f, x ∼ y s



. sü< °ú s ìr½+É P \ _ #Œ &ñ_)a1lxu›'a>\¦ ∼P æ¼l–Ð ôÇ



. 6£§&ñoH 1lxu›'a>ü< ìr½+És z´©œ °ú “Érכ e”`¦´ú˜K ïr.

XN

ËP 1.3.1. · ‹כÖ X ;c +äqùÚH ò6BVMÎ34 ∼ ;c 60 #l ∼ = ∼(X/∼)T )ç

· Â6Ò. *9đ}¹, ™»qq (Ûoù– P ;c 60 #lP = X/∼_P )ç· Â6Ò.

Œ

:;,™»qqx, y ∈ X ã#A ∈ 2^X;c 60 #l

x ∼ y ⇐⇒ x ∼_(X/∼)y, A ∈ P ⇐⇒ A ∈ X/∼_P

 )ç· Â6Ò.

7

£x"î: €$ x ∼ y s€ x ∈ [x], y ∈ [x] s“¦ [x] ∈ X/∼ sÙ¼–Ð x ∼(X/∼)

y $íwnôÇ. %iܼ–Ð, x ∼(X/∼) ys€ x ∈ [z], y ∈ [z] “ [z] ∈ X/∼

s

 ”>rFôÇ. ÕªQ€ x ∼ z, y ∼ z sÙ¼–Ð x ∼ y e”`¦·ú˜ ú e”.

s

]j ¿ºP: "î]j\¦˜Ðsl 0A #Œ A ∈ P  &ñ “¦, a ∈ A \¦×þ˜

. ëߖ{9 x ∈ A s€ &ñ_\ _ #Œ x ∼P as. ëߖ{9 x ∼_P as€ x ∈ B, a ∈ B “ B ∈ P  ”>rF HX< a ∈ A ∩ B sÙ¼–Ð A = B s“¦,



"f x ∈ A s. ÕªQÙ¼–Ð

A = {x ∈ X : x ∼_P a} ∈ X/∼_P e”

`¦ ·ú˜ ú e”. %iܼ–Ð A ∈ X/ ∼Ps€ &h]XôÇ a ∈ X \ @/ #Œ A = {x ∈ X : x ∼_P a}s. ôǼ# ìr½+É P \"f a ∈ X  Ÿí†<Ê÷&Hכ

`

¦ B ∈ P . ÕªQ€ ~½ÓFK 7£x"îôÇ \ _ #Œ A = B s“¦, 

"

f A ∈ P e”`¦·ú˜ ú e”. 

|

ºM 4. f.Ëú „^‰_ |9½+Ë`¦ O, ‹Œ•Ãº „^‰_ |9½+Ë`¦ E ¿º€ P = {O, E} H&ñú „^‰_ |9½+Ë Z _ ìr½+És. ÕªQ€ 1lxu›'a> ∼P

_

 &ñ_\ _ #Œ

m ∼_P n ⇐⇒ mõ n s °ú s ‹Œ•Ãºs
 °ú s f.Ëús

⇐⇒ m − n “Ér 2_ Cús



"f, 1lxu›'a> ∼P H˜Ðl 1 \"f &ñ_ôÇ כ õ ðøÍt)a. 

|9

½+Ë X \ 1lxu›'a> <ʓÉr ìr½+É\ _ #Œ %3#Q” |9½+Ë X/∼ `¦˜Ð:Ÿx ô

6

K· ‹כÖs ÂÒØԓ¦, 6£§†<Êú

q : X → X/∼ : x 7→ [x]

\

¦ô6K„ç¡s ÂҏÉr. ]©œ“Ér Óüt:r„©œs. †<Êú f : X → Y

 6£§›¸| 

x ∼ y =⇒ f (x) = f (y) (15)

`

¦ëߖ7á¤ôÇ &ñ . ÕªQ€ Dh–Ðîr†<Êú f : X/∼ → Y : [x] 7→ f (x)e

\

¦&ñ_½+É Ãº e”. #Œl"f, s &ñ_ ¸ú˜ &ñ_÷&#Q e”Ht ¶ú˜(R ˜Ð ô

Ç. =
 €, [x] _ †<Êú°úכ`¦&ñ_ l 0A #Œ x \¦s6 x %iHX< [x]

\

¦ @/³ð H "鶙è x ü@\•¸ 8 e”`¦ ú e”l M:ëHs. 7£¤, [x] = [y]

s

€ f (x) = f (y)  $íwn #Œ HX<, s\¦˜Ð©œ Hכ s ›¸|  (15) s

. ÕªQ€ {©œƒy ef ◦ q = f $íwnôÇ. %iܼ–Ð, ef ◦ q = f $íwn

H†<Êú ef : X/∼ → Y  ”>rF € ›¸|  (15)  $íwn Hכ “Ér{©œƒ

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X f -

Y

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ËP 1.3.2. · ‹כÖX Dž ò6BVMÎ34∼ ã# ‹ÈÕ¬£ f : X → Y ;c 60 #l 

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?ª<ò6BVT.

() ef ◦ q = f-> ‹ÈÕ¬£ ef : X/∼ → X T ­¤GžB 4 +í<<Â6Ò.

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) x ∼ y T^@f (x) = f (y) T.

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<<K 1.3.1. ^&ño 1.3.2 \"f, ëߖ{9 f ◦ q = f \e ¦ ëߖ7ᤠH ef ”>rFôÇ€ Ä

»{9†<Ê`¦˜Ð#Œ. 7£¤,¿º †<Êú φ, ψ : X/∼ → Y  φ ◦ q = ψ ◦ q s€ φ = ψ e”

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¦˜Ð#Œ.

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Ö<<K 1.3.2. _{†<Êú e}f „{9 €9כ¹Øæìr›¸| “Ér f „e”`¦˜Ð#Œ. †<Êú fe éߖ{9 €9כ¹Øæìr›¸| “Ér

x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) e”

`¦˜Ð#Œ.

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ºM 5. ýa³ð¨î€ R²_ ôÇ &h A = (a1, a2)\"f ئµ1Ï #Œ B = (b¹, b2)



t Ho¶ú˜³ð−−→

AB „^‰_ |9½+Ë`¦ X . |9½+Ë X \ 1lxu›'a>

\

¦6£§

−−→ AB ∼−−→

CD ⇐⇒ B − A = D − C

–

Ð &ñ_ €⁽⁷⁾1lxu›'a>e”`¦–ÐSX‰“½+É Ãº e”. s M:, e”__−−→ AB ∈ X\ @/ #Œ A + C = B “ C ∈ R²\¦¸úšÜ¼€h−−→

ABi

=h−−→ OCi

s

. #Πl

"f Óüt:r O = (0, 0)s. "f X/∼ =nh−−→

OCi

: C ∈ R²o e”

`¦·ú˜ ú e”. s M:, 6£§†<Êú C 7→h−−→

OCi

: R²→ X/∼

“ É

r„éߖ†<Êú)a. r ´ú˜ #Œ ýa³ð¨î€ 0A_ —¸ŽH 7˜'HôÇ &h

\

 _ #Œ &ñ)a. "f, R²_ "鶙è (a1, a₂) \¦ 7˜' ÂÒØԍHX<, s

H "é¶&h\"f s &ht Ho¶ú˜³ð–Ð sK Hכ s. 

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C B A

1

1

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`

¦M:

x ∼_W y ⇐⇒ x − y ∈ W



 &ñ_ € 1lxu›'a>)a. e”__ x ∈ V \ @/ #Œ

[x] = {y : x − y ∈ W } = {x + z : z ∈ W }

(7) #Œl"f A + B = (a1+ b1, a2+ b2) “X<,−→

AB ∼−−→

CD H A − C = B − D, 7£¤−→

AB ü

<−−→

CD_ ~½Ó†¾Óõ ß¼l °ú H´ú˜s.

 ÷&HX<, V/∼^W\ 6£§

[x] + [y] = [x + y], a[x] = [ax], x, y ∈ V, a ∈ R õ

 °ú s ƒíߖ`¦&ñ_ . s M:, [x + y] \¦&ñ_ l 0A #Œ x \¦s6 x

%itëߖ [x] \¦ @/³ð H "鶙è x ëߖ e”Hכ s mÙ¼–Ð, s &ñ_

¸ ú

˜ &ñ_÷&#Q e”H ¶ú˜(R ˜Ð ôÇ. 7£¤,

[x1] = [x2], [y1] = [y2] =⇒ [x1+ y1] = [x2+ y2], [ax1] = [ax2] e”

`¦ 7£x"î #Œ ôÇ. €$, [x¹] = [x2], [y1] = [y2]s€ x1 ∼ x2, y₁∼ y₂s“¦ "f x1− x₂, y₁− y₂∈ Ws. s–ÐÂÒ'

(x1+ y1) − (x2+ y2) = (x1− x2) + (y1− y2) ∈ W, ax1− ax2= a(x1− x2) ∈ W

e”

`¦ ·ú˜ ú e”“¦, "f "é¶ H :r`¦%3H. sü< °ú s Dh–Ðs &ñ _

)a ƒíߖ\ @/ #Œ V/∼W Hr 7˜'/BNçߖs ÷&HX<, s\¦ V /W  æ

¼“¦ ô6Kðµÿ›s ÂҏÉr.  '

Ö

<<K 1.3.3. 7˜'/BNçߖ V _ ìr½+É V /W s r 7˜'/BNçߖsH†d`¦˜Ð#Œ. ‚ +þ

A©œ φ : V → Z \ @/ #Œ eφ ◦ q = φ \¦ëߖ7ᤠH ‚+þA©œ eφ : V /W → Z

 ”>rF½+É €9כ¹Øæìr›¸| s

x ∈ W =⇒ φ(x) = 0 e”

`¦˜Ð#Œ.

1.4. ' K " 

|9

½+Ë X _›'a> R ⊂ X × X s 6£§›¸|  (íH1) e”__ x ∈ X \ @/ #Œ (x, x) ∈ R s, (íH2) (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ Rs€ x = y s,

(íH3) (x, y) ∈ Rs“¦ (y, z) ∈ R s€ (x, z) ∈ R s.

`

¦ëߖ7ᤠ€ s\¦ )Ö<"kMÎ34 ôÇ. íH"f›'a>H˜Ð:Ÿx≤–Ð ³ðr HX<, s

 âĺ 0A [j ›¸| “Ér6£§

x ∈ X =⇒ x ≤ x, x ≤ y, y ≤ x =⇒ x = y, x ≤ y, y ≤ z =⇒ x ≤ z õ

 °ú s jþt ú e”. íH"f›'a> &ñ_÷&#Q e”H |9½+Ë`¦ )Ö<"k· ‹כÖs ô

Ç. ëߖ{9 x ≤ y s€"f x 6= y s€ x < y  H.

|

ºM 1. |9½+Ë X = {a, b, c} \

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c)} ⊂ X × X

\

 _ #Œ›'a>\¦&ñ_ € íH"f›'a>H†d`¦–ÐSX‰“½+É Ãº e”. s

â

ĺ, "鶙è a, b, c s\H6£§$Á >h_ íH"f a ≤ a, b ≤ b, c ≤ c, a ≤ b, a ≤ c

 e”>)a.  í

H"f|9½+˓ÉrÕªaË>ܼ–Ð
?/€ ¼#oôÇ âĺ ´ú§. "鶙è[þt`¦&hܼ

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Ð ³ðr “¦, ¿º "鶙è s\ íH"f &ñ_÷&#Q e”Hâĺ @/6£x H&h

`

¦‚ìrܼ–Ð e± ÷& H "鶙è À»Aá¤\ š¸•¸2Ÿ¤ôÇ. ˜Ðl 1 \ e”H íH"f

|9

½+Ë`¦ÕªaË>ܼ–Ð ³ðr € 6£§õ °ú .

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r r

Z Z

Z Z

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<<K 1.4.1. (íH1)õ (íH2) \¦ ëߖ7ᤠtëߖ (íH3) `¦ëߖ7ᤠt ·ú§H ›'a>_

\

V\¦ [þt#Q. ðøÍt–Ð, (íH2), (íH3) `¦ëߖ7ᤠtëߖ (íH1) `¦ ëߖ7ᤠt ·ú§H

\

V, Õªo“¦ (íH3), (íH1) `¦ëߖ7ᤠtëߖ (íH2) \¦ëߖ7ᤠt ·ú§H\V\¦ [þt#Q.

í

H"f|9½+Ë X _ ÂÒìr|9½+Ë S ⊂ X ü< ôÇ "鶙è a ∈ X \ @/ #Œ 6£§

"

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x ∈ S =⇒ x ≤ a

 $íwn € a  S _ „ç¡4 ôÇ. íH"f|9½+Ë_ ÂÒìr|9½+Ës ©œ>\¦ t

€ s |9½+Ë`¦ a}¹ ­¤4 ôÇ. ©œ> ×æ\"f ©œ Œ•“Ér "鶙è\¦ L|€Ð

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¡4 ¢¸H „ç¡Â6Òs ôÇ. ˜Ð ½¨^‰&hܼ–Ð ´ú˜ #Œ, α ∈ X ü< S ⊂ X

 6£§¿º ›¸| 

() α H S_ ©œ>s, 7£¤, x ∈ S =⇒ x ≤ αs,

(
) β  S _ ©œ>s€ α ≤ β s, 7£¤, —¸ŽH x ∈ S\ @/ #Œ x ≤ β s

€ α ≤ β s

`

¦ ëߖ7ᤠ€ α \¦ S_ þj™è©œ> <ʓÉr ©œôÇs ôÇ. ëߖ{9 |9½+Ë S 



©œôÇ`¦ t€ 0A &ñ_ (
) ܼ–ÐÂÒ' š¸f” 
µ1Ú\ \O6£§`¦ FK~½Ó ·ú˜ Ã

º e”“¦, Õª ©œôÇ`¦ sup S H.

|

ºM 2. íH"f|9½+Ë X _ #Q‹" "鶙è ÂÒìr|9½+Ë ∅ ⊂ X _ ©œ>“t ¶ú˜ (

R˜Ð. "鶙è a ∈ X  ∅ _ ©œ> †<ʓÉr x ∈ ∅ =⇒ x ≤ a

 $íwnôǍH ´ú˜“X<, sH e”__ a ∈ X \ @/ #Œ †½Ó©œ $íwnôÇ.

z

´]j–Ð, s "î]j\¦ÂÒ&ñ €

x ≤ a   x ∈ ∅  ”>rFôÇ

“

X<, sH x ∈ ∅s $íwn½+É Ãº \Oܼټ–Ð {©œƒy d¦2; "î]js. 

"

f, e”__ "鶙èH /BN|9½+Ë ∅ _ ©œ>s. 

|

ºM 3. z´Ãº|9½+Ë\ ĺo ¸ú˜ H íH"f\¦ÂÒ#Œ €, |9½+Ë (0, 1) = {x ∈ R : 0 < x < 1} _ ©œ> „^‰_ |9½+˓Ér {x ∈ R : x ≥ 1} s“¦, s

 |9½+Ë_ þj™è "鶙èH 1s. "f sup(0, 1) = 1 s. ðøÍt–Ð

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} s ¿º€, sup[0, 1] = 1 s. sü< °ú  s

, #QÖ¼ |9½+Ë_ ©œôǓÉrÕª |9½+Ë_ "鶙è{9 ú•¸ e”“¦, ÕªXOt ·ú§`¦Ãº

•

¸ e”. ëߖ{9 sup A  A _ "鶙è ÷&€, sH{©œƒy A _ þj@/ "鶙è

)a. 



ðøÍt–Ð 6£§

x ∈ S =⇒ x ≥ a s

 $íwn € a  S _ 4 “¦, íH"f|9½+Ë_ ÂÒìr|9½+Ës >\¦ t

€ s |9½+Ë`¦7}¹ ­¤4 ôÇ. ¢¸ôÇ, α ∈ X ü< S ⊂ X  6£§¿º

›

¸| 

() α H S_ >s,

(
) β  S _ >s€ α ≥ β s

`

¦ ëߖ7ᤠ€ α \¦ S_ L|60 4 ¢¸H Â6Òs ôÇ. ëߖ{9 |9½+Ë S 

ôÇ`¦t€ š¸f” 
µ1Ú\ \OHX<, Õª ôÇ`¦ inf S H.

|

ºM 4. |9½+Ë X _ "4|9½+Ë 2^X\ Ÿí†<ʛ'a>\ _ôÇ íH"f\¦ÂÒ#Œ .

7

£¤ A ⊂ B {9 M: A ≤ B –Ð &ñ_ H´ú˜s. s›'a> z´]j–Ð (íH1) Â

Ò' (íH3)t ëߖ7ᤆ<ʓÉr"î . |9½+Ë7á¤A ⊂ 2^X ÅÒ#Qt€ sup A =[

A, inf A =\ A, s

)a. ĺ‚, e”__ A ∈ A \ @/ #Œ A ≤S A sÙ¼–ÐS A HA_



©œ>s. ëߖ{9 S ∈ 2^X A _ ©œ>€, e”__ A ∈ A \ @/ #Œ A ⊂ SsÙ¼–Ð

x ∈[

A =⇒ x ∈ A “ A ∈ A  ”>rFôÇ =⇒ x ∈ S

 $íwnôÇ. "fS A ≤ S s“¦, sup A =S A s.  '

Ö

<<K 1.4.2. ^1pxd” inf A =T A `¦ 7£x"î #Œ.

˜

Ðl 4 \"f, X = {1, 2, 3} {9 M: íH"f|9½+Ë 2^XH6£§õ °ú s ÕªaË>

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¼–Ð
è­q ú e”.

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Z Z Z Z Z





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Z Z

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Z Z

Z Z Z

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{1} {2} {3}

{1, 2} {3, 1} {2, 3}

X

∅

|

ºM 5. ýa³ð/BNçߖ R^ν_ ÂÒìr|9½+Ë C ⊂ R^ν 6£§$í|9 x, y ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1 =⇒ tx + (1 − t)y ∈ C

`

¦ëߖ7ᤠ€ s\¦ [>ói;· ‹כÖs ôÇ. ^¦2Ÿ¤|9½+Ë C _ ^¦2Ÿ¤ÂÒìr|9½+Ë F

 6£§$í|9

x, y ∈ C, tx + (1 − t)y ∈ F “ t ∈ (0, 1)  ”>rFôÇ =⇒ x, y ∈ F

`

¦ëߖ7ᤠ€ F \¦ C_ ^@s ôÇ. ôÇ &hܼ–Ð sÀÒ#Q” €`¦þÙU+8 s

 ÂҏÉr. ^¦2Ÿ¤|9½+Ë C _ € „^‰_ |9½+Ë F (C) HŸí†<ʛ'a>\ _ 

#

Œ íH"f|9½+Ës)a.

ë

ߖ{9 C  &ñ€^‰ ABCD s€ F (C) H "鶙è W1 >h“ |9½+Ë X = {a, b, c, d}\ _ôÇ 2^Xü< °ú “Ér íH"f|9½+Ës. z´]j–Ð &ñ€^‰ ABCD _

 €[þt“Ér =Gt&h`¦#QbG> ‚×þ˜ Ö¼
\ ²ú˜9 e”. =Gt&h`¦‚×þ˜  t

 ·ú§Ü¼€ ∅, 
\¦‚×þ˜ € ‘=Gt&h’, ¿º >h\¦‚×þ˜ € ‘—¸"fo’, [j

>

h\¦‚×þ˜ € ‘€’, W1 >h\¦—¸¿º ‚×þ˜ € l ’s)a. "f, s

QôÇ ‚×þ˜õ X _ ÂÒìr|9½+Ë`¦ëߖ׼H‚×þ˜õ @/6£xrv€)a. \V\¦ [

þ

t#Q, —¸"fo AC ∈ F(C) H{a, c} ∈ 2^Xü< @/6£x)a.  '

Ö

<<K 1.4.3. ^{^}¦2Ÿ¤|9½+Ë C _ €[þt–Ð ÅÒ#Q” íH"f|9½+Ë F (C) _ e”__ ÂÒìr

|9

½+˓Ér©œôÇõ ôÇ`¦f”`¦ 7£x"î #Œ.

s

]j, íH"f|9½+Ë X _ ¿º "鶙è x, y ∈ X \ @/ #Œ x ∨ y = sup{x, y}, x ∧ y = inf{x, y}



 æ¼. e”__ ¿º "鶙è x, y ∈ X \ @/ #Œ x ∨ y x9 x ∧ y  ”>rF € X \¦ #” ôÇ. e”__ ÂÒìr|9½+Ës ©œôÇõ ôÇ`¦t€ s\¦TÖh R

#” ÂҏÉr. ©œôÇ_ &ñ_\¦r ôǁ ìøÍ4Ÿ¤ € x ∨ y H6£§¿º

t $í|9

x ≤ x ∨ y, y ≤ x ∨ y x ≤ z, y ≤ z =⇒ x ∨ y ≤ z

\

 _ #Œ &ñ)a. {9ìøÍ&hܼ–Ð, X × X \"f X –Ð H†<Êú ÅÒ#Q t

€ s\¦ X_ T‹Øa:@»ÿ›s ÂҏÉr. \V\¦ [þt#Q"f ƒú_ 8 lü<

Y

L l 1px“Ér—¸¿º s†½Óƒíߖs. ~½ÓFK&ñ_ôÇ (x, y) 7→ x ∨ y, (x, y) 7→ x ∧ y

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H—¸¿º s†½Óƒíߖ“X<, e”__ x, y, z ∈ X \ @/ #Œ 6£§ 1pxd” x ∨ x = x x ∧ x = x

x ∨ y = y ∨ x x ∧ y = y ∧ x

(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) (x ∨ y) ∧ x = x (x ∧ y) ∨ x = x

(16)

s

 $íwnôÇ.

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ƒ6£§¿º t 1pxd”“Ér"î . ƒíߖ ∨ \ @/ôÇ ½+ËZOgË:`¦˜Ðsl 0

A #Œ 6£§ÂÒ1pxd”

(x ∨ y) ∨ z ≤ x ∨ (y ∨ z)

`

¦€$ ˜Ðs. ĺ‚ x ≤ x ∨ (y ∨ z) x9 y ≤ y ∨ z ≤ x ∨ (y ∨ z) –Ð ÂÒ '

 x ∨ y ≤ x ∨ (y ∨ z)  $íwnôÇ. ¢¸ôÇ, z ≤ y ∨ z ≤ x ∨ (y ∨ z) ü< †<Ê a

 ÒqtyŒ• € 0A ÂÒ1pxd”s $íwn†<Ê`¦·ú˜ ú e”. ìøÍ@/ ÂÒ1pxd”õ ∧ \›'a ô

Ç ½+ËZOgË:“Ér°ú “Ér~½ÓZOܼ–Ð 7£x"î)a. ¢¸ôÇ, 1pxd” (x ∨ y) ∧ x = x \¦

˜ Ðs9€

x ≤ x, x ≤ x ∨ y z ≤ x, z ≤ x ∨ y =⇒ z ≤ x

\

¦˜Ðs€ ÷&HX<, sH"î .

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<<K 1.4.4. (16)\
š¸H 1pxd”[þt_ 7£x"î`¦Áºo #Œ.

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ËP 1.4.1. )Ö<"k· ‹כÖX q™»qq ¨£ 4wH€Ð x, y ∈ X ;c 60 #l x ∨ y D

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x ∧ y  +í<< ^@(16) T )ç· Â6Ò. *9đ}¹,· ‹כÖX ;c T‹Øa:@»ÿ›∨ Ü

ï∧  +äqE'#e )çHžB(16) Ãç> ¹ÿ›ø¶;Â6Òz +ä . T CI, x ≤ y ⇐⇒ x ∨ y = y



 +äq ^@X ¤< )Ö<"k· ‹כÖT E'z, T )Ö<"k;c 60 #l #” ùÚH.

7

£x"î: 'Í P: "î]jHsp 7£x"î %i. €$, x ≤ x H (16)_ 'Í P: $í

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“:r. ëߖ{9 x ≤ y, y ≤ x s€ x ∨ y = y s“¦ y ∨ x = x s.

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ªX< s†½Óƒíߖ ∨ s “§¨8ŠZOgË:`¦ëߖ7ᤠÙ¼–Ð x = y e”`¦·ú˜ ú e”.

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ߖ{9 x ≤ y, y ≤ z s€

x ∨ z = x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z = y ∨ z = z s

Ù¼–Ð x ≤ z  $íwnôÇ. s]j, sup{x, y} = x ∨ y e”`¦˜Ðs. €$ x ∨ (x ∨ y) = (x ∨ x) ∨ y = x ∨ y

s

Ù¼–Ð x ≤ x ∨ y  $íwn “¦, #Œl\"f x ü< y _ %i½+É`¦˨€ y ≤ y ∨ x = x ∨ y e”`¦·ú˜ ú e”. =åQܼ–Ð, x ≤ z, y ≤ z s€

(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) = x ∨ z = z s

“¦, "f x ∨ y ≤ z s. ÕªQÙ¼–Ð sup{x, y} = x ∨ y s 7£x"î÷&%3



. 1pxd” inf{x, y} = x ∧ y _ 7£x"î“Érƒ_þvëH]j–Ð zŒ™|.  '

Ö

<<K 1.4.5. &ño 1.4.1 _ 7£x"î\"f 1pxd” inf{x, y} = x ∧ y `¦ 7£x"î #Œ.