조합 [ 1]
조 합
서로 다른
개에서 순서 없이
개를 택하는 것 :
①
②
③
분할과 분배
분할 조가 구별되지 않는 경우( ) :
①
서로 다른
개를
개로 나누는 방법의 수 I)
이 다르면 :
∙
∙
ii)
이 같으면 :
∙
∙
∙
분배 조가 구별되는 경우( ) :
②
서로 다른
개를
개로 나누어서
에게나누어 주는 방법의 수 : (분할의 수)×3!
순열과 조합을 이용
직선의 개수 : 직선에 필요한 점은 2개
①
일직선위의 점들 중에 두 점을 뽑은 경우
※
직선은 오직 한 개만 센다.
삼각형의 개수 : 필요한 점은 3개
②
일직선위의 점들 중에서 세 점을 뽑은 경우는
※
삼각형이 성립할 수 없다.
함수의 개수 구하기
③
⋯
,
⋯
㉠
에서
로의 함수의 개수 :
㉡
에서
로의 일대일 함수의 개수 :
㉢
에서
로의 일대일 대응함수의 개수 :
㉣
일 때,
인 함수의 개숫 :
치역과 공역이 같은 경우 : 분할과 분배
㉤
월 수 능 04. 11
여덟 개의 와 네 개의 를 모두 사용하여 만든 자리 문자열 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 문자열의 개수는? [4 ]점
① ② ③ ④ ⑤
기 출 2
월 전국연합 05. 3
정수는 대학생이 되면 해외로 배낭여행을 하기로 하고, 가고 싶은 나라를 대륙별로 아래 표와 같이 적어보았 다 정수는 두 대륙을 여행하되 먼저 방문하는 대륙에. 서는
개국을 여행하고 두 번째 방문하는 대륙에서는,
개국을 여행하기로 하였다 정수가 계획할 수 있는. 배낭여행의 경우의 수를 구하시오. ( ,단 방문국의 순서 는 고려하지 않는다.) [4 ]점대 륙 가고 싶은 나라
아시아 일본 중국 인도 태국, , , 유 럽 프랑스 이탈리아 스페인 그리스, , , 아메리카 미국 멕시코 브라질, , 아프리카 이집트 리비아 튀니지, ,
월 수 능 05. 11
부터 까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때 두 수의 합이, 의 배수가 되는 경우의 수는? [4 ]점
① ② ③ ④ ⑤
기 출 4
월 평가원 05. 6
어느 건물에서는 출입을 통제하기 위하여 각 자리가
‘ ’과 ‘ ’로 이루어진 자리 문자열의 보안카드를 이용하고 있다 보안카드의. 자리 문자열에 ‘ ’의 개수가 개이거나 문자열의 처음 자리가 ‘ ’이 면 이 건물의 출입문을 통과할 수 있다 예를 들어. , 보안카드의 문자열이 ‘ ’이거나 ‘ ’ 이면 이 건물에 출입할 수 있다 이 건물의 출입문을. 통과할 수 있는 서로 다른 보안카드의 총 개수를 구하 시오. [4 ]점
월 평가원 04. 6
학년도 대학수학능력시험에서 과학탐구 영역을 선택하는 학생은 물리Ⅰ, 화학Ⅰ, 생물Ⅰ, 지구과학Ⅰ, 물리Ⅱ, 화학Ⅱ, 생물Ⅱ, 지구과학 의Ⅱ 개 과목 중에서 최대과목까지 응시할 수 있다 단 물리. , Ⅱ, 화학Ⅱ, 생물Ⅱ, 지구과학 의Ⅱ 개 과목에서 는과목까지만 선택할 수 있다 어떤 학생이 과학탐구 영역에서.
개 과목을 선택하려고 할 때 선택 가능한 모든 경우의 수를, 구하시오. [4 ]점
기 출 6
월 평가원 05. 6
지역에는 세 곳,
지역에는 네 곳,
지역에는 다섯 곳,
지역에는 여섯 곳의 관광지가 있다 이 중에서 세. 곳을 선택하여 관광하려고 할 때 선택한 세 곳이 모두, 같은 지역이 되는 경우의 수는? [3 ]점① ② ③ ④ ⑤
조합 [ 3]
기 출 7
월 전국연합 06. 10
집합
에서 원소가
개인 모든 부분집합을 각각
…
이라고 하자.집합
⋯
의 모든 원소들의 합을
라고 할 때,
…
의 값을 구하시오. [4 ]점기 출 8
월 평가원 06. 6
종류의 과자 , , , , , , , 로 다음 조건에 따라 세트 상품을 만들려고 한다.
가 각 세트에는 서로 다른
( ) 종류의 과자를 각각 한
개씩 담는다.
나
( ) 또는 를 담는 경우에는 와 를 같은 세트에 담는다.
다
( ) , , 모두를 같은 세트에 담지 않는다.
서로 다른 세트 상품을 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오 점
[4 ]
월 평가원 07. 6
어느 동아리에 속한 여학생 수와 남학생 수가 같다 이. 동아리에서
명의 대표를 선출하려고 한다 남녀 구분. 없이
명의 대표를 선출하는 경우의 수가 여학생 중에서
명의 대표를 선출하는 경우의 수의
배일 때 이, 동아리에 속한 여학생 수는? [3 ]점① ② ③ ④ ⑤
기 출 10 월 수 능 07. 11
부와 부로 나누어 진행하는 어느 음악회에서 독창 팀, 중창 팀 합창, 팀이 모두 공연할 때 다음 두 조건에 따라,
팀의 공연 순서를 정하려고 한다.
( ) 부에는 독창 중창 합창 순으로가 , , 팀이 공연한다.
( ) 부에는 독창 중창 합창 합창 순으로나 , , , 팀이 공연한다.
이 음악회의 공연 순서를 정하는 방법의 수는? [3 ]점
① ② ③ ④ ⑤
월 수 능 06. 11
의 숫자가 하나씩 적힌
개의 공을
개의 상자
에 넣으려고 한다 어느 상자에도 넣어진. 공에 적힌 수의 합이
이상이 되는 경우가 없도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는? ( ,단 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을
으로 한다.) [4 ]점①
②
③
④
⑤
기 출 12 월 평가원 08. 6
그림과 같은 모양의 종이에 서로 다른 가지 색을 사 용하여 색칠하려고 한다 이웃한 사다리꼴에는 서로. 다른 색을 칠하고 맨 위의 사다리꼴과 맨, 아래의 사다리 꼴에 서로 다른 색을 칠한다. 개의 사다리꼴에 색을 칠하
는 방법의 수를 구하시오. [4 ]점
월 인 천 08. 7
이 성립하는 모든
의 값의합은? [
점]①
②
③
④
⑤
기 출 14 월 수 능 07. 11
서로 다른
종류의 체험 프로그램을 운영하는 어느 수련원이 있다 이 수련원의 프로그램에 참가한.
와
가 각각
종류의 체험 프로그램 중에서
종류를 선택하려고 한다.
와
가 선택하는
종류의 체험 프로그램 중에서 한 종류만 같은 경우 의 수를 구하시오. [4 ]점기 출 15 월 평가원 07. 6
부터
까지의 서로 다른 자연수
에 대하여⋅
⋅
⋅
⋅
로 나타내어지는 다섯 자리의 자연수
중에서
의 배수이고 ＞＞
, ＜＜
를 만족시키는 모든 자연수의 개수는? [4 ]점
①
②
③
④
⑤
조합 [ 5]
기 출 16 월 전국연합 08. 3
부터 까지 개의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 일렬로 나열하여 세 자리의 자연수를 만들 때 그 중 각 자리의 수의, 곱이 의 배수인 자연수의 개수는? [3 ]점
① ② ③ ④ ⑤
기 출 17 월 평가원 06. 6
남학생 명과 여학생 명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다 이 놀이기구는 그림과. 같이 한 줄에 개의 의자가 있고 모두 줄로 되어 있 다 남학생. 명과 여학생 명이 짝을 지어 명씩 같 은 줄에 앉을 때, 명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4 ]점
월 수능 06. 11
어른 명과 어린이 명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다 이 놀이기구는 그림과. 같이 앞줄에 개 뒷줄에, 개의 의자가 있다 어린이. 가 어른과 반드시 같은 줄에 앉을 때, 명이 모두 놀이 기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4 ]점
기 출 19 월 전국연합 08. 3
명이 인용 소파에 명, 인용 소파에 명으로 나누어 앉으려고 한다 이때. 와 가 같은 소파에 이웃하여 앉는 방법의 수를 구하시오. [4 ]점
월 인 천 08. 7
놀이공원의 대관람차는 한 차량당 최대 탑승 인원이 명이고 안전을 위하여 어린이들은 반드시 어른을 5 ,
한 명 이상 동반하여 탑승해야 한다 어른 명과. 3 어린이 명이 비어있는 서로 다른5
대의 차량 중두 대의 차량을 선택하여 탑승하는 방법의 수를
이라고 할 때,
의 값을 구하시오. [
점]기 출 21 월 전국연합 05. 3
그림과 같은
개의 빈칸에
,
,
,
,
,
의
개의 수를 하나씩 써 넣으려고 한다.
열,
열,
열 의 숫자들의 합을 각각
,
,
라 할 때,
이 되도록 빈 칸을 채우는 경우의 수는?점 [4 ]
월 평가원 06. 9
기 출 23 월 평가원 06. 6
어느 회사에서 사원 연수를 위하여 네 지역 서울 부산, , 광주 대구에서 각각, 명씩 모두 명의 사원을 선발 하였다 같은 지역에서 선발된 사원끼리는 같은 조에. 속하지 않도록 각 지역에서 한 명씩 선택하여 명으로 구성된 개의 조로 나누는 방법의 수는? [3 ]점
① ② ③ ④ ⑤
조합 [ 7]
기 출 24 월 평가원 04. 9
개의 증권 회사,
개의 통신 회사,
개의 건설 회사가 있다.증권 통신 건설 각 업종별로 적어도 하나의 회사를 선택하여 총, ,
개의 회사에 입사원서를 내는 경우의 수를 구하시오. [3 ]점기 출 25 월 전국연합 07. 3
좌우 대칭인 모양과 모양의 철사가 각각 두 개씩 있다 그림과 같이 각 철사의 가운데를 서로. 연결한 후 여섯 군데의 고리에 서로 다른, 개의 인형
를 매달아 회전모빌을 만들려고 한 다 이때 만들 수 있는 서로 다른 회전모빌의 개수를. 구하시오. ( ,단 그림의 ● 부분은 회전 가능하고, 모양의 두 철사는 합동이다.) [4 ]점
월 전국연합 05. 4
양의 정수 , 에 대하여 부등식
를 만족시키는 좌표평면 위의 점에서 임의로 세 점을 선택할 때 이 세 점을, 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오. [3 ]점
기 출 27 월 전국연합 07. 10
그림은 합동인 정사각형
개를 연결하여 만든 도형을 나타 낸 것이다 이 도형의 선들로 이루어질 수 있는 직사각형의. 개수는? [4 ]점
월 전국연합 05. 7
그림과 같이 점
에서 만나는 두 선분
,
위에
개의점이 있다 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를. 구하시오. [3 ]점
기 출 29 월 평가원 04. 9
집합 에 대하여 다음 세
조건을 모두 만족하는 함수 의 개수를 구하시오. [4 ]점
월 전국연합 05. 4
집합 에 대하여 다음
조건을 모두 만족시키는 의 부분집합 의 개수를 구하시오. [4 ]점
기 출 31 월 평가원 05. 6
집합 에서 로의 함수 중에
서 다음 두 조건을 만족시키는 함수 의 개수를 구하 시오. [4 ]점
조합 [ 9]
월 평가원 08. 9
할아버지 할머니 아버지 어머니 아들 딸로 구성된 가족이, , , , , 있다 이 가족.
명이 그림과 같은
개의 좌석에 모두 앉을 때 할아버지 할머니가 같은 열에 이웃하여 앉고 아버지, , , , 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오.점 [4 ]
기출문제 답
1 ② 2 126 3 ⑤ 4 68 5 52
6 ④ 7 105 8 25 9 ② 10 ④
11 ② 12 30 13 ① 14 60 15 ③
16 ④ 17 160 18 72 19 36 20 420
21 ② 22 200 23 ③ 24 126 25 45
26 76 27 ④ 28 60 29 32 30 64
31 120 32 64
집합 는 이하의 자연수의 부분집합 중에 서 원소 1, 2중 어느 하나만을 포함하면서 원소가 개4 인 부분집합의 개수를 구하시오.
예 상 2
자리 정수 중에서 각 자리수가 증가
3 100, 101, …, 999
또는 감소하는 순서로 배열된 수의 개수는?
204 208 212 216 220
① ② ③ ④ ⑤
예 상 3
갑 을 병 세 사람에게 서로 다른 종류의 과일 개를, . 5 나누어 주는데 두 사람에게는 두 개씩 한 사람에게는, 한 개를 나누어 주는 서로 다른 방법의 수는?
15 30 60 90 120
① ② ③ ④ ⑤
예 상 4
키가 서로 다른 명의 학생이 있다 이중 명을 뽑아서5 . 3 일렬로 세울 때 세 번째 학생이 키가 가장 작은 경우의, 수는?
10 15 20 25 30
① ② ③ ④ ⑤
국의 전화번호 중 뒤의 네 자리가
○○○
-2322, -0010, -9090,
○○○ ○○○ ○○○ …
등과 같이 두 종류의 숫자로만 된 전화번호는 모두 몇 가지를 만들 수 있는가?
600 610 620 630 640
① ② ③ ④ ⑤
예 상 6
그림은 12개의 정사각형으로 이루어진 도형이다 이 중 색칠한 부분을 포함하지. 않는 직사각형의 개수는?
36 38 40
① ② ③
42 44
④ ⑤
예 상 7
그림과 같이 동일한 간격으로 이루어진 선분이 있다 이. 선분들로 만들 수 있는 사각형의 수는?
조합 [ 11]
어떤 사무실에 10개의 책상이 일렬로 배열되어 있다. 개의 전화기를 책상위에 놓는데 어느 두 개의 전화기도
3 ,
인접하지 않도록 배치하는 방법의 수는? ( ,단 전화기의 구별은 생각하지 않는다.)
예 상 9
명이 함께 영화관에 갔더니 열이 이웃한 세 자리
4 1 ,
열에 이웃한 두 자리의 좌석표가 남아있었다 명이
2 . 4
각 열에 두 명씩 이웃하여 않는 방법의 수는?
12 24 36 48 60
① ② ③ ④ ⑤
예 상 10
명이 타고 있는 버스가 세 정류장을
6
를 순서대로 경유한다. 3개의 정류장
중 두 개의 정류장에 승객이 모두 내릴 수 있는 경우의 수는?단 새로 타는 승객은 없다
( , .)
90 126 150 186 246
① ② ③ ④ ⑤
예 상 11
명이 층에서 엘리베이터를 탄 후 명 명 명씩
5 1 2 , 2 , 1
개조로 나누어 층에서 층 중 어느 한 층에 한 개조
3 2 6
씩 내리는 경우의 수는?
90 300 600 900 1800
① ② ③ ④ ⑤
예 상 12
층짜리 빌딩의 엘리베이터가 층까지는 짝수층만
12 6
운행되고 층부터7 12층까지는 모든 층을 운행한다. 이 때 층에서 탑승한 명중 명은 홀수층에서 내리고1 5 1 ,
명은 두 명씩 짝수층에서 내리는 경우의 수를 구하여라
4 .
단 층에서는 멈추지 않는다
( 2 .)
예 상 13
원 위에 개의 점이 있다 이 점들 중 두 점을 양 끝점7 . 으로 하는 선분 개를 임의로 택할 때 이 두 선분이2 , 서로 만나지 않는 경우의 수는?
그림은 위 조건의 한 예일 뿐이다
( .)
35
① 40
② 55
③ 60
④ 70
⑤
예 상 14
교내 팔씨름 경연대회에 60명이 출전하였다 추첨을. 통하여 명씩 경기를 진행하여 승자는2 32강에 진출하 고 패자는 탈락하며 몇 명은 부전승으로 올라간다.
강부터는 부전승 없이 토너먼트 방식으로 경기를 32
진행할 때 우승자가 결정될 때까지 치러지는 총 경기, 수를 구하여라.
다음 함수의 개수를 구하여라.
(1) , 일 때, 함수 → 는 모두 몇 개인가?
(2) , 일 때 함수, → 중에서 ≠ 이면, ≠ 를 만족하는 함수는 모 두 몇 개인가?
(3) , 일 때, 함수 → 중 일대일 대응이 되는 함수는 모두 몇 개인가?
(4) , 일 때 함수, → 중에서 이면, 를 만족하는 함수는 모 두 몇 개인가?
답 : (1) 8, (2) 24, (3) 6, (4) 10
예 상 16
두 집합 , ⋯에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 함수 →의 개수는?
1) ∈ ∈일 때, 이면 2)
예 상 17
집합
에서
로의 함수 중에서 치역의 모든 원소의 곱이 짝수인 함수의 개수는?96 128 160 196 240
① ② ③ ④ ⑤
집합
에서 집합
로의 함수
가 다음조건을 만족한다.1)
≥
2)
이면,
이 때 함수
의 개수는?10 14 16 20 24
① ② ③ ④ ⑤
예 상 19
집합
에서집합
로의 함수 중에서
를 만족하는 함수의 개수를 구하시오.예 상 20
병우는 새로 구입한 휴대전화에 에서 까지0 9 10개의 수에서 등과 같이 두 종류의 숫자로만 1211, 5225, 0010, …
비밀번호를 만들어 저장하려고 한다 이와 같은 방법으로. 만들 수 있는 비밀번호의 개수를 구하여라.
단 비밀번호는 개의 숫자로 구성된다
( , 4 .)
예 상 21
어느 스포츠 경기에서는 명의 심판이 반드시 필요하고3 , 한 팀에는 명의 선수가 필요하다고 한다3 . 9명이 경기를 하기 위해 명씩 두 팀의 선수를 구성하고 나머지 명은3 , 3 심판을 보기로 하였다 이 때 이 경기를 하기 위해서 명을. , 9
조합 [ 13]
예 상 22
집합 에서 로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족하는 함수 의 개수를 구하시오.
가
( ) 의 역함수가 존재한다.
나
( ) 다
( )
예 상 23
집합 X={ }에서 정의된 함수 →
중 , , 을 만족하는 모든 함수를 , , ⋯, 이라 할 때,
의 값은?
75 100 175 225 250
① ② ③ ④ ⑤
예 상 24
이 자연수일 때, 명의 학생을 두 명씩 개의 조로
나누는 방법의 수를
이라 하자. 이 때,
의 값은?
① ② ③ ④ ⑤
다음을 만족시키는 집합 와 의 순서쌍 의 개수는?
(i)
∪
(ii)
560 588 616 644 672
① ② ③ ④ ⑤
예 상 26
명의 경위와 명의 순경이 명 명 명으로 나누어 서로
3 8 4 , 4 , 3
다른 세 순찰차에 탑승하려고 한다. 3명의 경위는 각각 다른 순찰차에 탄다고 할 때 탑승하는 방법의 수는, ?
3360 6720 8400 10080 13640
① ② ③ ④ ⑤
예 상 27
그림은 좌표평면위에 개의 도형6
,
,
,
,
,
의 교점 중 원점을 제외한 16개의
교점을 나타낸 것이다. 이들 16개의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하여라.
개 팀으로 이루어진 리그의 프로축구 경기에서 각 팀은 한
10 A
시즌에 다른 모든 팀과 경기씩 치르게 되어 있다 한 시즌이5 . 끝나고 난 후 위부터1 10위까지 모든 팀의 승리한 경기의 수가 등차수열을 이루었다. 10위를 한 팀이 승을 하였을 때9 ,
위를 한 팀이 승리한 경기의 수는 단 비기는 경우는 없다
1 ? ( , )
예 상 29
두 집합
, ⋯
에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 함수 →
의 개수는?가
( )
는 짝수이다.나
( )
∈ ∈
일 때,
이면
이다.60 62 64 66 68
① ② ③ ④ ⑤
예 상 30
집합
에서 집합
으로의 함수
중에서 등식 ×
을 만족하는 것의 개수를 구하시오.
