√ 0663 0670 0662 0669 0661 0668 0660 0667 0659 0666 0658 0665 0664

(1)

5. 삼각비 | 61

㉣ cos 45˘= , cos 60˘=;2!;이므로

㉣cos 45˘>cos 60˘

㉤ tan 90˘의 값은 정할 수 없다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉤이다. 답 ㉠, ㉡, ㉤

0658

예빈 : sin 0˘=0 대성 : cos 0˘=1

진호 : tan 90˘의 값은 정할 수 없다.

유영 : cos 90˘=0

따라서 삼각비의 값이 1인 카드를 들고 있는 학생은 대성

이다. 답 대성

0659

① sin 90˘+cos 0˘=1+1=2

② sin 0˘+sin 90˘=0+1=1

③ sin 0˘+tan 0˘=0+0=0

④ 2 cos 0˘+sin 90˘=2_1+1=3

⑤ 2 cos 0˘+tan 0˘=2_1+0=2 답 ③

0660

(주어진 식)= _1_'3- _1_0=

답

0661

① (주어진 식)=1_1+0_0=1

② (주어진 식)=1-1=0

③ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1

④ (주어진 식)=;2!;- =

⑤ (주어진 식)= _ +'3_ =;2!;+1=;2#;

답 ②

0662

0˘…x…90˘인 범위에서 x의 값이 증가하면 sin x의 값은 0에서 1까지 증가하므로 sin 90˘>sin 70˘, 즉 ㉠>㉢

cos x의 값은 1에서 0까지 감소하므로 cos 90˘<cos 70˘, 즉 ㉡<㉣

tan x의 값은 0에서 무한히 증가하므로 tan 45˘=1<tan 50˘, 즉 ㉠<㉤

이때 45˘<x<90˘인 범위에서 sin x>cos x이므로 sin 70˘>cos 70˘, 즉 ㉢>㉣

∴ ㉡<㉣<㉢<㉠<㉤ 답 ③

0663

0˘…A…90˘일 때

① ∠A가 커지면 cos A의 값은 작아진다.

② ∠A가 커지면 sin A의 값은 커진다.

③ tan A의 최댓값은 알 수 없다.

④ sin A의 최댓값은 1이다.

⑤ cos A의 최댓값은 1이다. 답 ④

1 '3 '2

2 '2

2

1-'2 2 '2

2

'6 2 '6

2 '3

2 '2

2

0664

45˘<A<90˘일 때, cos A<sin A<1이고

tan A>1이므로 cos A<sin A<tan A 답 ③

0665

A=sin 61˘>sin 60˘=

B=cos 35˘<cos 30˘=

C=tan 46˘>tan 45˘=1

따라서 cos 35˘<sin 61˘<tan 46˘이므로

B<A<C 답 ③

0666

sin 23˘=0.3907이므로 x=23 cos 20˘=0.9397이므로 y=20

∴ x+y=23+20=43 답 43

0667

③ cos 40˘+tan 41˘=0.7660+0.8693=1.6353

④ sin 38˘=0.6157, tan 39˘=0.8098이므로 그 차는 0.8098-0.6157=0.1941

⑤ cos 41˘=0.7547 답 ⑤

0668

cos 20˘=

∴ AC”=10 cos 20˘=10_0.9397=9.397 (cm) 답 9.397 cm

0669

△ABD에서 cos 55˘=

∴ BD”=50 cos 55˘=50_0.6=30 sin 55˘=

∴ AD”=50 sin 55˘=50_0.8=40

∠BAD=180˘-(90˘+55˘)

=35˘

∠CAD=80˘-35˘=45˘

이므로 △ADC에서

tan 45˘= =1 ∴ CD”=40

∴ BC”=BD”+CD”=30+40=70 답 70 CD”

40 AD”

50

BD”

50 AC”

10

'3 2 '3 2

45˘

55˘

35˘

A

B C

D 50

p.114~115

0670

^AE”=4

EG”="√4¤ +4¤ =4'2 AG”="√4¤ +4¤ +4¤ =4'3

∴ tan x_cos x= _

∴ tan x_cos x= = 답 '3 3 '3

3 1 '3

4'2 4'3 4 4'2

A

E x G

2 4

4 4 3

(2)

0671

tan x=;1!0^;=1.6

이때 tan 58˘=1.600이므로

∠x=58˘ 답 58˘

0672

점 A에서 △BCD에 내린 수 선의 발을 H라 하면 점 H는

△BCD의 무게중심이므로 DH” : HM”=2 : 1 DM”= _6=3'3, MH”=;3!;_3'3='3, AM”= _6=3'3이므로

cos x= = =;3!; 답 ;3!;

0673

AC”="√8¤ +8¤ =8'2 (cm)이므로 OC”=;2!;AC”=;2!;_8'2=4'2 (cm)

△VOC에서 VO”="√9¤ -(4'2 )¤ ='4å9=7 (cm)

∴ sin x= =;9&; 답 ;9&;

0674

∠DBG=x이므로 ;2{;=a라 하 고 오른쪽 그림과 같이 ∠DBG 의 이등분선을 그어 DG”와 만나 는 점을 M이라 하자.

△BGF에서 ∠BGF=60˘, GF”=6이므로

cos 60˘= =;2!; ∴ BG”=12 tan 60˘= ='3 ∴ BF”=6'3 또 ∠DGH=45˘이므로 tan 45˘= =1

∴ HG”=6'3

DG”="√(6'3)¤ +(6'3)¤ ='∂216=6'6 따라서 △BDG는 BD”=BG”인 이등변삼각형이고 ∠B의 이등 분선인 BM”은 DG”를 수직이등 분한다. 즉

BM”="√12¤ -(3'6 )¤

='∂90=3'∂10

∴ cos ;2{;=cos a

∴ cos ;2{;= = = 답 '∂10 4 '∂10

4 3'∂10

12 BM”

BG”

6 6

B

D M

12 a a 12

G 6'3

HG”

BF”

6 6 BG”

M 12

3 6 3

6

a

45˘

A

B

G F 60˘

6 C

H E D 6 VO”

VC”

'3 3'3 MH”

AM”

'3 2 '3 2

A

D

C M

H B

6

x 6

0675

0˘…x…90˘일 때, 0…sin x…1이므로 sin x+1>0, sin x-1…0

∴ "√(sin x+1)¤ +"√(sin x-1)¤

∴=(sin x+1)-(sin x-1)

∴=2 답 2

0676

45˘<x<90˘일 때,

tan x>1이므로 1-tan x<0

<sin x<1이므로 1-sin x>0

∴ "√(1-tan x)¤ -"√tan¤ x+"√(1-sin x)¤

∴=-(1-tan x)-tan x+(1-sin x)

∴=-1+tan x-tan x+1-sin x

∴=-sin x 답 ③

0677

45˘<A<90˘일 때, sin A>cos A>0이므로 sin A+cos A>0, cos A-sin A<0

∴ "√(sin A+cos A)¤ +"√(cos A-sin A)¤

∴=(sin A+cos A)-(cos A-sin A)

∴=2 sin A='3

∴ sin A=

이때 오른쪽 그림에서 cos A=;2!;

답 ;2!;

0678

45˘<x<90˘일 때, tan x>1이므로 1+tan x>0, 1-3 tan x<0

∴ "√(1+tan x)¤ +"√(1-3 tan x)¤

∴=(1+tan x)-(1-3 tan x)

∴=4 tan x=6

∴ tan x=;2#;

이때 오른쪽 그림에서 cos (90˘-x)= =

답

0679

오른쪽 그림에서

sin x=;bA;, cos x=;bC;이므로

sin x：cos x=;bA;：;bC;=a：c=5：12 x a

b

c 3'∂13

13 3'∂13

13 3

'∂13 2

x 13 3 90˘-x

A B

C

1

2 3

'3 2 '2

2

(3)

5. 삼각비 | 63 이때 a=5k, c=12k (k>0)라 하면

b="√(5k)¤ +(12k)¤ =13k

∴ cos x=;bC;=;1!3@kK;=;1!3@; 답 ;1!3@;

0680

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=a cm라 하면 tan B= ='2

∴ AH”='2a (cm)

△ABH에서

6¤ =a¤ +('2a)¤ , 36=a¤ +2a¤

a¤ =12 ∴ a=2'3 (∵ a>0)

∴ AH”='2a='2_2'3=2'6 (cm)

∴ △ABC=;2!;_8_2'6=8'6 (cm¤ )

답 8'6 cm¤

0681

오른쪽 그림과 같이 점 Q에 서 AP”에 내린 수선의 발을 H라 하면

∠APQ=∠CPQ(접은 각),

∠APQ=∠PQC(엇각) 이므로

∠CPQ=∠CQP ∴ CP”=CQ”=3

이때 △CQR는 직각삼각형이므로 QR”="3√¤ -2¤ ='5

∴ `BQ”=QR”='5

△PHQ에서

PH”=3-'5, HQ”=2이므로 tan x= =

tan x= =

답

0682

^{sin x=} ⁼ =;2!; ∴ AB”=4

△ABC에서 AC”="√4¤ -2¤ ='1å2=2'3

△ABC와 △DBE에서

∠C=∠E=90˘이고, ∠ABC=∠DBE (맞꼭지각)이 므로 △ABCª△DBE (AA 닮음)

2 AB”

BC”

AB”

3+'5 2 3+'5

2 2(3+'5)

(3-'5)(3+'5) 2 3-'5 HQ”

PH”

5 5

A D

2 3

3 C

R 3

2

H P

B

x x x

Q AH”

a ^B ^C

A

H 8 cm 6 cm

2a`cm a`cm

따라서 AB”：DB”=AC”：DE”에서 4：2=2'3：DE” ∴ DE”='3 또 AB”：DB”=BC”：BE”에서 4：2=2：BE” ∴ BE”=1

∴ tan y= = =

답

0683

△ABC에서 ∠A=36˘이므로

∠B=∠C=;2!;_(180˘-36˘)=72˘

∴ ∠ABD=∠DBC=;2!;∠B=;2!;_72˘=36˘

△DAB는 ∠DAB=∠DBA=36˘인 이등변삼각형이 므로 △DAB의 점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면

AH”=BH”=;2!;AB”=;2A;

DA”=DB”=BC”=b 따라서 △DAH에서

cos 36˘= = =

답 ④

0684

△ABC에서

sin 60˘= = ∴ AC”=2'3 cos 60˘= =;2!; ∴ BC”=2

△ACF에서

cos 45˘= = ∴ AF”='6

∴ CF”=AF”='6

△BEC에서

∠BCE=180˘-(90˘+45˘)=45˘이므로 cos 45˘= = ∴ CE”='2

∴ FE”=CF”+CE”='6+'2 이때 BE”=CE”='2이고 △ADB에서

∠ABD=180˘-(60˘+45˘)=75˘이므로 DB”=DE”-BE”='6-'2

∴ tan 75˘= =

∴ tan 75˘=

∴ tan 75˘=2+'3

답 2+'3 8+4'3

4

('6+'2)¤

('6-'2)('6+'2) '6+'2 '6-'2 AD”

DB”

'2 2 CE”

2 '2

2 AF”

2'3 BC”

4 '3

2 AC”

4

a 2b

;2A;

b AH”

AD” ^B ^C

D A

b a 36˘

H

'3 5 '3

5 '3 4+1 DE”

AE”

(4)

0691

△ABC에서 sin 30˘= =;2!; ∴ AC”=4 (cm) cos 30˘= = ∴ BC”=4'3 (cm)

∠A=60˘이고 ∠DAC=;2!;∠A=30˘이므로

△ADC에서

tan 30˘=;4};= ∴ y=

이때 BD”=BC”-CD”이므로 x=4'3- =

∴ x-y= - = 답

0692

(μAB의 길이)=2p_OA”_ =4p

p=4p ∴ OA”=16

△AOH에서

sin 45˘= = ∴ AH”=8'2

cos 45˘= = ∴ OH”=8'2

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOH

=p_16¤ _ -;2!;_8'2_8'2

=32p-64=32(p-2) 답 32(p-2)

0693

tan 60˘='3이고 기울기는 음수이므로

주어진 직선은 기울기가 -'3이고 y절편은 3'3이다.

따라서 직선의 방정식은

y=-'3x+3'3, 즉 '3x+y-3'3=0

답 ②

0694

⑤ x의 값이 작아지면 sin x의 값은 작아지고, cos x의

값은 커진다. 답 ⑤

0695

tan 36˘+cos 36˘= +

tan 36˘+cos 36˘=0.73+0.81=1.54 답 ③

0696

① sin 30˘+tan 0˘=;2!;+0=;2!;

② sin 60˘+cos 30˘= + ='3

③ tan 45˘÷cos 45˘=1÷ ='2

④ sin60˘_sin0˘+cos30˘_cos0˘

①= _0+ _1= '3 2 '3

2 '3

2

'2 2

'3 2 '3

2 OA”

OB”

CD”

OC”

45˘

360˘

'2 2 OH”

16 '2

2 AH”

16 OA”

4

45˘

360˘

4'3 3 4'3

3 4'3

3 8'3

3

8'3 3 4'3

3 4'3

3 '3

2 BC”

8

AC”

8

p.116~119

0685

AB”=øπ('∂10 )¤ -1¤ ='9=3이므로

③ cos C= = 답 ③

0686

^{sin B=} =;4#;이므로 AC”=6 (cm)

∴ BC”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7 (cm) ^{답 ②}

0687

tan A=2이므로 오른쪽 그림에서 AB”="√2¤ +1¤ ='5

∴

= = =;3!;

답 ④

0688

△BED와 △BAC에서

∠B는 공통, ∠BED=∠BAC=90˘이므로

△BEDª△BAC(AA 닮음) 따라서 ∠C=x이고

BC”="√12¤ +5¤ ='∂169=13

∴ cos x=cos C=;1∞3; ^{답 ⑤}

0689

x sin 30˘+y cos 45˘=1에서

;2!;x+ y=1

이 직선의 x절편은 2, y절편은 '2이므로 오른쪽 그림에서

AB”="√2¤ +('2 )¤ ='6

∴ sin a= = =

답 ②

0690

∠A：∠B：∠C=1：2：3이므로

∠A=180˘_ =30˘

∠B=180˘_ =60˘

∴ sin B+tan A=sin 60˘+tan 30˘

∴ sin B+tan A= +

∴ sin B+tan A=5'3 답 ① 6

2'3 6 3'3

6 '3

3 '3

2 2 1+2+3

1 1+2+3

'3 3 2'3

6 '2 '6

A

B 2

O x

y

2 a '2

2

13'55 12333 12333'55

2 1

12-12 '5 '5 111112 1

12+12 '5 '5 sin A-cos A sin A+cos A

B

A 1 C

5 2 AC”

8

'∂10 10 1 '∂10

(5)

5. 삼각비 | 65

⑤ sin 90˘_cos 60˘-cos 90˘_tan 60˘

⑤=1_;2!;-0_'3=;2!; ^{답 ③, ⑤}

0697

㉠ sin 10˘<sin 30˘=;2!;

㉡ cos 60˘=;2!;

㉢ tan 45˘=1

㉣ sin 30˘<sin 70˘<sin 90˘=1

㉤ tan 60˘='3

∴ ㉠<㉡<㉣<㉢<㉤ 답 ③

0698

① sin 40˘=0.6428

② cos 80˘=0.1736

③ tan 20˘=0.3640

④ cos 20˘=0.9397이므로

sin(90˘-20˘)=0.9397 ∴ x=70˘

⑤ tan 40˘=0.8391이므로 x=40˘ 답 ④

0699

FH”="√4¤ +3¤ ='2å5=5 (cm) DF”="√4¤ +3¤ +5¤

='5å0=5'2 (cm) 이므로

cos x= =

답 ④

0700

0˘<x<45˘에서 cos x>sin x>0이므로 cos x+sin x>0, sin x-cos x<0

∴ "√(cos x+sin x)¤ -"√(sin x-cos x)¤

∴=(cos x+sin x)+(sin x-cos x)

∴=2 sin x=1

∴ sin x=;2!;

이때 오른쪽 그림에서 tan x= =

답

0701

점 A, D에서 BC”에 내린 수 선의 발을 E, F라 하면 EF”=4

△ABE™△DCF (RHA 합동) 이므로

BE”=CF”=;2!;_(8-4)=2

B C

A 4

8 6

D

E F

'3 3 '3

3 1 '3

x 2 1

3 '2

2 5 5'2

F H

D

x 5`cm 2 5`cm 5 cm

따라서 △ABE에서 AE”="√6¤ -2¤ ='3å2=4'2

∴ sin B= = = 답

0702

점 E에서 BC”에 내린 수선의 발을 H, EH”=x라 하면

△EBH에서 tan45˘= =1

∴ BH”=x

△EHC에서 tan30˘= =

∴ CH”='3x

BC”=BH”+CH”이므로 10=x+'3x

∴ x= =5('3-1)

∴ △EBC=;2!;_10_5('3-1)

∴ △EBC=25('3-1) ^{답 ②}

0703

cos A=;9&;인 직각삼각형 ABC 를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

yy[2점]

이때 BC”="√9¤ -7¤ ='3å2=4'2이므로 yy[2점]

tan A-sin A= - tan A-sin A= -

tan A-sin A= yy[2점]

답

0704

BC”="√6¤ +8¤ =10 (cm) yy[1점]

△ABCª△HBA (AA 닮음)이므로

∠ACB=∠HAB=x

△ABCª△HAC (AA 닮음)이므로

∠ABC=∠HAC=y

즉 ∠C=x, ∠B=y yy[2점]

∴ sin x+cos y=sin C+cos B

∴ sin x+cos y=;1§0;+;1§0;=;5^; yy[2점]

답 ;5^;

8'2 63 8'2

63

28'2 63 36'2

63 4'2

9 4'2

7

A B

C

7 9 10

'3+1

'3 3 x CH”

x BH”

A D

C E

x B H

10 60˘

45˘ 30˘

2'2 3 2'2

3 4'2

6 AE”

AB”

채점 기준 직각삼각형 ABC 그리기 BC”의 길이 구하기 tan A-sin A의 값 구하기

2점 2점 2점 배점

(6)

0705

12x-5y+60=0에서

x=0을 대입하면 -5y+60=0 ∴ y=12 y=0을 대입하면 12x+60=0 ∴ x=-5

따라서 12x-5y+60=0의 그래프의 x절편은 -5, y절

편은 12이다. yy[2점]

즉 B(-5, 0), A(0, 12)이므로

△ABO에서 AB”="√5¤ +12¤ ='∂169=13 yy[2점]

∴ sin B+cos B÷sin A

∴=;1!3@;+;1∞3;÷;1∞3;

∴=;1!3@;+1=;1@3%; yy[3점]

답 ;1@3%;

0706

^{sin 60˘=} 이므로

x+15˘=60˘ ∴ x=45˘ yy[3점]

∴ cos x-2tan x=cos 45˘-2tan 45˘

∴ cos x-2tan x= -2_1

∴ cos x-2tan x= yy[3점]

답

0707

점 V에서 밑면인 △ABC에 내 린 수선의 발을 D라 하면 점 D 는 △ABC의 무게중심이므로 AE”= _1=

yy[2점]

AD”=;3@;_ ='3 yy[2점]

3 '3

2 '3

2

V

A

C E B

D x 1

'2-4 2 '2-4

2 '2

2 '3

2

△VAD에서

cos x= = = yy[3점]

답

0708

오른쪽 그림과 같이 AE”를 그 으면 △ADE와 △AB'E에서 AE”는 공통, AD”=AB'”,

∠ADE=∠AB'E=90˘

이므로 △ADE™△AB'E (RHS 합동) yy [2점]

∴ ∠EAD=∠EAB'=;2!;∠DAB'=;2!;_60˘=30˘

이때 △ADE에서

tan 30˘= = ∴ DE”=

마찬가지 방법으로 B'E”= yy[2점]

따라서 두 정사각형이 겹치는 부분에 대하여 (둘레의 길이)=2+2+ + =4+

(넓이)=2_{;2!;_2_ }= yy[4점]

답 둘레의 길이 : 4+ , 넓이：4'3 3 4'3

3 4'3

3 2'3

3

4'3 3 2'3

3 2'3

3

2'3 3 '3

3 DE”

2

A B

E C C'

D' D

B' 2 30˘

'3 3 '3

3 '3

3 1 AD”

VA”

채점 기준 그래프의 x절편, y절편 구하기 AB”의 길이 구하기

sin B+cos B÷sin A의 값 구하기

채점 기준 x의 값 구하기

cos x-2 tan x의 값 구하기

3점 3점 배점

채점 기준

△ADE와 △AB'E가 합동임을 보이기 DE”, B'E”의 길이 구하기

겹치는 부분의 둘레의 길이와 넓이 구하기

0709

지훈 : △ABC에서

지훈 : AC”="√6¤ -3¤ ='2å7=3'3 (cm) 레나 : sin B= = = 이므로 지훈 : ∠B=60˘이다.

대성 : tan B= =3'3='3 3 AC”

BC”

'3 2 3'3

6 AC”

AB”

p.120~121 채점 기준

BC”의 길이 구하기

∠C=x, ∠B=y임을 보이기 sin x+cos y의 값 구하기

채점 기준 AE”의 길이 구하기

AD”의 길이 구하기 cos x의 값 구하기

(7)

6. 삼각비의 활용 | 67

6 ^{삼각비의 활용}

p.124~126

0713

^{cos 35˘=} ∴ x=

tan 35˘= ∴ y=10tan35˘

답 x= , y=10 tan 35˘

0714

tan 20˘=;[%; ∴ x=

sin 20˘=;]%; ∴ y=

답 x= , y=

0715

cos 65˘=;8{; ∴ x=8cos65˘

sin 65˘=;8}; ∴ y=8sin65˘

답 x=8cos65˘, y=8sin65˘

0716

sin 23˘=;[$; ∴ x=

tan 23˘=;]$; ∴ y=

답 x= , y=

0717

BH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2 ^{답 2}

0718

CH”=4 sin 60˘=4_ =2'3 답 2'3

0719

AH”=AB”-BH”=6-2=4 답 4

0720

^AC”="√^{CH” ¤}√+AH” ¤ ="(√2'3)√¤ +4¤

AC”='2å8=2'7 답 2'7

0721

CH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4 ^{답 4}

0722

A’H”=8 sin 60˘=8_'3=4'3 답 4'3 2

'3 2

4 tan 23˘

4 sin 23˘

4 tan 23˘

4 sin 23˘

5 sin 20˘

5 tan 20˘

5 sin 20˘

5 tan 20˘

10 cos 35˘

y 10

10 cos 35˘

10 x 진희 : sin A=;6#;=;2!;

지훈 : cos B=;6#;=;2!;

지훈 : ∴ sin A=cos B

예찬 : tan A= = 이므로

지훈 : tan A_tan B= _'3=1 따라서 옳지 않게 말한 학생은 레나, 대성이다.

답 레나, 대성

0710

tan 60˘= ='3이므로 AC”=6'3=6_1.73=10.38 (m) 따라서 다보탑의 높이는 10.38 m이 다.

답 10.38 m

0711

위의 그림에서 ∠ABC=x라 하면 sin x= =;2¢0∞0;=0.225

주어진 삼각비의 표에서 sin 13˘=0.2250이므로 x=13˘

따라서 비탈길의 경사도는 13˘이다.

답 13˘

0712

△VAB는 정삼각형이므로 VM”= _2='3 마찬가지로 VN”='3 이때 △VMN은 VM”=VN”

인 이등변삼각형이므로 점 V 에서 MN”에 내린 수선의 발을 H라 하면

MH”=;2!;MN”=;2!;_2=1 VH”="√('3)¤ -1¤ ='2

∴ sin x= = =

답 '6 3 '6

3 '2 '3 VH”

VM”

H 2 V

M x N

3 3

'3 2 AC”

AB”

A

B x C

45 m 200 m

AC”

6

A

B 60˘ C

6 m '3

3 '3

3 3 3'3

(8)

0723

^AB”= =4'3_ =4'6 답 4'6

0724

∠BAH=55˘이므로 BH”=htan55˘

답 BH”=htan55˘

0725

∠CAH=20˘이므로 CH”=htan20˘

답 CH”=htan20˘

0726

BC”=BH”+CH”에서 100=h tan 55˘+h tan 20˘

=h (tan 55˘+tan 20˘)

∴ h=

답 h=

0727

∠BAH=40˘이므로 BH”=htan40˘

답 BH”=htan40˘

0728

∠CAH=20˘이므로 CH”=htan20˘

답 CH”=htan20˘

0729

BC”=BH”-CH”에서 100=h tan 40˘-h tan 20˘

=h (tan 40˘-tan 20˘)

∴ h=

답 h=

0730

∠BAH=30˘이므로 BH”=AH” tan30˘= AH”

∠CAH=45˘이므로 CH”=AH” tan45˘=AH”

BH”+CH”= AH”+AH”=20 AH”=20

∴ AH”=20_ = =10(3-'3 ) 답 10(3-'3 )

0731

∠BAH=45˘이므로 BH”=AH”tan45˘=AH”

∠CAH=30˘이므로 CH”=AH” tan30˘='3AH”

3 60(3-'3)

6 3

3+'3 3+'3

3

'3 3

'3 3 100 tan 40˘-tan 20˘

100 tan 40˘-tan 20˘

100 tan 55˘+tan 20˘

2 '2 AH”

sin 45˘ BH”-CH”=AH”- AH”=10

AH”=10

∴ AH”=10_ = =5(3+'3 )

답 5(3+'3 )

0732

답 차례로 h, c, c, sin(180˘-B)

0733

△ABC=;2!;_6_7_sin30˘

△ABC=;2!;_6_7_;2!;=:™2¡: 답 :™2¡:

0734

△ABC=;2!;_6_10_sin45˘

△ABC=;2!;_6_10_ =15'2 답 15'2

0735

△ABC=;2!;_4_6_sin60˘

△ABC=;2!;_4_6_ =6'3 답 6'3

0736

△ABC=;2!;_9_6_sin(180˘-135˘)

△ABC=;2!;_9_6_ = 답

0737

ABCD=9_8_sin 60˘

ABCD=9_8_ =36'3 답 36'3

0738

ABCD=8_6_sin 45˘

ABCD=8_6_ =24'2 답 24'2

0739

ABCD=;2!;_10_12_sin45˘

ABCD=;2!;_10_12_

ABCD=30'2 답 30'2

0740

ABCD=;2!;_12_16_sin(180˘-120˘)

ABCD=;2!;_12_16_'3=48'3 답 48'3 2

'2 2 '2

2 '3

2

27'2 2 27'2

2 '2

2 '3

2 '2

2

30(3+'3) 6 3

3-'3 3-'3

3

'3 3

(9)

p.127~132

0741

① sin 50˘= 에서 AB”=

② cos 40˘= 에서 AB”=

④ tan 40˘= 에서 BC”=10tan 40˘

⑤ tan 50˘= 에서 BC”=

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

답 ③

0742

AC”=12 tan 64˘=12_2.05=24.6

답 24.6

0743

오른쪽 그림에서 x의 값을 구하는 것과 같으므로 x=80 tan 55˘

=80_1.43

=114.4

답 ⑤

0744

⑴ BC”=10tan40˘=10_0.84=8.4(m)

⑵ (나무의 높이)=BC”+BH”=8.4+1.7

=10.1 (m)

답 ⑴ 8.4 m ⑵ 10.1 m

0745

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

AH”=10 sin 30˘=10_;2!;=5 CH”=10 cos 30˘=10_ =5'3 BH”=BC”-CH”=7'3-5'3=2'3

∴ AB”="√AH”¤√+BH”¤ ="√5¤ +(2'3)¤ ='3å7

답 '3å7

0746

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

AH”=10 sin 60˘

AH”=10_ =5'3 (cm) BH”=10 cos 60˘=10_;2!;=5(cm) CH”=BC”-BH”=15-5=10(cm)

∴ AC”="(√5'3)√¤ +10¤ ='1∂75=5'7(cm)

답 5'7 cm '3

2

'3 2

10 tan 50˘

10 BC”

BC”

10

10 cos 40˘

10 AB”

10 sin 50˘

10 AB”

15`cm 10`cm

C B 60˘H

A 30˘

A

B H

C 3 7

10 80`m 55˘

x`m

0747

BH”=c cos B, CH”=b cosC이므로

BC”=BH”+CH”=c cos B+b cos C 답 재원

0748

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

BH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2 AH”=4 sin 60˘=4_ =2'3

△AHC에서 CH”="6√¤ -(√2'3)¤ ='2å4=2'6

∴ BC”=BH”+CH”=2+2'6=2(1+'6)

답 2(1+'6)

0749

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

BH”=4'2 cos 45˘

AH=4'2_ =4

AH”=4'2 sin 45˘=4'2_ =4 이때 CH”=BC”-BH”=10-4=6이므로

△AHC에서 AC”="√4¤ +6¤ ='5å2=2'1å3

∴ sinC= = = 답 ④

0750

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠C=45˘이므로 AH”=6'2 sin45˘

AH=6'2_ =6

∴ AB”= =6_ =4'3

답 4'3

0751

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에 서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

BH”=2 sin 45˘=2_ ='2

∠A=30˘이므로

AB”= '2 ='2_2=2'2 답 2'2

sin 30˘

'2 2

2 '3 6

sin 60˘

'2 2

2'1ß3 13 4

2'1å3 AH”

AC”

'2 2 '2

2 '3

2

B H

C A

60˘45˘

30˘

45˘

2 A

B 60˘H 45˘ C 30˘45˘

2 6 B 45˘

A

C 2

4

6 4

4 H 4

2 60˘

6

C B

A

H 3 2

(10)

0752

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠C=60˘이므로

AH”=12 sin 60˘

CH=12_ =6'3 (m)

∴ AB””= =6'3_ =6'6 (m)

답 6'6 m

0753

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면

AH”=50 cos 45˘

AH=50_ =25'2 (m)

CH””=50 sin 45˘=50_ =25'2 (m)

∠B=30˘이므로

BH””= =25'2_ =25'6 (m)

∴ AB””=AH”+BH”=25'2+25'6=25('2+'6 ) (m) 답 25('2+'6)m

0754

∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h

∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h BH”+CH”='3h+ h=20

h=20 ∴ h=20_ =5'3

답 5'3

0755

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H, CH”=h m라 하면

∠ACH=45˘이므로 AH”=h tan 45˘=h (m)

∠BCH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h (m) AH”+BH”=h+'3h=200 (m) (1+'3)h=200

∴ h= = =100('3-1)

답 100('3-1) m 200('3-1)

2 200

1+'3

3 4'3 4'3

3

'3 3 '3

3 3 '3 25'2

tan 30˘

'2 2 '2

2

2 '2 6'3

sin 45˘

'3 2

A H

h`m C

B 200`m 45˘

45˘

30˘

60˘

B

A

20 H 30˘ C

30˘

60˘

h B A

50`m C

H 105˘

45˘ 30˘

B A

C

75˘ 45˘

60˘

12`m H

0756

AH”=h라 하면

∠BAH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h

∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h

BH”+CH”= h+h='3+1 h='3+1

∴ h=('3+1)_ = ='3

답 '3

0757

CD”=h m라 하면

∠ADC=60˘이므로 `AC”=htan60˘='3h (m)

∠BDC=45˘이므로 `BC”=htan45˘=h (m) AC”-BC”='3h-h=100 (m)

('3-1)h=100

∴ h= = =50('3+1)

답 50('3+1) m

0758

BC”=x라 하면

∠ACB=60˘이므로 AB”=xtan60˘='3x

∠DCB=30˘이므로 DB”=xtan30˘= x AB”-DB”='3x- x=10

x=10 ∴ x=10_ =5'3 답 5'3

∠ACD=30˘이므로 CD”=AD”=10

△CDB에서

BC”=10 sin 60˘=10_ =5'3

0759

CH”=x m라 하면

∠ACH=60˘이므로 ` AH””=x tan 60˘='3x (m)

∠CBH=45˘이고

∠BCH=45˘이므로

`BH””=x tan45˘=x (m) AH”-BH”='3x-x=6 (m) ('3-1)x=6

∴ x= = =3('3+1)

답 3('3+1) m 6('3+1)

2 6

'3-1

'3 2

다른 풀이

3 2'3 2'3

3

'3 3

'3 3 100('3+1)

2 100

'3-1

('3+1)(3-'3) 2 3

3+'3 '3+3

3

'3 3

30˘ 45˘

45˘

A B H

C

6`m

x`m 30˘

30˘

30˘60˘

A B

C

10 D 60˘

30˘ 45˘

45˘

h

C

B H

A

3+1

(11)

0760

∠CAH=45˘이므로 CH”=xtan45˘=x

∠ABH=23˘, tan23˘=0.4이므로

BH”= = =;2%;x yy㈎

BC”=BH”-CH”이므로

;2%;x-x=9, ;2#;x=9 ∴ x=6 yy㈏

∴ △ABC=;2!;_9_6=27 yy㈐

답 27

0761

△ABC=;2!;_4_6_sin60˘

△ABC=;2!;_4_6_

△ABC=6'3 (cm¤ ) 답 6'3 cm¤

0762

△ABC=;2!;_4'5_BC”_sin 30˘=20에서 2'5_BC”_;2!;=20, '5 BC”=20

∴ BC”= = =4'5 ^{답 ③}

0763

△ABC=;2!;_6_8_sinx=8'2 ∴ sinx=

sin x= 이므로 오른쪽 그림에서 QR”=øπ3¤ -('2 )¤='7

∴ tanx= =

답

0764

AE”∥DC”이므로 △AED=△AEC

따라서 ABED의 넓이는 △ABC의 넓이와 같다.

∴ ABED=△ABC

∴ ABED=;2!;_10_12_sin45˘

∴ ABED=;2!;_10_12_ =30'2

답 30'2

0765

AD”=x라 하면

△ABC=△ABD+△ADC 이므로

;2!;_10_8_sin 60˘

'2 2

'∂14 7 '∂14

7 '2 '7 '2

3

'2 3 20'5

5 20 '5

'3 2 x 0.4 x

tan 23˘

x 3

Q R

P 2 7

30˘ 30˘

A

B D C

10 8

채점 기준

CH”, BH”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 x의 값 구하기

△ABC의 넓이 구하기

40%

30%

비율

㈎

㈏

㈐

=;2!;_10_x_sin30˘+;2!;_x_8_sin30˘ yy ㈎ 20'3=;2%;x+2x, 20'3=;2(;x

∴ x=

따라서 AD”의 길이는 이다. yy㈏

답

0766

△ABC=;2!;_3_4'2_sin(180˘-135˘)

△ABC=;2!;_3_4'2_sin45˘

△ABC=;2!;_3_4'2_

△ABC=6 (cm¤ ) 답 6 cm¤

0767

△ABC=;2!;_8_AC”_sin(180˘-150˘)=6'2 (cm¤ ) 에서

4_AC”_;2!;=6'2 ∴ AC”=3'2 (cm) ^{답 ①}

0768

OC”를 그으면 ∠AOC=120˘

(색칠한 활꼴의 넓이)

=(부채꼴 AOC의 넓이)

= -△AOC

=p_(4'3)¤ _

-;2!;_4'3_4'3_sin(180˘-120˘)

=16p-12'3

답 16p-12'3

0769

AC”를 그으면 ABCD

=△ABC+△ACD yy㈎

=;2!;_4_2'3

=_sin(180˘-150˘)+;2!;_8_6_sin60˘ yy㈏

=;2!;_4_2'3_;2!;+;2!;_8_6_

=2'3+12'3

=14'3 (cm¤ ) yy㈐

답 14'3 cm¤

'3 2 120˘

360˘

'2 2

40'3 9 40'3

9 40'3

9

C B

A

D 150˘

60˘

6`cm

8`cm 4`cm

3`cm 2

30˘120˘

30˘

A B

C

3 O 4 채점 기준

㈎

㈏

세 삼각형 ABC, ABD, ADC의 넓이를 이용 하여 식 세우기

AD”의 길이 구하기

50%

비율

(12)

0770

△ABC에서 AC”=20sin60˘=20_ =10'3 (cm) ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_10_20_sin60˘+;2!;_10'3_12_sin30˘

=;2!;_10_20_ +;2!;_10'3_12_;2!;

=50'3+30'3

=80'3 (cm¤ )

답 80'3 cm¤

0771

BH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2

∴ AD”=4

또 ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=∠D=120˘

AC”를 그으면 ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_4_8_sin60˘+;2!;_4_4_sin(180˘-120˘)

=;2!;_4_8_ +;2!;_4_4_

=8'3+4'3

=12'3 답 12'3

0772

ABCD=6_8_sin 60˘

ABCD=6_8_

ABCD=24'3 (cm¤ )

답 24'3 cm¤

0773

ABCD=3_3_sin(180˘-120˘) ABCD=3_3_ =

답

0774

AD”=x라 하면

ABCD=5'3_x_sin(180˘-120˘)=30에서 5'3_x_ =30, ;;¡2∞;;x=30 ∴ x=4

답 4 '3

2

9'3 2 9'3

2 '3

2 '3 2

'3 2 '3

2 '3

2

'3 2

60˘

120˘

B H C

A 4

8 D

2 4

4

0775

오른쪽 그림에서 AD”∥BC”, AB”∥DC”

이므로 ABCD는 평행사변 형이고

∠ABH=∠DAB

=∠ADH'=a

△AHB에서 AB”= (cm)

△ADH'에서 AD”= (cm)

∴ ABCD=AB”_AD”_sin a

∴ ABCD= _ _sin a

∴ ABCD= (cm¤ ) 답 ⑤

0776

ABCD=;2!;_9_12_sin90˘

ABCD=;2!;_9_12_1=54 (cm¤ ) ^{답 54 cm¤}

0777

등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같으므로 AC”=BD”

ABCD=;2!;_AC”¤ _sin(180˘-135˘)=20'2에서

;2!;_AC”¤ _ =20'2

AC”¤ =80 ∴ AC”=4'5 (∵ AC”>0)

답 4'5

0778

△ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10 (cm)

∴ ABCD=;2!;_10_16_sin(180˘-120˘)

∴ ABCD=;2!;_10_16_

∴ ABCD=40'3 (cm¤ ) 답 40'3 cm¤

0779

정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어지므로 (정육각형 ABCDEF의 넓이)

=6_{;2!;_4_4_sin60˘}

=6_{;2!;_4_4_ }=24'3

답 24'3

0780

정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어지므로 (정육각형의 넓이)

=6_{;2!;_6_6_sin60˘}

=6_{;2!;_6_6_ }

=54'3 답 54'3

'3 2 '3

2

'3 2 '2

2 25 sin a

5 sin a 5

sin a 5 sin a

5 sin a

O 60˘

6 6 60˘

4 4

4

O B

A F

C D

E A

B D

H H'

a aa 5`cm

5`cm

C 채점 기준

ABCD를 2개의 삼각형으로 나누기 ABCD의 넓이 구하는 식 세우기 ABCD의 넓이 구하기

20%

50%

30%

비율

㈎

㈏

㈐

(13)

0781

정팔각형은 8개의 합동인 이등변

삼각형으로 나누어지므로 원의 반 지름의 길이를 x cm라 하면 (정팔각형의 넓이)

=8_{;2!;_x_x_sin45˘}

=8_{;2!;_x_x_ }

=2'2x¤ (cm¤ )

이때 2'2x¤ =32'2이므로 x¤ =16

∴ x=4 (∵ x>0) 답 ④

'2 2

45˘

x cm x cm

p.133~134

0782

DC”=AB”=10'3 m이고

△BCD에서

BC”=10'3 tan45˘=10'3 (m)

△DCE에서

EC”=10'3 tan30˘=10'3_ =10 (m)

∴ BE”=BC”+EC”=10'3+10=10('3+1) (m) 답 10('3+1) m

0783

AB”=10 cos 50˘=10_0.6428=6.428 (m) BC”=10 sin 50˘=10_0.7660=7.660 (m)

∴ (나무의 높이)=AB”+BC”=14.088 (m)

답 14.088 m

0784

OH”=30 cos 30˘

OH=30_ =15'3 (cm) 구하는 높이는 AH”의 길이이므로 AH”=30-15'3

=15(2-'3 )(cm)

답 15(2-'3 ) cm

0785

△BCH에서

BH”=200 sin 40˘=200_0.64=128 (m)

△ABH에서

AH”=128 tan 58˘=128_1.60=204.8 (m)

답 204.8 m

0786

△ABD에서 ∠ABD=15˘이고 ∠ADC=30˘이므로

∠BAD=15˘ ∴ AD”=BD”=4

△ADC에서

CD”=4 cos 30˘=4_ =2'3 AC”=4 sin 30˘=4_;2!;=2

'3 2 '3

2

'3 3

O

A

H C

30`cm

B

30˘

∴ tan15˘= = =2-'3

답 2-'3

0787

∠DAB=60˘이므로 BD”='3 cm, AD”=2 cm

△DCA가 이등변삼각형이므로 CD”=AD”=2 cm이고

∠ADB=30˘이므로

∠DAC=∠DCA=15˘

따라서 ∠CAB=75˘이므로 tan 75˘= = =2+'3

답 2+'3

0788

CD”=a라 하면

AC”=a tan 45˘=a, BD”=AD”= ='2a 이때 AD”=BD”이므로 ∠DAB =∠DBA=22.5˘

즉 ∠B=22.5˘이므로

tan 22.5˘=tan B= = ='2-1 답 '2-1

0789

∠ABC=a라 하면 sin a=;6#;=;2!;이므로 a=30˘

이때 AB”=DB”이므로 ∠DAB=∠ADB=15˘

BC”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3

∴ sin 15˘÷cos 15˘

= ÷ = _ =

= =2-'3

답 2-'3

0790

OP”=6_2=12 (km) OQ”=8_2=16 (km) 점 P에서 OQ”에 내린 수선의 발 을 H라 하면

OH”=12 cos 60˘

OH”=12_;2!;=6 (km)

PH”=12 sin 60˘=12_ =6'3 (km) HQ”=OQ”-OH”=16-6=10 (km)

∴ PQ”="(√6'3 √)¤ √+10¤

='2ƒ08=4'1å3 (km)

답 4'∂13 km '3

2 3

6+3'3

AC”

CD”

AD””

CD”

AC”

AD”

CD”

AD”

AC”

AD”

a '2 a+a AC””

BC”

a cos 45˘

2+'3 1 BC”

AB”

2 4+2'3 AC”

BC”

P Q

O H 12`km

20˘ 40˘

16`km

D 6 B

6 3 C A 15˘

30˘

15˘

60˘

30˘

A B

C

D

1`cm

(14)

△ABM=△BCN=;2!;_2a_a=a¤

△MND=;2!;_a_a=

△MBN=;2!;_'5a_'5a_sinx=;2%;a¤ sinx

이므로 4a¤ =a¤ +a¤ + +;2%;a¤ sinx

;2#;a¤ =;2%;a¤ sin x ∴ sinx=;5#;

답 ;5#;

0794

△ABD는 직각이등변삼각형이므로

∠DAB=45˘이고

AB”=2'2 cos45˘=2'2_ =2

∴ AB”=BD”=DC”=2

점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

△ADC=;2!;_2'2_2_sin(180˘-135˘)

△ADC=;2!;_2'2_2_

△ADC=2

이므로 ;2!;_AC”_DH”=2

이때 AC”="√2¤ +4¤ ='∂20=2'5이므로

;2!;_2'5_DH”=2 ∴ DH”=

△ADH에서

AH”=æ≠(2'2)¤ -{ }

¤=Æ¬;;£5§;;=

∴ cosa= = = 답

0795

△ABE에서 BE”=7 cosB

△ACE에서 CE”=6cosC

∴ BC”=BE”+CE”=7cosB+6cosC=8 yy㉠

△BCF에서 CF”=8cosC

△BAF에서 AF”=7cosA

∴ CA”=CF”+AF”=8cosC+7cosA=6 yy㉡

△CAD에서 AD”=6cosA

△CBD에서 BD”=8cosB

∴ AB”=AD”+BD”=6cosA+8cosB=7 yy ㉢

㉠+㉡+㉢을 하면

13 cos A+15 cos B+14 cos C=8+6+7=21 답 21 3'∂10

10 3'∂10

10 6'5 10'2 1226'55 1152'2

6'5 5 2'5

5

2'5 5 '2

2 '2

2 a¤

2

135˘

H

A B

C

D

2 2

2

2 a

0791

△ABC=;2!;_AB”_BC”_sinB

△DBE에서

DB”={1-;1™0º0;}AB”=0.8AB”

BE”={1+;1£0º0;}BC”=1.3BC”이므로

△DBE=;2!;_DB”_BE”_sinB

△DBE=;2!;_0.8AB”_1.3BC”_sinB

△DBE=1.04_{;2!;_AB”_BC”_sinB}

△DBE=1.04△ABC

따라서 △DBE의 넓이는 △ABC의 넓이의 104 %이다.

답 104 %

0792

△ABC, △A'BC'은 정삼각형 이므로

∠ABC'=∠A'BA=30˘

이때 BC'”은 ∠ABC의 이등분 선, BA”는 ∠A'BC'의 이등분 선이므로 BC'”⊥AC”, BA”⊥A'C'”

이다.

BC'”과 AC”의 교점을 E, BA”와 A'C'”의 교점을 F라 하면

△EBC에서 BE”=4cos 30˘=4_ =2'3

△A'BF에서 BF”=4cos 30˘=4_ =2'3 한편 A'C'”과 AC”의 교점을 G라 하고 BG”를 그으면

△FBG와 △EBG에서

BG”는 공통, BF”=BE”, ∠BFG=∠BEG=90˘

이므로 △FBG™△EBG (RHS 합동)

∴ ∠FBG=∠EBG=;2!;∠FBE=;2!;_30˘=15˘

따라서 두 삼각형이 겹치는 부분의 넓이는

2_{;2!;_BE”_GE”}=2_{;2!;_2'3_2'3 tan 15˘}

{;2!;_BE”_GE”}_2=12 tan 15˘

답 ①

0793

AM”=a라 하면 A’B”=2a이므로 B’M”=BN”="√a¤ +(2a)¤ ='5a MN”을 그으면

ABCD

=△ABM+△BCN +△MND+△MBN 에서 ABCD=4a¤

'3 2 '3 2

A M

D

B x

C N 30˘

30˘15˘

B 15˘ C

4 C' A

G E A' F

(15)

p.135~137

0796

x=10 sin 44˘=10_0.6947=6.947 답 ②

0797

BC”=10 tan 35˘=10_0.7002=7.002 (m)

∴ (나무의 높이)=7.002+1.5=8.502 (m) 답 ②

0798

△ADC에서

AD”=4 sin 60˘=4_ =2'3 (cm) CD”=4 cos 60˘=4_;2!;=2 (cm) BD”=BC”-CD”=5-2=3 (cm)

△ABD에서

AB”="√(2'3)¤ +3¤ ='∂21 (cm) ^{답 ④}

0799

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B 에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

BH”=10 sin 40˘이므로 sin 85˘= =

∴ AB”= 답 ④

0800

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠C=60˘이므로

AH”=10 sin 60˘

AH”=10_ =5'3 (m)

∴ AB”=

∴ AB”=5'3_

∴ AB”=5'6 (m) ^{답 ③}

0801

오른쪽 그림과 같이 인공위성 을 P, 인공위성에서 지면에 내린 수선의 발을 H, PH”=a km라 하면

∠BPH=45˘이므로 BH”=a tan 45˘=a (km)

∠APH=60˘이므로 AH”=a tan 60˘='3a (km) AH”-BH”='3a-a=100 (km) ('3-1)a=100

∴ a= =50('3+1)

∴ AP”= =2a=100('3+1)(km)

답 ④ a

sin 30˘

100 '3-1

2 '2 5'3 sin 45˘

'3 2 10 sin 40˘

sin 85˘

10 sin 40˘

AB”

BH”

AB”

'3 2

A B H

a`km

a`km P

100`km 30˘ 45˘

A

H C

75˘ B 10`m 60˘

45˘

A H

B 10 C

85˘

40˘

0802

△ABC=;2!;_AB”_20_sin60˘=60'3 (cm¤ )에서 5'3_AB”=60'3 ∴ AB”=12 (cm)

AH”=12 sin 60˘

AH”=12_ =6'3 (cm) BH”=12 cos 60˘=12_;2!;=6 (cm) CH”=BC”-BH”=20-6=14 (cm)

△AHC에서

AC”="(√6'3 √)¤ √+14¤ ='3∂04=4'1å9 (cm)

답 4'1å9 cm

0803

AD”=x cm라 하면

△ABC=△ABD+△ADC 이므로

;2!;_6_4

=;2!;_6_x_sin45˘+;2!;_x_4_sin45˘

12=;2!;_6_x_ +;2!;_x_4_

12= x

∴ x=12_ = 답 cm

0804

BD”를 그으면 ABCD

=△ABD+△BCD

=;2!;_2'3_2

=_sin(180˘-150˘)

=+;2!;_2'7_2'7_sin60˘

=;2!;_2'3_2_;2!;+;2!;_2'7_2'7_

='3+7'3

=8'3 답 8'3

0805

오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면

△ABM=;2!;△ABC

△ABM=;2!;_;2!; ABCD

△ABM=;4!; ABCD

'3 2

12'2 5 12'2

5 2 5'2 5'2

2

'2 2 '2

2

B C

45˘ 45˘

6`cm 4`cm

A

D x`cm '3

2

B A

H 20`cm 12`cm

60˘

C

150˘

60˘

7 2 3 2

7 2 A

B 2

C D

60˘

10`cm

6`cm

B M C

D A

N

(16)

△AND=;2!;△ACD=;2!;_;2!; ABCD

△AND=;4!; ABCD DM”을 그으면

△NMC=;2!;△DMC=;2!;_;4!; ABCD

△NMC=;8!; ABCD

∴ △AMN

∴= ABCD-(△ABM+△AND+△NMC)

∴= ABCD

-{;4!; ABCD+;4!; ABCD+;8!; ABCD}

∴=;8#; ABCD

∴=;8#;_10_6_sin 60˘

∴=;8#;_10_6_

∴= (cm¤ ) 답 ③

0806

ABCD=;2!;_8_10_sina

=;2!;_8_10_;5#;=24 ^{답 ①}

0807

△CAD에서 ∠CAD=60˘이므로 AD”=6 cos 60˘=6_;2!;=3 (m) CD”=6 sin 60˘=6_ =3'3 (m)

△BCD에서 BD”=3'3 tan45˘=3'3 (m)

∴ AB”=AD”+BD”

=3+3'3=3(1+'3 ) (m)

답 3(1+'3 ) m

0808

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OBH에서

OH”=30 cos 45˘

OH”=30_ =15'2 (cm)

∴ AH”=OA”-OH”

∴ AH=30-15'2

∴ AH=15(2-'2)(cm) ^{답 ①}

0809

AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE yy[2점]

∴ ABCD=△ABC+△ACD

∴ ABCD=△ABC+△ACE

∴ ABCD=△ABE

∴ ABCD=;2!;_5_8_sin 60˘

'2 2

'3 2 45'3

4

'3 2

A O

B

H B' 30`cm

45˘

∴ ABCD=;2!;_5_8_

∴ ABCD=10'3 (cm¤ ) yy[4점]

답 10'3 cm¤

0810

△ABC=;2!;_x_4_sin(180˘-120˘)=6 (cm¤ ) yy[2점]

;2!;_x_4_ =6

'3 x=6 ∴ x=2'3 yy[3점]

답 2'3

0811

∠ABC=30˘이고 BD”=BA”이므로

∠ADB=∠BAD=15˘ yy[2점]

AC”= ='3_ =1

AB”= ='3_ =2이므로 BD”=2

∴ CD”=BD”+BC”=2+'3 yy[3점]

∴ tan15˘= = =2-'3 yy[2점]

답 2-'3 1

2+'3 AC”

CD”

2 '3 '3

sin 60˘

1 '3 '3

tan 60˘

'3 2

채점 기준

△ACD=△ACE임을 알기 ABCD의 넓이 구하기

2점 4점 배점

채점 기준

∠ADB의 크기 구하기 AC”, BD”, CD”의 길이 구하기 tan 15˘의 값 구하기

2점 각 1점

2점 배점 채점 기준

△ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기 x의 값 구하기

2점 3점 배점

0812

A, B의 6분 후의 위치를 각 각 A', B'이라 하고, A', B'에서 AB”에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 놀이기구가 1분에 10˘씩 회전하므로 6분 후에는 60˘

회전한다.

A'H”=15 sin 60˘=15_ = (m) B'H'”=15 sin 60˘=15_ =15'3 (m)

2 '3

2 15'3

2 '3

2

A B

B'

H' H

A' 15###m15###m

15###m 15###m

60˘

p.138~139

(17)

7. 원과 직선 | 77

7 ^{원과 직선}

p.142~144

0816

45˘ : 135˘=5 : x ∴ x=15 답 15

0817

120 : x=8 : 3 ∴ x=45 답 45

0818

^답

0819

^{답 ×}

0820

^답

0821

△OAH에서 AH”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm)

∴ AB”=2AH”=6'3 (cm) 답 6'3 cm

0822

AH”=;2!;AB”=;2!;_24=12 (cm)

△OAH에서 OA”="√12¤ +5¤ =13 (cm) ^{답 13 cm}

0823

OA”를 그으면 OA”=OC”=7 cm AH”=;2!;AB”=;2!;_10=5 (cm)

△OAH에서 OH”="√7¤ -5¤ ='2å4=2'6 (cm) 답 2'6 cm

0824

AB”=CD”=12 cm이므로

x=;2!;AB”=;2!;_12=6 (cm) ^{답 6 cm}

0825

AB”=2BM”=2_4=8 (cm)이므로

x=AB”=8 cm 답 8 cm

0826

CD”=2CN”=2_5=10 (cm)이므로 AB”=CD”

∴ x=OM”=6 cm 답 6 cm

0827

AB”=2AM”=8 (cm), CD”=2CN”=8 (cm)이므로 AB”=CD”

∴ x=ON”=5 cm 답 5 cm

0828

△PBA에서 PA”=PB”이므로 ∠PAB=∠PBA

∴ ∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ^{답 65˘}

0829

∠OAP=90˘이므로 △OPA에서 PA”="√13¤ -5¤ =12 (cm)

∴ PB”=PA”=12 cm 답 12 cm

따라서 6분 후에 주승이는 요한이보다

+ =15'3 (m) 더 높은 곳에 있다.

답 15'3 m

0813

AH”=400 sin 60˘

AH”=400_ =200'3 (m) BH”=400 cos 60˘

BH”=400_;2!;=200 (m)

CH”=BC”-BH”=500-200=300 (m)

△AHC에서

AC”="√(200'3)¤ +300¤ ='ƒ210000=100'2å1 (m) 따라서 두 섬 A와 C를 잇는 다리의 길이는 100'2å1 m이

다. 답 100'2å1 m

0814

∠ACH=45˘이므로 AH”=xtan45˘=x (m)

∠BCH=30˘이므로 BH”=xtan30˘= x (m) AB”=AH”-BH”이므로 x- x=100 (m)

x=100

∴ x=100_ =50(3+'3)

답 50(3+'3) m

0815

⑴ (부피)=(밑넓이)_(높이)

⑴ (부피)={;2!;_8_9_sin45˘}_4

⑴ (부피)={;2!;_8_9_ }_4

⑴ (부피)=72'2 (cm‹ )

⑵ (부피)=(밑넓이)_(높이)

⑴ (부피)=[;2!;_7_10_sin(180˘-120˘)]_3

⑴ (부피)={;2!;_7_10_ }_3

⑴ (부피)= (cm‹ )

⑶ (태현이의 치즈의 부피)=72'2=72_1.41

=101.52 (cm‹ )

⑴(수현이의 치즈의 부피)= =105_1.73_;2!;

⑴ (수현이의 치즈의 부피)=90.825 (cm‹ )

⑴따라서 태현이가 더 큰 치즈를 가지고 있다.

답 ⑴ 72'2 cm‹ ⑵`105'3 cm‹ ⑶ 태현 2

105'3 2 105'3

2

'3 2 '2

2 3 3-'3 3-'3

3

'3 3

'3 3 '3

2

A

H C

B 60˘

500 m 400 m

15'3 2 15'3

2

(18)

0830

AF”=AD”=5 cm, CE”=CF”=8-5=3 (cm)

∴ x=BE”=7-3=4 (cm) 답 4 cm

0831

AD”=AF”=3 cm, BE”=BD”=7-3=4 (cm) CE”=CF”=2 cm

∴ x=BE”+CE”=4+2=6 (cm) 답 6 cm

0832

답 ㉠ 8-x ㉡ 9-x ㉢ 5

0833

^7+x=6+9 ∴ x=8 (cm) 답 8 cm

0834

^7+5=3+x ∴ x=9 (cm) 답 9 cm

0835

^x+12=11+16 ∴ x=15 (cm) 답 15 cm

0836

^8+6=x+10 ∴ x=4 (cm) 답 4 cm

p.145~156

0837

④ AB”=CD”=DE”이므로 2AB”=CD”+DE”>CE”

답 ④

0838

⑴ x：40=6：2 ∴ x=120

⑵ x：5=(180˘-60˘)：60˘ ∴ x=10

답 ⑴ 120 ⑵ 10

0839

2∠BOC=∠COD이고 ∠BOC+∠COD=90˘이므 로 ∠BOC+2∠BOC=90˘, 3∠BOC=90˘

∴ ∠BOC=30˘, ∠COD=60˘

① μAB：μ BC=180˘：30˘이므로 μAB=6μ BC

② 2∠BOC=∠COD이지만 중심각의 크기와 현의 길 이는 정비례하지 않으므로 2BC”+CD”

③ 3∠BOC=∠AOD이지만 중심각의 크기와 현의 길 이는 정비례하지 않으므로 3BC”+AD”

④ 호의 길이는 중심각의 크기와 정비례하므로

④μCD=2μ BC, μAD=3μ BC

④∴ μ BC+μ CD=μ BC+2μ BC=3μ BC=μAD

⑤ ∠AOD=∠BOC+∠COD이지만 중심각의 크기 와 삼각형의 넓이는 정비례하지 않으므로

④△AOD+△BOC+△COD

답 ④

0840

∠AOB : ∠BOC : ∠COA

=μAB : μ BC : μ CA=6 : 5 : 4이므로

∠AOB=360˘_ 6 =144˘ 답 144˘

6+5+4

0841

AB”∥CD”이므로

∠OBA=∠DOB

=40˘(엇각)

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA

=40˘

∠AOB=180˘-(40˘+40˘)=100˘이므로 40˘ : 100˘=8 : μAB ∴ μAB=20 (cm)

답 20 cm

0842

AO”∥DC”이므로

∠DCO=∠AOB

=45˘(동위각) OD”를 그으면 △DOC에서 OC”=OD”이므로

∠ODC=∠OCD=45˘

∠DOC=180˘-(45˘+45˘)=90˘이므로 45˘ : 90˘=5 : μ CD ∴ μCD=10 (cm)

답 10 cm

0843

△ODE에서 DO”=DE”이므로 ∠DOE=∠DEO=15˘

∠ODC=15˘+15˘=30˘

△OCD에서 OC”=OD”이므로 ∠OCD=∠ODC=30˘

△OCE에서 ∠AOC=30˘+15˘=45˘

45˘ : 15˘=12 : μ BD ∴ μBD=4 (cm)

답 4 cm

0844

∠BCO=∠x라 하면

∠BOC=∠x

△BCO에서

∠OBA=∠x+∠x=2∠x

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA=2∠x

이때 △ACO에서 ∠x+2∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘

한편 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 μÀE：μ`BD=90˘：30˘=3：1 ∴ μ`ÀE=3μ`BD 따라서 μÀE의 길이는 μ`BD의 길이의 3배이다. 답 3배

0845

AB”⊥OC”이므로 BD”=AD”=4

이때 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OD”=r-2

△OBD에서 r¤ =(r-2)¤ +4¤ ∴ r=5 답 5

0846

답 ㉠ OB” ㉡ 피타고라스 ㉢ O’M”¤ ㉣ OB”¤

0847

OC”=8 cm이므로 OH”=4 cm

△OAH에서 AH”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)

∴ AB”=2AH”=2_4'3=8'3 (cm) 답 8'3 cm

x x

2x2x A B

C D E

O O A

B C

D

45˘ 45˘

5 cm 45˘

O

A B

C D

8 cm 40˘

40˘ 40˘

(19)

7. 원과 직선 | 79

0848

구하는 거리는 오른쪽 그림에서

OH”의 길이와 같다.

BH”=;2!; AB”=;2!;_8=4 (cm)

△OBH에서

OH”="√5¤ -4¤ =3 (cm) ^{답 3 cm}

0849

AB”⊥OD”이므로 BC”=AC”=5

이때 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OC”=r-3

△OBC에서 r¤ =(r-3)¤ +5¤ ∴ r=;;¡3¶;;

답 ;;¡3¶;;

0850

∠BOH=180˘-120˘=60˘이므로 △OHB에서 5 : HB”=1 : '3 ∴ HB”=5'3

이때 AB”⊥OD”이므로 x=HB”=5'3 답 5'3

0851

현의 수직이등분선은 그 원 의 중심을 지나므로 CD”의 연장선은 원의 중심을 지난 다. 원의 중심을 O, 반지름 의 길이를 r라 하면

△OAD에서

r¤ =(r-4)¤ +6¤ ∴ r=;;¡2£;; 답 ;;¡2£;;

0852

오른쪽 그림에서 CD”의 연 장선은 원의 중심을 지난 다. 원의 중심을 O라 하면 OA”=OC”=5 cm이므로 OD”=5-1=4 (cm)

△OAD에서

AD”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

∴ AB”=2AD”=2_3=6 (cm) 답 6 cm

0853

오른쪽 그림에서 CD”의 연장선 은 원의 중심을 지난다. 원의 중심을 O, CD”=x cm라 하면 OA”=OC”=15 cm이므로

OD”=(15-x) cm yy㈎

AD”=;2!;AB”=;2!;_24=12 (cm)이므로

△OAD에서

15¤ =12¤ +(15-x)¤ yy㈏

x¤ -30x+144=0, (x-6)(x-24)=0

∴ x=6 (∵ 0<x<15)

따라서 CD”의 길이는 6 cm이다. yy㈐ 답 6 cm

A D

O C

1 cm

5 cm 4 cm B D r-4 r

C 6 4

A B

O

A H

B O

8`cm 5`cm

채점 기준

CD”=x cm라 할 때, OD”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기

△OAD에서 피타고라스 정리를 이용하여 식 세 우기

30%

40%

비율

㈎

㈏

CD”의 길이 구하기 30%

㈐

0854

오른쪽 그림에서 CD”의 연장선 은 원의 중심을 지난다.

원의 중심을 O, 반지름의 길이 를 r cm라 하면

AD”=;2!;AB”

AD”=;2!;_16=8 (cm) 이므로 △OAD에서

r¤ =(r-4)¤ +8¤ ∴ r=10

따라서 접시의 지름의 길이는 20 cm이다. 답 20 cm

0855

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 수선을 그으면 OH”=HC”=;2!;_10=5 (cm)

△OAH에서 AH”="√10¤ -5¤ ='7å5

=5'3 (cm)

∴ AB”=2AH”=2_5'3=10'3 (cm) 답 10'3 cm

0856

원 O의 반지름의 길이를 r라 하고 오른쪽 그림과 같이 원 의 중심 O에서 AB”에 수선을 그으면 OH”=HC”=;2!;r AH”=;2!;AB”

AH”=;2!;_6'3=3'3 이므로 △OAH에서 r¤ ={;2!;r}¤ +(3'3 )¤ , r¤ =36

∴ r=6 (∵ r>0) 답 6

0857

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 수선을 그으면

△AOH™△BOH(RHS 합동) 이때 OH”=HC”=;2!; OC”=2이 므로 직각삼각형 OAH에서

OA”: OH”=2 : 1이므로 ∠AOH=∠BOH=60˘

∴ ∠AOB=2∠AOH=120˘ 답 120˘

A O

B 4

C H A O

C B H 3 3

1 2r r

A B

10 cm

H C

5 cm O 4 cm

16 cm 8 cm

O

A D B

C

r cm (r-4) cm

x`cm

A B

C

D

15`cm (15-x)`cm 12`cm

O

√ 0663 0670 0662 0669 0661 0668 0660 0667 0659 0666 0658 0665 0664

0658

0659

0660

0661

0662

0663

0664

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0700

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6 삼각비의 활용

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6 ^{삼각비의 활용}