고급수학 1 기출문제 - [2020-1] 고급수학 1 중간고사

2020학년도 1학기 고급수학 1

1. 다음 급수의 수렴, 발산을 판정하시오. (a) ∞ X n=1 2n + 1 n2_{+ 2n + 1} 풀이) 모든 자연수 n에 대하여 2n + 1 n2_{+ 2n + 1} ≥ n + 1 n2_{+ 2n + 1} = 1 n + 1이고 조화급수는 발산하므로, 비교판정법에 의해 주어진 급수도 발산한다. (b) ∞ X n=2 (log n)2020 n2 풀이) lim n→∞ (log n)2020 n0.5 = lim_t→∞ t2020 22020_et = 0 (n 0.5 _{= e}t_{이도록 치환) 이므로,} 아래의 조건을 만족하는 자연수 N 이 존재한다. n ≥ N ⇒ (log n) 2020 n0.5 < 1 따라서 n ≥ N 이면 (log n) 2020 n2 < 1 n1.5이고 급수 ∞ X n=N 1 n1.5는 수렴하므로 비교판정법에 의해 ∞ X n=N (log n)2020 n2 도 수렴한다. 따라서 ∞ X n=2 (log n)2020 n2 도 수렴한다. (c) ∞ X n=1 (−1)narctan n n2_{+ 1} 풀이) 함수 y = arctan x의 치역은 −π 2, π 2  이므로, 모든 자연수 n에 대하여     (−1)narctan n n2_{+ 1}     < π 2n2이다. 한편 급수 ∞ X n=1 1 n2는 수렴하므로, 이 급수의 π 2배도 수렴한다. 따라서 최초로 주어진 급수가 절대수렴함을 알고, 절대수렴하는 급수는 수렴하므로 주어진 급수는 수렴한다. 1

(d) ∞ X n=1  sin 1 2n − sin 1 2n + 1  풀이) 모든 자연수 n에 대하여 아래의 부등식이 성립한다. 0 < sin 1 2n − sin 1 2n + 1 < sin 1 2n − 1− sin 1 2n + 1 한편 ∞ X n=1  sin 1 2n − 1 − sin 1 2n + 1  = lim n→∞ n X k=1  sin 1 2k − 1 − sin 1 2k + 1  = lim n→∞  sin 1 − sin 1 2n + 1  = sin 1 이므로, 비교판정법에 의해 주어진 급수도 수렴한다. (d, 참고) 위의 급수를 ∞ X n=2 (−1)nsin1 n으로 계산한 경우 이 급수와 주어진 급수 간 의 관계를 제대로 설명하지 않으면 3점. (채점기준) 수렴, 발산 여부를 정확한 논거로 설명하면 5점. 논리에 비약이 있거나 중대한 오류가 있는 경우 3점 . 그 외의 경우 0점. 사소한 실수는 감점하지 않음. 2

5C

급수

IEin

_치매

을

생각해보자

7의

品

뫼

i

洑

댐멍

Iiit

x

竿

卜

그 이므로

A

이

급수의

수렴반경은 그

이다

따라서

주어진

급수

Elin

_ㅎ

녷

는

₁

2

쁳

1

일

때

수렴하고

며

1

녷

1

그

일 때 발산한다

즉

주어진

급수는

_IEEE

_{으로땟순렴하고}

₁

기

_17E

일

때

발산한다

0kt

그런데

갸

_E

or

_E

_{일 때}

주어진 급수는

코

sin

_ㅎ

이

되고

FI oo oo

I

sin

ㅎ

고

it

o nel _n의

이므로

비교판정법에

의해

_I

_sin

_ㅎ

는

발산한다

며

따라서 주어진

거듭제곱급수

ETEEEE2EE

에

said

t

now

at

2

1기

E

일

때

발산한다는

_언급

따로

없어도

코

51

_삼재

의 수렴반경

구하는

in

A

식만

있어도

_4점

인정

1

시쯤

1

인 기의

_{범위 잘못}

구해도

4

점

인정

갸

_E

or

is

인

경우에

대한

언급

_{없어도 답}

맞으면 마지막

2

점

부여

the

Sol

그

_f

가

_{해석함수이므로}

원점

근방에서

of

네

고

_an기

Fo

로

나타낼

수

_있다

거듭제곱급수

_기본

_{정리에 의해 원점}

근방에서

of

네

Z

n n 1

An

기나

2

2

7t2 ntl

dnt

2

개

F2 E0

이므로

O

f

기

_t

Nfa

oo oo

I

Cnt

2

ht

l

_dnt

2

개

t

I

an

기나

12

Fo 7 0

292t

_6A3

기

_t

I

7 2

_ntl

_Anta

t

_ans

in

K2

따라서

_A2

_A3

₀

이며

2

이상의 자연수

M에

대해

ht

ht

Dane

tan

2

0 이다

주어진

_{조건에 의해}

_{do 1}

_9F0

임을 알고

있다

_따라서

do

1

a

F

az

A3

0

1n

一

占

A5

A6

An

O

da

_4X3

98

_IT

x

ft

8t

it

dq due

an

0

Al2

_12T

di

881704

근사

다항식의

유일성에

의해

원점

근방에서

_f

의

12

차

근사다항식은

1

는기

4t

_at

걔

88T

only

ㅇ

틀린계수 하나당

2

점

감점

Sol

그의

방식으로

_An

을

모두

구한 후

마지막에

_n

_을

나누어

_{답안을작성한}

경우

추가로

2

점

감점

S012

f

가 해석함수이므로

_F는

무한번

미분

가능하다

그리고주어진

조건에

의해

_f

이다

f 이

0

을

만족한다

기대

대입

그러면

_f

네

t

기

2

_f

_Gl

₀

_f

_{o 0} 71 0

대입

f

기 ₂가

f

기

_t

_ff

₀

_f

o 0

가 성립한다

이제

귀납적으로

₂

_이상의

_자연수

_n

에

대해

f

나미에

_{na_n}

_f

대지에

_t

재기다메네

_t

_if

세네

₀ 이

성립함을 보이자

식

의

양변을 미분하면

fl

기

_2F

네

t

4

가

_f

_기

_if

기 ₀

이므로

E2

일

때

가

성립한다

n

K

일

때

가

성립한다 가정하자

이

식의

양변을

미분하면

f

사귀네

K

K 1

_f

K

기네

2K

에세에

t

_{2K기의씨네}

t 2

기외씻기 t

기

2

f

1

세에

0

f

배지

기

_K니사

₁

f

세네

_21kt1

기

f

_nu

t

if

1

세에

0

따라서

귀납적으로

₂₀₁

상의

자연수

n

에

대해

가

_성립한다

to

을

대입하면

f

머리 o _en n 1

f

마리

이

h 32

따라서

fl

o

2

f

o

f

이

f

o

of

비

o

6X5

G2

60

F

인이

f

o

f

o

of

미 o

₁₀

X

₉

₆₀

₅₄₀₀

i

원점

근방에서

f

의

_12차

근사다항식은

1

릈

it

없기

8

₅₄

쁡자

1

금자

take.gl N2f10

fMco

n

_0.1

12

중

틀린

것

_하나당

2

점 감점

마지막 근사

다항식 구할

때

n

으로 나누지

않은

경우

추가로

₄

점

감점