빨리 강해지는 수학 중3-2 교사용 자료

교사용 지도 자료

정답 및 풀이

7+(0(

별 계산력 문제

01 ;3@; 02 '5₂ 03 ;3@; 04 '5₃ 05 2'5₅ 06 sin A='5₅ , cos A=2'5 5 , tan A=;2!;

07 sin B=;1!7%;, cos B=;1l7;, tan B=:¡8y: 08 14 09 3'5`cm 10 cos A='6₄ , tan A='ß15

3

11 cos A=;1!3@;, tan A=;1y2; 12 'ß10₅ 13 ㈎ AC’, ㈏ AB’, ㈐ CD’

14 ㈎ AB’, ㈏ BD’, ㈐ AC’ 15 ㈎ AB’, ㈏ BD’, ㈐ CD’

삼각비의 뜻



2쪽

01 a sin B 02 ;aC;, a cos B 03 ;cB;, c tan B 04 ;aC;, a sin C 05 ;aB;, a cos C 06 ;bC;, b tan C 07 10, 10, 5.3 08 10, 10, 8.5 09 10'3`m 10 6.6 11 7.5 12 19.5 13 4'3`cm 14 8`cm 15 4'7`cm

삼각형의 변의 길이



5쪽 01 12(3-'3 ) 02 8'3 03 2`cm 04 7`cm€ 05 6'3`cm 06 24'3`cm€ 07 9`cm€ 08 12'2`cm€ 09 8`cm€ 10 48'2`cm€ 11 22'3`cm€ 12 80'3`cm€

삼각형과 사각형의 넓이



6쪽 01 8 02 7 03 8 04 10 05 12 06 5 07 3 08 13 09 6 10 7 11 16 12 3 13 2`cm 14 5

원과 현



7쪽 01 1 02 ;2!; 03 '3₂ 04 3 05 1 06 ;4#; 07 2 08 1 09 '3₃ 10 '6 11 -1 12 1 13 30^ 14 45^ 15 60^ 16 30^ 17 45^ 18 x=3, y=3'3 19 x=5, y=5'2 20 x=1, y='3

30^, 45^, 60^의 삼각비의 값



3쪽 01 0.6428 02 0.7660 03 0.8391 04 1 05 2 06 1 07 2 08 ;2!; 09 -1 10 1 11 ⑤ 12 ⑤ 13 1.3565 14 52 15 50

예각의 삼각비의 값



4쪽

정답 및 풀이 01 50^ 02 40^ 03 115^ 04 50^ 05 55^ 06 140^ 07 46^ 08 80^ 09 75^ 10 45^ 11 40 12 7 13 20 14 10 15 30 16 6 17 45^ 18 30^

원주각과 중심각



9쪽 01 x=65^, y=100^ 02 x=90^, y=130^ 03 x=110^, y=70^ 04 x=35^, y=55^ 05 x=75^, y=150^ 06 x=20^, y=135^ 07 x=100^, y=85^ 08 x=135^, y=70^ 09 x=75^, y=75^ 10 x=45^, y=45^ 11 x=80^, y=80^ 12 x=115^, y=110^ 13 60^ 14 110^ 15 70^ 16 115^

원에 내접하는 사각형



10쪽 01 75^ 02 20^ 03 50^ 04 115^ 05 70^ 06 45^ 07 55^ 08 80^ 09 65^ 10 100^ 11 75^ 12 70^ 13 60^ 14 40^ 15 x=70^, y=60^

접선과 현이 이루는 각



11쪽 01 9 02 30 03 6 04 5 05 7시간 06 83 07 평균：17.3회, 중앙값：18.5회, 중앙값이 대푯값으로 더 적절하다. 08 4 09 55 10 17.5 11 6.5 12 36 13 3 14 4, 8 15 4, 6, 7 16 12 17 4 18 8 19 7.5 20 7, 8

대푯값



12쪽 01 -3, -2, -1, 2, 4 02 -2, 4, 0, -4, 2 03 -17, -1, -2, 5, 15 04 평균 : 6, 분산 : 2, 표준편차 : '2 05 평균 : 4, 분산 : 5, 표준편차 : '5 06 평균 : 17, 분산 : 4, 표준편차 : 2 07 평균 : 7, 분산 : 6, 표준편차 : '6 08 평균 : 13, 분산 : 16, 표준편차 : 4 09 a=1, 분산 : 2, 표준편차 : '2 10 a=-5, 분산 : 8, 표준편차 : 2'2 11 a=-4, 분산 : 4, 표준편차 : 2 12 분산 : 15, 표준편차 : 'ß15 13 9.5 14 x=3, 분산 : 2.7

분산과 표준편차



13쪽 01 풀이 참조 02 풀이 참조 03 ⑴ 1차 : 6점, 2차 : 9점 ⑵ 9점 ⑶ 2 ⑷ 4 04 ⑴ ㄱ, ㄹ ⑵ ㄷ, ㅂ ⑶ ㄹ ⑷ ㄷ ⑸ ㄴ, ㅁ

산점도와 상관관계



14쪽 01 6 02 6'5 03 5 04 8`cm 05 10`cm 06 x=6, y=8, z=5 07 22`cm 08 10 09 13 10 7`cm

원의 접선



8쪽 01 수면 (시간)  _{     }       스마트폰(시간) 02 차 (점)  _{    }      차(점)

유형별 문제

01 ② 02 'ß21₇ 03 10 04 ① 05 ① 06 ;3@; 07 ① 08 6'5+5₁₀ 09 ④ 10 -;1¡5ª6; 11 ① 12 2 13 ;2!; 14 ④ 15 30^ 16 '2 17 ② 18 ① 19 3'6₂ 20 2'7 21 2-'3 22 ① 23 2'7₇ 24 13'3-1₃ 25 ③ 26 ⑴ 0.6428 ⑵ 1.1918 27 3'3₂ 28 90^ 29 ⑤ 30 ① 31 ③, ⑤ 32 ⑤ 33 ;2ª0; 34 ② 35 -'3 36 ① 37 38^ 38 5.736



삼각비

16~20쪽 02 BC’="ƒ4€-2€='ß12=2'3 이므로 BD’='3 AD’="ƒ2€+('3 )€='7 ∴ sin x= BD’ AD’= '3 '7= 'ß21 7 06 오른쪽 그림에서 AB’="ƒ(3k)€-(2k)€='5 k이므로 cos A='5 k_3k ='5₃ , tan A= 2k '5k= 2 '5= 2'5 5 ∴ cos A_tan A='5 3 _ 2'5 5 =;3@; 08 A(-10, 0), B(0, 5)이므로

AO’=10, BO’=5, AB’="ƒ10€+5€=5'5 ∴ sin a+cos a+tan a='5

5 + 2'5 5 +;2!;= 6'5+5 10 09 ④ cos A= AC’ AB’= AE’ AD’= AG’ AF’

10 ABC에서 ABC=y, ACB=x이므로 cos x-sin x+tan y=;1y3;-;1!3@;+;1y2;=-;1¡5ª6; 12 EG’="ƒ4€+3€=5 (cm) AG’="ƒ5€+5€=5'2 (cm) cos x=EG’ AG’= 5 5'2= '2 2 sin x=AE’ AG’= 5 5'2= '2 2 tan x=AE’ EG’=;5%;=1

∴ cos x-sin x+2 tan x='2

2 -'2 2+2_1=2 # $ L L " 18 tan 60^= BC’ AB’= BC’ '2='3 ∴ BC’='6 sin 45^=BC’ BD’= '6 BD’= '2 2 ∴ BD’=2'3 20 ABC에서 cos 30^=BC’ 8 , '3 2 = BC’ 8 ∴ BC’=4'3 BD’=CD’이므로 CD’=;2!; BC’=2'3 ABC에서

sin 30^=AC’₈ , ;2!;= AC’₈ ∴ AC’=4 ADC에서 AD’="ƒ4€+(2'3 )€='ß28=2'7 22 AHC에서 cos 45^=AH’₆ , '2 2 = AH’ 6 ∴ AH’=3'2`(cm) ABH에서 BH’="ƒ5€-(3'2 )€='7`(cm) ∴ tan x= '7 3'2= 'ß14 6

23 x sin 60^-y tan 45^=1에서

y='3 2 x-1 따라서 tan a='3 2이므로 AC’="ƒ(2k)€+('3k)€='7k ∴ cos a= 2k '7 k= 2'7 7 29 f(0^)=sin 0^+cos 0^=0+1=1 f(90^)=sin 90^+cos 90^=1+0=1 ∴ 2f(0^)+f(90^)=2_1+1=3 31 ③ sin 90^=cos 0^=1 ⑤ tan 30^='3 3 , tan 60^='3이므로 tan 30^<tan 60^ 34 45^<x<90^일 때, 0<cos x<sin x이므로 sin x+cos x>0, cos x-sin x<0 "ƒ(sin x+cos x)€+"ƒ(cos x-sin x)€

=(sin x+cos x)-(cos x-sin x) =2 sin x=;3%; ∴ sin x=;6%; sin x=;6%; 를 만족시키는 직각삼각형 ABC 를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 BC’="ƒ(6k)€-(5k)€='ß11 k ∴ cos x_tan x='ß11 6 _ 5 'ß11=;6%; # $ L L L B " # $ " L L Y

정답 및 풀이 01 ⑤ 02 3'3-3 03 480`cm‹ 04 ⑤ 05 ③ 06 ② 07 20(3+'3 )`m 08 ⑤ 09 ③ 10 ④ 11 4'6`m 12 ④ 13 ④ 14 ④ 15 2(3+'3 )`cm 16 ③ 17 ④ 18 ③ 19 ⑤ 20 ③ 21 ② 22 15'2`cm€ 23 ③ 24 ④ 25 ① 26 ④ 27 30'3 28 36@-54'3 29 ② 30 10'3`cm€ 31 32`cm 32 64'2`cm€ 33 ② 34 45^ 35 ①



삼각비의 활용

21~25쪽 02 ABC에서 BC’=6 tan 30^=6_'3₃=2'3 BCD에서 BEF=D=45^이므로 EF’=x라 하면 BF’=x tan 45^=x EFC에서 CEF=A=30^이므로 FC’=x tan 30^='3 3 x BF’+FC’=BC’이므로 x+'3 3 x=2'3, 3+'3 3 x=2'3 ∴ x= 6'3 3+'3='3(3-'3 )=3'3-3 10 점 A에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하고, BH’=AH’=a라 하면 CH’=6-a AHC에서 CH’=A”H’ tan 30^이므로 6-a=a tan 30^ 6-a='3₃ a, 18-3a='3a (3+'3 )a=18 ∴ a=9-3'3 ∴ AC’= AH’ cos 30^=(9-3'3 )_ 2 '3 =6'3 -6 11 ACB=180^-(75^+45^)=60^ 점 A에서 BC’에 내린 수선의 발을 H 라 하면 CAH에서 AH’=AC’ sin 60^=8_'3₂=4'3`(m) ABH에서 AB’= AH’ sin 45^=4'3 _ 2 '2=4'6`(m) ± ± ± # $ ) "  ± ) ± ± # $ " AN 16 AH’=h라 하면 BH’=h tan 28^ CH’=h tan 12^이므로 BC’=h tan 28^-h tan 12^=5 ∴ h= 5 tan 28^-tan 12^ 18 ABC=;2!;_8_6_sin 60^ =;2!;_8_6_'3 2 =12'3`(cm€) 20 ABC=;2!;_3_8_sin B=6에서 sin B=;2!; ∴ B=30^ (∵ B는 예각) 21 AC’DE’이므로 ACD=ACE ∴ ABCD=ABE =;2!;_7_12_sin 60^ =21'3 (cm€) 23 BAC=180^-(15^+15^)=150^ ∴ ABC=;2!;_6_6_sin (180^-150^) =9 (cm€) 24 AD’=6`cm이므로 AE’=6 sin 30^=3 (cm) 또 EAB=60^+90^=150^ ∴ ABE=;2!;_3_6_sin (180^-150^) =;2(; (cm€) 26 정팔각형은 두 변의 길이가 6`cm이고 끼인각의 크기가 360^/8=45^인 이등변삼각형 8개로 이루어져 있으므로 (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_6_6_sin 45^} =72'2 (cm€) 29 ABC=30^이므로 ABCD =2_4_sin 30^ =4 (cm€) 31 마름모 ABCD의 한 변의 길이를 a`cm라 하면 ABCD =a_a_sin (180^-120^) =32'3 에서 '3 2 a€=32'3 , a€=64 ∴ a=8 (∵ a>0) 따라서 마름모 ABCD의 둘레의 길이는 4_8=32 (cm) 34 ABCD=;2!;_10_24_sin x =60'2 에서 120 sin x=60'2 ∴ sin x='2 2 ∴ x=45^ (∵ x는 예각) ± I ± ± ±  " # $ )

18 OC’=O”A’=8이므로 PO’=17 PAO=90^이므로 PAO에서 PA’=PB’="ƒ17€-8€=15 AB’와 PO’의 교점을 H라 하면 PAO=;2!;_PA’_AO’=;2!;_PO’_AH’에서 15_8=17_AH’ ∴ AH’=:¡1™7º: ∴ AB’=2AH’=:™1¢7º: 26 AF’=AE’, BD’=BF’, CE’=CD’이므로 AF’+BD’+CE’=;2!;(AB’+BC’+CA’) =;2!;_26=13 (cm) 이때 BD’+CE’=6+4=10 (cm)이므로 AF’=13-10=3 (cm) 28 ABC에서 AB’="ƒ12€+5€=13 (cm) 원 O의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 CD’=CE’=x`cm이므로 BF’=BD’=(12-x)`cm, AF’=AE’=(5-x)`cm AB’=BF’+AF’에서 (12-x)+(5-x)=13 ∴ x=2 따라서 원 O의 넓이는 @_2€=4@ (cm€) 33 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 AF’=AG’=BG’=BH’=r CD’=2r AE’=AD’-ED’=12-6=6 이므로 EF’=EI’=6-r CH’=CI’=12-r EC’=EI’+CI’=(6-r)+(12-r)=18-2r CDE에서 (2r)€+6€=(18-2r)€, 72r=288 ∴ r=4 35 OP’를 그으면 ODPOCP (RHS 합동)이므로 DOP=;2!;DOC=30^ 원 P의 반지름의 길이를 r라 하면 DP’=r, OP’=OE’-PE’=12-r 이때 sin 30^=;2!;이므로 OPD에서 r 12-r=;2!; ∴ r=4 따라서 원 P의 넓이는 @_4€=16@ " $ & % # YADN YADN ADN YADN YADN0 YADN ' 0 & ' _% $ # S S S S S S  " ( * ) S 01 16`cm 02 ④ 03 169@ 04 ② 05 ⑤ 06 10`cm 07 ③ 08 16@`cm€ 09 ⑤ 10 ⑤ 11 2'2`cm€ 12 ① 13 ⑴ AB’=12, AC’=12 ⑵ 36 ⑶ 36'3 14 100₃ @`cm€ 15 24^ 16 12`cm 17 6'7`cm€ 18 :™1¢7º: 19 ⑴ 18 ⑵ 2'3 20 :¡3§:@ 21 6`cm 22 24 23 ⑴ 6 ⑵ 6'2 24 20'6 25 8`cm 26 3`cm 27 2`cm 28 ④ 29 2`cm 30 72`cm€ 31 :£7º:`cm 32 ② 33 ④ 34 ① 35 16@ 36 'ß35



원과 직선

26~30쪽 08 점 O에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하고, OH’=a`cm라 하자. BH’=;2!; BC’=3 (cm)이므로 OBH에서 OB’="ƒa€+3€="ƒa€+9`(cm) 또 AH’=;2!; AD’=5 (cm)이므로 OAH에서 O”A’="ƒa€+5€="ƒa€+25`(cm) 즉 작은 원의 반지름의 길이는 "ƒa€+9`cm이고, 큰 원의 반지 름의 길이는 "ƒa€+25`cm이므로 어두운 부분의 넓이는 @_("ƒa€+25 )€-@_("ƒa€+9 )€=16@ (cm€) 11 A”B’ OT’이므로 OAT에서 A”T’="ƒ3€-1€=2'2`(cm) ∴ AB’=2AT’=4'2`(cm) 이때 OT’=O”T'’이므로 CD’=AB’=4'2`cm ∴ OCD=;2!;_4'2 _1=2'2`(cm€) 14 OD’=OE’=OF’이므로 AB’=BC’=CA’ 즉 ABC는 정삼각형이므로 BAC=60^ ∴ DAO=;2!;_60^=30^ AD’=;2!;AB’=5 (cm)이므로 ADO에서 AO’= 5 cos 30^ =5_ 2 '3= 10'3 3 (cm) 따라서 구하는 원 O의 넓이는 @_{10'3 3 }€= 100 3 @ (cm€) " % 0 ADN ADN $ ) # " # $ & % ' 0 ADN±

정답 및 풀이 22 ABμ의 길이가 원주의 ;9!;이므로 ACB=180^_;9!;=20^ ABμ：CDμ=ACB：DBC이므로 2：3=20^：DBC ∴ DBC=30^ ∴ DPC =ACB+DBC =20^+30^=50^ 25 OB’를 그으면 OBA=OAB=55^, OBC=OCB=25^이므로 ABC =OBA-OBC =55^-25^=30^ 이때 ABCD는 원 O에 내접하므로 ADC =180^-ABC =180^-30^=150^ 30 ABCD는 원에 내접하므로 ADC=180^-ABC=180^-115^=65^ QBC=ADC=65^ PCD에서 QCB=65^+x이므로 QCB에서 65^+(65^+x)+30^=180^ ∴ x=20^ 31 DBC=DAC=30^ PDC =ABC=ABD+DBC =45^+30^=75^ DBP에서 x=180^-(30^+35^+75^)=40^ 34 PDC=;2!;PO'C=;2!;_150^=75^ BQP=PDC=75^ ∴ BAP=180^-75^=105^ 38 ADC=35^+35^=70^ ∴ DCT =DAC =180^-(50^+70^) =60^ 41 AT’를 그으면 ATP =180^-(90^+65^)=25^ BAT=BTC=65^이므로 APT에서 x=65^-25^=40^ 42 BAD=180^-125^=55^ BD’를 그으면 ABD=90^이므로 ABD에서 ADB =180^-(55^+90^) =35^ ∴ x=ADB=35^ 45 PA–는 원의 접선이므로 ABQ=x 또 AQμ=BQμ이므로 QAB=ABQ=x PAB는 PA’=PB’인 이등변삼각형이므로 PAB=PBA=;2!;_(180^-48^)=66^ 따라서 x+x+66^=180^이므로 2x=114^ ∴ x=57^ Y " 1 5 # 0 ± ± ± $ 0 % $ " ±± # 5 Y 01 ④ 02 20^ 03 ② 04 45^ 05 15^ 06 ② 07 ② 08 x=44^, y=58^ 09 22^ 10 50^ 11 ;1!5^; 12 169@`cm€ 13 ② 14 ⑤ 15 100^ 16 24^ 17 ③ 18 36`cm 19 ③ 20 27`cm 21 54^ 22 50^ 23 ⑤ 24 50^ 25 ④ 26 150^ 27 105^ 28 ⑤ 29 x=125^, y=40^ 30 20^ 31 ③ 32 x=45^, y=70^ 33 ① 34 ② 35 ① 36 40^ 37 90^ 38 ③ 39 115^ 40 50^ 41 ③ 42 35^ 43 4'3`cm 44 60^ 45 57^ 46 ③ 47 10`cm



원주각

31~36쪽 09 CDA=;2!;COA =;2!;_76^ =38^ AB’는 원 O의 지름이므로 ADB=90^에서 38^+30^+x=90^　　 ∴ ∠x=22^ 12 AO’의 연장선이 원 O와 만나는 점을 B'이라 하면 ABC=AB'C AC’=24`cm, tan B=:¡5™:이므로 tan B'=AC’ B”'C’, :¡5™:= 24B”'C’ 12B”'C’=120 ∴ B”'C’=10 (cm) ∴ A”B'’="ƒ10€+24€=26 (cm) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 13`cm이므로 원 O의 넓이는 @_13€=169@ (cm€) 18 BAC =BPC-DCA =65^-25^=40^ 원의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 40^：180^=8：x ∴ x=36 따라서 원의 둘레의 길이는 36`cm이다. 20 BDQ=x라 하면 ABD=BQD+BDQ=20^+x APD =ABP+BAC =ABP+BDC 이므로 (20^+x)+x=70^ 2x=50^ ∴ x=25^ 따라서 BDC=25^, ABD=45^이므로 ADμ：15=45^：25^ ∴ ADμ=27 (cm) " 0 # # $ ADN

26 A 모둠, B 모둠의 분산은 각각 4, x€이고, 두 모둠 전체의 국 어 성적의 분산은 ('ß10 )€=10이므로 4_8+x€_6 8+6 =10, 32+6x€=140, x€=18 ∴ x=3'2 (∵ x>0) 28 ① 학생 수는 알 수 없다. ② 1반의 표준편차가 가장 작으므로 성적이 가장 고르다. ③ 2반이 3반보다 평균은 낮지만 표준편차가 더 크므로 평균 이 낮을수록 성적이 고르다고 할 수 없다. ④ 4반의 표준편차가 3반의 표준편차보다 크므로 3반보다 4 반의 산포도가 더 크다. ⑤ 학생 수를 모르므로 (편차)€의 총합은 알 수 없다. 47 ACP=APT=BPT'=BDP APC=BPD (맞꼭지각)이므로 ACPBDP (AA 닮음) AP’：BP’=CP’：DP’이므로 6：BP’=9：15 9BP’=90 ∴ BP’=10 (cm) 01 ① 02 ③ 03 ② 04 13.5 05 평균 : 8.5점, 중앙값 : 8.5점, 최빈값 : 8.5점 06 1 07 ⑤ 08 ② 09 ⑤ 10 ② 11 ③ 12 평균 : 52세, 중앙값 : 41세, 최빈값 : 70세, 중앙값 13 ① 14 ② 15 ③ 16 ④ 17 ① 18 ② 19 ② 20 63 21 ② 22 ① 23 76 24 ③ 25 10 26 3'2 27 ③, ⑤ 28 ② 29 C, B



대푯값과 산포도

37~40쪽 10 최빈값이 10이고 변량 6이 2개 있으므로 a, b, c 중 2개가 10 이 되어야 한다. a=b=10이라 하면 9가 중앙값이 되기 위해서는 자료를 작 은 값부터 크기순으로 나열할 때 6, 6, 7, c, 10, 10, 10, 11 이어야 하므로 c+10 2 =9 ∴ c=8 ∴ a+b+c=10+10+8=28 12 (평균)=;1¡5;(24+23+40+36+50+70+120+49+70 +27+29+33+121+47+41) =:¶1l5º:=52(세) 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 23, 24, 27, 29, 33, 36, 40, 41, 47, 49, 50, 70, 70, 120, 121(세)이고 자료의 개수가 15개이므로 중앙값은 8번째 값인 41세이다. 또 자료 에서 70세가 두 번으로 가장 많이 나타나므로 70세가 최빈값 이다. 이때 주어진 자료에서 120세, 121세와 같이 극단적인 값이 포함되어 있고, 최빈값보다 큰 변량은 두 개뿐이므로 대푯값 으로 중앙값이 가장 적절하다. 22 5+x+7+y+9₅ =6 ∴ x+y=9 II ㉠ (-1)€+(x-6)€+1€+(y-6)€+3€ 5 =3.2 (x-6)€+(y-6)€=5 ㉠에서 y=9-x이므로 위 식에 대입하면 (x-6)€+(3-x)€=5 x€-9x+20=0, (x-4)(x-5)=0 그런데 x>y이므로 x=5, y=4 ∴ ;xY;=;5$; 01 ③ 02 ② 03 80`% 04 8 05 11 06 ① 07 ③ 08 80점 09 ② 10 ⑤ 11 ㄷ 12 ㄱ, ㄴ, ㄷ



산점도와 상관관계

41~42쪽 06 1차에서 성공한 개수와 2차에 서 성공한 개수의 합이 11 미 만인 학생 수는 오른쪽 그림의 어두운 부분(경계선 제외)에 속하는 점의 개수와 같으므로 3이다. 07 1차와 2차에서 성공한 자유투 의 개수의 차가 3 이상인 학생 수는 오른쪽 그림의 어두운 부 분(경계선 포함)에 속하는 점 의 개수와 같으므로 4이다. 08 국어 성적이 90점인 학생은 3명이고, 이 3명의 영어 성적은 70점, 80점, 90점이므로 (평균)=70+80+90 3 =80(점) 09 국어 성적과 영어 성적의 평균 이 80점 이상, 즉 총합이 160 점 이상인 학생 수는 오른쪽 그림의 어두운 부분(경계선 포함)에 속하는 점의 개수와 같으므로 5이다. 따라서 전체의 ;2y0;_100=25 (%) 차 (개) 차(개)  _{      }         차 (개) 차(개)  _{      }         영어 (점)          국어(점)

정답 및 풀이

09 A+2A+3A=180^ ∴ A=30^

∴ sin A：cos A：tan A =sin 30^：cos 30^：tan 30^ =;2!;：'3 2 ： '3 3 =3：3'3 ：2'3 ='3 ：3：2 10 ABH에서 AH’=2'2 (cm), BH’=2'2 (cm)이므로 ABCD =;2!;_(8-4'2 +8)_2'2 =8(2'2 -1) (cm€) 11 tan A=;1l5;이므로 AO’=15k, BO’=8k (k>0)로 놓으면 AB’="ƒ(15k)€+(8k)€=17k  AOB=;2!;_AO’_BO’=;2!;_AB’_CO’이므로 15k_8k=17k_5 ∴ k=;2!4&; 따라서 직선의 방정식은 y=;1l5;x+:¡3¶:이므로 a=;1l5;, b=:¡3¶: ∴ b-a=:¡3¶:-;1l5;=;1&5&; 15 AB’=AC’=1이고 BD’=0.23이므로 AD’=1-0.23=0.77 cos A=AD’ AC’= 0.77 1 =0.77 ∴ A=40^ 따라서 sin 40^=0.64이므로 CD’=0.64이다. 01 ② 02 ③ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 ④ 07 150('3 +1)`m 08 ⑤ 09 45^ 10 75`cm€ 11 225(3-'3 )`cm€ 12 ⑤ 13 48`cm€ 14 81

삼각비의 활용

기본



48~49쪽 # $ " % ADN ADN ADN ADN ADN ADN ) ± ± ADN 01 ② 02 ② 03 ② 04 ;1¶3; 05 7'2₈ 06 ;3!0!; 07 ③ 08 ;2#; 09 ③ 10 4 11 ③ 12 ① 13 ② 14 ② 15 ②

삼각비

기본



44~45쪽

중단원 실전 테스트

08 cos (x+30^)=;2!;이므로 x+30^=60^ ∴ x=30^

∴ sin 2x_tan 2x=sin 60^_tan 60^='3

2 _'3 =;2#;

10 x/;2!;-y/'3 ₂ =2에서 y='3 x-'3 이므로 a=60^

∴ (주어진 식)=sin€ 30^+tan€ 60^+sin€ 60^

=;4!;+3+;4#;=4 11 (직선의 기울기)=tan 30^='3 ₃ 직선의 방정식을 y='3 3x+b라 하면 x절편이 -2이므로 0='3 ₃ _(-2)+b에서 b=2'3₃ 따라서 y='3 3 x+ 2'3 3 이므로 x=0을 대입하면 y절편은 2'3 3 이다. 01 ② 02 ;8^9%; 03 10`cm 04 ④ 05 ① 06 ④ 07 ① 08 ;2#; 09 ③ 10 8(2'2 -1)`cm€ 11 ;1&5&; 12 ⑤ 13 3'3 2 14 ㄴ, ㄹ, ㄷ, ㄱ, ㅁ, ㅂ 15 0.64

삼각비

발전



46~47쪽 07 ADC에서 sin y= 12 A”D’=;4#; ∴ AD’=16 BEDACD (AA 닮음)이므로  DBE=y

BED에서 sin y= DE’

12=;4#; ∴ DE’=9 ∴ AE’=16+9=25, BE’="ƒ12€-9€=3'7 ABE에서 AB’="ƒ(3'7 )€+25€=4'ß43 ∴ sin x=3'7 4'ß43 = 3'ß301 172  " Z Z Y # & % $ 

14 ABCD=;2!;_18_12_sin x =108 sin x (cm€) 이때 sin x의 값이 최대일 때, ABCD의 넓이는 최대가 된다. 따라서 sin x의 최댓값은 1이므로 ABCD의 넓이의 최댓값은 108`cm€이다. 01 ③ 02 ② 03 ② 04 205<sub>4</sub> `cm 05 2'ß119`cm 06 ⑤ 07 ③ 08 4'3 09 6+3'5 10 ② 11 ② 12 ⑤ 13 ③ 14 12`cm 15 2'ß65`cm

원과 직선

기본



52~53쪽 04 C”M’은 AB’의 수직이등분선이므로 C”M’의 연장선은 원의 중 심을 지난다. 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라 하면 O”M’=(r-20)`cm OMA에서 r€=(r-20)€+25€, 40r=1025 ∴ r= 205₈ 따라서 타이어의 지름의 길이는 205 8 _2= 205 4 (cm) 12 CQ’=CR’=2, AP’=AR’=5이고 BQ’=BP’=x라 하면  ABC는 직각삼각형이므로 (x+5)€=(x+2)€+7€, 6x=28 ∴ x=:¡3¢: 15 AB’=x`cm라 하면  CHD에서 18€=8€+x€이므로 x€=260 ∴ x=2'ß65` 따라서 AB’의 길이는 2'ß65`cm이다. 01 ① 02 ② 03 ① 04 ② 05 8'ß14<sub>3</sub> `cm 06 ④ 07 ③ 08 ③ 09 ② 10 36 11 :y9£: 12 :¡3§:`cm 13 '6`cm

원과 직선

발전



54~55쪽 ADN Y " # $ % ADN ADN SADN SADN ADN $ 0 # . " YADN ADN ADN ADN ADN ADN " # $ 5 0 % ) YADN 12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC’의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면  BAH =180^-(90^+45^) =45^ CAH=180^-(90^+30^)=60^ A”H’=h`cm라 하면  AHC에서 CH’=h tan 60^='3 h (cm)  AHB에서 BH’=h tan 45^=h (cm) 즉 '3 h-h=8이므로 h=4('3 +1) ∴ ABC=;2!;_8_4('3 +1) =16('3 +1) (cm€) 14 ABC에서 AC’="ƒ6€+(3'ß14 )€=9'2 ∴ ABCD=;2!;_AC’_BD’_sin (180^-120^) =;2!;_9'2 _6'6 _'3 <sub>2</sub> =81 01 2'3 02 ⑤ 03 ② 04 10'7`m 05 ① 06 ③ 07 64`m 08 2'ß19`cm 09 ⑤ 10 ② 11 ① 12 12 13 ;5$; 14 108`cm€

삼각비의 활용

발전



50~51쪽 12 AOB=360^_;1¡2;=30^ ∴ (정십이각형의 넓이) =12_AOB =12_{;2!;_2_2_sin 30^} =12_{;2!;_2_2_;2!;}=12 13 오른쪽 그림과 같이 겹쳐진 부분 의 도형은 평행사변형이고 띠의 폭이 같으므로 한 변의 길이가 a`cm인 마름모가 된다. 따라서 겹쳐진 부분의 넓이는 4a=20 ∴ a=5 ∴ sin x=;5$; # ) $ " ADN ± ± ± IADN  ± # " 0 Y Y ADN BADN

정답 및 풀이 08 원 O의 반지름의 길이가 8`cm이므로 O”A’=8`cm O”M’=;2!; O”A’=4 (cm) 직각삼각형 AOM에서 A”M’="ƒ8€-4€ =4'3 (cm) PQ’=M”Q’=;2!; O”M’=2 (cm)이므로  PAQ=;2!;_2_4'3 =4'3 (cm€) 11 원 O의 지름의 길이가 5이므로 반지름의 길이는 ;2%;이다. EF’=EG’=a라 하면 AE’=AG’-EG’=;2(;-a BE’=BF’+EF’=;2(;+a이므로 직각삼각형 ABE에서 {;2(;+a}€={;2(;-a}€+5€ ∴ a=;1@8%; ∴ BE’=;2(;+a=;2(;+;1@8%;=:y9£: 12 반원 P의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 직각삼각형 QOP에서 (4+x)€=4€+(8-x)€ 24x=64 ∴ x=;3*; 따라서 반원 P의 지름의 길이는 ;3*;_2=:¡3§: (cm) 13 점 O에서 O”'B’에 내린 수선의 발을 H라 하면 O”O'’=2+3=5 (cm) O”'H’=3-2=1 (cm) 직각삼각형 OHO'에서 O”H’="ƒ5€-1€ ='ß24 =2'6 (cm) ∴ AB’=O”H’=2'6 (cm)

원 O에서 D”A’=DC’이고 원 O'에서 DC’=DB’이므로 D”A’=DB’=DC’ ∴ CD’=;2!; AB’=;2!;_2'6 ='6 (cm) 01 ④ 02 ⑤ 03 ② 04 ③ 05 ⑤ 06 ⑤ 07 ② 08 105^ 09 ④ 10 65^ 11 ③ 12 ④ 13 22^ 14 ①

원주각

기본



56~57쪽 0 1 2 " . # ADN ADN "  & ₍ % $ # ' 0 )   B B B       ADN ADN YADN YADN 0 1 2 ADN ADN ADN ADN ADN " % # $ 0 0 ) 03 FC’가 원의 지름이므로 CDF=90^ CFD=180^-(90^+62^)=28^ CDμ=ABμ이므로 x=CFD=28^ 04 AOB =2ACB =2_60^=120^ ∴ OAB=;2!;_10_10_sin (180^-120^) =25'3 (cm€) 09 오른쪽 그림과 같이 AC’를 그으면 ACB=;2!;AOB=;2!;_80^ =40^ ∴ x+y =ACB+(ACD+AED) =40^+180^ =220^ 11 오른쪽 그림과 같이 AC’를 그으면 BAC=BDC=40^ CAD =BAD-BAC =75^-40^ =35^ ∴ DCT=CAD=35^ 14 BPT=x이므로  BAT=2BPT=2x, BTP=BAT=2x ABTC는 원 O에 내접하므로 ABT=180^-ACT=180^-120^=60^ ABT=BPT+BTP이므로 60^=x+2x, 3x=60^ ∴ x=20^ 01 ④ 02 ④ 03 ③ 04 15^ 05 9'3 ₂ `cm€ 06 50^ 07 114 08 110^ 09 ② 10 ④ 11 ② 12 45^ 13 55^

원주각

발전



58~59쪽 02 ACμ：BCμ=∠ABC：∠BAC=3：2 ∠ABC=90^_;5#;=54^ ADμ：DEμ：EBμ=2：1：1에서 ∠ECB=90^_;4!;=22.5^ ∴ x=180^-(54^+22.5^)=103.5^ Y Z " & % $ # ± 0 " 0 $ % ± ± 5 #

01 3, 8 02 ② 03 ①, ③ 04 6 05 ① 06 평균：2M+3, 분산：4s€ 07 ① 08 ② 09 ③ 10 ① 11 12 12 ⑤ 13 ③ 14 ④

대푯값과 산포도

기본



60~61쪽 06 a+b+c₃ =M에서 a+b+c=3M이므로 구하는 평균은 (2a+3)+(2b+3)+(2c+3) 3 = 2(a+b+c)+9 3 =6M+9₃ =2M+3 (a-M)€+(b-M)€+(c-M)€ 3 =s€에서 (a-M)€+(b-M)€+(c-M)€=3s€이므로 구하는 분산은 {(2a+3)-(2M+3)}€+{(2b+3)-(2M+3)}€+{(2c+3)-(2M+3)}€ 3 =4{(a-M)€+(b-M)€+(c-M)€} 3 =4s€ 12 9+4=6+7이므로 실제 평균과 잘못 보고 구한 평균은 같다. 잘못 본 자료를 포함한 5개의 자료를 a, b, c, 9, 4라 하면 (a-4)€+(b-4)€+(c-4)€+5€+0€ 5 =35 (a-4)€+(b-4)€+(c-4)€=150 따라서 원래 자료는 a, b, c, 6, 7이므로 분산은 (a-4)€+(b-4)€+(c-4)€+2€+3€ 5 =150+4+9 5 =32.6 13 7명의 수학 성적의 총점은 70_7=490(점) 여기서 70점인 학생 한 명이 빠졌으므로 나머지 6명의 평균은 490-70 6 = 420 6 =70(점)

7명의 수학 성적을 a¡, a™, I, a§, 70(점)이라 하자. (a¡-70)€+(a™-70)€+I+(a§-70)€+0€ 7 =24 (a¡-70)€+(a™-70)€+I+(a§-70)€=168 따라서 6명의 분산은 (a¡-70)€+(a™-70)€+I+(a§-70)€ 6 = 168 6 =28 이므로 구하는 표준편차는 'ß28 =2'7 (점) 06 오른쪽 그림과 같이 AC’를 그으면 CDμ=BDμ이므로 CAD=BAD=20^ OAC=20^+20^=40^ OCA에서 OC’=O”A’이므로 AOC=180^-2_40^=100^ ∴ ADC=;2!;∠AOC =;2!;_100^=50^ 11 BD’를 그으면 ADB=90^이므로 ABDBCD (AA 닮음) 즉, ABD=BCD 또 EB’=ED’이므로 EBD=EDB이고  ABD=EDC  EDC=ECD이므로 EB’=ED’=EC’  ABD와 BCD의 닮음비가 10：20=1：2이므로 넓이의 비는 1€：2€=1：4 ∴ BCD=;5$;ABC =;5$;_{;2!;_20_10} =80 (cm€) BE’=CE’이므로  DEC=;2!;BCD  =;2!;_80  =40 (cm€) 12 오른쪽 그림과 같이 A”D’를 그으면 DAT=ACD=40^ ABCD가 원 O에 내접하므로 ADC =180^-ABC =180^-95^ =85^ 따라서 ADT에서 x =85^-40^=45^ 13 PD’, PB’를 그으면 APD=PBD  APD=x라 하면 DPB=90^이므로 APB에서 20^+(90^+x)+x=180^ ∴ x=35^  CPB =180^-APD-DPB =180^-35^-90^ =55^ 이때 BC’를 그으면 AB’가 큰 반원의 지름이므로 ACB=90^ 따라서 PCB+PHB=180^이므로 네 점 P, H, B, C는 한 원 위에 있다. ∴ CHB=CPB=55^ " # $ % ± 0 # $ % " 5 0 ± ± Y

정답 및 풀이 01 ④ 02 ④ 03 ㄱ 04 58 05 ① 06 ③ 07 95점 이상 08 45 09 ;2@0(; 10 ⑤ 11 ① 12 ① 13 A의 표준편차가 'ß1.2 발, B의 표준편차가 '2 발이다. 따라서 A의 표준편차가 더 작으므로 A의 실력이 더 안정적이다.

대푯값과 산포도

발전



62~63쪽 04 세결이의 점수를 x점이라 하면 5명의 점수는 다음과 같다. 학생 규동 영희 명조 세결 미나 점수(점) x-9 x-6 x-3 x x+13 이때 5명의 평균은 (x-9)+(x-6)+(x-3)+x+(x+13) 5 =x-1(점) 따라서 구하는 분산은 (-8)€+(-5)€+(-2)€+1€+14€ 5 = 290 5 =58 10 주어진 그림을 오른쪽 그림과 같이 나 누면 모두 가장 위의 작은 삼각형과 합동이므로 5개 조각의 넓이는 각각

a, 3a, 5a, 7a, 9a이다.

(평균)=a+3a+5a+7a+9a₅ =5a ∴ (분산)=(-4a)€+(-2a)€+0€+(2a)€+(4a)€ 5 =8a€ 12 a= 6_4+6_4₆₊₆ =;1$2*;=4 b=6_6+6_7 6+6 =;1&2*;=6.5 ∴ ab=4_6.5=26 13 A의 분산은 (-2)€_1+(-1)€_2+1€_2+2€_1 10 =1.2 이므로 표준편차는 'ß1.2 발이다. B의 분산은 (-2)€_2+(-1)€_2+1€_2+2€_2 10 =;1@0);=2 이므로 표준편차는 '2 발이다. 따라서 A의 표준편차가 더 작으므로 A의 실력이 더 안정적 이다. 01 풀이 참조 02 ② 03 ④ 04 ① 05 ② 06 ⑤ 07 30`% 08 2 09 ③ 10 ⑤ 11 ①

산점도와 상관관계

기본



64~65쪽 B 01 미술 이론 점수와 실기 점수에 대한 산점도를 그리면 오른쪽 그 림과 같다. 따라서 미술 이론 점수가 높을수 록 실기 점수도 대체로 높아지므 로 미술 이론 점수와 실기 점수 사이에는 양의 상관관계가 있다. 01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 79.3점 05 20`% 06 82점 07 ② 08 ③ 09 ㄱ 10 ②, ④ 11 상관관계가 없다.

산점도와 상관관계

발전



66~67쪽 04 과학 성적이 80점 이상인 학생 들을 나타내는 점은 오른쪽 그 림의 어두운 부분(경계선 포 함)에 속하는 7개이고, 수학 성적은 70점, 75점, 75점, 80점, 80점, 85점, 90점이다. (평균)=70+75+75+80+80+85+90 7 =555₇ =79.28I(점) 따라서 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림하면 79.3점이다. 08 일 년 동안 읽은 책이 10권 미 만인 학생을 나타내는 점은 오 른쪽 그림의 어두운 부분(경계 선 제외)에 속하는 5개이고, 국어 성적은 40점, 40점, 50점, 60점, 80점이다. (평균)=40+40+50+60+80₅ =270 5 =54(점) 11 두 변량 x와 y에 대한 산점도는 오 른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값이 증 가함에 따라 y의 값이 대체로 증가 하거나 감소하는 경향이 있지 않으 므로 두 변량 사이에는 상관관계가 없다. 실기 (점)  _{    }      이론(점) 과학 (점)  _{   }       수학(점) 국어 (점)  _{   }     책(권)  _{    }      Z Y

 CDE에서 EC’=Ƙ{'3 2k}€+k€ = '7 2 k  EBH에서 EBH=30^이므로 sin 30^=EH’

BE’, ;2!;= EH’BE’ ∴ EH’=;2!; BE’=;2!;_'3 2 k= '3 4 k ∴ sin a= EH’ EC’= '3 4 k_ 2 '7k= 'ß21 14 05 AEC에서 AE’='2  ABE와 DAE에서 BE’：AE’ =AE’：DE’ ='2 ：1 이고 BEA는 공통이므로  ABEDAE (SAS 닮음) 즉, DAE=ABE=x이므로  DAE에서 DAE+ADE=AEC 즉, x+y=45^ ∴ cos (x+y)=cos 45^='2 2 06 sin x= AB’

O”A’=AB’이므로 sin€ x=AB’ € cos x=OB’

O”A’=OB’이므로 cos€ x=OB’ € cos (x+y)=cos 90^=0

∴ sin€ x+cos€ x+cos (x+y) =AB’ €+OB’ €+0

=O”A’ €=1 01 '6+'2 02 ① 03 ① 04 ① 05 2'ß10`km

삼각비의 활용

71쪽



01 ACD는 정삼각형이고  BAD=90^이므로  ABD에서 AB’=4 cos 30^ =4_'3₂ =2'3  ADE에서 AE’="ƒ2€+2€ =2'2  B=EDF=30^이므로 AB’ED’

즉, ABFEDF (AA 닮음)이므로 EF’=x라 하면 AB’：ED’=AF’：EF’, 2'3 ：2=(2'2 +x)：x 2'3 x=4'2 +2x, ('3 -1)x=2'2 ∴ x= 2'2 '3 -1='6 +'2 ∴ EF’='6 +'2     " # $ % & ± Y Y Z   ± ± ± ± ± # $ % ' & "

01 sin x='3₂, tan y=2+'3 02 ① 03 'ß33₆ 04 'ß21₁₄ 05 '2₂ 06 1

삼각비

70쪽



01 AB’=a라 하면 BC’=2a이므로 BE’=BC’=2a  ABE에서 AE’="ƒ(2a)€-a€ ='3 a ∴ sin x= AE’ BE’= '3a 2a = '3 2  BCE는 이등변삼각형이므로 BCE=BEC=y 점 E에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH’=BC’-BH’=2a-'3 a=(2-'3 )a ∴ tan y= EH’ CH’= a (2-'3 )a=2+'3 02 BPQ=DPQ (접은 각), DPQ=BQP (엇각) 이므로 BPQ=BQP 즉, BQP는 이등변삼각형이 므로 BQ’=BP’’=DP’=10이다. B”C'’=DC’=6이므로 BC'Q에서 C”'Q’="ƒ10€-6€ =8 ∴ CQ’=C”'Q’=8 점 Q에서 PD’에 내린 수선의 발을 H라 하면 PH’=10-8=2  PQH에서 PQ’="ƒ2€+6€ =2'ß10 ∴ cos x= PH’ PQ’= 2 2'ß10 = 'ß10 10 03 VBC는 정삼각형이므로 sin 60^=CN’ 20, '32 = CN’ 20 ∴ CN’=10'3 NCDM은 등변사다리꼴이므로 H””K’=N”M’=10에서 CH’=D”K’=5 ∴ N”H’=

"ƒ

CN’ €-CH’ € ="ƒ(10'3 )€-5€ ='ß275 =5'ß11 ∴ sin a= N”H’ CN’= 5'ß11 10'3= 'ß33 6 04 AD’=CD’=k (k>0)라 하면 sin 60^=BD’ 2k, '3 2 = BD’ 2k ∴ BD’='3 k, BE’=ED’='3₂ k # $ " & % ) Y B B Z Z B $ Y Y Y " #  $ % 1 2   ) 7   ± # / $   B / ) $ % , .  ) " # $ % & B

중단원 심화 테스트

정답 및 풀이 02 A와 B의 내각의 크기의 비가 2：1이므로  A=C=120^  B=D=60^ PQRS는 직사각형이므로

PS’=BS’-BP’=a cos 30^-b cos 30^

='3₂(a-b)

PQ’=AQ’-AP’=a cos 60^-b cos 60^

=;2!;(a-b)

∴ PQRS=PS’_PQ’='3₄ (a-b)€

03 OD’를 그으면 OD’=OB’=BD’=6`cm이므로 OBD는 정삼 각형이다. 즉, OBD=BOD=60^, OCD=120^이므로 (부채꼴 OAB의 넓이)=@_6€_;3ª6º0; =9@ (cm€) (부채꼴 OBD의 넓이)=@_6€_;3§6º0; =6@ (cm€) CD’=OC’=2'3`cm이므로  CDO=;2!;_2'3 _2'3 _sin (180^-120^)  =3'3 (cm€) 따라서 어두운 부분의 넓이는 9@-6@-3'3 =3@-3'3 =3(@-'3 ) (cm€) 04 HC’DE’에서  HCD=D=45^이므로 BH’=3 sin 45^=3_'2₂ =3'2₂ (m) 이때 CH’=BH’=3'2 2 `m이므로 A”H’=3'2<sub>2</sub> tan 30^=3'2<sub>2</sub> _'3<sub>3</sub>='6<sub>2</sub> (m) 따라서 이 나무의 높이는 AB’=A”H’+BH’='6 2+ 3'2 2 `= 3'2 +'6 2 (m) 05 배 A가 시속 12`km로 40분 동안 간 거리는 PA’=12_;6$0);=8 (km) 배 B가 시속 9'2`km로 40분 동안 간 거리는 PB’=9'2 _;6$0);=6'2 (km) 점 A에서 PB’에 내린 수선의 발을 H라 하면  AHP에서 AH’=PH’=8 cos 45^=8_'2₂ =4'2 (km) BH’=PB’-PH’=6'2 -4'2 =2'2 (km) 따라서 ABH에서 AB’=

"ƒ

AH’ €+BH’ € ="ƒ(4'2 )€+(2'2 )€ =2'ß10 (km) " # _$ % 4 C B 1 ± ± 2 3 AN " ) & $ # % ± ± ± 1 " # ) ± ALN ALN 01 ② 02 24`cm 03 (18'3-6@)`cm€ 04 2+2'3₃ 05 5`cm

원과 직선

72쪽



01 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 두 현에 내린 수선의 발을 각각 M, N 이라 하면 A”M’=B”M’=4`cm CN’=D”N’=2`cm 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면  OAM에서 O”M’="ƒr€-4€ (cm)  OCN에서 O”N’="ƒr€-2€ (cm) 이때 M”N’=2`cm이므로 "ƒr€-4€ +2="ƒr€-2€ 양변을 제곱하여 정리하면 "ƒr€-16 =2, r€=20 ∴ r=2'5 (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'5`cm이다. 02 오른쪽 그림과 같이 접점을 각각 G, H, I, J, K, L이라 하면 AG’ =AL’=BG’=BH’=CH’ =CI’=DI’=DJ’=EJ’ =EK’=FK’=FL’ PG’=PK’=QG’=QI’=RI’=RK’이므로 PA’=PF’=QB’=QC’=RD’=RE’ 즉, PQR, PAF, QCB, RED는 정삼각형이다. ∴ PA’=AB’=BQ’ =;3!; PQ’=4 (cm) 따라서 정육각형 ABCDEF의 둘레의 길이는 AB’+BC’+CD’+DE’+EF’+FA’ =4_6=24 (cm)

03 O”'T’를 그으면 AB’=18`cm, AC’=6`cm이므로 A”O'’=12`cm, O”'T’’=6`cm 직각삼각형 ATO'에서 AT’="ƒ12€-6€ =6'3 (cm) cos (AO'T)=;1§2;=;2!;  ∴ AO'T=60^ ∴ (어두운 부분의 넓이) =ATO'-(부채꼴 O'CT의 넓이) =;2!;_6'3_6-@_6€_ 60₃₆₀ =18'3 -6@ (cm€) . / SADN " % # $ 0 " ( ) + , # 2 _{$ * %} -3 & 0 ' 1 ADN

ACμ：CBμ=CBA：CAB=5：4이고  CBA+CAB=180^-ACB=90^이므로  CAB=90^_;9$;=40^ ∴ y=CAB+ACE=40^+60^=100^ ∴ y-x=100^-30^=70^ 02 ABμ+BCμ+CDμ+DEμ+AEμ가 원의 둘레이고 ABμ：BCμ：CDμ：DEμ：AEμ=1：1：2：3：5이므로 ABμ, BCμ, CDμ, DEμ, AEμ는 각각 원주의 ;1¡2;, ;1¡2;, ;6!;, ;4!;, ;1y2; 이다. 오른쪽 그림과 같이 BE’를 그으면  ABE는 AEμ에 대한 원주각이므로  ABE=;1y2;_180^=75^ BCDE는 원에 내접하므로  EBC+CDE=180^ ∴ x+y =ABE+EBC+CDE =75^+180^=255^ 03 오른쪽 그림과 같이 AD’, CB’를 그으면 ACB=90^이므로 PCB에서 PBC =180^-(90^+55^) =35^ BOD=70^이므로 BAD=;2!;BOD=;2!;_70^=35^ ∴ BDμ：CDμ =BAD：CBD =35^：35^ =1：1 04 오른쪽 그림과 같이 AT’를 긋고,  ATP=ABT=a,  TPQ=QPB=b라 하면  PAT에서  TAB=a+2b이고  ATB=90^이므로  TAB+ABT=90^에서  a+2b+a=90^ 2(a+b)=90^ ∴ a+b=45^ 따라서 QPB에서  TQP=QBP+QPB=a+b=45^ 05 오른쪽 그림과 같이 AB’를 그으면  DAB=ACB,  CAB=ADB이므로  x =CAB+DAB =ACB+ADB ACBD의 네 내각의 크기의 합은 360^이므로  x+ACB+172^+ADB=360^ 2x+172^=360^, 2x=188^ ∴ x=94^ # $ % & " 0 Y Z ± ± 0 " # $ 1 % ± ± B B C C " 0 # 2 5 1 0 0 ± $ # % " Y 04 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, O'이라 하고 접점을 T, T'이 라 하면 AO’, B”O'’은 각각 A, B의 이등분선이다. 이때 정육각형의 한 내각의 크기는 180^_(6-2) 6 =120^ ∴ OAT=O'BT'=;2!;_120^=60^ OAT에서 tan60^=OT’ A”T’, '3 = 1A”T’ ∴ AT’= 1 '3= '3 3 같은 방법으로 B”T'’='3 3 또 OTT'O'은 직사각형이므로 T”T'’=O”O'’=2 따라서 정육각형의 한 변의 길이는 AB’=AT’+T”T'’+B”T'’ ='3 3+2+ '3 3 =2+ 2'3 3 05 오른쪽 그림과 같이 반원 O와 두 원 P, Q의 접점을 각각 R, S라 하자. OR’는 원 P의 지름이므로 원 P의 반 지름의 길이는 ;2!;_20=10 (cm) 원 Q의 반지름의 길이를 x`cm라 하고, 점 Q에서 OR’에 내린 수선의 발을 H라 하면 OQ’=OS’-QS’=(20-x)`cm, O”H’=x`cm PQ’=(10+x)`cm, PH’=PO’-O”H’=(10-x)`cm 두 직각삼각형 QOH, QHP에서 QH’ €=OQ’ €-O”H’ €=PQ’ €-PH’ €이므로 (20-x)€-x€=(10+x)€-(10-x)€ 80x=400 ∴ x=5 따라서 원 Q의 반지름의 길이는 5`cm이다. 01 70^ 02 255^ 03 ① 04 ④ 05 94^

원주각

73쪽



01 AC’, BC’를 그으면 ADμ=DEμ=EBμ이므로  ACD=DCE=ECB=x  ACB=90^이므로 3x=90^ ∴ x=30^, ACE=2x=60^ " 5 5 0 0 #     0 1 3 ) 4 2  Y

정답 및 풀이 01 30 02 ③ 03 37 04 ⑤ 05 ④

대푯값과 산포도

74쪽



01 주어진 조건에서 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 x, 35, 35, 40, a, b, 50 (단, a<b) ㈎에서 7개의 변량의 총합은 41_7=287이므로 x+a+b=287-(35+35+40+50)=127 이때 x가 최솟값을 가지기 위해서는 두 변량 a, b가 최대한 커야 하므로 a, b의 값은 각각 48, 49이다. ∴ x=127-(48+49)=30 02 A반의 학생 수가 a, 평균이 65점이므로 A반의 점수의 총합 은 65a점, B반의 학생 수가 b, 평균이 70점이므로 B반의 점 수의 총합은 70b점 A반과 B반의 전체 평균이 68점이므로 65a+70b a+b =68 65a+70b=68a+68b, 3a=2b ∴ a：b=2：3 즉, A반 학생 수를 2k, B반 학생 수를 3k (k는 자연수)라 하면 a+b=2k+3k=5k 따라서 두 반의 학생 수의 합 a+b는 5의 배수로 나타낼 수 있으므로 보기 중 될 수 있는 것은 ③ 50이다. 03 가장 작은 변량을 a, 가장 큰 변량을 b라 하면 가장 작은 것을 제외한 9개의 변량의 평균이 41이므로 (전체 평균)=9_41+a 10 II ㉠ 가장 큰 것을 제외한 9개의 변량의 평균이 33이므로 (전체 평균)=9_33+b 10 II ㉡ ㉠=㉡이므로 9_41+a=9_33+b ∴ a-b=-72 II ㉢ 가장 작은 변량과 가장 큰 변량의 합이 74이므로 a+b=74 II ㉣ ㉢, ㉣ 을 연립하여 풀면 a=1, b=73 따라서 전체 평균은 :£1¶0º:=37 04 정사각형의 둘레의 길이의 합이 120이므로 4(x¡+x™+I+x¡º)=120 ∴ x¡+x™+I+x¡º=30 넓이의 합이 260이므로 x¡€+x™€+I+x¡º€=260 따라서 x¡, x™, x£, I, x¡º에 대하여 (평균)=x¡+x™+I+x¡º₁₀ =;1#0);=3 (분산)=(x¡-3)€+(x™-3)€+I+(x¡º-3)€₁₀ =x¡€+x™€+I+x¡º€-6(x¡+x™+I+x¡º)+3€_10 10 =260-6_30+90₁₀ =:¡1¶0º:=17 ∴ (표준편차)='ß17 05 이웃하는 점 사이의 거리가 2이므로 가장 왼쪽에 있는 점부터 차례로 0, 2, 4, 6이라 하면 (평균)=0+2+4+6₄ =:¡4™:=3 (분산)=(0-3)€+(2-3)€+(4-3)€+(6-3)€ 4 =:™4º:=5 ∴ (표준편차)='5 01 ④ 02 4 03 ② 04 ④ 05 ㄱ, ㄷ, ㄹ

산점도와 상관관계

75쪽



01 적어도 한 대회의 성적이 9점 이상인 학생 수는 오른쪽 그림 의 어두운 부분(경계선 포함)에 속하는 점의 개수와 같으므로 7 이다. 따라서 전체의 ;1¶6;_100=43.75 (%) 02 전체 리듬체조 선수의 수가 20이므로 1차 시기 점수가 상위 30`% 이내에 드는 선수의 수는 20_;1£0º0;=6이고, 1, 2차 시기 의 합산 점수가 상위 30`% 이내인 선수의 수도 6이다. 1차 시기 점수가 상위 30`% 이 내인 선수를 나타내는 점은 오 른쪽 그림의 산점도에서 어두운 부분(경계선 포함)에 속하고, 1, 2차 시기의 합산 점수가 상 위 30`% 이내인 선수를 나타내 는 점은 오른쪽 그림의 빗금친 부분(경계선 포함)에 속하므로 구하는 선수의 수는 어두운 부 분과 빗금친 부분에 공통으로 속하는 점의 개수와 같은 4이다. 03 상위 40`% 이내에 드는 선수의 수는 15_;1¢0º0;=6이다. 이때 자유 종목 성적이 상위 40`% 이내인 선수를 나타내는 점은 (3, 8), (4, 8), (4, 10), (5, 9), (8, 9), (9, 8)이므로 상위 40`% 이내에 드는 선수들의 규정 종목 성적의 평균은 (평균)=3+4+4+5+8+9₆ =:£6£:=5.5(점) 04 ④ 과학 성적이 90점인 학생은 4명이고, 국어 성적은 60점, 70점, 80점, 100점이므로 (평균)= 60+70+80+100 4 =77.5(점) 05 ㄴ. 학생 A는 윗몸일으키기 횟수에 비해 팔굽혀펴기 횟수가 많은 편이다. ㅁ. 학생 D는 학생 B보다 윗몸일으키기 횟수가 많다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 글짓기 (점)  _{     }       상상화 그리기(점) 차 (점)  _{    }      차(점)

서술형_{4 OC’를 그으면 AB’=8이므로} OC’=OB’=4 …❶ 직각삼각형 COD에서 OC’ €=OD’ €+CD’ €이므로 4€=2€+CD’ € …❷ 16=4+CD’ € CD’ €=12　　 ∴ CD’=2'3 (∵ CD’>0) …❸ 채점 기준 배점 ❶ OC’의 길이 구하기 30 % ❷ COD에서 피타고라스 정리 이용하기 40 % ❸ CD’의 길이 구하기 30 % 01 ③ 02 ④ 03 ③ 04 ④ 05 ⑤ 06 ③ 07 ④ 08 ② 09 ④ 10 ⑤ 11 ② 12 ③ 13 ⑤ 14 ① 15 ① 16 ② 17 ⑤ 18 ③ 19 ③ 20 ④ 서술형1 ;2#0(; 서술형2 8.7`m 서술형<sub>3 100@`cm€</sub> 서술형_{4 30`cm}

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회 81~83쪽 17 A”M’=;2!; A”B’=36 (cm) O”A’를 그으면 OAM에서 O”A’ ="ƒ27€+36€ =45 (cm) ∴ (창문의 넓이) =@_45€ =2025@ (cm€) 서술형1 BC’=

"ƒ

AC’ €-AB’ € ="ƒ5€-4€ ='9=3이므로 …❶ sin A=;5#;, cos C=;5#;, tan A=;4#; …❷ ∴ sin A+cos C+tan A=;5#;+;5#;+;4#;=;2#0(; …❸

채점 기준 배점

❶ BC’의 길이 구하기 30 %

❷ sin A, cos C, tan A의 값 구하기 50 %

❸ sin A+cos C+tan A의 값 구하기 20 %

서술형2 AC’=BC’ tan 40^=10_0.84=8.4 (m) …❶ 따라서 고양이의 눈높이가 0.3`m이므로 가로등의 높이는 8.4+0.3=8.7 (m) …❷ 채점 기준 배점 ❶ AC’의 길이 구하기 60 % ❷ 가로등의 높이 구하기 40 % "   # $ % 0

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01 ④ 02 ② 03 ④ 04 ② 05 ③ 06 ⑤ 07 ① 08 ③ 09 ① 10 ⑤ 11 ④ 12 ① 13 ③ 14 ② 15 ③ 16 ④ 17 ⑤ 18 ⑤ 19 ③ 20 ② 서술형_{1 2'7} 서술형_{2 36'3} 서술형3 7`cm 서술형4 2'3

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회 78~80쪽 서술형1 cos A= AB’ AC’= 6 AC’=;4#;, 3AC’=24 ∴ AC’=8 …❶ ∴ BC’=

"ƒ

AC’ €-AB’ € ="ƒ8€-6€ ='ß28 =2'7 …❷ 채점 기준 배점 ❶ AC’의 길이 구하기 50 % ❷ BC’의 길이 구하기 50 % 서술형2 AC’를 그으면 ABC=;2!;_6_6_sin (180^-120^) =;2!;_6_6_'3 2 =9'3 …❶ ACD=;2!;_6'3 _6'3 _sin 60^ =;2!;_6'3 _6'3 _'3 2 =27'3 …❷ ∴ ABCD =ABC+ACD =9'3 +27'3 =36'3 …❸ 채점 기준 배점 ❶ ABC의 넓이 구하기 40 % ❷ ACD의 넓이 구하기 40 % ❸ ABCD의 넓이 구하기 20 % 서술형3 CE’=x`cm라 하면 BD’=BE’=15-x (cm) CF’=CE’=x`cm AD’=AF’=11-x (cm) …❶ AB’=AD’+DB’이므로 12=(11-x)+(15-x) …❷ 2x=14, x=7 ∴ CE’=7`cm …❸ 채점 기준 배점 ❶ AD’와 BD’의 길이를 CE’의 길이로 나타내기 50 % ❷ CE’의 길이를 구하는 식 세우기 30 % ❸ CE’의 길이 구하기 20 %

정답 및 풀이 서술형_{3 C”M’은 AB’의 수직이등분선이므로} C”M’의 연장선은 원의 중심을 지난다. 접시의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm 라 하면 O”M’=r-2 (cm)이므로 OMA에서 r€=6€+(r-2)€ …❶ 4r=40 ∴ r=10 따라서 원래 접시의 반지름의 길이는 10`cm이므로 …❷ 넓이는 @_10€=100@ (cm€) …❸ 채점 기준 배점 ❶ 원래 접시의 반지름의 길이를 구하는 식 세우기 40 % ❷ 원래 접시의 반지름의 길이 구하기 40 % ❸ 원래 접시의 넓이 구하기 20 % 서술형4 PT’ OT’이므로 TPO에서 PT’ ="ƒ17€-8€ =15 (cm) …❶ P”T'’=PT’=15`cm …❷ AB’와 원 O의 접점을 C라 하면 AC’=AT’, BC’=B”T'’이므로 (PAB의 둘레의 길이) =PA’+AB’+PB’ =PA’+(AC’+BC’)+PB’ =PA’+AT’+B”T'’+PB’ =PT’+P”T'’ …❸ =15+15=30 (cm) …❹ 채점 기준 배점 ❶ PT’의 길이 구하기 30 % ❷ P”T'’=PT’임을 알기 20 % ❸ (PAB의 둘레의 길이)=PT’+P”T'’임을 알기 40 % ❹ PAB의 둘레의 길이 구하기 10 % 01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 ④ 05 ④ 06 ④ 07 ① 08 ③ 09 ⑤ 10 ④ 11 ② 12 ② 13 ⑤ 14 ③ 15 ① 16 ② 17 ② 18 ① 서술형1 ;1y7; 서술형2 20`m 서술형_{3 :¢8¡:`cm</sub> 서술형<sub>4 20'6`cm€}

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회 84~86쪽 " $ # . 0 ADN ADN SADN ADN ADN " 5 5 # 0 1 $ 06 ABCACDCDE (AA 닮음)이므로 ABC=ACD=CDE=30^ ABC에서 sin 30^=AC’₁₆ =;2!;　　 ∴ AC’=8 (cm) ADC에서 cos 30^=CD’’₈ ='3₂ ∴ CD’=4'3`(cm) DEC에서 sin 30^=EC’’ 4'3=;2!;　　 ∴ EC’’=2'3`(cm) 07 sin x=

BC’

AB’=

BC’’

1 ∴ BC’=sin x cos x=

AC’

AB’=

AC’

1 ∴ AC’=cos x tan x=

DE’

AE’=

DE’

1 ∴ DE’=tan x ∴ (어두운 부분의 넓이) =;2!;_(BC’+DE’)_CE’ =

(sin x+tan x)(1-cos x)

2 09 40분 동안 형이 움직인 거리는 12_;3@;=8 (km) 동생이 움직인 거리는 9_;3@;=6 (km) 오른쪽 그림과 같이 집을 O, 40분 후에 형과 동생이 있는 지점을 각각 A, B라 하고 점 B에서 O”A’에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH’=6 sin 60^=6_'3 2 =3'3`(km) OH’=6 cos 60^=6_;2!;=3 (km) AH’=O”A’-OH’=8-3=5 (km) ∴ AB’="ƒ(3'3 )€+5€ ='ß52 =2'ß13`(km) 10 점 A에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH’=AB’ sin B=4_'3 2 =2'3`(cm) BH’="ƒ4€-(2'3 )€ =2 (cm) AC’= AH’ sin C=2'3 _ 3 '6 =3'2`(cm) CH’="ƒ(3'2 )€-(2'3 )€ ='6`(cm) BC’=BH’+CH’=(2+'6 )`cm이므로 ABC=;2!;_(2+'6 )_2'3 =2'3 +3'2`(cm€) % ADN # " $ & ± ± ± ± ± " # 0 ALN) ALN # $ " ADN )

cos A=12k_13k=;1!3@;, tan A=_12k5k =;1y2;이므로 …❷ cos A_tan A

12 tan A-4 cos A=;1!3@;_;1y2;/{12_;1y2;-4_;1!3@;} =;1!3@;_;1y2;_;1!7#;=;1y7; …❸

채점 기준 배점

❶ AB’의 길이 구하기 30 %

❷ cos A, tan A의 값 구하기 40 %

❸ cos A_tan A

12 tan A-4 cos A의 값 구하기 30 %

서술형2 PQ’=h`m라 하면

AQ’=PQ’ tan 60^='3 h (m), BQ’=PQ’ tan 45^=h (m) …❶ ABQ에서 피타고라스 정리에 의하여 ('3 h)€+h€=40€, 4h€=1600, h€=400 …❷ 그런데 h>0이므로 h=20 따라서 탑의 높이는 20`m이다. …❸ 채점 기준 배점 ❶ AQ’, BQ’의 길이를 PQ’의 길이로 나타내기 40 % ❷ 탑의 높이를 구하는 식 세우기 30 % ❸ 탑의 높이 구하기 30 % 서술형<sub>3 O”M’ AB’이므로</sub> A”M’=B”M’=;2!; AB’=5 (cm) …❶ O”A’=r`cm라 하면 O”M’=(r-4)`cm OAM에서 r€=5€+(r-4)€ …❷ 8r=41　　∴ r=:¢8¡: 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :¢8¡:`cm이다. …❸ 채점 기준 배점 ❶ A”M’의 길이 구하기 30 % ❷ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하고 피타 고라스 정리 이용하기 40 % ❸ 원 O의 반지름의 길이 구하기 30 % 서술형4 DE’=D”A’=4`cm, CE’=CB’=6`cm이므로 DC’=DE’+CE’=4+6=10 (cm) …❶ 점 D에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH’=AD’=4`cm이므로 CH’ =BC’-BH’ =6-4=2 (cm) DHC에서 D”H’="ƒ10€-2€ ='ß96 =4'6`(cm) …❷ ∴ ABCD=;2!;_(4+6)_4'6 =20'6`(cm€) …❸ 채점 기준 배점 ❶ DC’의 길이 구하기 30 % ❷ D”H’의 길이 구하기 40 % ❸ ABCD의 넓이 구하기 30 % ) " # $ & % ADN ADN 0 11 OA’를 그으면 OA’=OC’이므로 OAC=OCA=22.5 ∴ AOC =180^-22.5^_2 =135^ (부채꼴 AOC의 넓이)=@_4€_;3!6#0%; =6@ (cm€) AOC=;2!;_4_4_sin (180^-135^) =4'2`(cm€) ∴ (어두운 부분의 넓이) =6@-4'2 =2(3@-2'2 ) (cm€) 13 원의 중심 O에서 AB’에 내린 수선의 발을 M이라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반지름의 길 이를 r`cm라 하면 OAM에서 R€-r€=5€ ∴ (어두운 부분의 넓이) =@R€-@r€=@(R€-r€) =25@ (cm€) 14 원의 중심 O와 점 P를 연결한 선분이 접은 선 AB와 만나는 점을 M이라 하면 OP’ AB’이고 O”M’=P”M’=;2!; OP’=3 OP’는 현 AB의 수직이등분선이므로 OAM에서 A”M’="ƒ6€-3€=3'3 ∴ AB’=2A”M’=6'3 18 원 O가 ABED와 접하는 점을 각각 P, Q, R, S라 하면 AP’=PB’=3 (cm)이므로 AS’=BQ’=3 (cm) DR’=SD’=8-3=5 (cm) 이때 EQ’=ER’=x`cm라 하면 CE’=8-3-x=5-x (cm), DE’=5+x (cm) DEC에서 (5+x)€=(5-x)€+6€　　 20x=36　　∴ x=;5(; ∴ EC’=5-x=5-;5(;=:¡5§: (cm) ∴ DEC=;2!;_:¡5§:_6=:¢5l (cm€) 서술형1 sin A=;1y3;이므로 오른쪽 그 림과 같이 B=90^, AC’=13k, BC’=5k (k>0)인 직각삼각형 ABC에서 AB’=

"ƒ

AC’ €-BC’ € ="ƒ(13k)€-(5k)€ =12k …❶ # ± 0 " $ ADN # 0 " ADN . " . 1 # 0 # _& $ % " 0 ADN ADN 4 1 2 3 L L " # $

정답 및 풀이 01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 ① 05 ② 06 ② 07 ③ 08 ③ 09 ① 10 ④ 11 ⑤ 12 ⑤ 13 ⑤ 14 ④ 15 ③ 16 ③ 17 ② 18 ④ 서술형_{1 ;5@;} 서술형<sub>2 2'7`cm</sub> 서술형3 ;2!;`cm 서술형4 ;3*;`cm

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회 87~89쪽 13 ABC=;2!;_20_24_sin (180^-120^)=120'3`(cm€) ABD=;2!;_20_AD’_sin 60^=5'3`AD’ (cm€) ADC=;2!;_AD’_24_sin 60^=6'3`AD’’ (cm€) ABC=ABD+ADC이므로 120'3=5'3`AD’+6'3`AD’ 11'3`AD’=120'3 ∴ AD’=:¡1™1º: (cm) 14 점 A에서 BC’에 내린 수선의 발을 H라 하면 ABH에서 AH’=8 sin 45^=4'2 BH’=8 cos 45^=4'2 CH’=BC’-BH’=10'2 -4'2 =6'2 직각삼각형 AHC에서 AC ’="ƒ(6'2 )€+(4'2 )€=2'ß26 ∴ ABCD=ABC+ACD =;2!;_10'2 _4'2 +;2!;_2'ß26 _6_sin 30^ =40+3'ß26 16 내접원과 삼각형의 세 변 AB, BC, AC와 만나는 접점을 각 각 D, E, F라 하자. AD’=AF’=2`cm이고 CF’=x`cm라 하면 CE’=CF’=x`cm BD’=BE’=10-x (cm) AB’=BD’+AD’=(10-x)+2=12-x (cm) AC’=AF’+CF’=2+x (cm) ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 (12-x)€+(2+x)€=10€ x€-10x+24=0, (x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6 이때 AB’>AC’이므로 12-x>2+x 즉, x<5이므로 x=4 ∴ CF’=4`cm 따라서 AB’=12-4=8 (cm), AC’=2+4=6 (cm)이므로 ABC=;2!;_8_6=24 (cm€)    ± ± " # ) $ % 17 점 C에서 BD’에 내린 수선의 발을 H라 하면 D”H’=7-5=2 CD ’=CP’+DP’=CA’+DB’ =5+7=12 직각삼각형 CDH에서 CH’ ="ƒ12€-2€ =2'ß35 즉, AB’=CH’=2'ß35 이므로 반원 O의 반지름의 길이는 ;2!;_2'ß35 ='ß35 ∴ (반원 O의 넓이)=;2!;_@_('ß35 )€=:£2y:@ 서술형_{1 직선 3x-6y+12=0의 x절편은 -4, y절편은 2이므로} A(-4, 0), B(0, 2) …❶ 직각삼각형 AOB에서 AO’=4, BO’=2이므로 피타고라스 정 리에 의하여 AB’="ƒ4€+2€ =2'5 …❷ sin a= 2 2'5 = '5 5, cos a= 42'5 = 2'5 5 이므로 …❸ sin a_cos a='5 ₅ _2'5 ₅ =;5@; …❹ 채점 기준 배점 ❶ 직선의 x절편과 y절편 구하기 30 % ❷ AB’의 길이 구하기 20 %

❸ sin a, cos a의 값 구하기 30 %

❹ sin a_cos a의 값 구하기 20 %

서술형_{2 점 D에서 AB’에 내린} 수선의 발을 E라 하면 DAE에서 sin 60^=DE’ 4 이므로 DE’=4 sin 60^=4_'3 2 =2'3`(cm) cos 60^=AE’<sub>4</sub> 이므로 AE’=4 cos 60^=4_;2!;=2 (cm) ∴ EB’ =AB’-AE’=8-2=6 (cm) 직각삼각형 DEB에서 DB’ ="ƒ(2'3 )€+6€ ='ß48 =4'3`(cm) …❶ 점 C에서 DB’에 내린 수선의 발을 F라 하면 CFB에서 sin 30^=CF’₂ 이므로 CF’=2 sin 30^=2_;2!;=1 (cm) cos 30^=BF’₂ 이므로 BF’=2 cos 30^=2_'3₂='3 (cm) ∴ DF’ =DB’-BF’=4'3-'3=3'3 (cm) 따라서 직각삼각형 CDF에서 DC’ ="ƒ(3'3 )€+1€ ='ß28 =2'7`(cm) …❷ # " $ 1 ) 0 %   M N ADN ADN ADN # " $ & % ± ± '

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01 ④ 02 ④ 03 ④ 04 ④ 05 ⑤ 06 ④ 07 ③ 08 ② 09 ① 10 ④ 11 ③ 12 ② 13 ② 14 ③ 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ① 18 ④ 19 ② 서술형_{1 50^} 서술형_{2 80^} 서술형3 8 서술형4 20`%

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회 90~92쪽 06 ABC는 APCμ의 원주각이므로 ABC=;2!;_270^=135^ OABC에서 x+135^+70^+90^=360^ ∴ x=65^ 서술형_{1 O”M’=O”N’이므로 AB’=AC’} …❶ AMON에서 A=360^-(90^+100^+90^)=80^ …❷ 따라서 ABC에서 ACB=;2!;_(180^-80^)=50^ …❸ 채점 기준 배점 ❶ AB’=AC’임을 알기 30 % ❷ A의 크기 구하기 40 % ❸ ACB의 크기 구하기 30 % 서술형_{2 한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같고} ABμ=ADμ, BCμ=CDμ이므로 ABCμ는 반원이고 ADC=90^ …❶ ACD에서 ∴ ∠CAD=180^-(90^+50^)=40^ …❷ BCμ=CDμ이므로 BAC=CAD=40^ ∴ BAD=2CAD=80^ …❸ 채점 기준 배점 ❶ ADC의 크기 구하기 40 % ❷ CAD의 크기 구하기 20 % ❸ BAD의 크기 구하기 40 % 서술형3 중앙값과 평균이 같으므로 x+9 2 = 3+5+x+9+12+14 6 …❶ x+9 2 = x+43 6 6(x+9)=2(x+43), 4x=32 ∴ x=8 …❷ 채점 기준 배점 ❶ 중앙값과 평균이 같음을 이용하여 식 세우기 60 % ❷ x의 값 구하기 40 % 0 $ # 1 " ± Y 채점 기준 배점 ❶ DB’의 길이 구하기 50 % ❷ DC’의 길이 구하기 50 % 서술형_{3 AB’와 DC’의 연장선의 교점} 을 F라 하면 FBC는 B=C=60^이므로 한 변의 길이가 6`cm인 정삼각형이다. ∴ FBC=;2!;_6_6_sin 60^ =9'3`(cm€) FA’=FB’-AB’=6-2=4 (cm) FD’=FC’-DC’=6-4=2 (cm) AFD=60^이므로 FAD=;2!;_4_2_sin 60^ =2'3`(cm€) ∴ ABCD=FBC-FAD =9'3 -2'3 =7'3`(cm€) I❶ CE’=x`cm라 하면 FAE=;2!;_4_(6-x)_sin 60^ ='3 (6-x) (cm€) 이므로 ADE=FAE-FAD ='3 (6-x)-2'3 =7'3<sub>2</sub> (cm€) …❷ 6'3 -'3 x-2'3 =7'3<sub>2</sub> , '3 x='3 <sub>2</sub> ∴ x=;2!; ∴ CE’=;2!;`cm …❸ 채점 기준 배점 ❶ ABCD의 넓이 구하기 50 % ❷ CE’의 길이를 구하는 식 세우기 30 % ❸ CE’의 길이 구하기 20 % 서술형4 AS’=AP’=BP’=BQ’ =;2!; AB’=;2!;_8=4 (cm) …❶ DR’=DS’=AD’-AS’=10-4=6 (cm) ER’=EQ’=x`cm라 하면 DE’=DR’+ER’=6+x (cm) CE’ =BC’-BQ’-QE’=10-4-x=6-x (cm) …❷ DEC에서 피타고라스 정리에 의하여 (6-x)€+8€=(6+x)€, 24x=64 ∴ x=;3*; ∴ ER’=;3*;`cm …❸ 채점 기준 배점 ❶ AS’, AP’, BP’, BQ’의 길이 구하기 20 %

❷ DE’, CE’의 길이를 ER’의 길이로 나타내기 40 %

❸ ER’의 길이 구하기 40 % " % ' $ & # ADN ADN ADN ± ±

정답 및 풀이 서술형_{4 듣기 성적이 말하기 성적보} 다 20점 높은 학생을 나타내는 점은 오른쪽 그림에서 직선 위 에 있는 점인 (70, 50), (90, 70), (100, 80)의 3개이 므로 듣기 성적이 말하기 성적 보다 20점 높은 학생은 3명이 다. …❶ 따라서 전체의 ;1£5;_100=20 (%) …❷ 채점 기준 배점 ❶ 듣기 성적이 말하기 성적보다 20점 높은 학생 수 구하기 60 % ❷ 전체의 몇 %인지 구하기 40 % 01 ① 02 ④ 03 ⑤ 04 ④ 05 ② 06 ③ 07 ④ 08 ⑤ 09 ① 10 ⑤ 11 ① 12 ② 13 ⑤ 14 ③ 15 ④ 16 ⑤ 17 ⑤ 18 ④ 서술형1 16 서술형2 18 서술형3 ⑴ a=5, b=8 ⑵ 5 서술형4 :£3y:

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회 93~95쪽 09 AC’를 그으면 ACD=DAT=40^ ACD=ACB=;2!;x ;2!;x=40^이므로 x=80^ 서술형1 OA’=OC’이므로 x=y+1이고 …❶ AP’=BP’=4`cm OAP에서 (y+1)€=y€+4€ 2y=15　　∴ y=:¡2y: …❷ x=y+1=:¡2¶: …❸ ∴ x+y=:¡2¶:+:¡2y:=16 …❹ 채점 기준 배점 ❶ x=y+1임을 알기 20 % ❷ y의 값 구하기 50 % ❸ x의 값 구하기 20 % ❹ x+y의 값 구하기 10 % 말하기 (점)             듣기(점) 서술형<sub>2 AC’를 긋고 PAC=x라 하</sub> 면 ABμ：CDμ=12@：4@=3：1이 므로 PCA=3PAC=3x ACP에서 x+3x=80^이 므로 x=20^ ∴ PAC=20^ I❶ 원의 반지름의 길이를 r라 하면 20^：180^=4@：2@r ∴ r=18 I❷ 채점 기준 배점 ❶ PAC의 크기 구하기 50 % ❷ 원의 반지름의 길이 구하기 50 % 서술형3 ⑴ 3+5+a+2+b+7+3+7+5 9 =5 a+b+32 9 =5 ∴ a+b=13 I❶ 최빈값이 5이므로 a, b의 값 중 하나는 반드시 5가 되어야 한다. a+b=13이고 a<b이므로 a=5, b=8 I❷ ⑵ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8이므로 중앙값은 5번째 변량인 5이다. I❸ 채점 기준 배점 ❶ a+b의 값 구하기 30 % ❷ a, b의 값 구하기 40 % ❸ 중앙값 구하기 30 % 서술형4 (평균)= 82+80+90+86+84+88 6 =85(점) I❶ (분산) =(82-85)€+(80-85)€+(90-85)€+(86-85)€+(84-85)€+(88-85)€<sub>6</sub> =:¶6º:=:£3y: I❷ 채점 기준 배점 ❶ 평균 구하기 50 % ❷ 분산 구하기 50 % 01 ④ 02 ⑤ 03 ⑤ 04 ③ 05 ③ 06 ④ 07 ③ 08 ③ 09 ④ 10 ④ 11 ④ 12 ② 13 ④ 14 ④ 15 ② 16 ④ 17 ③ 18 ④ 서술형1 :¢3º:`cm€ 서술형2 59^ 서술형_{3 30} 서술형_{4 ;1@3!;}

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회 96~98쪽 " # % 1 $ ± L L

DEC에서 (6+x)€=(6-x)€+8€ …❷ x€+12x+36=x€-12x+36+64 24x=64 ∴ x=;3*; …❸ ∴ DEC=;2!;_EC’_CD’ =;2!;_:¡3º:_8 =:¢3º: (cm€) …❹ 채점 기준 배점

❶ EQ’=ER’=x`cm로 놓고 EC’, DE’의 길이

나타내기 30 % ❷ DEC에서 피타고라스 정리 이용하기 30 % ❸ x의 값 구하기 20 % ❹ DEC의 넓이 구하기 20 % 서술형_{2 ABP=ADC=x}  AQD에서  QAP =AQD+ADQ=34^+x I❶  APB에서 28^+x+(34^+x)=180^ I❷  2x=118^ ∴ x=59^ I❸ 채점 기준 배점 ❶ ABP와 QAP의 크기를 x로 나타내기 50 % ❷ x의 크기를 구하는 식 세우기 30 % ❸ x의 크기 구하기 20 % 서술형3  a를 제외한 ㈎의 변량들을 작은 값부터 크기순으로 나 열하면 24, 28, 30, 34이다. 5개의 변량의 중앙값 30은 3번째 변량이므로 a30 이어 야 한다. …❶  a를 제외한 ㈏의 변량들을 작은 값부터 크기순으로 나열 하면 30, 32, 40이다. 4개의 변량의 중앙값 31은 30과 32의 평균이므로 a30 이어야 한다. …❷ , 에 의하여 a=30 …❸ 따라서 주어진 자료의 변량 중 30이 세 번으로 가장 많이 나 타나므로 최빈값은 30이다. …❹ 채점 기준 배점 ❶ ㈎ 를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기 30 % ❷ ㈏ 를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기 30 % ❸ a의 값 구하기 20 % ❹ 주어진 자료의 최빈값 구하기 20 % 서술형4 편차의 합은 0이므로 (-2)_5+(-1)_3+0_8+1_7+2x=0 -6+2x=0 ∴ x=3 …❶ (분산)=(-2)€_5+(-1)€_3+0€_8+1€_7+2€_3 5+3+8+7+3 =;2$6@;=;1@3!; …❷ 01 오른쪽 그림과 같이 정삼각형을 ABC라 하고 원 O와의 접점을 각각 D, E, F라 하면 ODAOFA (RHS 합동) 이므로 OAD=OAF=30^

∴ AD’= OD’_{tan 30^} ='3 _'3 =3 (cm)

이때 ODAODB (RHS 합동)이므로 BD’=AD’=3`cm 따라서 AB’=6`cm이므로 정삼각형의 둘레의 길이는 6+6+6=18 (cm) 06 BC’를 그으면 ABμ의 길이가 원의 둘레의 길이의 ;6!;이므로 ACB=;6!;_180^=30^ ABμ：CDμ=2：3이므로 30^：CBD=2：3 ∴ CBD=45^ 따라서 PBC에서 BPC =180^-(30^+45^)=105^ 07 원의 중심을 O라 하면 AOB =2ACB =60^ 이때 AO’=BO’이므로 OAB=OBA =;2!;_(180^-60^)=60^ 즉, AOB는 정삼각형이므로 AO’=10`m ∴ (공연장의 넓이) =@_10€=100@ (m€) 08 BCD=BAC AB’가 원 O의 지름이므로 ACB=90^ ∴ ACB=CDB 따라서 BACBCD (AA 닮음)이므로 10：x=x：8 x€=80　　∴ x=4'5 (x>0) 서술형<sub>1 AP’=;2!; AB’=4 (cm)이므로</sub> AP’=AS’=BP’=BQ’=4`cm DR’=DS’=10-4=6 (cm) EQ’=ER’=x`cm라 하면 EC’ =BC’-BE’ =10-(BQ’+EQ’) =10-(4+x) =6-x (cm) DE’=DR’+ER’=6+x (cm) …❶ 0 " % ADN # & $ ' # $ % " 1 # $ " 0 ± AN # $ % " ADN ADN YADN0