2020 개념원리 RPM 수학Ⅱ
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(2) Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 01. 함수의 극한. 없이 커지므로 -1 lim =-¦ x`Ú 1 |x-1|. 답 -¦. f(x)=x-3으로 놓으면 y=f(x) 0007 /. /. 본문 7쪽, 9쪽. f(x)=2x-1로 놓으면 y=f(x) 0001. Z. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값. 0. Å . -3에 한없이 가까워지므로. . lim (2x-1)=-3 . 이 한없이 커질 때, f(x)의 값도 한없이 커. Z G Y. 이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은. x`Ú-1. Y. Z. 므로. Z G Y. . Y. Z G Y. 수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, . 0. Y. lim `;[!;=0. 답0. x`Ú-¦. 0. . . Y. 답1. x`Ú 2. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의. Z. 래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값이 음. Z G Y. lim 'Äx-1=1 1. Y. `f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로. Z. 므로. f(x)= 로 놓으면 y=f(x) 0004 x+2. 0. 답¦. lim `xÛ`=¦. f(x)=;[!;로 놓으면 y=f(x)의 그 0009 0. 때, `f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지. Z. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의. . 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질. 0. Y. 0. 답2. x`Ú-¦. Y. |x| -x ⑴ lim = lim = lim (-1)=-1 x`Ú 0- x x`Ú 0x`Ú 0x |x| x ⑵ lim = lim = lim 1=1 x`Ú 0+ x x`Ú 0+ x x`Ú 0+ 0011. 은 ;2!;에 한없이 가까워지므로 1 lim =;2!; x`Ú 0 x+2. 답 ;2!;. 1 로 놓으면 y=f(x)의 xÛ` 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값. Z. f(x)= 0005. Z G Y. 답 ⑴ -1 ⑵ 1. ⑸ lim `f(x)=0, lim `f(x)=2 0012 x`Ú-2+ x`Ú-2-. 즉, lim `f(x)+ lim `f(x)이므로 lim `f(x)는 존재하지 x`Ú-2+. 이 0에 한없이 가까워질 때, `f(x)의 값은. 0. Y. 한없이 커지므로. x`Ú-2-. x`Ú-2. 않는다. . 1 lim =¦ x`Ú 0 xÛ`. 답 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ 2 ⑷ 2 ⑸ 존재하지 않는다. ⑹ 2. 답¦. -1. f(x)= 로 놓으면 0006 |x-1| y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. Z 0 . Y Z G Y. 0013 lim (1-3x)=1-3´(-1)=4 x`Ú-1. 즉, x의 값이 1에 한없이 가까워질 때,. lim(xÛ`-4)(x+1)=(1-4)´(1+1)=-6 0014 x`Ú 1. `f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한. . 정답과 풀이. Z G Y. lim {2+;[!;}=2. Å . . f(x)=2+;[!;로 놓으면 y=f(x) 0010. 때, `f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로. Z. Z G Y. 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값. 002. Z G Y. . 답 10. 다. 즉, x의 값이 2에 한없이 가까워질. Z. 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값이. 10에 한없이 가까워지므로. y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같. 답¦. lim (x-3)=¦. x`Ú¦. x`Ú¦. 값이 3에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은. f(x)='Äx-1로 놓으면 0003. Y. 한없이 커질 때, f(x)의 값도 한없이 커지. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다, 즉, x의. x`Ú 3. . 0 . 지므로. f(x)=xÛ`으로 놓으면 y=f(x)의 0008. 답 -3. 0002. f(x)=xÛ`+1로 놓으면 y=f(x). lim (xÛ`+1)=10. Z G Y. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, x의 값. 교과서 문제 정 복 하 기 /. Z. 답4. 답 -6.
(3) xÛ`-3` 9-3 0015. lim = =3 x`Ú 3 x-1 3-1. 답3. 0016 lim`7=7 x`Ú 4. 답7. (x+1)(x-1) x+1. xÛ`-1` lim = lim 0017 x`Ú -1 x+1 x`Ú -1 . . = lim (x-1)=-2. 답 -2. x`Ú -1. xÛ`+1-xÛ` lim ("ÃxÛ`+1-x)=lim 0027 x`Ú¦ x`Ú¦ . (x-2)(x-3) x-2. . . =lim(x-3)=-1 x`Ú 2. 답0. xÛ`+10x-xÛ` lim ("ÃxÛ`+10x-x)=lim 0028 x`Ú¦ x`Ú¦ . xÛ`-5x+6` lim =lim 0018 x`Ú 2 x`Ú 2 x-2. "ÃxÛ`+1+x 1 =lim =0 x`Ú¦ "ÃxÛ`+1+x. 답 -1. . "ÃxÛ`+10x+x 10x =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+10x+x 10 =lim x`Ú¦ 10 ®É1+ +1 x 답5. =5. (x+1)(x+4) xÛ`+5x+4` lim = lim 0019 x`Ú -1 x`Ú -1 x+1 x+1 . . = lim (x+4)=3 x`Ú -1. 답3. '§x-2` ('§x-2)('§x+2) 0020. lim =lim x`Ú 4 x-4 x`Ú 4 (x-4)('§x+2) . . x-4` =lim x`Ú 4 (x-4)('§x+2). . . 1 =lim =;4!; x`Ú 4 '§x+2. 1 x lim ;[!; {1}=lim {;[!;´ } 0029 x`Ú 0 x`Ú 0 x+1 x+1 1 =lim =1 x`Ú 0 x+1. 답 ;4!;. 2 2 xÛ`-9 lim {x-;[(;}=lim { ´ } 0030 x`Ú 3 x-3 x`Ú 3 x-3 x (x-3)(x+3) 2 ´ ] x-3 x 2(x+3) 답4 =lim =4 x`Ú 3 x =lim [. x('ħx+4+2)` x 0021. lim =lim x`Ú 0 'ħx+4-2 x`Ú 0 ('ħx+4-2)('ħx+4+2) . . . . . . x`Ú 3. x('ħx+4+2) =lim x`Ú 0 x =lim ('Äx § +4+2) x`Ú 0. =4. 답1. 답4. ax+b lim =3이고, lim(x-2)=0이므로 0031 x`Ú 2 x-2 x`Ú 2 lim (ax+b)=0 x`Ú 2. ;[%;- 2 xÛ` 5x-2` 0022. lim = lim 1 =0 x`Ú ¦ 3xÛ`+1 x`Ú ¦ 3+ xÛ`. 즉, 2a+b=0이므로 b=-2a 답0. b=-2a를 주어진 식에 대입하면 ax-2a a(x-2) lim =lim =a=3 x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 x-2. 3+;[%;- 2 xÛ` 3xÛ`+5x-2` 0023. lim = lim =;2#; 1 x`Ú ¦ x`Ú ¦ 2xÛ`+1 2+ xÛ` 2+;[!; 2x+1 0024. lim = lim =;3@; x`Ú-¦ 3x-1 x`Ú-¦ 3-;[!;. ∴ a=3, b=-6. 답 a=3, b=-6. 답 ;2#;. x-1 lim 0032 x`Ú 1 답 ;3@;. xÛ`+ax-b lim (xÛ`+ax-b)=0. =-1이고, lim(x-1)=0이므로 x`Ú 1. x`Ú 1. 즉, 1+a-b=0이므로 b=a+1 b=a+1을 주어진 등식에 대입하면. 3xÛ`-2x 3x-2 lim =lim =¦ 0025 x`Ú¦ x`Ú¦ x+2 1+;[@; lim (xÛ`-3x+2)=lim xÛ` {1-;[#;+ 0026 x`Ú¦ x`Ú¦ . 답¦. 2 }=¦ xÛ` 답¦. x-1 x-1 lim =lim x`Ú 1 xÛ`+ax-(a+1) x`Ú 1 (x-1)(x+a+1) 1 =lim x`Ú 1 x+a+1 1 = =-1 a+2 ∴ a=-3, b=-2 답 a=-3, b=-2 01. 함수의 극한. 003.
(4) 모든 실수 x에 대하여 0033. lim `f(x)= lim (-xÛ`-4x+3)=7. x`Ú-2-. x`Ú-2-. -xÛ`+2x-3Éf(x)ÉxÛ`-2x-1이고. . lim (-xÛ`+2x-3)=-2, lim (xÛ`-2x-1)=-2이므로. lim `f(x)의 값이 존재하려면 lim `f(x)= lim `f(x)이어. lim`f(x)=-2. 야 하므로. x`Ú 1. x`Ú 1. x`Ú-2. 답 -2. x`Ú 1. 0034. 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+1>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 xÛ`+1로 나누면. -2+k=7 ∴ k=9 답9 단계. 4xÛ`-1 4xÛ`+5 이때 lim =4, lim =4이므로 x`Ú¦ xÛ`+1 x`Ú¦ xÛ`+1 답4. . x`Ú¦. x`Ú-2-. . 4xÛ`-1 4xÛ`+5 É f(x)É xÛ`+1 xÛ`+1. lim `f(x)=4. x`Ú-2+. 채점요소. 배점. . lim `f(x)의 값 구하기 x`Ú -2+. 30 %. . x`Ú -2-. lim `f(x)의 값 구하기. 30 %. . k의 값 구하기. 40 %. lim `f(x)+ lim `f(x)+lim`f(x) 0039 x`Ú-1x`Ú 0+ x`Ú 1 /. =3+0+3=6. . 유형 익 히 기 /. 답②. 본문 10~16 쪽. lim `f(x)= lim (-x+1)=1 0040 x`Ú 0x`Ú 0-. ① lim `f(x)=0 0035 x`Ú 0+. lim `f(x)= lim 3=3. ② lim `f(x)=1. x`Ú 1+. x`Ú 4+. x`Ú 1+. ∴ lim `f(x)+ lim `f(x)=1+3=4. ③ lim `f(x)=4. x`Ú 0-. x`Ú 1+. 답4. x`Ú 5-. ④ lim `f(x)=0, lim `f(x)=-3 x`Ú 2+. x`Ú 2-. 즉, lim `f(x)+ lim `f(x)이므로 lim`f(x)는 존재하지 않 x`Ú 2+. x`Ú 2-. x`Ú 2. 는다.. ⑤ lim `f(x)=2, lim `f(x)=2이므로 lim`f(x)=2 x`Ú 3+. x`Ú 3-. x`Ú 3. 답④. 따라서 극한값이 존재하지 않는 것은 ④이다.. 2xÛ`-3x-2 (x-2)(2x+1) = |x-2| |x-2| 2x+1 (x>2) =[ -2x-1 (x<2). 0041. f(x)=. lim `f(x)= lim (2x+1)=5 ∴ a=5. x`Ú 2+. x`Ú 2+. lim `f(x)= lim (-2x-1)=-5 ∴ b=-5. x`Ú 2-. x`Ú 2-. ∴ a-b=5-(-5)=10. ① lim `f(x)=¦, lim `f(x)=-¦이므로 0036 x`Ú a+ x`Ú a-. 답⑤. lim`f(x)는 존재하지 않는다. x`Ú a. ②, ③, ④ lim `f(x)+ lim `f(x)이므로 lim`f(x)는 존재하지 x`Ú a+. x`Ú a-. x`Ú a. 1-x=t로 놓으면 x`Ú 1+일 때 t`Ú 0-이므로. 않는다. ⑤ lim `f(x)= lim `f(x)이므로 lim`f(x)의 값이 존재한다. x`Ú a+. x`Ú a-. x`Ú a. 따라서 lim`f(x)의 값이 존재하는 것은 ⑤이다.. 답⑤. x`Ú a. lim `f(1-x)= lim `f(t)=0. x`Ú 1+. t`Ú 0-. ∴ lim `f(x)+ lim `f(1-x)=2+0=2 x`Ú 1-. x`Ú 1+. x`Ú-1-. lim g( f(x))= lim g(t)=1. lim `f(x)=1. x`Ú 1-. x`Ú-1. t`Ú 0+. ㄴ. lim `f(x)=-1, lim `f(x)=-1이므로 lim`f(x)=-1. g(x)=p로 놓으면 x`Ú 0+일 때 p=1이므로. ㄷ. lim `f(x)=3, lim `f(x)=2. x`Ú 0+. x`Ú 1+ x`Ú 2+. x`Ú 1-. x`Ú 1. x`Ú 2-. 즉, lim `f(x)+ lim `f(x)이므로 lim`f(x)는 존재하지 않 x`Ú 2+. x`Ú 2-. x`Ú 2. 는다. 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.. 답 ㄱ, ㄴ. lim `f( g(x))=f(1)=0. ∴ lim g( f(x))- lim `f( g(x))=1-0=1 x`Ú 1-. lim `f( f(x))= lim `f(t)=1. x`Ú-2+. 정답과 풀이. t`Ú-1+. ㄴ. f(x)=t로 놓으면 x`Ú 1+일 때 t=-1이므로. 0038. lim `f(x)= lim (x+k)=-2+k. 004. x`Ú 0+. 답④. ㄱ. f(x)=t로 놓으면 x`Ú 1-일 때 t`Ú -1+이므로 0044 x`Ú 1-. x`Ú-2+. 답⑤. f(x)=t로 놓으면 x`Ú 1-일 때 t`Ú 0+이므로 0043. 0037. ㄱ. lim `f(x)=1, lim `f(x)=1이므로 x`Ú-1+. lim `f(x)=2 0042 x`Ú 1-. lim `f( f(x))=f(-1)=-1. x`Ú 1+.
(5) ㄷ. f(x)=t로 놓으면 x`Ú --1+일 때 t`Ú -1-이므로. 단계. lim `f( f(x))= lim `f(t)=-1. x`Ú-1+. t`Ú 1-. 답③. 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 2 f(x)-g(x)=h(x)로 놓으면 0045. . `g(x)의 값 구하기 lim x`Ú 2. 60 %. x`Ú 5. x`Ú 1. 답 -5. x`Ú 1. `2 f(x)-g(x) lim =0 x`Ú 1 f(x) 즉, lim[2-. 답 -13. f(x-3) f(x-3) lim =lim x`Ú 3 x`Ú 3 (x-3)(x+3) xÛ`-9 . f(t) =lim t`Ú 0 t(t+6). . `f(t) 1 =lim ´lim t`Ú 0 t`Ú 0 t+6 t. . =2´;6!;=;3!;. lim`f(x)=¦, lim{2 f(x)-g(x)}=3이므로 x`Ú 1. x`Ú 0. x-3=t로 놓으면 x`Ú 3일 때 t`Ú 0이므로 0050. =lim. x`Ú 1. t`Ú 0. 1+4 f(x) 1+4´3 ∴ lim = =-13 x`Ú 0 2-f(x) 2-3. `f(x)-3{2 f(x)-h(x)} =lim x`Ú 1 3 f(x)-{2 f(x)-h(x)}. 다른풀이 . 40 %. lim`f(x-5)=lim`f(t)=3 ∴ lim`f(x)=3. x`Ú 1. -5 f(x)+3h(x) f(x)+h(x) h(x) -5+3´ f(x) =lim x`Ú 1 h(x) 1+ `f(x) =-5 . 배점. g(x)를 h(x), f(x)에 대한 식으로 나타내기. x-5=t로 놓으면 x`Ú 5일 때 t`Ú 0이므로 0049. g(x)=2 f(x)-h(x)이고 lim h(x)=3 `f(x)-3 g(x) ∴ lim x`Ú 1 3 f(x)-g(x). 채점요소. . g(x) g(x) ]=2-lim =0이므로 x`Ú 1 f(x) f(x). 답 ;3!;. lim`f(x)=a라 하면 0051 x`Ú 2 (x-2)(x+2) xÛ`-4 lim =lim x`Ú 2 { f(x)}Û`-25 x`Ú 2 { f(x)-5}{ f(x)+5}. g(x) lim =2 x`Ú 1 f(x). g(x) 1-3´ f(x) `f(x)-3 g(x) ∴ lim =lim x`Ú 1 3 x`Ú 1 f(x)-g(x) g(x) 3f(x) 1-3´2 = =-5 3-2. `f(x)+3 g(x) 2+3a lim = =;2!; x`Ú 1 f(x)g(x)-4 2a-4 `f(x) 5x-3´ x 5xÛ`-3 f(x) lim =lim 0047 x`Ú 0 7xÛ`+f(x) x`Ú 0 `f(x) 7x+ x 0-3´3 = =-3 0+3. =lim . . = . x`Ú 2. 즉, 답 -2. x+2 `f(x)-5 ´{ f(x)+5} x-2 lim`(x+2) x`Ú 2. `f(x)-5 lim { f(x)+5} ´lim x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 4 = 10(a+5). . lim`f(x)=2, lim g(x)=a이므로 0046 x`Ú 1 x`Ú 1. 4+6a=2a-4 ∴ a=-2. . 4 =;2Á0;이므로 a=3 10(a+5). ∴ lim`f(x)=3. 답③. x`Ú 2. 0 (x¾a) 1 (x¾a) , g(x)=[ 1 (x<a) 0 (x<a). ㄱ. [반례] f(x)=[ 0052. 이면 lim`f(x)와 lim g(x)는 모두 존재하지 않지만 답 -3. x`Ú a. x`Ú a. f(x)+g(x)=1이므로 lim{ f(x)+g(x)}=1이다. x`Ú a. ㄴ. lim{ f(x)+2 g(x)}=a, lim{2 f(x)+g(x)}=b라 하면 x`Ú a. 2 f(x)+g(x)=h(x)로 놓으면 0048. lim`f(x)=lim ;3!; [ 2{2 f(x)+g(x)}-{ f(x)+ 2 g(x)}]. g(x)=h(x)-2 f(x)이고 lim h(x)=6. x`Ú a. x`Ú 2. ∴ lim`g(x)=lim{h(x)-2 f(x)} x`Ú 2. ㄷ. [반례] f(x)=0, g(x)=[. =lim h(x)-2 lim`f(x) x`Ú 2. x`Ú 2. 0 (x¾a) 이면 1 (x<a). lim`f(x)=0, lim`f(x)g(x)=0이지만. =6-2´(-2)=10. x`Ú a. . . x`Ú a. =;3!;(2b-a). x`Ú 2. x`Ú a. 답 10. x`Ú a. lim`g(x)는 존재하지 않는다. x`Ú a. 답②. 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. 01. 함수의 극한. 005.
(6) xÜ`+8 lim 0053 x`Ú-2. (x+2)(xÛ`-2x+4) = lim x`Ú-2 (x+2)(2x-1). . xÛ`-2x+4 = lim x`Ú-2 2x-1. . =-:Á5ª:. 2xÛ`+3x-2. `f(x)(x-1) `f(x)(x-1)('§x+1) 0059. lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 ('§x-1)('§x+1) '§x-1 `f(x)(x-1)('§x+1) . =lim x`Ú 1 x-1. 답 -:Á5ª:. 8(xÝ`-1) 8(xÛ`-1)(xÛ`+1) =lim (xÛ`-1)f(x) x`Ú 1 (xÛ`-1) f(x). lim 0054 x`Ú 1 즉,. . 8(xÛ`+1) =lim x`Ú 1 f(x). . 16 = f(1). 16 =2이므로 f(1)=8 f(1). . =lim`f(x)('§x+1). . =lim `f(x)´lim ('§x+1) x`Ú 1 x`Ú 1. . =3´2=6. "ÃxÛ`-3x+x "ÃtÛ`+3t-t lim =lim t`Ú¦ "ÃxÛ`-1-'Ä3-x "ÃtÛ`-1-'Ä3+t . x`Ú-¦. { f(x)}Û`+3 f(x) `f(x){ f(x)+3} =lim x`Ú 1 xÛ` f(x)-f(x) f(x)(xÛ`-1). . f(x)+3 =lim x`Ú 1 (x-1)(x+1). . `f(x)+3 1 =lim ´lim x`Ú 1 x`Ú 1 x+1 x-1. . =2´;2!;=1. 답1. x x lim = lim =;2!; ∴ a=;2!; 0056 x`Ú 0+ x+|x| x`Ú 0+ x+x x(1+x) xÛ`+x xÛ`+x lim = lim = lim |xÛ`-1| x`Ú -1+ 1-xÛ` x`Ú -1+ (1+x)(1-x) x . = lim =-;2!; x`Ú -1+ 1-x x`Ú -1+. ∴ b=-;2!;. "ÃxÛ`+5-3. lim 0057 x`Ú 2 x-2 . . . 답0. ("ÃxÛ`+5-3)("ÃxÛ`+5+3) =lim x`Ú 2 (x-2)("ÃxÛ`+5+3) xÛ`-4 =lim x`Ú 2 (x-2)("ÃxÛ`+5+3) (x-2)(x+2) =lim x`Ú 2 (x-2)("ÃxÛ`+5+3) x+2 =lim =;3@; x`Ú 2 "ÃxÛ`+5+3. ¾Ð1+;t#;-1 =lim t`Ú¦ 1 3 1 ¾Ð1- -¾Ð + tÛ` tÛ` t 1-1 = =0 1-0. . 답①. ∴ a+b=;2!;+{-;2!;}=0. 답②. x=-t로 놓으면 x`Ú-¦일 때 t`Ú ¦이므로 0060. lim 0055 x`Ú 1 . x`Ú 1. f(x+1)- f(x) x-1. ` lim 0061 x`Ú ¦. (x+1)(x+2)-x(x+1) = lim x`Ú ¦ x-1 2+;[@; 2(x+1) = lim = lim =2 x`Ú ¦ x`Ú ¦ x-1 1-;[!; "Ãx`Û +1-2 x xÛ`-2x+1 5 2+;[#;+ xÛ` 1 = lim + lim {¾Ð1+ -;[@;} 1 x`Ú ¦ x`Ú ¦ xÛ` 1-;[@;+ xÛ` =2+1=3. 답2. 2xÛ`+3x+5 lim + lim 0062 x`Ú ¦ x`Ú ¦. f(x) ´;[$; x f(x) ´;[!; 2x 3+3´0 =;2#; = 2-3´0. 3xÛ`+4 f(x) lim = lim 0063 x`Ú ¦ 2xÛ`-f(x) x`Ú ¦ . 답④. 답④. 답3. 3+. 답②. x=-t로 놓으면 x`Ú-¦일 때 t`Ú¦이므로 0064 lim ("ÃxÛ`+2x+3+x). x`Ú-¦. 'Ä1-x-'Ä1+x 'ħ4+x-'ħ4-x. =lim("ÃtÛ`-2t+3-t). lim 0058 x`Ú 0. t`Ú¦. ('Ä1-x-'Ä1+x )('Ä1-x+'Ä1+x )('Ä4+x+'Ä4-x ) =lim x`Ú 0 ('ħ4+x-'ħ4-x )('ħ4+x+'ħ4-x )('ħ1-x+'ħ1+x ) -2x('Ä4+x+'Ä4-x ) =lim x`Ú 0 2x('ħ1-x+'ħ1+x ) =lim {x`Ú 0. 006. 'Ä4+x+'Ä4-x }=-2 'ħ1-x+'ħ1+x. 정답과 풀이. 답 -2. ("ÃtÛ`-2t+3-t)("ÃtÛ`-2t+3+t) =lim t`Ú¦ "ÃtÛ`-2t+3+t. 3 -2+ t -2t+3 =lim =lim t`Ú¦ t`Ú¦ 2 3 "ÃtÛ`-2t+3+t ¾Ð1Ð- + +1 t tÛ` -2 = =-1 1+1. 답③.
(7) (x-1)(axÛ`+ax+a+1) axÜ`+x-a-1 lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1. `1 "Ã4xÛ`+x-2x. ⑴ lim 0065 x`Ú¦. `"Ã4xÛ`+x+2x =lim x`Ú¦ ("Ã4xÛ`+x-2x)("Ã4xÛ`+x+2x). `1 `1 `1 -xÛ`-2x+3 ⑵ lim [ -;4!;]=lim [ ´ ] x`Ú 1 x-1 x`Ú 1 x-1 (x+1)Û` 4(x+1)Û -(x-1)(x+3) =lim x`Ú 1 4(x-1)(x+1)Û`. x`Ú 1. 답①. 답 ⑴ 4 ⑵ -;4!;. . "ÃtÛ`+2-t } "ÃtÛ`+2. =lim {tÛ`´. . =lim [tÛ`´. . 2tÛ` =lim t`Ú¦ "ÃtÛ`+2 ("ÃtÛ`+2+t). . t`Ú¦. t`Ú¦. x`Ú 2. yy`㉠. ㉠을 주어진 식에 대입하면 'Äx+§a-'Ä2+a x-2 lim =lim x`Ú 2 x`Ú 2 (x-2)('Äx+§a+'Ä2+a x-2 ) 1 =lim x`Ú 2 'Äx+§a+'Ä2+a 1 = 2'Ä2+§a. . 1 =;4!;에서 a=2이므로 이것을 ㉠에 대입하면 b=2 2'Ä2+§a ∴ a-b=0 답0. x -t }=lim tÛ`{1+ } t`Ú¦ "ÃxÛ`+2 "ÃtÛ`+2. 즉, lim ('Äx+§a-b)=0이므로 'Ä2+§a-b=0. . x=-t로 놓으면 x`Ú-¦일 때 t`Ú¦이므로 0066. . (분자)`Ú 0이다.. ∴ b='Ä2+§a . -(x+3) =lim =-;4!; x`Ú 1 4(x+1)Û`. =3a+1. x`Ú 2일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0069. =2+2=4. . ∴ ab=-6. lim {®É4+;[!;+2} =x`Ú¦. x`Ú-¦. =lim (axÛ`+ax+a+1). 3a+1=7에서 a=2이므로 이것을 ㉠에 대입하면 b=-3. `"Ã4xÛ`+x+2x =lim x`Ú¦ x. lim xÛ`{1+. . ("ÃtÛ`+2-t)("ÃtÛ`+2+t) ] "ÃtÛ`+2 ("ÃtÛ`+2+t). x`Ú - 3일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0070 (분자)`Ú 0이다.. 즉, lim ("ÃxÛ`-x-3+ax)=0이므로 'Ä9+3-3-3a=0 x`Ú -3. ∴ a=1. 2 =lim t`Ú¦ 2 2 ¾Ð1+ {¾Ð1+ +1} tÛ` tÛ` 2 = =1 1´(1+1). . a=1을 주어진 식에 대입하면 답1. lim ("ÃxÛ`+ax-"ÃxÛ`-ax`) 0067 x`Ú¦. "ÃxÛ`-x-3+x -(x+3) lim = lim x`Ú -3 x+3 (x+3)("ÃxÛ`-x-3-x) -1 = lim =-;6!; x`Ú -3 "ÃxÛ`-x-3-x. x`Ú -3. ∴ b=-;6!;. ("ÃxÛ`+ax-"ÃxÛ`-ax )("ÃxÛ`+ax+"ÃxÛ`-ax ) =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+ax +"ÃxÛ`-ax 2ax =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+ax +"ÃxÛ`-ax 2a =lim x`Ú¦ a a ¾Ð1+ +¾Ð1x x 2a = =3 1+1. . ∴ a+b=1+{-;6!;}=;6%; 답 ;6%;. 단계. 답3. ∴ a=3. 채점요소. 배점. . a의 값 구하기. 40 %. . b의 값 구하기. 50 %. . a+b의 값 구하기. 10 %. x`Ú 1일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0068 (분자)`Ú 0이다.. 0071. x`Ú -1일 때, (분자)`Ú 0이고 0이 아닌 극한값이 존. 즉, lim (axÜ`+x+b)=0이므로 a+1+b=0. 재하므로 (분모)`Ú 0이다.. x`Ú 1. ∴ b=-a-1 ㉠을 주어진 식에 대입하면. yy`㉠. 즉, lim (3xÛ`-x-a)=0이므로 3+1-a=0 ∴ a=4 x`Ú -1. a=4를 주어진 식에 대입하면 01. 함수의 극한. 007.
(8) (x-1)(x+1) xÛ`-1 lim = lim 3xÛ`-x-4 x`Ú -1 (x+1)(3x-4) x-1 = lim =;7@; x`Ú -1 3x-4. 1+;[!; x+1 lim =lim x`Ú¦ "Ã2xÛ`+x+1+'2x x`Ú¦ 1 1 ¾2Ð+ +Ð +'2` x xÛ`. x`Ú -1. ∴ b=;7@;. . ∴ ab=4´;7@;=;7*; . 답 ;7*;. ∴ b=. = '2 4. ∴ ab='2´ xÛ`+x-6 에서 x`Ú 2일 때 (분자)`Ú 0이고 0이 아 xÛ`-a 닌 극한값이 존재하므로 (분모)`Ú 0이다. lim 0072 x`Ú 2. 즉, lim (xÛ`-a)=0이므로 4-a=0 ∴ a=4 x`Ú 2. xÛ`-1 xÛ`-1 ∴ lim =lim x`Ú 1 xÛ`-ax+3 x`Ú 1 xÛ`-4x+3 (x-1)(x+1) =lim x`Ú 1 (x-1)(x-3) x+1 =lim =-1 x`Ú 1 x-3. 답 ①. '2 1 = '2+'2 4. '2 =;2!; 4. 답③. axÛ`+bx+c 0075. lim `f(x)=lim =1에서 x`Ú¦ x`Ú¦ xÛ`+x-2 c a+;[B;+ xÛ` lim =1 ∴ a=1 2 x`Ú¦ 1+;[!;xÛ` xÛ`+bx+c 또, lim`f(x)=lim =-1에서 x`Ú 1일 때, x`Ú 1 x`Ú 1 xÛ`+x-2 (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이다. 즉, lim(xÛ`+bx+c)=0이므로 1+b+c=0 x`Ú 1. ∴ c=-b-1 x`Ú 0일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0073 (분자)`Ú 0이다.. xÛ`+bx-b-1 ∴ lim`f(x)=lim x`Ú 1 x`Ú 1 xÛ`+x-2 (x-1)(x+1+b) =lim x`Ú 1 (x-1)(x+2). 즉, lim ("ÃxÛ`+ax+b-a)=0이므로 x`Ú 0. 'b-a=0 ∴ b=aÛ`. yy`㉠. x+1+b =lim x`Ú 1 x+2. ㉠을 주어진 식에 대입하면 "ÃxÛ`+ax+aÛ`-a lim x`Ú 0 'Äa+§x-'Äa-§x. = 즉,. (xÛ`+ax)('Äa+§x+'Äa-§x ) =lim x`Ú 0 2x("ÃxÛ`+ax+aÛ`+a). 2+b =-1에서 b=-5이므로 c=-b-1=5-1=4 3. ∴ a-b+c=1-(-5)+4=10. (x+a)('Äa+§x+'Äa-§x ) =lim x`Ú 0 2("ÃxÛ`+ax+aÛ`+a) =. 2+b 3. 2a'a 'a = 4a 2. 답 ⑤. f(x) 0076. lim =2에서 f(x)는 최고차항의 계수가 4인 일 x`Ú¦ 2x-1. 'a =1에서 a=4이므로 이것을 ㉠에 대입하면 2. 차함수임을 알 수 있다. 즉, f(x)=4x+a`(a는 상수)로 놓으면 lim `f(x)= lim (4x+a)=-4+a=-3 ∴ a=1. b=16. x`Ú -1. ∴ a+b=20. 답 20. x`Ú -1. 따라서 f(x)=4x+1이므로 f(3)=12+1=13 . lim ("Ã2xÛ`+x+1-ax) 0074 x`Ú¦. `f(x) 0077. lim =4에서 x`Ú 0일 때, (분모)`Ú 0이고 극한 x`Ú 0 x. 2xÛ`+x+1-aÛ`xÛ` =lim x`Ú¦ "Ã2xÛ`+x+1+ax. (2-aÛ`)xÛ`+x+1 =lim x`Ú¦ "Ã2xÛ`+x+1+ax. 답 13. 값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이다. yy`㉠. 즉, lim`f(x)=0이므로 f(0)=0 x`Ú 0. yy`㉠. ㉠의 극한값이 존재하려면 2-aÛ`=0. `f(x) lim =-2에서 x`Ú 1일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 x`Ú 1 x-1. aÛ`=2 ∴ a='2`(∵ a>0). 존재하므로 (분자)`Ú 0이다.. a='2 를 ㉠에 대입하면. 008. 정답과 풀이. 즉, lim`f(x)=0이므로 f(1)=0 x`Ú 1. yy`㉡.
(9) ㉠, ㉡에 의하여 f(x)=x(x-1)(ax+b)`(a, b는 상수)로 놓. 따라서 Q(x)=2x-3이므로. 으면. g(x)=(x-1)(x-2)(2x-3). `f(x) `x(x-1)(ax+b) lim =lim x`Ú 0 x`Ú 0 x x. ∴ g(3)=2´1´3=6. . =lim (x-1)(ax+b). . =-b=4. x+2 xÛ`+5x+3 lim =;3!;, lim =;3!;이므로 0080 x`Ú¦ 3x+1 x`Ú¦ 3xÛ`+2x+1. x`Ú 0. lim `f(x)=;3!;. ∴ b=-4. 답 ①. x`Ú¦. `f(x) `x(x-1)(ax+b) lim =lim x`Ú 1 x-1 x`Ú 1 x-1 . =lim x(ax+b). . =a+b=a-4=-2. 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2>0이므로 주어진 부등식의 0081 각 변을 xÛ`+2로 나누면. x`Ú 1. 3xÛ`+1 3xÛ`+5 <f(x)< xÛ`+2 xÛ`+2. ∴ a=2 따라서 f(x)=x(x-1)(2x-4)이므로. 3xÛ`+1 3xÛ`+5 이때 lim =3, lim =3이므로 x`Ú¦ xÛ`+2 x`Ú¦ xÛ`+2. `f(x) `x(x-1)(2x-4) lim =lim x`Ú 2 x-2 x`Ú 2 x-2 . 답 ⑤. lim `f(x)=3. 답 4. =lim 2x(x-1)=4 x`Ú 2. 답 3. x`Ú¦. 모든 양의 실수 x에 대하여 xÛ`>0이므로 주어진 부등식 0082 0078. ㈎에서 f(x)-2xÜ`=2xÛ`+ax+b`(a, b는 상수)로 놓 을 수 있으므로 f(x)=2xÜ`+2xÛ`+ax+b ㈏에서 x`Ú 0일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 . xÛ`-x-1 xÛ`-x+1 이때 lim =1, lim =1이므로 x`Ú¦ x`Ú¦ xÛ` xÛ`. (분자)`Ú 0이다. 즉,`lim`f(x)=0이므로 f(0)=0 ∴ b=0. `f(x) lim =1 xÛ`. x`Ú 0. 답 ③. x`Ú¦. `f(x) 2xÜ`+2xÛ`+ax ∴ lim =lim x`Ú 0 x`Ú 0 x x. 모든 양의 실수 x에 대하여 0<3x+2<f(x)<3x+4 0083. =lim (2xÛ`+2x+a) x`Ú 0. 이므로 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면. =a=-3. (3x+2)Û`<{ f(x)}Û`<(3x+4)Û`. 따라서 f(x)=2xÜ`+2xÛ`-3x이므로 답 3. f(-1)=-2+2+3=3. 주어진 조건에 의하여 f(1)=0, f(2)=0이므로 0079 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x) (Q(x)는 다항함수). 의 각 변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`-x-1 `f(x) xÛ`-x+1 < < xÛ` xÛ` xÛ`. yy`㉠. 로 놓을 수 있다.. 모든 양의 실수 x에 대하여 xÛ`+1>0이므로 각 변을 xÛ`+1로 나 누면 (3x+2)Û` { f(x)}Û` (3x+4)Û` < < xÛ`+1 xÛ`+1 xÛ`+1 (3x+2)Û` (3x+4)Û` 이때 lim =9, lim =9이므로 x`Ú¦ x`Ú¦ xÛ`+1 xÛ`+1 { f(x)}Û` lim =9 xÛ`+1. f(x) ㉠을 lim =1에 대입하면 x`Ú 1 x-1. 답 9. x`Ú¦. (x-1)(x-2)Q(x) lim =lim (x-2)Q(x)=1 x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 ∴ Q(1)=-1. . yy`㉡. 유형. f(x) ㉠을 lim =1에 대입하면 x`Ú 2 x-2. ① 1<x<2일 때, [x]=1이므로 0084. (x-1)(x-2)Q(x) lim =lim (x-1)Q(x)=1 x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 ∴ Q(2)=1. . 본문 17쪽. yy`㉢. [x] lim =;1!;=1 x. x`Ú 1+. ㉠에서 Q(x)의 차수가 낮을수록 f(x)의 차수도 낮고, ㉡, ㉢을. ② 0<x<1일 때, 1<x+1<2이므로 [x+1]=1. 모두 만족시키는 다항함수 Q(x) 중 차수가 가장 낮은 것은 일차. `x+1 ∴ lim =;1!;=1 x`Ú 0+ [x+1] ③ -1<x<0일 때, -2<x-1<-1이므로 [x-1]=-2 [x-1] -2 ∴ lim = =2 x`Ú 0- x-1 -1. 함수이므로 Q(x)=ax+b`(a, b는 상수)로 놓으면 Q(1)=a+b=-1, Q(2)=2a+b=1 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-3. 01. 함수의 극한. 009.
(10) ④ -xÛ`+6x-9=-(x-3)Û`이고, x`Ú 3일 때 -(x-3)Û`은. OPÓ="ÃtÛ`+tÝ` 이므로 OPÓ=OQÓ에서 Q("ÃtÛ`+tÝ`, 0) 0089 따라서 직선 PQ의 방정식은. 0보다 작은 값을 가지면서 0에 한없이 가까워지므로 lim [-xÛ`+6x-9]=-1. y-tÛ`=. x`Ú 3. ⑤ 0<x<1일 때, -1<x-1<0이므로 [x-1]=-1 `x-1 -1 ∴ lim = =1 yy`㉠ x`Ú 0+ [x-1] -1 -1<x<0일 때, -2<x-1<-1이므로 [x-1]=-2 `x-1 -1 ∴ lim = =;2!; x`Ú 0- [x-1] -2 `x-1 `x-1 ㉠, ㉡에서 lim 이므로 + lim x`Ú 0+ [x-1] x`Ú 0- [x-1] `x-1 lim 은 존재하지 않는다. x`Ú 0 [x-1] 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.. yy`㉡. -tÛ` (x-t) "ÃtÛ`+tÝ`-t. -tÛ` tÛ` ´(-t)= "ÃtÛ`+tÝ`-t "Ã1+tÛ`-1 tÛ` ∴ f(t)= +tÛ`` "Ã1+tÛ`-1 y-tÛ`=. 답 ④, ⑤. lim`f(t)=lim { t`Ú 0. t`Ú 0. =lim [ t`Ú 0. x`Ú 3-. tÛ` +tÛ`} "Ã1+tÛ`-1. tÛ`("Ã1+tÛ`+1) +tÛ`] tÛ`. =lim ("Ã1+tÛ`+1+tÛ`)=2 t`Ú 0. . 답 5. 답 2. 단계. ① x`Ú 2+일 때 f(x)`Ú 0-이므로 0086 lim [ f(x)]=-1. x`Ú 2+. ② x`Ú 2-일 때 f(x)`Ú 0+이므로. . 점 P가 원점 O에 한없이 가까워지면 t`Ú 0이므로. [x]Û`+[x] [x]Û`+[x] 3Û`+3 2Û`+2 lim + lim = + x`Ú 3+ x`Ú 32 xÛ`-x [x] 3Û`-3 . =2+3=5. . ㉠에 x=0을 대입하면. 0085. lim [x]=3, lim [x]=2이므로 x`Ú 3+. yy`㉠. 채점요소. 배점. . 직선 PQ의 방정식 구하기. 30 %. . f(t) 구하기. 30 %. . f(t)가 한없이 가까워지는 값 구하기. 40 %. lim [ f(x)]=0. x`Ú 2-. ③ x`Ú -2-일 때 f(x)`Ú 0+이므로. lim [ f(x)]=0. x`Ú-2-. ④ x`Ú -2+일 때 f(x)`Ú 0+이므로. 시험에. lim [ f(x)]=0. 본문 18~21쪽. x`Ú-2+. ⑤ lim [ f(x)]= lim [ f(x)]=0이므로 x`Ú-2+. 꼭 나오는 문제. 0090. ㄱ. f(x)=2-;[!;로 놓으면. x`Ú-2-. lim [ f(x)]=0. x`Ú-2. 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.. 답 ①. 0. Y. lim {2-;[!;}=¦. x`Ú 0-. 답 ;4!;. 0088. 점 P의 좌표를 (t, 2tÛ`)`(t>0), 점 Q의 좌표를 (0, y) 로 놓으면 PQÓ=QOÓ=y이므로 "Ã\tÛ`+(2tÛ`-y)Û`=y. 양변을 제곱하면 tÛ`+4tÝ`-4ytÛ`+yÛ`=yÛ` 4ytÛ`=4tÝ`+tÛ` ∴ y=tÛ`+;4!; 점 P가 원점 O에 한없이 가까워지면 t`Ú 0이므로. 이므로 lim {2-;[!;}은 존재하지 않는다. x`Ú 0. x-2 x-2 ㄴ. lim = lim =-1 x`Ú 2- |x-2| x`Ú 2- -(x-2) (x-2)(x-3) xÛ`-5x+6 ㄷ. lim =lim =lim (x-2)=1 x`Ú 3 x`Ú 3 x`Ú 3 x-3 x-3 |x| Z ㄹ. f(x)= 로 놓으면 y=f(x)의 xÛ` 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 Z G Y. |x| lim =¦ x`Ú 0 xÛ` Y 0 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다.. lim`y=lim {tÛ`+;4!;}=;4!;. 답 ③. t`Ú 0 . 따라서 원의 중심 Q는 점 {0, ;4!;}에 한없이 가까워진다.. 010. . x`Ú 0+. B(x)=;2!;´4´x=2x. t`Ú 0 . 같다. 즉, lim {2-;[!;}=-¦, . 0087. A(x)=;2!;´1´y=;2!;y=;2!;xÛ`. ;2!;xÛ` A(x) xÛ` ∴ lim = lim = lim =;4!; x`Ú ¦ xB(x) x`Ú ¦ 2xÛ` x`Ú ¦ 4xÛ`. y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과. Z Z G Y. 정답과 풀이. 답 ①. 0091 ⑤ lim`f(x)=3 x`Ú 3. 답 ⑤.
(11) ( x-2 (x¾2). f(x). ㄱ. lim g(x)=a, lim =b`(a, b는 실수)라 하고 0097 x`Ú a x`Ú a g(x). `f(x)={ -x+2 (1Éx<2) 이므로 0092 9 -xÛ`+3`(x<1). f(x) =h(x)로 놓으면 f(x)=g(x)h(x)이므로 g(x). lim `f(x)+ lim `f(x)+lim`f(x). x`Ú 1-. x`Ú 1+. lim`f(x)=lim`g(x)h(x)=lim`g(x)´lim`h(x)=ab. x`Ú 3. x`Ú a. = lim (-xÛ`+3)+ lim (-x+2)+lim (x-2) x`Ú 1-. x`Ú 1+. x`Ú 3. 답 4. =2+1+1=4. x`Ú a. x`Ú a. x`Ú a. 1 (x¾a) ㄴ. [반례] f(x)=0, g(x)=[ 이면 2 (x<a) f(x) lim`f(x)=0, lim =0이지만 lim`g(x)는 존재하지 x`Ú a x`Ú a g(x) x`Ú a. g(x)=t로 놓으면 x`Ú 1-일 때 t=-1이므로 0093. 않는다.. lim `f(g(x))=f(-1)=0 ∴ a=0. ㄷ. lim { f(x)+ g(x)}=a, lim { f(x)- g(x)}=b. x`Ú 1-. x`Ú a. x`Ú a. f(x)=p로 놓으면 x`Ú 1+일 때 p`Ú 1+이므로. (a, b는 실수)라 하고. lim g( f(x))= lim g(p)=1 ∴ b=1. f(x)+ g(x)=h(x), f(x)- g(x)=k(x)로 놓으면. x`Ú 1+. p`Ú 1+. lim h(x)=a, lim k(x)=b이다.. 답 1. ∴ a+b=1. x`Ú a. ① lim{-2 f(x)}=-2 lim`f(x)=-2´3=-6 0094 x`Ú a x`Ú a ② lim 3 f(x)g(x)=3 lim`f(x)´lim g(x)=3´3´2=18 x`Ú a. x`Ú a. x`Ú a. h(x)+k(x) 이때 f(x)= 이므로 2 h(x)+k(x) a+b lim`f(x)=lim = x`Ú a x`Ú a 2 2. lim``f(x) 2 f(x) `f(x) x`Ú a ③ lim =2 lim =2´ =2´;2#;=3 x`Ú a g(x) x`Ú a g(x) lim g(x) x`Ú a. 4(xÜ`-1) 4(x-1)(xÛ`+x+1) =lim (xÛ`-1) f(x) x`Ú 1 (x+1)(x-1) f(x). ④ lim g(x)=2이므로 lim`f(g(x))= f(2). lim 0098 x`Ú 1. 그런데 f(2)의 값은 알 수 없다.. . . . . x`Ú a. x`Ú a. ⑤ lim[3{ f(x)}Û`+2 g(x)]=3{lim`f(x)}Û`+2 lim g(x) x`Ú a. x`Ú a. x`Ú a. =3´3Û`+2´2=31 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.. . 답 ③. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. x`Ú a. 답 ④. 4(xÛ`+x+1) =lim x`Ú 1 (x+1) f(x) 12 = =2 2 f(1) 답 3. ∴ f(1)=3. 'Ä1+§x-'Ä1-§x 0099. lim x`Ú 0 x. 0095. 3 f(x)-2 g(x)=h(x)로 놓으면 3f(x)-h(x) 이고 lim h(x)=1 g(x)= x`Ú ¦ 2. ('Ä1+§x-'Ä1-§x )('Ä1+§x+'Ä1-§x ) =lim x`Ú 0 x('Ä1+x+'Ä1-x ). 3 f(x)-h(x) f(x)-2´ `f(x)-2 g(x) 2 ∴ lim =lim x`Ú ¦ -2f(x)+g(x) x`Ú¦ 3 f(x)-h(x) -2 f(x)+ 2 4 f(x)-2h(x) =lim x`Ú¦ f(x)+h(x) h(x) 4-2´ f(x) =lim x`Ú¦ h(x) 1+ f(x) =4 답 4. 3x+1 0100. ㄱ. lim =lim =0 x`Ú ¦ xÛ`+2x-3 x`Ú¦ 1+;[@;- 3 xÛ`. x-2=t로 놓으면 x`Ú 2일 때 t`Ú 0이므로 0096. 2xÛ` 2 ㄴ. lim = lim =;3@; x`Ú ¦ 3xÛ`-1 x`Ú¦ 3- 1 xÛ`. `f(x-2) `f(x-2) `f(t) lim =lim =lim x`Ú 2 x`Ú 2 t`Ú 0 xÛ`-4 (x-2)(x+2) t(t+4) . `f(t) 1 =lim ´lim =4´;4!;=1 t`Ú 0 t`Ú 0 t+4 t. 2x 2 =lim =lim x`Ú 0 x('Ä1+x+'Ä1-x ) x`Ú 0 'Ä1+x+'Ä1-x =. 2 =1 1+1. ;[#;+. "ÃxÛ`+½1+x ㄷ. lim =lim x`Ú ¦ x`Ú¦ 2x 답 ③. 답 1. ¾Ð1+. 1 xÛ`. 1 +1 xÛ` =1 2. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. . 답 ④ 01. 함수의 극한. 011.
(12) lim ("ÃxÛ`+3x+4-x) 0101 x`Ú ¦. b=a'2를 주어진 식에 대입하면. ("ÃxÛ`+3x+4-x)("ÃxÛ`+3x+4+x) = lim x`Ú ¦ "ÃxÛ`+3x+4+x. a'¶x+1-a'2 a('¶x+1-'2) lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1. 3+;[$; 3x+4 = lim =lim x`Ú ¦ "ÃxÛ`+3x+4+x x`Ú¦ 3 4 ¾1Ð+ +Ð +1` x xÛ` =. 3 =;2#; 1+1. 답 ;2#;. . 1 2 } x`Ú 0 '¶1-x '¶4-x '¶4-x-2'¶1-x =lim {;[!;´ } x`Ú 0 '¶1-x '¶4-x. 답 ③. 즉, lim (xÛ`-4x+a)=0이므로 9-12+a=0 ∴ a=3 x`Ú 3. a=3을 주어진 식에 대입하면 xÛ`-4x+3 `(x-1)(x-3)('¶x+1+2) lim =lim x`Ú 3 '¶x+1-2 x`Ú 3 x-3 =8. x`Ú 3. `f(x) lim =-8에서 x`Ú -1일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값 x+1. x`Ú-1. 이 존재하므로 (분자)`Ú 0이다. 즉, lim `f(x)=0이므로 f(-1)=-1+10-a+b=0 x`Ú-1. ∴ b=a-9 `f(x) xÜ`+10xÛ`+ax+a-9 lim = lim x+1 x+1 x`Ú-1. x`Ú-1. . (x+1)(xÛ`+9x+a-9) = lim x`Ú-1 x+1. . = lim (xÛ`+9x+a-9). . =1-9+a-9=-8. x`Ú-1. 따라서 f(x)=xÜ`+10xÛ`+9x이므로. ∴ a+b=11. 답 ⑤. 0104. x`Ú 1일 때, (분자) Ú 0이고 0이 아닌 극한값이 존재 하므로 (분모) Ú 0이다. ∴ b=-(a+1) b=-(a+1)을 주어진 식에 대입하면 x-1 x-1 lim =lim x`Ú 1 xÛ`+ax-(a+1) x`Ú 1 (x-1)(x+a+1) 1 =lim x`Ú 1 x+a+1. 이때 lim (x+1)=2, lim (3x-1)=2이므로 x`Ú 1+. x`Ú 1+. `f(x) lim =2 x`Ú 1+ x-1. 1 =;3!; a+2. 따라서 a=1, b=-2이므로 ab=-2. Ú x>1일 때, x-1>0이므로 주어진 부등식의 각 변 0107 xÛ`-1 `f(x) 3xÛ`-4x+1 É É x-1 x-1 x-1 (x-1)(x+1) `f(x) (x-1)(3x-1) É É x-1 x-1 x-1 `f(x) ∴ x+1É É3x-1 x-1. x`Ú 1. =. 답 66. f(2)=8+40+18=66. 을 x-1로 나누면. 즉, lim (xÛ`+ax+b)=0이므로 1+a+b=0 . . 답 48. ∴ a=9, b=0. ∴ b=8. . a = ='2 2'2. . f(x)=xÜ`+10xÛ`+ax+b. (분자) Ú 0이다.. . a =lim x`Ú 1 '¶x+1+'2. `f(x)-xÜ` 0106. lim =2에서 x`Ú ¦ 5xÛ` f(x)-xÜ`=10xÛ`+ax+b`(a, b는 상수)로 놓을 수 있으므로. x`Ú 3일 때, (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0103. =lim (x-1)('¶x+1+2). . aÛ`+bÛ`=16+32=48. ('¶4-x-2'¶1-x )('¶4-x+2'¶1-x ) =lim [;[!;´ ] x`Ú 0 '¶1-x '¶4-x`('¶4-x+2'¶1-x ). . a('¶x+1-'2)('¶x+1+'2) =lim x`Ú 1 (x-1)('¶x+1+'2). 따라서 a=4, b=4'2이므로. 0102. lim ;[!;{. 3 =lim x`Ú 0 '¶1-x '¶4-x`('¶4-x+2'¶1-x ) 3 = =;8#; 2(2+2). . 답 ②. Û x<1일 때, x-1<0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x-1 로 나누면. x`Ú 1일 때, (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 0105 (분자) Ú 0이다.. 즉, lim (a'¶x+1-b)=0이므로 x`Ú 1. a'2-b=0 ∴ b=a'2. 012. 정답과 풀이. 3xÛ`-4x+1 `f(x) xÛ`-1 É É x-1 x-1 x-1 `f(x) ∴ 3x-1É Éx+1 x-1 이때 lim (3x-1)=2, lim (x+1)=2이므로 x`Ú1-. x`Ú 1-.
(13) `f(x) lim =2 x-1 `f(x) Ú, Û에서 lim =2 x`Ú 1 x-1. 단계. x`Ú 1-. 답 2. [;2{;]=;2{;-h`(0Éh<1)로 놓으면 0108 lim ;[$; [;2{;]= lim ;[$; {;2{;-h}. x`Ú¦. x`Ú¦. 4h }=2 x. g(x)를 h(x), f(x)에 대한 식으로 나타내기. . lim x`Ú ¦. f(x)+4g(x) 의 값 구하기 -2f(x)+6g(x). 답2. x x lim = lim =0 [x] x`Ú 0- -1 ② 0<x<1일 때, [x]=0이므로 [x] 0 lim = lim =0 x`Ú 0+ x x`Ú 0+ x. . x`Ú 0-. lim g(x)=lim ("Ã9xÛ`-x-3x). x`Ú¦. x`Ú¦. ("Ã9xÛ`-x-3x)("Ã9xÛ`-x+3x) =lim x`Ú¦ "Ã9xÛ`-x+3x -x =lim x`Ú¦ "Ã9xÛ`-x+3x -1 =lim =-;6!; x`Ú¦ ®É9-;[!;+3. ③ -1<x<0일 때, -2<x-1<-1이므로 [x-1]=-2 [x-1] -2 ∴ lim = lim =2 x`Ú 0- x-1 x`Ú 0- x-1 ④ 0<x<1일 때, 1<x+1<2이므로 [x+1]=1 x+1 x+1 ∴ lim = lim =1 x`Ú 0+ [x+1] x`Ú 0+ 1 ⑤ -1<x<0일 때, [x]=-1이므로 x 1 x 1 lim { ´ }= lim { ´ }=0 x`Ú 0- [x] x`Ú 0- -1 -1 [x]. x`Ú¦. x`Ú¦. . 답 ③. 답 ;3!;. . f(x)=OAÓ-OBÓ="ÃxÛ`+2x-x. 단계. ∴ `lim `f(x)=lim ("ÃxÛ`+2x-x) x`Ú¦. ("ÃxÛ`+2x-x)("ÃxÛ`+2x+x) =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+2x+x 2x =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+2x+x 2 =lim =1 x`Ú¦ ®É1+;[@;+1. . ∴ lim `f(x)+lim g(x)=;2!;+{-;6!;}=;3!;. OAÓ="ÃxÛ`+2x, OBÓ=x이므로 0110 x`Ú¦. 60 %. 2xÛ`-7x+1 1 1-;[%;+ xÛ` =lim =;2!; 1 x`Ú¦ 2-;[&;_ xÛ`. 0109. ① -1<x<0일 때, [x]=-1이므로. 배점 40 %. xÛ`-5x+1 lim `f(x)=lim 0112 x`Ú¦ x`Ú¦. x`Ú¦. =lim {2-. 채점요소. . 답 1. 채점요소. 배점. . lim `f(x)의 값 구하기. x`Ú ¦. 40 %. . lim `g(x)의 값 구하기. x`Ú ¦. 50 %. . lim `f(x)+ lim `g(x)의 값 구하기. 10 %. x`Ú ¦. x`Ú ¦. aÉ0이면 lim {"ÃxÛ`+x+1-(ax-1)}=¦이므로 0113 x`Ú¦ a>0이어야 한다. lim {"ÃxÛ`+x+1-(ax-1)}. x`Ú¦. 0111. (xÛ`+x+1)-(ax-1)Û` =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+x+1+(ax-1). 3 f(x)-2 g(x)=h(x)로 놓으면. 2 g(x)=3 f(x)-h(x)이고 lim h(x)=3 x`Ú¦. . `f(x)+4 g(x) ∴ lim x`Ú¦ -2 f(x)+6 g(x). yy`㉠. ㉠의 극한값이 존재하려면. 1-aÛ`=0 ∴ a=1 (∵ a>0). `f(x)+2{3 f(x)-h(x)} =lim x`Ú¦ -2 f(x)+3{3 f(x)-h(x)}. . a=1을 ㉠에 대입하면. 7f(x)-2h(x) =lim x`Ú¦ 7f(x)-3h(x). 3x 3 lim =lim "ÃxÛ`+x+1+x-1 x`Ú¦ 1 1 1 ¾1¨+ + +1- ` x xÛ` x 3 = =;2#; 1+1. x`Ú¦. h(x) 7-2´ f(x) =lim =1 x`Ú¦ h(x) 7-3´ f(x) . . (1-aÛ`)xÛ`+(1+2a)x =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+x+1+(ax-1). 답 1. ∴ b=;2#; 01. 함수의 극한. 013.
(14) ∴ a+b=1+;2#;=;2%;. 존재하므로 (분자)`Ú 0이다. . 단계. 채점요소. 즉, lim`f(x)=lim(7x+b)=0이므로 x`Ú 2. x`Ú 2. 답 ;2%;. 14+b=0 ∴ b=-14. 배점. 7(x-2) `7x-14 a=lim =lim x`Ú 2 xÛ`-3x+2 x`Ú 2 (x-2)(x-1). . a의 값 구하기. 50 %. . b의 값 구하기. 40 %. . a+b의 값 구하기. 10 %. 따라서 f(x)=7x-14이므로. 7 =lim =7 x`Ú 2 x-1 ∴ f(a)=f(7)=7´7-14=35. 답 35. `f(x)+2 0114. lim =2에서 x`Ú 1일 때, (분모)`Ú 0이고 x`Ú 1 x-1 극한값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이다.. Ú n<x<n+1일 때, [x]=n이므로 0117. 즉, lim {`f(x)+2}=0이므로 lim`f(x)=-2 x`Ú 1. x`Ú 1. . Û n-1<x<n일 때, [x]=n-1이므로. { f(x)}Û`+2 f(x) { f(x)+2}f(x) ∴ lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 (x-1)(x+1) xÛ`-1. [x]Û`+x (n-1)Û`+n nÛ`-n+1 lim = = n-1 n-1 [x]. `f(x)+2 `f(x) =lim ´lim x`Ú 1 x`Ú 1 x+1 x-1. x`Ú n-. . =2´. [x]Û`+x nÛ`+n lim = =n+1 n [x]. x`Ú n+. 극한값이 존재하므로 n+1=. nÛ`-n+1 n-1. nÛ`-1=nÛ`-n+1 ∴ n=2. -2 =-2 1+1. 이때 k=n+1=3 . 답 5. ∴ n+k=5. 답 -2. 단계. 채점요소. 배점. . lim`f(x)의 값 구하기. 50 %. 점 P의 좌표가 (a, a)이므로 Q('§a, a), R(a, aÛ`) 0118. . 주어진 식 변형하기. 40 %. Ú 0<a<1일 때, PQÓ='§a-a, PRÓ=a-aÛ``. . { f(x)}Û`+2 f(x) lim 의 값 구하기 x`Ú 1 xÛ`-1. 10 %. x`Ú 1. t-1 =m으로 놓으면 t`Ú¦일 때 m`Ú1-이므로 t+1. 0115. 4t-1 }= lim `f (n)=3 n`Ú 4+ t+1. t-1 4t-1 ∴ lim `f { }+ lim `f { }=2+3=5 t`Ú¦ t`Ú-¦ t+1 t+1. 답 ③. ;[!;=t로 놓으면 x`Ú 0+일 때 t`Ú ¦이므로 0116 x f {;[!;}-1 ;t!; f(t)-1 `f(t)-t lim =lim =lim =2 x`Ú 0+ t`Ú ¦ t`Ú ¦ 3t-1 3-x 3-;t!; 이때 f(t)-t=6t+b`(b는 상수)로 놓을 수 있으므로 f(t)=7t+b ∴ f(x)=7x+b `f(x) lim =a에서 x`Ú 2일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 x`Ú 2 xÛ`-3x+2. 014. 정답과 풀이. = lim ('§a+a)=2 a`Ú 1-. PRÓ aÛ`-a ∴ lim = lim a`Ú 1+ PQÓ a`Ú 1+ a-'§a (aÛ`-a)(a+'§a ) = lim a`Ú 1+ (a-'§a )(a+'§a ). 4t-1 =n으로 놓으면 t`Ú-¦일 때 n`Ú 4+이므로 t+1 lim `f {. . Û a>1일 때, PQÓ=a-'§a, PRÓ=aÛ`-a. t-1 lim `f { }= lim `f(m)=2 t`Ú¦ m`Ú 1t+1. t`Ú-¦. PRÓ a-aÛ` ∴ lim = lim a`Ú 1- PQÓ a`Ú 1- '§a-a (a-aÛ`)('§a+a) = lim a`Ú 1- ('§a-a)('§a+a). = lim (a+'§a )=2 a`Ú 1+. PRÓ Ú, Û에서 lim =2 a`Ú 1 PQÓ. 답 2.
(15) Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 02. 함수의 연속 /. x의 값들의 집합이므로 반닫힌 구간 (-¦, 3]이다. 답 (-¦, 3]. . 1 함수 f(x)= 의 정의역은 x+1+0, 즉 x+-1 0135 x+1. 교과서 문제 정 복 하 기 /. 함수 f(x)='Ä3-x의 정의역은 3-x¾æ0, 즉 xÉ3인 0134. /. 본문 23쪽, 25쪽. 인 x의 값들의 집합이므로 열린구간 (-¦, -1), (-1, ¦)이 다. 답 (-¦, -1), (-1, ¦). 함수 f(x)가 x=0에서 정의되어 있지 않으므로 불연속 0119 이다.. 답 풀이 참조. 함수 f(x)=x+3은 모든 실수, 즉 열린구간 0136. (-¦, ¦)에서 연속이다. 답 (-¦, ¦) lim `f(x)=2, lim `f(x)=1이므로 0120 x`Ú 0+ x`Ú 0-. 함수 f(x)='Äx-1은 x-1¾æ0일 때, 즉 반닫힌 구간 0137. lim `f(x)+ lim `f(x). x`Ú 0+. x`Ú 0-. 따라서 극한값 lim`f(x)가 존재하지 않으므로 불연속이다.. [1, ¦)에서 연속이다. 답 [1, ¦). x`Ú 0. . 답 풀이 참조. 함수 f(x)=2는 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦)에 0138 서 연속이다. 답 (-¦, ¦). 0121. f(0)=2, lim`f(x)=1이므로 lim`f(x)+f(0) x`Ú 0. x`Ú 0. 따라서 f(x)는 x=0에서 불연속이다.. 답 풀이 참조. 함수 f(x)가 x=0에서 정의되어 있지 않고, 극한값 0122 lim`f(x)도 존재하지 않으므로 불연속이다.. 답 풀이 참조. x`Ú 0. 함수 f(x)=;[!;은 x+0인 모든 실수, 즉 열린구간 0139 (-¦, 0), (0, ¦)에서 연속이다. 답 (-¦, 0), (0, ¦) 함수 y=xÛ`-2x는 다항함수이므로 열린구간 0140. (-¦, ¦)에서 연속이다. 답 (-¦, ¦) f(1)=2, lim`f(x)=2이고 lim`f(x)=f(1)이므로 0123 x`Ú 1 x`Ú 1 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.. 답 연속. 함수 y=(x+1)(xÛ`+x-2)는 다항함수이므로 열린구 0141 간 (-¦, ¦)에서 연속이다. 답 (-¦, ¦). f(1)=0, lim`f(x)=0이고 lim`f(x)=f(1)이므로 0124 x`Ú 1 x`Ú 1 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.. 답 연속. x-2 함수 y= 는 유리함수이므로 x+3인 모든 실수, 0142 x-3 즉 열린구간 (-¦, 3), (3, ¦)에서 연속이다.. 함수 f(x)가 x=1에서 정의되어 있지 않으므로 0125 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다.. 답 (-¦, 3), (3, ¦). 답 불연속. x+1 x+1 함수 y= 은 유리함수이 = 0143 xÛ`-3x+2 (x-1)(x-2). f(1)=1, 0126. 므로 x+1, x+2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, 1), (1, 2),. x(x-1) xÛ`-x lim`f(x)=lim =lim =lim x=1 x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x`Ú 1 x`Ú 1 x-1. (2, ¦)에서 연속이다. 답 (-¦, 1), (1, 2), (2, ¦). 이고 lim`f(x)=f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. x`Ú 1. . 답 연속. ⑴ f(x)+g(x)=(x-2)+(xÛ`+4x-5) 0144. =xÛ`+5x-7 0127. 답 [-2, 3]. 답 (1, 5) 0128. 즉, 함수 f(x)+g(x)는 다항함수이므로 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.. 0129. 답 [-3, 4). 답 (-7, 2] 0130. 0131. 답 (-¦, 4). 답 [3, ¦) 0132. ⑵ f(x)g(x)=(x-2)(xÛ`+4x-5)=xÜ`+2xÛ`-13x+10 즉, 함수 f(x)g(x)는 다항함수이므로 열린구간 (-¦, ¦) 에서 연속이다. ⑶. 함수 f(x)=xÛ`+2x의 정의역은 실수 전체의 집합이므 0133 로 열린구간 (-¦, ¦)이다.. 답 (-¦, ¦). f(x) x-2 x-2 는 유리함수이므로 = = g(x) xÛ`+4x-5 (x+5)(x-1). x+-5, x+1인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, -5), (-5, 1), (1, ¦)에서 연속이다. 02. 함수의 연속. 015.
(16) g(x) xÛ`+4x-5 (x+5)(x-1) 은 유리함수이므로 = = x-2 x-2 f(x) x+2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, 2), (2, ¦)에서 연. 유형 익 히 기. ⑷. 속이다.. /. 본문 26~31 쪽. ㄱ. x+1일 때, f(x)= 0152. 답 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, ¦). ⑶ (-¦, -5), (-5, 1), (1, ¦) ⑷ (-¦, 2), (2, ¦) 함수 f(x)=xÛ`+2x-1은 닫힌 0145. Z Z G Y. 구간 [-2, 0]에서 연속이고 이 구간에서. . 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과. . 따라서 함수 f(x)는 x=-2, x=0에서 최댓값 -1, x=-1에서 최솟값 -2를 갖는다. 답 최댓값: -1, 최솟값: -2. Z. [2, 4]에서 연속이고 이 구간에서 함수 . . 0 . 이때 f(1)=2이고, lim`f(x)=lim(x+1)=2. 즉, lim`f(x)=f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 연속이. x`Ú 1. x`Ú 1. x`Ú 1. 다. 따라서 함수 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이다.. ∴ lim `f(x)+ lim `f(x). 즉, 극한값 lim`f(x)가 존재하지 않으므로 함수 f(x)는. x=0에서 불연속이다.. x`Ú 0+. x`Ú 0-. x`Ú 0. x=1, x=-1에서 불연속이다. ㄹ. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=0에서 연속이 어야 한다.. 답 최댓값: 2, 최솟값: ;3@;. 함수 f(x)=1-'Äx+1은 닫힌 0147. . Z . 과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=3에서. 0 . . 이때 f(0)=0이고, lim `f(x)= lim `f(x)=0이므로 lim`f(x)=0 . x`Ú 0+. x`Ú 0-. x`Ú 0. ∴ lim`f(x)=f(0). 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(x)는 모든 실수 x. x`Ú 0. 에서 연속이다. Y. 따라서 모든 실수 x에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄹ이다.. 답 ㄱ, ㄹ. Z G Y. ①, ②, ③ f(0)이 정의되어 있지 않으므로 함수 f(x) 0153. 최댓값 -1, x=8에서 최솟값 -2를 갖는다. 답 최댓값: -1, 최솟값: -2. . Y. 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 2,. 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림. 어야 한다.. Z G Y. . y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. 구간 [3, 8]에서 연속이고 이 구간에서. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이. ㄷ. f(1), f(-1)이 정의되어 있지 않으므로 함수 f(x)는. 2 는 닫힌구간 x-1. x=4에서 최솟값 ;3@;를 갖는다.. (x-1)(x+1) =x+1 x-1. x ㄴ. lim `f(x)= lim `;[{;=1, lim `f(x)= lim =-1 x`Ú 0+ x`Ú 0x`Ú 0- -x x`Ú 0+. . . Y. 0. 같다.. 0146. 함수 f(x)=. /. 는 x=0에서 불연속이다. ④ f(0)=2이고. 0148. lim`f(x)= lim (xÛ`+2)= lim (-x+2)=2. 답 ㈎ 연속 ㈏ 사잇값. x`Ú 0. x`Ú 0+. x`Ú 0-. 즉, lim`f(x)=f(0)이므로 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. x`Ú 0. 0149. 답 ㈎ 연속 ㈏ 0 ㈐ (0, 1). f(x)=xÜ`-xÛ`-2라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 0150 [1, 2]에서 연속이고 f(1)=-2<0, f(2)=2>0이므로 사잇 값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 xÜ`-xÛ`-2=0은 열린구간 (1, 2) 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.. 답 풀이 참조. f(x)=xÝ`+xÜ`-9x+1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구 0151 간 [1, 2]에서 연속이고 f(1)=-6<0, f(2)=7>0이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (1, 2)에 적 어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 xÝ`+xÜ`-9x+1=0은 열린 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.. 016. 정답과 풀이. 답 풀이 참조. |5x| 5x ⑤ lim `f(x)= lim = lim =5 x`Ú 0+ x`Ú 0+ x`Ú 0+ x x |5x| -5x lim `f(x)= lim = lim =-5 x`Ú 0x`Ú 0x`Ú 0x x ∴ lim `f(x)+ lim `f(x) x`Ú 0+. x`Ú 0-. 즉, 극한값 lim`f(x)가 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x`Ú 0. x=0에서 불연속이다. 따라서 x=0에서 연속인 함수는 ④이다.. f(a)=4a이고 0154 lim `f(x)= lim 4x=4a,. x`Ú a+. x`Ú a+. lim `f(x)= lim (xÛ`-5)=aÛ`-5. x`Ú a-. x`Ú a-. 함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 lim`f(x)가 존재하고 x`Ú a. 답④.
(17) 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이고 주어진 함수 g(x)는 0158. lim`f(x)=f(a)이어야 하므로 x`Ú a. . 4a=aÛ`-5, aÛ`-4a-5=0. x`Ú 0+. . 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -1+5=4 답4. 채점요소. 배점. lim `g(`f(x))=`g(1)=1. x`Ú 0-. ∴ lim`g(`f(x))=1. 이때 g(`f(0))=g(0)=0이므로 lim`g(`f(x))+g(`f(0)). 즉, 함수 g(`f(x))는 x=0에서 불연속이다.. x`Ú 0. x`Ú 0. ㄴ. lim `g(`f(x))=`g(-1)=-1 x`Ú 0+. lim `g(`f(x))=`g(1)=-1. 연속이 되도록 하는 조건 알기. 40 %. . a의 값 구하기. 50 %. 모든 실수 a의 값의 합 구하기. 10 %. ∴ lim`g(`f(x))=-1. . 이때 g(`f(0))=g(0)=-1이므로. lim`g(`f(x))=g(`f(0)). 즉, 함수 g(`f(x))는 x=0에서 연속이다.. ∴ lim`f(x)=0. ∴ lim `f(x)+ lim `f(x). 따라서 극한값 lim`f(x)가 존재하지 않는다.. x`Ú 1+. x`Ú 0. x`Ú 0. x`Ú 0+. x`Ú 1-. x`Ú 1+. x`Ú 0-. ㄷ. lim `g(`f(x))=`g(-1)=0. x`Ú 3. ㄴ. lim `f(x)=2, lim `f(x)=1 x`Ú 1-. x`Ú 1. ㄷ. 함수 y=f(x)의 그래프가 x=1, x=2, x=3에서 끊어져 있으므로 x=1, x=2, x=3에서 불연속이다.. . ㄱ. lim `f(x)=0, lim `f(x)=0 0155 x`Ú 3+ x`Ú 3. [-2, 2]에서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 한다. ㄱ. lim `g(`f(x))=`g(-1)=1. (a+1)(a-5)=0 ∴ a=-1 또는 a=5. 단계. 모든 실수 x에서 연속이므로 합성함수 g(`f(x))가 닫힌구간. ∴ lim`g(`f(x))=0. 이때 g(`f(0))=g(0)=1이므로 lim`g(`f(x))+g(`f(0)). 즉, 함수 g(`f(x))는 x=0에서 불연속이다.. x`Ú 0. x`Ú 0. 따라서 함수 g(`f(x))가 닫힌구간 [-2, 2]에서 연속인 것은. 즉, 함수 f(x)가 불연속인 x의 값의 개수는 3이다. 답 ㄴ, ㄷ. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. lim `g(`f(x))=g(1)=0. x`Ú 0-. 답②. ㄴ뿐이다.. lim `f(x)=1, lim `f(x)=4이므로 0156 x`Ú 1+ x`Ú 1-. ㄱ. lim `f(x)g(x)=0´0=0 0159 x`Ú 0+. lim `f(x)+ lim `f(x). 즉, 극한값 lim`f(x)가 존재하지 않는다. ∴ a=1. ∴ lim`f(x)g(x)=0. 함수 y=f(x)의 그래프가 x=1, x=2에서 끊어져 있으므로. 이때 f(0)g(0)=1´0=0이므로. x=1, x=2에서 불연속이다. ∴ b=2. lim`f(x)g(x)=f(0)g(0). 즉, 함수 f(x)g(x)는 x=0에서 연속이다.. x`Ú 1+. x`Ú 1-. x`Ú 1. ∴ a+b=1+2=3. 답②. x`Ú 0-. x`Ú 0. 즉, lim`f(x)+f(0)이므로 함수 f(x)는 x=0에서 불연속 x`Ú 0. 이다. ㄴ. lim `f(x)=-1, lim `f(x)=1 x`Ú -1+. x`Ú -1-. ∴ lim`f( g(x))=1. 이때 f( g(0))=f(0)=1이므로 lim`f( g(x))=f( g(0)). 즉, 함수 f( g(x))는 x=0에서 연속이다.. x`Ú 0. x`Ú 0. x`Ú 0+. x`Ú -1-. 따라서 극한값 lim `f(x)는 존재하지 않는다. x`Ú -1. f(x)`Ú 0-. lim `g(`f(x))= lim `g(`f(x))=0. x`Ú 0-. f(x)`Ú 0+. ∴ lim`g(`f(x))=0. 져 있으므로 x=-1, x=0, x=1에서 불연속이다.. 이때 g(`f(0))=g(1)=0이므로 lim`g(`f(x))=g(`f(0)). 즉, 함수 f(x)가 불연속인 x의 값의 개수는 3이다.. 즉, 함수 g( f(x))는 x=0에서 연속이다.. ㄷ. 함수 y=f(x)의 그래프가 x=-1, x=0, x=1에서 끊어. lim `f( g(x))=f(0)=1. x`Ú 0-. ㄷ. lim `g(`f(x))= lim `g(`f(x))=0. ∴ lim `f(x)+ lim `f(x) x`Ú -1+. x`Ú 0. x`Ú 0+. lim `f(x)= lim `f(x)=-1이므로 lim`f(x)=-1. x`Ú 0+. x`Ú 0. ㄴ. lim `f( g(x))=f(0)=1. ㄱ. f(0)=-2이고 0157. lim `f(x)g(x)=0´0=0. x`Ú 0-. 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.. 답ㄷ. x`Ú 0. x`Ú 0. 따라서 x=0에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ. 02. 함수의 연속. 017.
(18) 1 = 1 xÛ ` -2x+1 x+ x-2 x-2 x-2 x-2 = = xÛ`-2x+1 (x-1)Û`. f(x)= 0160. 1. a-5=1-b ∴ a=2 x=-2에서 연속이므로 lim `f(x)= lim `f(x)=f(-2). x`Ú -2+. 따라서 함수 f(x)는 x-2=0, (x-1)Û`=0인 x의 값에서 정의 되어 있지 않으므로 불연속이 되도록 하는 x의 값은 1, 2의 2개. x`Ú -2-. 4-b=-6+c ∴ c=6 답 48. ∴ abc=2´4´6=48. 답2. 이다.. 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 lim`f(x)=f(2) 0165 x`Ú 2 f( g(x))=f(3xÛ`)이므로 0161. xÛ`+ax-4 ∴ lim =b x`Ú 2 x-2. 3xÛ`-1 (3xÛ`+1) f( g(x))=à |3xÛ`-1|. 0 (3xÛ`=1). x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0 이다.. ( 1 (3xÛ`-1>0) =Ò 0 (3xÛ`-1=0) 9 -1 (3xÛ`-1<0). 즉, lim(xÛ`+ax-4)=0이므로 x`Ú 2. 4+2a-4=0 ∴ a=0. 즉, 함수 f( g(x))는 3xÛ`-1=0인 x의 값에서 불연속이므로 3xÛ`=1 ∴ x=Ñ. '3 3. 따라서 구하는 모든 x의 값의 곱은 '3 '3 ´{}=-;3!; 3 3. a=0을 ㉠에 대입하면 (x+2)(x-2) xÛ`-4 lim =lim =lim(x+2)=4=b x`Ú 2 x-2 x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 ∴ a+b=0+4=4. 답 -;3!;. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에서도 0162 연속이다.. x=4에서도 연속이다. 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로 lim `f(x)= lim `f(x)=f(-1). x`Ú -1+. x`Ú 1. yy`㉠. x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0 이다.. x`Ú -1-. 1+2+b=-a+1 ∴ a+b=-2 함수 f(x)가 x=4에서 연속이므로 lim `f(x)= lim `f(x)=f(4). x`Ú 4+ x`Ú 4+. x`Ú 1. x`Ú 4-. x`Ú 4-. 4a+1=16-8+b ∴ 4a-b=7. 1+a-3=0 ∴ a=2 (x-1)(x+3) xÛ`+2x-3 lim =lim =lim (x+3)=4=b x`Ú 1 x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1 답6. x+1 함수 f(x)= 이 모든 실수 x에서 연속이 0163 xÛ`-2ax+3. ∴ a-b=1-(-3)=4 f(x)=à 0167. ax+2. 답④. (|x|¾3). xÛ`+x-b (|x|<3) ( ax+2 (x¾3). =Ò xÛ`+x-b (-3<x<3). 려면 xÛ`-2ax+3=0이 실근을 갖지 않아야 하므로. 9 ax+2. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. (xÉ-3) 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=-3, x=3에서도 답3. f(0)=-4이므로 -b=-4 ∴ b=4 0164. 연속이다. 함수 f(x)가 x=-3에서 연속이므로 lim `f(x)= lim `f(x)=f(-3). x`Ú -3+. x`Ú -3-. lim (xÛ`+x-b)= lim (ax+2). 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1, x=-2에서도. x`Ú -3+. 연속이다.. 6-b=-3a+2 ∴ 3a-b=-4. x=1에서 연속이므로. 함수 f(x)가 x=3에서 연속이므로. lim `f(x)= lim `f(x)=f(1). 018. x`Ú 1-. 정답과 풀이. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3. a=2를 ㉠에 대입하면. x`Ú 1+. yy`㉠. lim (ax+1)= lim (xÛ`-2x+b). 즉, lim(xÛ`+ax-3)=0이므로. D =aÛ`-3<0 ∴ -'3<a<'3 4 따라서 정수 a는 -1, 0, 1의 3개이다.. x`Ú -1-. lim (xÛ`-2x+b)= lim (ax+1). 따라서 lim`f(x)=f(1)이므로. ∴ a+b=2+4=6. 답④. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=-1, 0166. x`Ú -1+. xÛ`+ax-3 lim =b x`Ú 1 x-1. yy`㉠. x`Ú -3-. lim `f(x)= lim `f(x)=f(3). x`Ú 3+. x`Ú 3-. yy`㉠.
(19) 함수 f(x)가 x=n에서 연속이므로 0170. lim (ax+2)= lim (xÛ`+x-b). x`Ú 3+. x`Ú 3-. 3a+2=12-b ∴ 3a+b=10. yy`㉡. x`Ú n-. lim `f(x)= lim ([x]Û`-3[x]+4)=nÛ`-3n+4. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=7 답8. ∴ a+b=1+7=8. lim `f(x)= lim `f(x)=f(n). x`Ú n+ x`Ú n+. x`Ú n+. lim `f(x)= lim ([x]Û`-3[x]+4). x`Ú n-. =(n-1)Û`-3(n-1)+4=nÛ`-5n+8. 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 0168. f(n)=nÛ`-3n+4. lim `f(x)= lim `f(x)=f(1). x`Ú 1+. x`Ú 1-. a'Äx+1-b ∴ lim =1 x`Ú 1+ x-1. 이므로 nÛ`-3n+4=nÛ`-5n+8 yy`㉠. x Ú`1+일 때, (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로. x`Ú n-. . 2n=4 ∴ n=2 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로 0171 lim `f(x)= lim `f(x)=f(-1). (분자) Ú`0이다.. x`Ú -1+. x`Ú -1-. lim `f(x)=1+(-a+2)´(-1)=a-1. 즉, lim (a'Äx+1-b)=0이므로. x`Ú -1+. a'2-b=0 ∴ b=a'2. x`Ú -1-. x`Ú 1+. lim `f(x)=4+(-a+2)´(-2)=2a. . f(-1)=1+(-a+2)´(-1)=a-1. b=a'2를 ㉠에 대입하면. 이므로 a-1=2a ∴ a=-1. a'Äx+1-a'2 lim x`Ú 1+ x-1 a('Äx+1-'2`)('Äx+1+'2`) = lim x`Ú 1+ (x-1)('Äx+1+'2`). g(x)=xÛ`-4x+1 0172. a a = lim = =1 x`Ú 1+ 'Äx+1+'2 2'2. y=g(x)의 그래프는 오른쪽 그림과. (0<x<5)로 놓으면 g(x)=(x-2)Û`-3이므로 함수 . 따라서 a=2'2, b=4이므로. 같다.. ab=8'2. g(x)=-2, -1, 0, y, 5를 만족시 답 8'2. 단계. 답②. 채점요소. 키는 x에서 f(x)가 불연속이다. 이때 g(x)=-2, -1, 0을 만족시키. 답 -1 Z . Z H Y. 0 . Y. 배점. 는 x의 값은 각각 2개씩 존재하고 g(x)=1, 2, 3, 4, 5를 만족시. . 함수 f(x)가 x=1에서 연속일 조건 구하기. 20 %. 키는 x의 값은 1개씩 존재하므로 열린구간 (0, 5)에서 불연속이. . a, b의 관계식 구하기. 30 %. 되는 x의 값의 개수는 11이다.. . ab의 값 구하기. 50 %. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=2에서도 0169 연속이다. x`Ú 2+. xÛ`-4x+a x+1일 때, f(x)= 0173 x-1 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 xÛ`-4x+a f(1)=lim`f(x)=lim x`Ú 1 x`Ú 1 x-1. 따라서 lim `f(x)= lim `f(x)=f(2)이므로 x`Ú 2-. "ÃxÛ`+4+bx lim =a x`Ú 2x-2. yy`㉠. x Ú`2-일 때, (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로. x Ú`1일 때, (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다.. 즉, lim(xÛ`-4x+a)=0이므로 x`Ú 1. (분자) Ú`0이다.. -3+a=0 ∴ a=3 (x-1)(x-3) xÛ`-4x+3 ∴ f(1)=lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1. 즉, lim ("ÃxÛ`+4+bx)=0이므로 x`Ú 2-. 2'2+2b=0 ∴ b=-'2. =lim(x-3)=-2. 답①. x`Ú 1. b=-'2를 ㉠에 대입하면. "ÃxÛ`+4-'2x -(x-2)(x+2) lim = lim x`Ú 2- (x-2)("ÃxÛ`+4+'2x) x-2 4 1 ==- =a 4'2 '2 1 ∴ ab={- }´(-'2)=1 '2. 답④. x+2일 때, 0174. x`Ú 2-. f(x)=. xÛ`+2x-8 (x-2)(x+4) = =x+4 x-2 x-2. 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 답③. 답6. f(2)=lim`f(x)=lim(x+4)=6 x`Ú 2. x`Ú 2. 02. 함수의 연속. 019.
(20) x'§x-8. g(x) xÛ`+3x+5 = 는 x=5에서 정의되어 있지 않으므로 x-5 f(x). x+4일 때, f(x)= 0175 '§x-2. ④. 함수 f(x)가 x=4에서 연속이므로. x=5에서 불연속이다. . x'§x-8 f(4)=lim`f(x)=lim x`Ú 4 x`Ú 4 '§x-2. ⑤ f(x)g(x)=(x-5)(xÛ`+3x+5)=xÜ`-2xÛ`-10x-25 이므로 함수 f(x)g(x)는 모든 실수 x에서 연속이다.. ('§x)Ü`-2Ü` ('§x-2)(x+2'§x+4) =lim =lim x`Ú 4 x`Ú 4 '§x-2 '§x-2. 따라서 모든 실수 x에서 연속인 함수가 아닌 것은 ④이다. 답 ④. =lim(x+2'x+4) x`Ú 4. =4+4+4=12. 답③. 두 함수 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이므로 0178 lim`f(x)=f(a), lim`g(x)=g(a) x`Ú a. x`Ú a. ① lim{2 f(x)-g(x)}=2f(a)-g(a)이므로 x`Ú a. axÛ`+bx x+1일 때, f(x)= 0176 x-1. 함수 2 f(x)-g(x)는 x=a에서 연속이다.. 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로. ② lim`f(x)g(x)=f(a)g(a)이므로 함수 f(x)g(x)는 x=a. f(1)=lim`f(x). 에서 연속이다.. x`Ú a. x`Ú 1. axÛ`+bx ∴ lim =2 x`Ú 1 x-1. yy`㉠ . x Ú`1일 때, (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로. ③ [반례] f(a)=g(a)이면 있지 않으므로 함수. f(a) 가 x=a에서 정의되어 f(a)-g(a). f(x) 는 x=a에서 불연속이다. f(x)-g(x). ④ lim{`f(x)}Û`={`f(a)}Û` 이므로 함수 {`f(x)}Û`은 x=a에서 연속. (분자) Ú`0이다.. x`Ú a. 이다.. 즉, lim(axÛ`+bx)=0이므로 x`Ú 1. ⑤ 함수 g( f(x))가 x=a에서 연속이려면. a+b=0 ∴ b=-a . lim`g( f(x))=g( f(a))이어야 하므로 함수 g(x)가 x`Ú a. x=f(a)에서 연속이라는 조건이 더 필요하다.. b=-a를 ㉠에 대입하면 ax(x-1) axÛ`-ax lim =lim =lim ax=a x`Ú 1 x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1. 따라서 x=a에서 항상 연속인 함수가 아닌 것은 ③, ⑤이다. 답 ③, ⑤. . ∴ a=2, b=-2 . ∴ ab=-4 . 답 -4. . ㄱ. h(x)=f(x)+g(x)로 놓으면 0179. g(x)=h(x)-f(x). 이때 f(x)와 h(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 g(x)도 모든 실수 x에서 연속이다.. . x=1에서 연속임을 이용하기. 30 %. . a, b의 관계식 구하기. 30 %. ㄴ. [반례] f(x)=à. . a, b의 값 구하기. 30 %. 불연속이다.. . ab의 값 구하기. 10 %. 단계. 채점요소. 배점. ① f(x)-3g(x)=-3xÛ`-8x-20이므로 0177 함수 f(x)-3g(x)는 모든 실수 x에서 연속이다. ② g( f(x))=g(x-5)=(x-5)Û`+3(x-5)+5 =xÛ`-7x+15 이므로 함수 g(`f(x))는 모든 실수 x에서 연속이다. ③. f(x) x-5 에서 = g(x) xÛ`+3x+5. xÛ`+3x+5={x+;2#;}Û`+:Á4Á:>0 이므로 함수. 020. 정답과 풀이. f(x) 는 모든 실수 x에서 연속이다. g(x). 1. (x>1) , g(x)=|x|이면 -1 (xÉ1). 함수 g(`f(x))는 x=1에서 연속이지만 f(x)는 x=1에서. ㄷ. [반례] f(x)=. 1 , g(x)=-;[@;이면 x+2. 두 함수 f(x), g(x)는 모두 x=1에서 연속이지만. 함수 f( g(x))=. x 는 x=1에서 정의되어 있지 않 2(x-1). 으므로 x=1에서 불연속이다. 답①. 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.. ① 함수 y=f(x)의 그래프가 x=0, x=1에서 끊어져 0180 있으므로 불연속이 되는 x의 값은 0, 1의 2개이다. ② 함수 f(x)는 닫힌구간 [-1, 2]에서 최솟값을 갖지 않는다. ④ lim `f(x)=1, lim `f(x)=3이므로 극한값 lim`f(x)는 x`Ú 1+. x`Ú 1-. 존재하지 않는다.. x`Ú 1.
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