수 리 영 역

2005학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

‘나’형

1

◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험 번호, 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1. ^{a= log} 23 일 때, 4 ^a의 값은? [2점]

① 6 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 12

2. ^lim

n→∞

4n-1 + 4n+1

n ^{의 값은? [2점]}

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

3. ^{두 행렬 A=}

(

)

(

)

① 10 ② 12 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18

4. ^{무한등비급수}

∑

n= 1a r ^{n- 1}의 합이 -1 일 때, 다음 중 상수 a의 값이 될 수 있는 것은? [3점]

① _{- 72} ② _{- 52} ③ _{- 32} ④ ¹₂ ⑤ ³₂

5. ^{다항식 (a+b+c) (p+q+r )-(a+b) (s+t) 를 전개}

하였을 때 항의 개수는? [3점]

① 5 ② 7 ③ 9 ④ 11 ⑤ 13

수 리 영 역

2 ^‘나’형

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6. ^{그림은 함수 y=log} 2x의 그래프이다. 점 A 의 좌표는 A (2 , 0) 이고 점 B의 좌 표는 B (16 , 0) 이다. 점 F 가 선분 CD 를 1 : 2로 내분 하는 점일 때, 점 E 의 x좌

표는? (단, 점선은 x축 또는 y축에 평행하다.) [3점]

① 8 ② 6 2 ③ 6 ④ 4 2 ⑤ 4

7. 3으로도 5로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 {a _n} 이라 한다. 예를 들면, a ₁=1 ,

a ₂=2 , a ₃= 4 이다. 이때, a ₁₀₀의 값은? [4점]

① 172 ② 187 ③ 195 ④ 202 ⑤ 210

8. 어떤 건설 현장에서 10대의 트럭으로 흙을 운반하는 데 x대 의 트럭에는 각각 10톤, y대의 트럭에는 각각 12톤의 흙을 실어 모두 114톤의 흙을 운반하려 한다. 이때, x와 y의 값을 구하는 식을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

( )

(

) ( )

① -9 ② -8 ③ -7 ④ -6 ⑤ -5

9. ^{1이 아닌 두 양수 a, b에 대하여}

n≤ log _ab＜n+1 (n은 정수)

이 성립할 때, f(a, b) =n으로 정의한다. 옳은 내용을 <보 기>에서 모두 고른 것은? [4점]

〈 보 기 〉 ㄱ. f(2 , 9) = 4 이다.

ㄴ. f(a, b) = 2 이면 f(b, a) = 0 이다.

ㄷ. f(a, b) = -2 이면 f(b, a) = -1 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

‘나’형 3

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10. ^{두 행렬 A} 1=

(

)

(

)

◦ 행렬 A _n의 ( 1, 1) 성분이 ( 1, 2) 성분보다 작으면 A _{n+ 1}=A _nP

◦ 행렬 A _n의 ( 1, 1) 성분이 ( 1 , 2) 성분보다 작지 않 으면

A _{n+ 1}= -P A _n

이때, 행렬 A ₂₀₀₅의 ( 2 , 1) 성분은? [4점]

① -4 ② -2 ③ -1 ④ 1 ⑤ 3

11. ^{다음은 2 3× 3 2과 2 2× 3 3의 대소 관계}

를 알아보는 과정이다.

2 ³× 3 ²- 2 ²× 3 ³

= 2 × 3 ²( 2 ^{3- 2} - 3 )

그런데 2 ^{3- 2} 3 이고 2 > 0 , 3 ² > 0 이므로

2 ³× 3 ²- 2 ²× 3 ³ 0

∴ 2 ³× 3 ² 2 ²× 3 ³ 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나) (다)

① 2 3 - 2 ＜

② 2 3 - 2 ＞

③ 2 2 - 3 ＜

④ 3 2 - 3 ＞

⑤ 3 2 - 3 ＜

(가) (나)

(나) (가)

(다)

(다) (다)

수 리 영 역

4 ^‘나’형

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12. ^{2이상의 자연수 n 에 대하여 부등식}

(

)

성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 n이 6 이상 의 자연수일 때, 부등식

(

)

<증명>

(ⅰ) n= 6 일 때, 3 ⁶=729, 6! = 720 이므로 성립한다.

(ⅱ) n⁼k(k≥6 )일 때 성립한다고 가정하면

(

)

= k+1

2 ․

(

)

＞ k+1 2 ․

=

이므로 n =k+ 1일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 6 이상의 모든 자연수에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나)

① k ^k (k+1)!

② k ^k 2k!

③ k ^k k!

④

(

)

⑤

(

)

13. <보기>의 상용로그 중 그 가수가 log A의 가수와 항상 같 은 것을 모두 고른 것은? (단, A는 양수이다.) [3점]

〈 보 기 〉

ㄱ. log 10A ㄴ. log A ¹⁰ ㄷ.

log 10A

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. ^{두 무한수열 {a} n} , {b_n} 에 대하여 옳은 내용을 <보기>

에서 모두 고른 것은? (단, α , β 는 실수이고, n은 자연수이 다.) [4점]

〈 보 기 〉 ㄱ. a _n＞b_n이고 lim

n→∞a _n= α , lim

n→∞b_n= β 이면 α> β 이다.

ㄴ. a _n＞b_n이고 _n

∑

∑

ㄷ.

∑

n= 1a _n= α ,

∑

n= 1b_n= β 이고 α＞β 이면

nlim→∞a _n＞ lim

n→∞b_n 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ (가)

(나)

수 리 영 역

‘나’형 5

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15. ^{임의의 실수 x에 대하여 부등식}

2 ^{x+ 1}- 2 ^{x+ 42} +a≥0 이 성립하도록 하는 실수 a의 최소 값은? [4점]

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

16. 유전 연구에 필요한 두 가지 식물 A, B를 재배하기 위하 여 정육각형 모양의 토지를 다음과 같이 나누어 놓았다.

◦ 정육각형을 여섯 개의 정삼각형으로 나눈다.

◦ 인접한 두 삼각형이 공유하고 있는 변(점선 부분)을 각각 21등분한다.

◦ 21등분한 각 점을 직선 모양의 울타리로 서로 연결하여 모두 21개의 부분으로 구분하여 놓는다.

그림과 같이 가장 안쪽에 있는 정육각형 모양의 토지부터 시작하여 검은 부분과 흰 부분으로 토지를 교대로 구분한 다음 검은 부분에는 A 를 심고, 흰 부분에는 B 를 심었다. A 를 심은 부분의 넓이가 231 m²일 때, B 를 심은 부분의 넓이는?

17. K보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다.

◦ 최초 가입시 단 한번 납입한 1억 원을 연이율 5 %, 1 년 단위의 복리로 계산하여 10년 후의 원리합계를 연금 준비금으로 한다.

◦ 가입하여 10년이 지난 후부터 매년 A원씩 연금을 영구 히 받는다.

◦ n번째의 연금 A원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로

환산하면 A

(1+0.05) ^{n- 1} 원이다.

◦ 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아 지도록 한다.

2005년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 때, 2015년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은? (단, 1.05 ⁹= 1.55 로 계산한다.) [4점]

① 675만원 ② 725만원 ③ 775만원

④ 825만원 ⑤ 875만원

수 리 영 역

6 ^‘나’형

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단답형(18～25)

18. ^{세 수 1 , x}, 5 는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 1 , y, 5 는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, x²+y²의 값을 구하시오. [2점]

19. 두 개의 주사위 A , B 를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 a, b라 한다. 행렬 P =

(

)

20. 그림과 같이 점 C에서 만나는 두 선분 AF, CI위에 9개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오.

[3점]

21. ^{행렬 A =}

(

)

22. ^{외부 공기의 온도를 T} 0, 어떤 물체의 처음 온도를 T₁, t 분 후의 이 물체의 온도를 T라 할 때, 다음 관계식이 성립함이 알려져 있다.

T =T₀ + (T ₁-T ₀)10 ^{- 0.02t} ( 온도의 단위는 ℃) 외부 공기의 온도가 20℃, 이 물체의 처음 온도가 120℃일 때, 이 물체의 온도가 25℃가 되는 것은 분 후이다.

안에 알맞은 값을 구하시오. (단, 외부 공기의 온도는 변하지 않는다고 가정하고, log 2 = 0.3 으로 계산한다.) [3점]

수 리 영 역

‘나’형 7

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23. ^{두 수열 {a} n} , {b_n} 이 다음과 같이 정의되어 있다.

a _n= 2n+1 , b_n= 3n+3 ( n= 1, 2, 3, ⋯) 두 수열 {a _n} , {b_n} 에서 공통인 항을 작은 것부터 순서 대로 나열한 수열을 {c _n} 이라 한다. 이때, c ₃₀의 값을 구하시 오. [4점]

24. 수렴하는 무한수열 {a _n}에 대하여 a ₁= 2 , a _{n+ 1}= 3n(2n+3)

(2n-1)(2n+1) - 2a _n( n= 1, 2, 3, ⋯ )

이 성립할 때, lim

n→∞ a _n= α 이다. 30α 의 값을 구하시오. [4점]

25. 철수는 국가 대표팀의 축구 경기를 시청하고 있었다. 그런데 우리 나라 국가 대표팀이 전반전 경기를 1 : 0 으로 이기고 난 후 중간 휴식 시간에 갑자기 철수네 집이 정전이 되어 후반전 경 기를 시청할 수 없었다.

다음날 친구들로부터 후반전 경기까지 마친 결과 5 : 3 으로 우리 나라 국가 대표팀이 승리하였다는 사실을 알게 되었지만, 두 팀이 골을 넣은 순서는 알 수 없었다. 철수는 <표1>과 같은 표를 만들어 후반전 경기에서 두 팀이 골을 넣어 가는 상황 중 한 가지를 <표2>와 같이 적어 보았다.

구 분 국가

대표팀 상대팀

전반전 1 0

후반전

최종 득점

결과 5 3

<표1>

구 분 국가

대표팀 상대팀

전반전 1 0

후반전

2 0

2 1

2 2

2 3

3 3

4 3

5 3

최종 득점

결과 5 3

<표2>

이와 같이 철수가 <표1>의 어두운 부분을 완성할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

수 리 영 역

8 ^‘나’형

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5지 선다형

26. ^{다음 중}

(

)

것은?

[3점]

① 16 × ₇Ｃ ₂ ② 16 × ₇Ｃ ₃ ③ 8 × ₇Ｃ ₃

④ 8 × ₇Ｃ ₂ ⑤ 4 × ₇Ｃ ₂

27. ^{수열 {a} n} 에 대하여

∑

k= 1a _k=2n ² 일 때,

∑

k= 1a _2k의 값은?

[3점]

① 240 ② 300 ③ 360 ④ 420 ⑤ 480

28. ^{행렬 A=}

(

)

( )

〈 보 기 〉 ㄱ. (A')'=A

ㄴ. (A+A')'=A+A '

ㄷ. ad-bc≠0 일 때, (A ^{- 1})'= (A')^{- 1}

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29. 그림과 같이 한 변의 길이가 1 인 정삼각형 ABC가 있 다. 선분 BC의 삼등분 점 A ₁, A ₂라 하고 선분 BA ₁, A ₁A ₂, A ₂C 를 각각 한 변으로 하는 정 삼각형 B ₁BA ₁, P ₁A ₁A₂, C ₁A₂C 를

만든다. 다시 삼각형 AB ₁C ₁에서 선분 B ₁C ₁의 삼등분 점 을 A₃, A₄라 하고 같은 방법으로 세 정삼각형 B ₂B ₁A ₃, P ₂A ₃A₄, C ₂A₄C ₁을 만든다. 이와 같은 방 법으로 계속하여 삼각형을 만들어 나갈 때, 어두운 부분의 넓이의 합은? [4점]

① 3

10 ② 3

8 ③ 3 320 ④ 3

6 ⑤ 3 316

단답형

30. ^{두 함수 y=log} 4(x+p)+q, y=log ₁

2

(x+p)+q의 역함수를 각각 f(x) , g(x) 라 한다. 두 함수 y=f(x) , y=g(x) 의 그래프가 점 (1 , 4) 에서 만나도록 두 실수 p, q의 값을 정할 때, p ²+q ²의 값을 구하시오. [4점]

수 리 영 역

‘나’형 9

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※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.