2015학년도 9월
전국연합학력평가 정답 및 해설 고 2
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가형 정답
1 ② 2 ⑤ 3 ① 4 ⑤ 5 ①
6 ① 7 ② 8 ② 9 ④ 10 ③ 11 ④ 12 ③ 13 ④ 14 ① 15 ③ 16 ⑤ 17 ④ 18 ③ 19 ② 20 ⑤ 21 ⑤ 22 50 23 8 24 10 25 21 26 110 27 18 28 45 29 22 30 196
나형 정답
1 ④ 2 ④ 3 ⑤ 4 ② 5 ⑤
6 ③ 7 ② 8 ⑤ 9 ⑤ 10 ① 11 ④ 12 ① 13 ① 14 ③ 15 ① 16 ② 17 ② 18 ③ 19 ② 20 ③ 21 ⑤ 22 49 23 24 24 15 25 80 26 40 27 256 28 5 29 12 30 22
가형 해설
1. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기
×
2. [출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기
명제 ‘ 이면 이다.’가 참이 되려면
따라서
3. [출제의도] 함수의 극한 계산하기
lim
→
lim
→
4. [출제의도] 등비수열의 수렴조건 계산하기 수열
은 공비가
인 등비수열 이므로 수렴할 조건은
≤
따라서 ≤ 이므로 모든 정수 의 값의 합은
5. [출제의도] 미분계수의 정의 이해하기
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′
′
′
6. [출제의도] 합성함수와 역함수 이해하기
라 하면
이므로
,
따라서
(별해)
∘ ∘
∘ ∘ ∘ 이므로
라 하면, 역함수의 성질에 의하여
이므로
따라서
7. [출제의도] 절대부등식의 최대 ․ 최소 이해하기
…… ①
, 이므로 절대부등식의 성질에 의하여 ≥
…… ② (단, 등호는 일 때 성립)그러므로 ≥ 이고 정리하면
≥
…… ③
①, ②, ③에 의하여
≥
따라서
의 최솟값은
(별해)
, 이므로 절대부등식의 성질에 의하여
≥
×
(단, 등호는 일 때 성립) 따라서 최솟값은
8. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기
∞
이 수렴하므로 → ∞lim
lim
→ ∞
lim
→ ∞
9. [출제의도] 정적분을 활용하여 넓이 구하기 주어진 곡선과 직선이 만나는 점의 좌표는
또는
둘러싸인 부분의 넓이를
라고 하면
10. [출제의도] 기울기가 주어진 접선의 방정식 이해하기
직선 에 수직인 직선의 기울기는
라 하면
′ 이므로
이므로
접선의 방정식은 따라서 , 이므로
11. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계 이해하기
이므로 ,
≥ 이므로
≥
12. [출제의도] 로그의 정의 이해하기
이므로
13. [출제의도] 유리함수의 성질 이해하기
일 때
이므로 점근선의 방정식은 , 따라서
14. [출제의도] 유리함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
함수
의 그래프와 직선 의 제사분면 위의 교점은 P 이므로
따라서
15. [출제의도] 미분계수 이해하기 함수 라 하면
lim
→
lim
→
′
′ ′ ′
16. [출제의도] 역함수의 성질 추론하기
이고 이므로 이와 같은 방법으로
, , ,
∘
17. [출제의도] 집합의 원소의 개수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
전체집합을
,
∩
∩
,
∩
라 하고 벤다이어그램에 각각의 영역에 해당하는 원소의 개수를 표시하면
∪
∪
이므로 의 범위는 ≤ ≤
두 문제 이상 맞힌 학생 수는 이므로 최솟값은 일 때 명
18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기 (ⅰ) 일 때,
(좌변) , (우변)
이므로 (★)이 성립한다.
(ⅱ) ≥ 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면
⋯ 이므로
⋯
이다. 따라서 일 때도 (★)이 성립한다.
그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
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≥ 인 모든 자연수 에 대하여
⋯ 이 성립한다.
, ,
따라서
×
19. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기
이므로
, 이므로 , , 따라서
20. [출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
은 삼각형 PBR의 넓이와 삼각형 BCQ의 넓이의 합이므로
선분 BC의 중점을 M이라 하고
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 이라 하자.
A A D D
M
B C
R
B C
M
삼각형 RBM과 삼각형 RC M 은 닮음이므로
BM RM C M RM
BM
, RM
C M
, RM
AB A B RM RM
그러므로
따라서
lim
→ ∞
21. [출제의도] 미적분의 기본정리를 이용하여 다항함수 추론하기
ㄱ. 의 좌우에서 ′의 부호가 음에서 양으로
바뀌므로 에서 극솟값을 갖는다. (참) ㄴ. 사차함수 는 구간 에서 미분가능하고
구간 에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
′
인 가 구간 에 존재한다. 또한
사차함수 는 구간 에서 미분가능하고 구간 에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
′
인 가 구간 에 존재한다.
함수 ′ 가 구간 에서 감소하고
이므로 ′ ′ 이다.
그러므로
′ ′
이다. (참)
ㄷ. 함수 를 라 하자.
주어진 조건에 의하여 함수 는
일 때 극값을 갖는다.
′ 이므로 함수 의 그래프의 모양은
O
이므로 곡선 와 축은 서로 다른 세 점에서 만난다.
그러므로 곡선 와 직선 는 서로 다른 세 점에서 만난다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
22. [출제의도] 등비수열의 극한값 계산하기
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
23. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기
⊂
⊂ 이므로 조건을 만족시키는 집합
의 개수는 24. [출제의도] 로그 계산하기log log log log
log
log
25. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
lim
→
lim
→
이므로
lim
→
,
lim
→
lim
→
따라서
26. [출제의도] 등차수열 이해하기 등차수열이므로 ×
그러므로
등차수열
은 첫째항이 이고 공차가 이므로
× ×
27. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기
28. [출제의도] 속도와 거리의 관계 이해하기 점 P 가 원점을 출발하여 에서 까지 움직인 거리가 이므로
따라서 이므로
29. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
AB , BC , CD ,
DE , EF 이라 하면,
,
,
,
한편,
, AB ×
×
AB BC CD DE EF
,
따라서
30. [출제의도] 극댓값과 극솟값의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
주어진 조건에 의하여 함수 의 극댓값은 , 극솟값은
함수 의 그래프가 축과 만나는 점의
좌표를 라 하면
′
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O
이므로
, ,
따라서
(별해)
최고차항의 계수가 인 삼차함수 가
에서 극댓값 을 갖는다고 하고 함수 를
축의 음의 방향으로 만큼 평행이동하여 얻은 함수를 라 하고 함수 의 그래프와 축의 교점의 좌표를 ≠ 라 하자.
′ 함수 는
에서 극솟값 를 가지므로
이고
이므로 ×
이므로
따라서
나형 해설
1. [출제의도] 지수 계산하기
×
×
×
2. [출제의도] 로그 계산하기 log log log log
×
log
3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
lim
→ ∞
lim
→ ∞
4. [출제의도] 등차수열 계산하기
공차를 라 하면 ,
따라서
5. [출제의도] 집합의 연산 이해하기
주어진 집합들을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
따라서 집합
의 모든 원소의 합은 6. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
따라서
7. [출제의도] 함수의 극한의 성질 이해하기
lim
→
lim
→
×
×
8. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
lim
→
lim
→
9. [출제의도] 로그의 성질 이해하기 log
log log
log log log
10. [출제의도] 평균변화율 이해하기
이고 ′
,
가 양수이므로 =1
11. [출제의도] 진리집합의 포함관계 이해하기 명제 ∼ → 가 참이기 위해서는
⊂
≤ 이고 ≤
따라서 ≤ 이므로 자연수 의 개수는 4 12. [출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제
해결하기
×
따라서
13. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
함수 의 그래프가 직선 에 대칭이므로
≠
lim
→
이므로 ,
lim
→
lim
→
lim
→
따라서
14. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
함수 의 그래프는
O
(ⅰ) ≤ 또는 ≥ 일 때,
(ⅱ) ≤ ≤ 일 때,
따라서 자연수 의 최댓값은
15. [출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기 삼각형 AFD 와 삼각형 EFC 는 닮음이므로
AD EC D F CF
≤ ≤
따라서 함수 의 그래프의 모양은
O
16. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기
이므로 절대부등식의 성질을 이용하면
≥
×
(단, 등호는
일 때 성립)
17. [출제의도] 급수의 성질 이해하기
,
≥
그러므로 ≥
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
따라서
∞
18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기 (ⅰ) 일 때,
(좌변) , (우변)
이므로 (★)이 성립한다.
(ⅱ) ≥ 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면
⋯ 이므로
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⋯
이다. 따라서 일 때도 (★)이 성립한다.
그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
≥ 인 모든 자연수 에 대하여
⋯ 이 성립한다.
, ,
따라서
×
19. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
함수
≥ 의 역함수는
이고 두 함수 , 의 그래프의 교점은 직선 위에 있다.
은 음이 아닌 서로 다른 두 실근 을 가져야 하므로
≥ ,
≤
이므로 정수 의 개수는
20. [출제의도] 부분집합의 개수 추론하기
은 원소 을 최소의 원소로 갖는 집합
의 부분집합의 개수이므로 ㄱ. (참)
ㄴ. , 이므로 (거짓) ㄷ. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
21. [출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
은 삼각형 PBR의 넓이와 삼각형 BCQ의 넓이의 합이므로
선분 BC의 중점을 M이라 하고
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 이라 하자.
A A D D
M
B C
R
B C
M
삼각형 RBM과 삼각형 RC M 은 닮음이므로
BM RM C M RM
BM
, RM
C M
, RM
AB A B RM RM
그러므로
따라서
lim
→ ∞
22. [출제의도] 합성함수 계산하기
∘
23. [출제의도] 도함수 계산하기
′ 이므로 ′
따라서
24. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기
lim
→ ∞
이므로 → ∞lim
따라서
lim
→ ∞
25. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
lim
→
lim
→
이므로
lim
→ ,
lim
→
, 따라서
26. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
(가)에서 함수 은 이차항의 계수가 인 이차함수이고
(나)에서
lim
→
이므로
lim
→
lim
→
따라서 ′ 이므로 ′
27. [출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기 집합
의 원소 중에서 으로 나눈 나머지가인 항을 작은 수부터 차례로 나열하면
⋯ 따라서
(별해)
,
이 의 배수가 되어야 하므로 ⋯ ,
⋯ 따라서
28. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
점 A
, B
이므로AB
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이므로
,
따라서
29. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
역함수가 존재하려면 함수 가 일대일 대응 이어야 하므로
(ⅰ) ≥ 일 때, 함수 가 증가하여야 하므로
≤ , ≤
(ⅱ) 일 때, 함수 가 증가하여야 하므로
≥
(ⅲ) 는 에서 연속이어야 하므로
lim
→
lim
→
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
≤ , ≥ , 을 만족시키는 순서쌍
를 좌표평면 위에 나타내면 의 그래프가 을 지날 때 의 값이 최대가 된 다.
O
따라서 의 최댓값은 , 일 때
30. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
AB , BC , CD ,
DE , EF 이라 하면,
,
,
,
한편,
, AB ×
×
AB BC CD DE EF
,
따라서
