 정규분포

 정규분포

• 정규분포 또는 가우스분포

• 연속확률분포 중 대표적인 분포

• 기호 : 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎²)

▶ 확률변수 X가 평균이 μ, 분산이 _𝜎𝜎²인 정규분포를 따른다.

• 확률밀도함수의 성질

▶ 종모양으로 평균을 중심으로 좌우대칭

▶ 평균에 따라 좌우로 이동

▶ 분산에 따라 높낮이 변동

▶ 확률밀도함수 그래프와 X축 사이의 전체 면적의 합은 1

 정규분포의 확률밀도함수

• 평균 μ, 표준편차 σ 인 정규분포의 확률밀도함수

μ μ+σ

μ-σ

𝑬𝑬 𝑿𝑿 = � 𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙

= ∫ _𝒂𝒂 ^{𝒃𝒃 𝟏𝟏} _{𝟐𝟐𝝅𝝅𝝅𝝅} 𝒆𝒆 ⁻

𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝝁𝝁

𝑬𝑬 𝑿𝑿 = � 𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙

= ∫ _𝒂𝒂 ^{𝒃𝒃 𝟏𝟏} _{𝟐𝟐𝝅𝝅𝝅𝝅} 𝒆𝒆 ⁻

𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝝁𝝁

Var 𝑿𝑿 = ∫(𝒙𝒙 − 𝝁𝝁) ^{𝟐𝟐 𝟏𝟏} _{𝟐𝟐𝝅𝝅𝝅𝝅} 𝒆𝒆 ⁻

𝒅𝒅𝒙𝒙

= 𝝅𝝅 ^𝟐𝟐

 표준정규분포

 표준정규분포 : 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포 기호 : Z ~ N (0,1)

 표준정규분포표 : Z~N (0,1) 일 때, 0 ≤ z ≤ 3.49 인 z에 대하여 누적확률 P(Z ≤ z)의 값

예 ) P(Z ≤ 1.96) = P(Z ≤ 2.58) =

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

          

          

∫ _∞ ^{𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟏} _{𝟐𝟐𝝅𝝅} 𝒆𝒆 ⁻

𝒅𝒅𝒙𝒙

 표준정규분포

 표준정규분포 : 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포 기호 : Z ~ N (0,1)

 표준정규분포표 : Z~N (0,1) 일 때, 0 ≤ z ≤ 3.49 인 z에 대하여 누적확률 P(Z ≤ z)의 값

예 ) P(Z ≤ 1.96) = P(Z ≤ 2.58) =

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

          

          

 확률의 계산

 표준정규분포표를 이용한 확률의 계산

• P( a ≤ Z ≤ b ) = P( Z ≤ b ) – P( Z ≤ a )

• P( Z ≥ a ) = 1 – P( Z ≤ a )

• P( Z ≥ a ) = P ( Z ≤ - a )

 예) P( Z > 1 ) = ?, P( 0 < Z < 1.95) = ?

a -a Z

 확률의 계산

 표준정규분포표를 이용한 확률의 계산

• P( a ≤ Z ≤ b ) = P( Z ≤ b ) – P( Z ≤ a )

• P( Z ≥ a ) = 1 – P( Z ≤ a )

• P( Z ≥ a ) = P ( Z ≤ - a )

 예) P( Z > 1 ) = ?, P( 0 < Z < 1.95) = ?

 표준화를 이용한 확률의 계산

 정규분포의 확률계산

X ~ N( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎²) 일 때,

Z =

𝜎𝜎

~ 𝑁𝑁(0,1) ^{: 표준화}

 정규분포의 성질

 X~N 일 때, 상수 a, b에 대하여 aX+ b ~ N (𝒂𝒂𝝁𝝁 + 𝒃𝒃, 𝒂𝒂^𝟐𝟐𝝅𝝅^𝟐𝟐)

E(X) = μ ⇒ E(aX + b) = 𝒂𝒂𝝁𝝁 + b Var(X) = 𝜎𝜎² ⇒ Var(aX + b) = 𝒂𝒂^𝟐𝟐𝝅𝝅^𝟐𝟐

 𝑿𝑿_𝟏𝟏~𝑵𝑵 𝝁𝝁_𝟏𝟏, 𝝅𝝅_𝟏𝟏^𝟐𝟐 , 𝑿𝑿_𝟐𝟐~𝑵𝑵 𝝁𝝁_𝟐𝟐, 𝝅𝝅_𝟐𝟐^𝟐𝟐 , 𝑿𝑿_𝟏𝟏, 𝑿𝑿_𝟐𝟐 는 서로 독립

⇒ 𝒂𝒂_𝟏𝟏𝑿𝑿_𝟏𝟏 + 𝒂𝒂_𝟐𝟐𝑿𝑿_𝟐𝟐 ~ 𝑵𝑵(𝒂𝒂_𝟏𝟏𝝁𝝁_𝟏𝟏 + 𝒂𝒂_𝟐𝟐𝝁𝝁_𝟐𝟐 , 𝒂𝒂_𝟏𝟏^𝟐𝟐𝝅𝝅_𝟏𝟏^𝟐𝟐 + 𝒂𝒂_𝟐𝟐^𝟐𝟐𝝅𝝅_𝟐𝟐^𝟐𝟐)

𝐸𝐸 𝑋𝑋₁ = 𝜇𝜇₁, 𝐸𝐸 𝑋𝑋₂ = 𝜇𝜇₂ ⇒ E(𝑎𝑎₁𝑋𝑋₁ + 𝑎𝑎₂𝑋𝑋₂) = 𝒂𝒂_𝟏𝟏𝝁𝝁_𝟏𝟏 + 𝒂𝒂_𝟐𝟐𝝁𝝁_𝟐𝟐 Var 𝑋𝑋₁ = 𝜎𝜎₁² , Var(𝑋𝑋₂) = 𝜎𝜎₂² , 𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂ 는 서로 독립

⇒ Var(𝑎𝑎₁𝑋𝑋₁ + 𝑎𝑎₂𝑋𝑋₂) = 𝒂𝒂_𝟏𝟏^𝟐𝟐𝝅𝝅_𝟏𝟏^𝟐𝟐 + 𝒂𝒂_𝟐𝟐^𝟐𝟐𝝅𝝅_𝟐𝟐^𝟐𝟐

) ,

( µ σ

 표준화를 이용한 확률의 계산

 정규분포의 확률계산

X ~ N( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎²) 일 때,

Z =

𝜎𝜎

~ 𝑁𝑁(0,1) ^{: 표준화}

) (a X b P ≤ ≤

) 1 , 0 (

~ , Z N Z b

P a







 − ≤ ≤ −

= σ

µ σ

µ ^





 −

− ≤

− ≤

= σ

µ σ

µ σ

µ X b

P a

표준정규분포표 이용

𝑷𝑷 𝒂𝒂 ≤ 𝑿𝑿 ≤ 𝒃𝒃 = ∫ _𝒂𝒂 ^{𝒃𝒃 𝟏𝟏} _{𝟐𝟐𝝅𝝅𝝅𝝅} 𝒆𝒆 ⁻

𝒅𝒅𝒙𝒙

 표준화를 이용한 확률의 계산

 정규분포의 확률계산

X ~ N( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎²) 일 때,

Z =

𝜎𝜎

~ 𝑁𝑁(0,1) ^{: 표준화}

) (a X b P ≤ ≤

) 1 , 0 (

~ , Z N Z b

P a







 − ≤ ≤ −

= σ

µ σ

µ ^





 −

− ≤

− ≤

= σ

µ σ

µ σ

µ X b

P a

표준정규분포표 이용

 예제

 X ~ N(3,4) 일 때, P(-1 ≤ X < 5 )의 값을 구하여라.

P(-1 ≤ X < 5 ) = P (⁻¹⁻³₂

≤

<

= P(−2 ≤ 𝑍𝑍 < 1)

= P( Z ≤ 1) – P( Z ≤ -2)

= P( Z ≤ 1) – P( Z > 2)

= P( Z ≤ 1) – (1 - P( Z ≤ 2))

= 0.8413 – 0.0228 = 0.8185

𝑷𝑷 −𝟏𝟏 ≤ 𝑿𝑿 ≤ 𝟓𝟓 = ∫

𝒆𝒆

𝒅𝒅𝒙𝒙

 예제

 X ~ N(3,4) 일 때, P(-1 ≤ X < 5 )의 값을 구하여라.

P(-1 ≤ X < 5 ) = P (⁻¹⁻³₂

≤

<

= P(−2 ≤ 𝑍𝑍 < 1)

= P( Z ≤ 1) – P( Z ≤ -2)

= P( Z ≤ 1) – P( Z > 2)

= P( Z ≤ 1) – (1 - P( Z ≤ 2))

= 0.8413 – 0.0228 = 0.8185

 예제 4.4

 X~N(100,𝟐𝟐𝟐𝟐^𝟐𝟐) 일 때 다음을 구하여라.

1) P(X < 70) 2) P(80 < X < 120) 3) P( 100 < X < 120 )

 풀이

3413 .

0 5

. 0 8413 .

0

5 . 0 ) 1 (

) 1 0

( 20 )

100 120

20 100 (100

) 120 100

( ) 3

6826 .

0 3413

. 0 2

) 5 . 0 ) 1 (

( 2

) 1 1

( 20 )

100 120

20 100 (80

) 120 80

( ) 2

0668 .

0 9332

. 0 1

) 5 . 1 (

1 ) 5 . 1 (

20 ) 100 ( 70

) 70 (

) 1

=

−

=

−

<

=

<

<

− =

<

− <

=

<

<

=

×

=

−

<

×

=

<

<

−

− =

<

− <

=

<

<

=

−

=

<

−

=

−

<

− =

<

=

<

Z P

Z P

Z P

X P

Z P

Z P

Z P

X P

Z P Z

P Z

P X

P

 정규분포 분위수 찾기

 P( Z < z ) = 0.975 가 되는 z 의 값은 ?

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

          

          

 정규분포 분위수 찾기

 P( Z < z ) = 0.975 가 되는 z 의 값은 ?

그러므로 z = 1.96 이다.

 P( Z > z ) = 0.05 가 되는 z의 값은?

P( Z < z ) = 0.95 이므로 z = 1.645

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

          

          

 예제 4.5

 다음을 만족하는 값을 구하여라.

1) P( Z > a ) = 0.15 2) P( Z > a ) = 0.68 3) P( Z < a ) = 0.35

 풀이

1) 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 𝑎𝑎 = 1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < 𝑎𝑎 = 0.15 이므로 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < 𝑎𝑎 = 0.85 에서 𝑎𝑎 = 1.04

2) 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 𝑎𝑎 = 0.68 에서 0에 대한 대칭을 이용하면 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < −𝑎𝑎 = 0.68 이므로 𝑎𝑎 = −0.47

3) 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < 𝑎𝑎 = 1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 𝑎𝑎 = 0.35 에서 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 𝑎𝑎 = 0.65

0에 대한 대칭을 이용하면 P Z < −a = 0.65 이므로 a = −0.385

 𝒛𝒛 _𝜶𝜶 의 정의

 표준정규분포에서의 100(1−𝜶𝜶 ) 백분위수 : 𝒛𝒛_𝜶𝜶

; P( Z ≥ 𝒛𝒛 ) = 𝜶𝜶 를 만족하는 z 값

α

z

 𝒛𝒛 _𝜶𝜶 의 정의

 표준정규분포에서의 100(1−𝜶𝜶 ) 백분위수 : 𝒛𝒛_𝜶𝜶

; P( Z ≥ 𝒛𝒛 ) = 𝜶𝜶 를 만족하는 z 값

예 : z_0.025 = 1.96 => P(Z ＜ 1.96) = 0.975 z_0.05 = ?

α

z

 예제 4.6

 어느 의약품 제조회사에서는 많은 종류의 앰플 주사제를 생산하고 있다.

한 앰플에 6𝒎𝒎𝒎𝒎 내용액을 채우는데 기계를 사용하고 있다. 그러나 이 기 계는 각 앰플에 대한 작업의 변동 요인이 있어 각 앰플 안에 실제 용액 을 정확히 6𝒎𝒎𝒎𝒎를 채우지는 못하고 있다. 한 앰플에 채워지는 주사액의 평균이 6𝒎𝒎𝒎𝒎이고, 표준편차가 0.07𝒎𝒎𝒎𝒎 인 정규분포를 따른다고 한다.

1) 임의로 한 앰플을 뽑았을 때, 그 앰플의 내용액의 양이 5.89𝑚𝑚𝑚𝑚 에서 6.14𝑚𝑚𝑚𝑚일 확률을 구하여라.

2) 5.8𝑚𝑚𝑚𝑚에서 6.1𝑚𝑚𝑚𝑚의 내용액으로 채워진 앰플이 차지하는 비율은 얼마인가?

 예제 4.6

1) 𝑿𝑿를 한 앰플에 들어있는 내용액이라 하면 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝟗𝟗,𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟎𝟎^𝟐𝟐)을 따른다.

𝑷𝑷 𝟓𝟓. 𝟖𝟖𝟗𝟗 ≤ 𝑿𝑿 ≤ 𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 −𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟎𝟎 ≤ 𝒁𝒁 ≤ 𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 𝒁𝒁 ≤ 𝟐𝟐 − 𝑷𝑷(𝒁𝒁 ≤ −𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟎𝟎)

= 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 − (𝟏𝟏 − 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)

= 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟗𝟗𝟏𝟏

 예제 4.6

2) 5.8 𝒎𝒎𝒎𝒎에서 6.1 𝒎𝒎𝒎𝒎의 내용액으로 채워진 앰플이 차지하는 백분율은 정규분포곡선의 𝒙𝒙 = 𝟓𝟓. 𝟖𝟖에서 𝒙𝒙 = 𝟗𝟗. 𝟏𝟏 사이의 넓이를 나타낸다. 따라서

𝑷𝑷 𝟓𝟓. 𝟖𝟖 ≤ 𝑿𝑿 ≤ 𝟗𝟗. 𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 ^{𝟓𝟓.𝟖𝟖−𝟗𝟗}_{𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎} ≤ ^{𝑿𝑿−𝟗𝟗}_{𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎} ≤ ^{𝟗𝟗.𝟏𝟏−𝟗𝟗}_{𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎}

= 𝑷𝑷(−𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟗𝟗 ≤ 𝒁𝒁 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟑𝟑)

= 𝑷𝑷 𝒁𝒁 ≤ 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝑷𝑷(𝒁𝒁 ≤ −𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟗𝟗)

= 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟑𝟑𝟗𝟗 − 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟗𝟗

= 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓

 예제 4.7

 통개학개론 수업의 수강자를 대상으로 치른 중간시험 점수는 𝝁𝝁=70점이고, 𝝅𝝅 = 𝟖𝟖점인 정규분포를 따른다고 한다. 기말시험 점수도 역 시 중 간 시 험 점 수 와 같 은 분 포 를 따 른 다 고 가 정 한 다 . 기말시험에서는 상위 40%에 해당하는 점수를 얻는 학생에게 𝑩𝑩이상의 점수를 준다고 한다. 𝑩𝑩이상을 받기 위해서는 기말시험에서 최소한 몇 점을 받아야 하는가?

0.4

? ^점수(x)

70

𝜎𝜎

= 8

 예제 4.7

 풀이

• 중간시험 성적분포가 𝑁𝑁 70,8² 을 따르므로, 중간시험의 성적을 𝑋𝑋 라고 하면 𝑍𝑍 = ^{𝑋𝑋−70}₈ ∼ 𝑁𝑁 0,1

• 과거의 성적분포에서 상위 40%에 해당하는 가장 낮은 점수를 𝑎𝑎 라 고 두면 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎 = 0.4

• 표준화를 시키면 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ ^{𝑎𝑎−70}₈ = 0.4

• 표준정규분포표에서 60백분위수를 구하면 z_0.4 = 0.25 = ^a−70₈

• 𝑎𝑎 = 70 + 0.25 × 8 = 72이므로 B학점을 받기 위한 최소한의 점수 는 72점

제 5장 표본추출과 표본분포

5.1 표본추출과 표본분포의 정의 5.2 표본평균 �𝑋𝑋의 분포

5.3 중심극한정리

 표본추출 용어정리

 용어정리

•표본 – 부분적 관찰이나 실험을 통해 얻는 결과

•표본추출 – 표본을 얻는 과정

•단순확률추출법 – 동일 크기의 모든 가능한 표본이 표본으로 추출될 확률이 동일한 표본추출법

•단순확률표본(확률표본, 랜덤표본)

•복원추출과 비복원추출

•표본의 크기 – 표본 내에 포함되어 있는 개체의 수

•크기 n인 확률표본

 표본추출 용어정리

 용어정리

•모수 (parameter) - 모집단의 특성을 결정하는 상수

•통계량 (statistic) - 표본으로부터 계산 가능한 표본의 특성값

•추정량 (estimator) - 모수의 추정을 위한 통계량 예) �𝑋𝑋, 𝑠𝑠², ̂𝑝𝑝 , ⋯

•표본분포 (sample distribution) - 통계량의 확률분포

 표본분포의 개념

 {찬성, 반대, 찬성, 찬성, 반대} 와 같은 모집단에서 크기 3인 표본 을 단순랜덤비복원추출로 뽑아 모비율 (p=0.6)을 추정하는 문제.

찬성 찬성

찬성 반대

반대 모집단

모집단의 분포를 알기 때문에 표본의 확률계산 가능

 표본분포의 개념

 {찬성, 반대, 찬성, 찬성, 반대} 와 같은 모집단에서 크기 3인 표본 을 단순랜덤비복원추출로 뽑아 모비율 (p=0.6)을 추정하는 문제.

찬성 찬성

찬성 반대

반대

크기 3인 표본추출 모집단

모비율 = 0.6

표본

찬성 찬성 반대

모집단의 분포를 알기 때문에 표본의 확률계산 가능

 표본분포의 개념

 {찬성, 반대, 찬성, 찬성, 반대} 와 같은 모집단에서 크기 3인 표본 을 단순랜덤비복원추출로 뽑아 모비율 (p=0.6)을 추정하는 문제.

찬성 찬성

찬성 반대

반대

크기 3인 표본추출 모집단

모비율 = 0.6

표본

찬성 찬성 반대

표본비율 = 2/3 = 0.667 모집단의 분포를 알기 때문에

표본의 확률계산 가능

 표본분포의 개념

 {찬성, 반대, 찬성, 찬성, 반대} 와 같은 모집단에서 크기 3인 표본 을 단순랜덤비복원추출로 뽑아 모비율 (p=0.6)을 추정하는 문제.

찬성 찬성

찬성 반대

반대

크기 3인 표본추출 모집단

모비율 = 0.6

표본

찬성 찬성 반대

표본비율 = 2/3 = 0.667 모집단의 분포를 알기 때문에

표본의 확률계산 가능

표본 추출 확률 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 2 =

32 2 5 1 3

= 3 × 2 5 × 4/2 =

3

5 = 0.6

 표본비율의 종류

 표본의 종류와 그 확률

가능한 표본 추출 확률 표본비율의 값 추정 오차

찬성, 찬성, 찬성 0.1 1 0.4

찬성, 찬성, 반대 0.6 0.667 0.067

찬성, 반대, 반대 0.3 0.333 -0.267

 표본비율의 종류

 표본의 종류와 그 확률

•추정 오차의 절대값이 0.05 이하일 확률은 0

가능한 표본 추출 확률 표본비율의 값 추정 오차

찬성, 찬성, 찬성 0.1 1 0.4

찬성, 찬성, 반대 0.6 0.667 0.067

찬성, 반대, 반대 0.3 0.333 -0.267

 표본비율의 종류

 표본의 종류와 그 확률

•추정 오차의 절대값이 0.05 이하일 확률은 0

•추정 오차의 절대값이 0.1 이하일 확률은 0.6

가능한 표본 추출 확률 표본비율의 값 추정 오차

찬성, 찬성, 찬성 0.1 1 0.4

찬성, 찬성, 반대 0.6 0.667 0.067

찬성, 반대, 반대 0.3 0.333 -0.267

 표본비율의 종류

 표본의 종류와 그 확률

•추정 오차의 절대값이 0.05 이하일 확률은 0

•추정 오차의 절대값이 0.1 이하일 확률은 0.6

•추정 오차의 절대값이 0.3 이하일 확률은 0.9

⇒ 모비율을 정확히 추정할 확률은 0 이다.

가능한 표본 추출 확률 표본비율의 값 추정 오차

찬성, 찬성, 찬성 0.1 1 0.4

찬성, 찬성, 반대 0.6 0.667 0.067

찬성, 반대, 반대 0.3 0.333 -0.267

 표본비율은 확률변수

 표본비율 (추정량)

•표본결과에 따라 하나의 수 값을 대응시키는 확률변수

•표본으로부터 계산한 표본의 특성이므로 통계량

•통계량(표본비율)의 확률분포 ⇒ 표본분포

•표본분포(추정량의 확률분포)는 추정의 정확도를 나타내는 중요한 도구

확률 표본비율의 값

0.1 1

0.6 0.667

0.3 0.333

제 5장 표본추출과 표본분포

5.1 표본추출과 표본분포의 정의 5.2 표본평균 � 𝑿𝑿의 분포

5.3 중심극한정리

2 3

4 5 2 4 → 3

2 4 → 2.5

2 3

4 5 2 4 → 3

2 5 → 3.5

3 4 → 3.5

3 5 → 4

4 5 → 4.5

�𝑿𝑿

2 4 → 2.5

2 3

4 5 2 4 → 3 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

2 5 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 4 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 5 → 4 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

4 5 → 4.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

�𝑿𝑿 P(�𝒙𝒙)

2 4 → 2.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

2 3

4 5 2 4 → 3 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

2 5 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 4 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 5 → 4 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

4 5 → 4.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

�𝑿𝑿 P(�𝒙𝒙)

̅𝑥𝑥 2.5 3 3.5 4 4.5 P( �𝑋𝑋) 1

6

1 6

2 6

1 6

1 6

2 4 → 2.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

2 3

4 5 2 4 → 3 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

2 5 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 4 → 3.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

3 5 → 4 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

4 5 → 4.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

�𝑿𝑿 P(�𝒙𝒙)

̅𝑥𝑥 2.5 3 3.5 4 4.5 P( �𝑋𝑋) 1

6

1 6

2 6

1 6

1 6

2 4 → 2.5 ^𝟏𝟏

𝟗𝟗

𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = � 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝑃𝑃_𝑖𝑖

=

6

= 3.5