표본확률분포

표본확률분포

(Sampling Probability Distribution)

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표본확률분포와 표본평균의 확률분포

• 표본(확률)분포: 모집단에서 일정크기의 모든 가 능한 표본들을 추출하였을 때 그 모든 표본들로 부 터 계산된 통계량의 확률분포이다

- 표본평균의 표본분포: 일정한 크기의 모든 가능한 표본에서 계산된 모든 표본평균들의 확률분포이다

•표본분포를 파악하기 위해 확률의 법칙과 기대값

과 분산에 대한 법칙들을 이용한다

x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

확률변수의 확률분포

•

 모집단{1….1,2…..2,….,6….6}

- 확률변수 (X)의 확률분포(균일 분포)

-

4

표본평균의 표본분포

• 모집단으로 부터 표본크기 (n= 2)인 표본을 추출하였을 때 [주사위 2개를 던지는 실 험을 하였을 경우], 각 표본의 평균을 구하면,

- 총 36개의 표본크기가 2인 모든 표본들로부터 모두 11개의 표본평균( ) 을 구하였고 이들 중 몇가지 평균값들은 다른 값들보다 빈번하게 발생하였다

표본평균의 표본분포

•이를 토대로 표본평균( )의 표본분포를 도출하면

1.0 1/36

1.5 2/36

2.0 3/36

2.5 4/36

3.0 5/36

3.5 6/36

4.0 5/36

4.5 4/36

5.0 3/36

5.5 2/36

6.0 1/36

P( )

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

P( )

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확률변수의 확률분포와 표본평균의 표본분포

• 확률변수(X)의 확률분포

… 표본평균( )의 표본분포

 두 확률분포간의 관계:

1 2 3 4 5 6 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

표본평균의 평균과 분산, 표준편차

• 만일 n개의 주사위를 던졌다고 가정한다면 [표본크기=n], 표본평균의 평균과 분산값은,

-

표본평균의 표준편차( 표준오차 :Standard Error)

8

표본평균의 평균과 분산, 표준편차:증명



























) 1 (

) .

. . 1 (

1 ) ( )

(

, )

( ,

) (

, :

n n

X X

n E n X

E X

E

X Var X

E n

n i

i

i

표본크기

2 2 1 2

1

)]

( .

. . ) (

1 [

) .

. . 1 (

)]

. . . 1 (

[ )

(

n 

X Var X

n Var

X X

n Var

X n X

Var X

Var

n n

i

n i





















표본평균의 표본분포

10

표본평균의 표본분포

• 모집단의 평균(μ)과 분산(δ

²

 ~ N(μ, δ

²

•중심극한이론(Central Limit Theorem): 정규분포가 아닌 모집 단(μ, δ

²

 ~ N(μ, δ

²

- 표본의 크기(n)가 클수록, 표본평균의 표본분포는 정규분포에 더 근접하게 된다

중심극한이론(Central Limit Theorem:CLT)

12

표본평균의 표본분포: 응용

표본평균의 표본분포: 응용

•

-표준화 과정:

~ N(0,1)

- 확률산출: 표준화 과정과 표준정규분포를 이용하여 산출

- 추정과정:표본평균이 특정구간 내에 포함될 확률이100(1-α)%의 확률 일 경우 구간의 값 추정

n /

Z X





 





 







 



 z _ X z _ ) 1

(

P

14

표본평균의 표본분포: 확률산출의 예시(1)

• 정규분포를 따르는 모집단의 평균,

µ = 800

~ N(800, 100 ² /25)

) 575 .

2 575

. 2

(   Z  P

9902 .

0 4963

. 0 2

) 58 .

2 0

(

2  P  Z    

] 25 )

/ 100

) 800 5

. 851 (

25 /

100

) 800 5

. 748 [ (

/

 



 

n

Z

P

] ) 5 . 851 5

. 748

[  X 

P

표본평균의 표본분포: 확률산출의 예시(2)

• 확률분포 특성을 모르는 모집단의 평균,

µ = 800

~ N(800, 100 ² /100): CLT 에 의거

] ) 5 . 810 5

. 790

[  X 

P

] ) ) 800 5

. 810 (

) 800 5

. 790 [ (

/

 



 

n

Z

P

16

표본평균의 표본분포: 모집단의 분산(표준편차)를 모를 경우

• 만일 모집단이 정규분포를 따르나. 분산(표준편차)을 모를 경 우, 표본평균은 정규분포를 따르나. 표준화 변수는 (n-1)의 자유도를 가진 t-분포를 따르게 된다

• 표본평균이 특정구간 내에 있을 확률산출과 추정과정을 위해 t-분포를 이용해야 한다

 표준화 과정: 모집단의 표준편차(σ) 대신 표본의 분산(s)를 이용한다

 ~ t(n-1)

n s

t _ X ^ 

표본평균의 표본분포: 확률산출의 예시(4)

• 정규분포를 가지고 평균

µ = 800

(748.5, 851.5)에 포함될 확률은?

 ~ N(800,100

²

~ t(24)

] ) 25

/ 100

) 800 5

. 851 (

25 /

100

) 800 5

. 748 [ (

/

 



 

n s

t

P

] ) 5 . 851 5

. 748

[  X 

P

n s

t _ X ^ 

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표본분산의 표본분포

확률분포, 표본분포 그리고 통계적 추정

• 모집단의 분포특성과 모수값(모평균, 모분산, 모표준편차)에 대 한 정보를 이용하여 모집단의 개별 확률변수들의 확률 분포

(probability distribution)를 파악할 수 있다.

•모집단의 분포특성과 모수값(모평균, 모분산, 모표준편차)에 대 한 정보를 이용하여 표본의 통계량(표본평균, 표본분산)의 표본분 포(sampling distribution)를 파악할 수 있다.

통계량

)

(

&

) (

Parameter Population 모수

모집단

Sampling distributi on

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확률분포, 표본분포 그리고 통계적 추정

•

•모집단의 모수나 분포특성에 대한 정보가 없다고 가정을 하고, 표본자료를 이용하여 표본의 통계량(표본평균, 표본분산)을 산출 하여 이들의 표본분포를 이용하여 모집단의 모수들에 대한 추정 을 한다

표본의 통계량 모집단의 모수

표본분포

확률분포, 표본분포 그리고 통계적 추정

연습문제

• 한 공장에서 새롭게 개발한 형광등은 평균수명이 1200시간이고 표준편차가 400시시간이라고 한다.

모집단이 정규분포를 따르고 한 전자상가에 임의로 9개의 형광등이 공급된다고 하자.

1) 표본 평균수명의 표본분포에서 평균수명시간은?

2) 표본 평균수명의 분산은?

3) 9개의 표본 형광등이 1050시간 보다 짧을 확률은?

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