I. 서 론
소수에 대한 이해는 다양한 측면에서 중요하 다(우정호, 변희현, 2005; 장혜원, 2011; Hiebert
& Wearne, 1985). 우선 수학적인 측면에서 살펴 보면, 현재 우리가 사용하는 소수는 Stevin (1548-1620)에 의하여 분모가 10의 거듭 제곱인 십진 분수(decimal fraction)로 정의되는데, 이는 정수에 적용되던 십진기수법을 소수까지 확장함 으로써 소수가 대중적으로 사용되는 것을 가능 하게 만들었다. 비록 그 이전에 바빌로니아나 중 국 등에서도 소수가 사용되었지만 현재와 같은 십진법에 의한 것이 아니었으며, 현재 약 3.14라 고 알고 있는 원주율의 값을 발견한 아르키메데 스(기원전 287-212)도 그 당시 소수가 아니라 분
수로
보다는 크고
보다는 작다고 제시하 여 현재와 같은 정확한 값을 갖지 못하였다. 이 와 같은 Stevin의 소수 정의는 이산량 뿐만 아니 라 연속량까지 모든 크기를 수치화할 수 있게 하였으며 무리수에 관한 아이디어를 발생시키는 데 결정적인 역할을 하였다(변희현, 2005).교육과정 측면에서, 소수는 초등학교 3학년에 도입되어 고등학교에 이르기까지 오랜 기간 동안 다루어진다. 소수의 개념 및 연산은 수와 연산 영 역에서 집중적으로 다루어지지만, 도형, 측정, 규 칙성 등의 타 영역에서도 두루 쓰이기 때문에 소 수를 이해하지 못하면 수학 학습의 전 영역에서 어려움이 발생할 수 있다. 뿐만 아니라 일상생활 측면에서, 소수는 길이, 무게, 부피 등을 측정할 때 빈번하고 유용하게 사용되기 때문에 소수를 이해하는 것은 매우 중요하다. 특히 분수와 비교
대한수학교육학회지 <학교수학> 제 19 권 제 1 호 Journal of Korea Society Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol. 19, No. 1, 209 ~ 228. Mar 2017
한국, 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 수학 교과서에 제시된 소수 개념 지도 방안에 대한 비교 분석
김 정 원*․권 성 룡**
소수를 이해하는 것은 수학 학습뿐만 아니라 일상생활에서도 매우 중요하다. 하지만 정작 학생들은 소수의 의미를 충분히 이해하지 못한 채 계산에 치중하고 있다. 이에 본 연구에서 는 학생들의 의미 있는 소수 학습을 돕기 위하여 한국, 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 수 학 교과서에 제시된 소수의 도입 방식 및 소수 개념을 중점적으로 비교ㆍ분석하였다. 연구 결과, 일본을 제외한 세 나라에서는 소수를 분수의 다른 이름으로 도입하여 분수와의 관련성 을 강조하고 있었으며, 등분할 소수와 양 소수의 의미가 주로 제시되고 있어 소수의 다양한 의미를 다루지 못하고 있는 것으로 드러났다. 특히 한국 교과서의 경우 소수 사이의 관계를 도구적으로 다루고 있었으며, 몇 개의 표현만을 반복적으로 사용하였다. 이와 같은 연구 결 과에 대한 논의를 바탕으로 본 연구는 초등학교 수학 교과서의 소수 관련 내용의 구성 및 지도 방향에 대한 시사점을 제공하고자 한다.
* 신탄진초등학교, [email protected] (제1 저자)
** 공주교육대학교, [email protected] (교신저자)
했을 때 소수는 양의 크기를 짐작하기 용이하고 계산이 편리하다는 장점을 가지고 있기 때문에 소수에 대한 학습은 매우 중요하다고 할 수 있다.
이러한 소수는 다양한 의미를 가지고 있다. 변 희현(2005)은 교수학적 분석을 통하여 측정수, 십진기수법, 분수, 비, 작용소, 통약불가능성, 무 한근사, 실무한, 계산수라는 9가지의 소수 개념 의 구성 요소를 제시한다. 강현영과 박문환, 박 교식(2009)은 분수의 의미를 참고하여 소수의 의 미를 6가지 제시하는데, 등분할 소수, 양 소수, 배 소수, 몫 소수, 비율 소수, 조작 소수가 이에 해당한다. 이와 같은 소수의 구성 요소 및 의미 는 각각 독립되어 있기보다 서로 관련되어 있기 때문에, 소수를 이해하기 위해서는 소수가 가진 다양한 의미를 이해할 필요가 있다(강현영 외, 2009; 우정호, 변희현, 2005).
하지만 안타깝게도, 소수 개념에 대한 학생들 의 이해를 살펴본 연구에 따르면 학생들은 소수 의 의미를 이해하고 적용하지 못한 채 기계적인 풀이만을 수행하고 있다(문범식, 이대현, 2014;
방정숙, 김재화, 2006). 소수의 중요성을 염두에 두었을 때, 학생들이 소수의 다양한 의미를 학습 할 수 있도록 지도 방향을 수립하는 것이 필요 하다. 만약 소수의 다양한 의미 지도가 간과되거 나 소홀히 된다면, 학생들은 소수 개념 및 소수 의 의미를 제한적으로 이해하게 되어 소수의 연 산에서도 어려움을 겪으며 더 나아가 실수를 이 해하는데 장애가 될 수 있다(강현영 외, 2009).
따라서 본 연구에서는 수학 수업을 실행하는데 핵심적인 교수ㆍ학습 자료인 교과서에서(황현미, 2013) 소수 개념이 어떻게 다루어져왔는지 분석하 고자 한다. 지금까지 이루어진 소수에 관한 교육 과정 및 교과서 분석을 살펴보면 우리나라의 일부 교육과정 및 교과서만을 대상으로 하거나(강현영, 2009), 초등학교부터 고등학교 교육과정에 이르기 까지 다소 광범위하게 이루어져 왔다(변희현,
2005). 한편, 여러 나라의 초등학교 수학 교과서에 서 소수와 관련된 내용이 어떻게 제시되고 있는지 살펴보는 것은, 우리나라의 소수 지도에서 놓쳤을 수도 있는 부분을 보완하는데 도움이 될 것이다. 이에 본 연구에서는 한국, 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 수학 교과서에 제시된 소수의 도입 방식 및 소수 개념을 중점적으로 비교 분석함으로써, 소수를 처음 학습하는 시기에 어떻게 소수가 도입 되고 지도되어야 하는지에 관한 시사점을 얻고 이 를 통하여 앞으로 차기 교과서에서 소수 단원을 개발할 때 조금이나마 기여할 수 있기를 기대한다.
II. 이론적 배경
1. 소수의 개념
소수는 크게 두 가지 방식으로 해석된다. 우선 사전적으로 소수(小數)는 ‘0보다 크고 1보다 작 은 실수’이다(네이버 국어사전, 2016). 이는 중국 에서 1 보다 작은 단위를 만들기 위해 소수가 고안된 것과 같은 맥락이라 할 수 있다(강현영 외, 2009). 한편 소수는 십진분수로 해석되기도 하는데, 소수를 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 이해하는 것이다. 소수가 처음 도입되는 초등학 교 3학년 수학 교과서를 살펴보면, [그림 II-1]과 같이 소수 첫째 자리 소수를 ‘분모가 10인 분수’
와 관련지어 설명하고 있다.
[그림 II-1] 소수의 도입(교육부, 2016, p. 212)
소수는 오래전부터 쓰이기 시작했지만, 네덜란 드 수학자인 Stevin(1548-1620)이 1585년 소수에 대한 정의를 내린 다음부터 후자와 같은 십진분 수로서 소수가 형식화되고 본격적으로 쓰이기 시작하였다. Stevin이 내린 소수의 정의를 살펴보 면 그 내용은 다음과 같다(변희현, 2005, p. 24).
정의 Ⅰ. ‘소수’는 모든 계산과 측정이 분수없이 완벽해질 수 있는 산술의 종류이다 . 정의 Ⅱ. 모든 수는 시작을 (0)으로 표시한다.
정의 Ⅲ. 잇따른 소수 자리를 정의할 때, 십분의 일의 자리는 첫 번째로 불리고 기호
①, 백분의 일의 자리는 두 번째로 불 리고 기호 ②와 같이 나타낸다.
정의 Ⅳ. (정의 Ⅱ와 Ⅲ에 의해) 정의된 수를 소 수라고 부른다 .
Stevin에 의한 소수 정의는 정수 부분의 십진 법 아이디어가 소수 부분까지 확장된 것으로 소 수를 대중적으로 명확하고 쉽게 사용할 수 있는 기회를 제공하였다. 또한 이산량과 연속량의 모 든 크기를 수치화할 수 있게 되고 무리수 아이 디어 발생에 결정적인 역할을 하였다는 의의를 가지고 있다(우정호, 변희현, 2005; 장혜원, 2011).
2. 소수의 도입
강흥규(2011)는 소수 개념의 본질을 크게 ‘밑 수 10의 다항식’과 ‘자연수 순서쌍의 동치류’로 구분한다. 0.12를 예로 들어보면 ‘밑수 10의 다 항식’으로서 0.12는 ‘
’, 즉 분모가 10, 100, … 등의 순서로 증가하는 분수의 합인 십진 분수로 표현된다. 반면, ‘자연수 순서쌍의 동치류’로서 0.12는 ‘
’로 분자가 자연수 이고 분모는 10의 거듭 제곱인 분수로 간주된다.소수 개념의 본질은 소수를 도입하는 상황에 영향을 미친다. 전자는 측정의 정확도를 높이기 위하여 단위를 연쇄적으로 10등분하는 상황을 통하여 도입할 수 있으며(Galen et al., 2008), 이 는 역사적으로 소수의 발생 맥락과 일치한다(변 희현, 2005). 이것은 자연수의 위치적 십진기수 법을 확장한 것이며 측정의 과정과 결과를 동시 에 파악할 수도 있다. 후자는 측정 단위를 변환 하는 상황을 생각해볼 수 있는데, 예를 들어 cm로 표현된 크기를 m로 바꾸는 것이다. 예를 들어 12cm는 단위
m가 12개이므로
×
가 된다. 이것은 소수를 자연수 와 동일한 차원으로 간주하는 방식이 내재되어 있으며, 소수가 항상 단위를 수반하므로 비율 소 수나 조작 소수의 의미를 가질 수 없다는 단점 이 있다(변희현, 2005). 지금까지 논의한 상황은 [그림 II-2]와 같이 표현될 수 있다.[그림 II-2] 소수 개념의 본질 및 측정상황
3. 소수의 의미
변희현(2005)과 강현영 외(2009)는 소수 개념에 내재된 다양한 의미를 다음 [그림 II-3]과 같이 제시한다. 전자는 소수 개념을 현상학적으로 즉, 수학적, 역사 발생적, 심리학적인 측면에서 분석 하여 9가지 소수 개념의 본질을 추출한다. 후자 의 경우 소수를 10의 거듭제곱인 분수로 간주하 고, 분수의 의미를 소수에 적용하여 소수의 의미 를 6가지로 구분한다. 각 연구의 분석 방법이나
관점은 차이가 있지만, 그 의미를 살펴보면 공통 적으로 측정수(양 소수), 분수(등분할 소수), 비 (비율 소수), 작용소(조작 소수)로서의 소수를 제 시하고 있다고 할 수 있다.
[그림 II-3] 소수의 의미 (강현영, 2009; 변희현, 2005)
변희현(2005)의 연구는 실수 범위에서 소수를 다루기 때문에 소수와 관련된 전반적인 요소를 모두 포함한다는 장점이 있지만, 통약불가능성, 무한근사, 실무한, 계산수의 개념은 초등 수준에 서 벗어난다. 이에 본 연구에서는 강현영 외 (2009)가 제시한 소수의 의미를 중심으로 살펴보 고자 한다. 연구에 따르면 소수는 <표 II-1>과 같이 등분할 소수, 양 소수, 배 소수, 몫 소수, 비율 소수, 조작 소수로 구분할 수 있는데, 양 소수나 조작 소수는 등분할 소수를 좀 더 세분 한 것이기 때문에 소수의 의미가 서로 중첩되거 나 포함된다고 할 수 있다.
의미 설명 ◯
예소수 0.3
등분할 소수
1에 해당하는 어떤 전체를 10등분, 100등분, 1000 등분,…한 것 중 몇 개분의 크기를 나타내는 소 수.
1에 해당하는 어떤 전체를 10등분한 것 중
3개분의 크기
양 소수 量의 측정값을 나타내기 위해 단위를 붙여 표시 하는, 절대적인 크기를 가지는 명수로서의 소수.
0.3cm는 1cm를 10등분한 것 중 3개의 크기
배 소수 소수 0.1, 0.01, 0.001, …을 단위로 하여 그것의 몇 배 크기를 표현하는 소수.
몫 소수 몫을 나타내는 소수.
정수 몫과 나머지를 한꺼번에 나타낼 수 있음.
3÷10
비율 소수
전체를 비교량으로 하고 단위를 기준량으로 하여, 단위에 대한 전체의 비의 값을 나타내는 소수.
기준량 10에 대한 비교량 3의 비율 0.3
조작 소수
실수 A에 소수 B를 사용하여 조작을 해서 실수 C를 얻는 것으로, 소수B는 작용소.
10을 3에 대응시키는 (곱셈)작용소
<표 II-1> 소수의 의미
4. 소수의 표현
풍부하고 구조화된 표현은 개념을 성공적으로 습득하는데 도움이 된다(Carpenter, 1986). Cramer (2003)가 제시한 래쉬 변환 모델(Lesh Transition Model)에 따르면 실세계, 조작물, 그림, 말, 기호 라는 5가지 표현을 통하여 수학적 아이디어를 나타내고, 표현 내 또는 표현 간 변환을 통하여 개념적 이해를 도모할 수 있다(Cramer, 2003). 한 편, Cramer 외(2015)는 소수 개념을 이해한 학생 들에게서 공통적으로 발견할 수 있는 5가지 지 표(indicator)를 제시한다. 이 두 가지 이론을 종 합하면, [그림 II-4]와 같이 다양한 표현을 통한 학습이 소수에 대한 이해를 습득하는데 도움이 될 수 있을 것이다.
[그림 II-4] 소수의 표현을 통한 이해 습득
소수 개념 및 연산에 대한 이해를 도울 수 있 는 표현에는 십진블록, 모눈종이, 수직선이 대표 적이다. 십진블록은 단위블록, 막대블록, 판블록, 정육면체블록으로 구성되며 보통 자연수의 크기 나 자연수의 연산을 다루는데 활용되나, 자연수 와의 유사점으로 인해 소수의 개념 및 연산에 대한 이해를 돕기 위해서도 이용할 수 있다. Hiebert, Wearne, & Taber(1991)는 십진블록, 수직 선의 구체물을 사용한 수업을 계획하고 실행하 면서 4학년 학생들의 소수에 대한 이해를 살펴 보았다. 연구 결과, 소수는 연속적인 특성과 이 산적인 특성을 모두 갖는데 십진블록은 이산적 인 특성을, 수직선은 연속적인 특성을 이해하는
데 도움이 되었다. 특히 십진블록은 단위를 나타 내는 블록을 변화시켜나감으로써 특정한 블록에 특정한 양을 부여하는 것이 아니라, 단어나 기호 의 의미에 초점을 두게 할 수 있다. 또한 방정숙 과 김수정(2007)은 십진블록을 활용하여 소수의 나눗셈을 지도한 결과, 십진블록으로 나눗셈의 분배, 넓이의 의미를 표현하고 알고리즘과 연결 함으로써 소수 나눗셈에 대한 이해를 확고히 하 는데 도움이 될 수 있었다.
모눈종이는 소수 체계에 내재된 구조를 이해 하기 쉽도록 나타내는데 도움이 되는 시각적 모 델로 사용된다(Cramer, Monson, Ahrendt, Colum, Wiley, & Wyberg, 2015). Cramer 외(2015)는 소수 개념과 소수의 연산에 대한 이해를 돕기 위해 10×10 모눈종이를 사용하였는데, 10등분된 정사 각형을 통해 0.1과 같은 소수 한 자리 수를 나타 내고, 이를 다시 100등분되게 만듦으로써 0.26과 같은 소수 두 자리 수를 표현했다. 이 때 소수 각 자리수마다 색을 달리 표현함으로써 소수의 십진체계와 자릿값에 대한 이미지를 구성할 수 있게 하였다. 예를 들어 0.26은 주황색의 0.2와 노란색의 0.06으로 표현할 수도 있지만, 노란색 만으로 0.26을 표현할 수 있다. 학생들과의 활동 결과, 모눈종이는 소수의 의미를 이해하고 상대 적인 크기를 판단하며 소수의 동치를 이해하는 데 효과적으로 드러났다. 단, 주의할 점으로 모 눈종이 표현과 기호 표현을 너무 이르게 연결하 는 것은 기호 표현에 치중하게 되어 소수에 대 한 심상을 구성하기에 충분치 못하므로, 모눈종 이를 통해 소수 개념과 소수 연산을 충분히 탐 색한 뒤 다른 표현과 연결시켜야 한다.
마지막으로, 수직선은 연속량을 나타낼 수 있 는 표현으로 실수의 조밀성을 이해하는데 적합하 다. 예를 들어 1.42와 1.43사이에 또 다른 소수가 존재하는지를 논의할 때 십진블록이나 모눈종이에 비하여 수직선에서 연속적으로 단위를 분할해 나감
으로써 수많은 소수가 존재한다는 것을 이해하기에 용이하다. 이 때 연속적으로 단위를 10등분해가는 과정은, 소수 개념이 발생하게 된 단위의 세분에 의한 측정활동이라는 맥락과 일치하기도 한다.
<표 II-2>는 지금까지 살펴본 십진블록, 모눈
종이, 수직선의 특징을 정리하고, 0.46을 각각의 표현으로 나타낸 것이다. 소수를 이해하기 위하 여 표현을 사용할 때 하나의 표현만으로 소수를 완전히 이해할 수 없다. 이러한 취지에서, Cramer, Monson, Wyberg, Leavitt 그리고 Whitney
수직선 (길이모델) 모눈종이 (넓이모델) 십진블록 (넓이모델)
양의 표현
ㆍ연속량에 적합함. ㆍ이산량에 적합함. ㆍ이산량에 적합함.
장점
ㆍ소수가 발생한 측정 상황을 표현하고, 실수의 조밀성을 이해하는데 유용함(변희현, 2005).
ㆍ소수의 십진체계와 자릿값에 대한 이미지를 구성하는데 적절함.
ㆍ소수 사이의 상대적인 크기를 이 해하고, 소수의 동치를 이해하는 데 효과적임.(예, 0.2=0.20) ㆍ직접 색칠하면서 소수를 표현할 수
있음. 이 때 자릿값별로 색을 달리 하면서 표현하면 소수의 십진체계 를 이해하는데 도움이 됨.
(Cramer, Monson, Ahrendt, Colum, Wiley, & Wyberg, 2015)
ㆍ소수의 개념 및 연산에 대한 이 해를 도울 수 있음. 받아올림, 받 아내림을 나타내기에 용이함(방정 숙, 김수정, 2007).
ㆍ단위를 나타내는 블록을 변화시 켜나감으로써 단어나 기호의 의 미에 초점을 둘 수 있음(Hiebert, Wearne, & Taber, 1991).
단점
ㆍ소수 셋째 자리 이상을 표 현하기 복잡함.
ㆍ큰 수는 0부터 나타내기 어 렵기 때문에, 수의 크기에 대한 직관적 이해가 어려 울 수 있음.
ㆍ소수 연산에서 합병, 비교 의 의미를 나타내기 어려 움.
ㆍ모눈종이는 보통 분수와 관련지 어 소수를 도입하는데, 이는 측정 수로서의 소수의 본질과 거리가 있음(변희현, 2005)
ㆍ소수 세 자리 수를 표현하기에 복잡함.
ㆍ측정 상황은 연속량을 나타내는 경 우가 대부분인데, 모눈종이나 십진 블록은 이산량에 더 적합함.
ㆍ수직선, 모눈종이는 학생들이 위치 를 표시하거나, 칸을 채우면서 소 수를 표현할 수 있지만, 십진블록 은 실제 교구가 있어야 하는데 모 든 교실에서 이를 사용할 수 있을 지 확인 불가능 함
ㆍ정육각형 모델은 3차원이라, 2차원 모델에 비하여 학생들이 소수 사이 의 관계를 파악하는데 어려움을 느 낄 수 있음.
◯
예0.46
0.4까지 간 뒤, 0.06만큼 더 이동하여 0.46 나타내기.
0.1이 4개, 0.01이 6개로 색깔을 달 리하여 표현하거나, 0.01을 46개 색 칠하기.
판 블록이 1이면, 막대 블록이 0.1, 단위 블록이 0.01→막대 블록 4개, 단위 블록 6개가 0.46.
<표 II-2> 소수 표현의 종류와 예
(2009)는 소수를 처음 도입할 때 10×10 모눈종이 모델을 이용하고, 미터 막대, 수직선으로도 표현 한 뒤, 각각의 모델에 대한 조작을 기호로 기록 하고 다양한 표현 사이의 유사점과 차이점을 설 명함으로써 소수를 이해할 것을 제안했다. 표현 의 제시 순서, 지도 방법 등에 대해서는 연구마 다 차이가 있겠지만, 중요한 것은 다양한 표현 각각에 대한 이해뿐만 아니라 표현 간의 연결성 또한 강조되어야 한다는 점이다.
III. 연구 방법 및 절차
1. 분석 대상
국가 교과서명 출처
한국 수학 3-1, 수학 4-2, 수학 5-2
교육부(2016a~b, 2015)
일본
Study with Your Friends MATHEMATICS for
elementary school 3-2, 4-2, 5-1
Hitotsumatsu 외(2011a~c)
싱가 포르
My Pals are Here!
Maths 4-2, 5-1, 5-2
Kheong 외(2008a~b, 2016)
미국
Everyday Mathematics 3-1,
4-1, 4-2
Bell 외(2007), Bell 외(2007a~c)
<표 III-1> 분석의 대상 및 출처
분석
측면 분석의 초점 및 분석의 내용
소수의 도입
학습 내용의
순서 ㆍ학습 내용은 전반적으로 어떠한 흐름으로 제시되는가?
소수의 개념 및 본질
ㆍ교과서에 내재된 소수의 개념이 다음 중 어느 것에 더 가까운가?
:‘분모가 10의 거듭제곱인 분수’ 또는 ‘0보다 크고 1보다 작은 실수’
ㆍ소수의 본질이 다음 중 어느 것에 더 가까운가?
:‘밑수 10의 다항식’ 또는 ‘자연수 순서쌍의 동치류’
소수의 도입 상황
ㆍ소수가 도입되는 상황은 다음 중 어느 것에 더 가까운가?
:‘단위의 10등분을 통한 측정 상황’ 또는 ‘단위 변환에 의한 측정 상황'
소수의 의미 ㆍ교과서에 제시된 소수의 의미는 무엇인가?
: 등분할 소수, 양 소수, 배 소수, 몫 소수, 비율 소수, 조작 소수
표현 ㆍ어떤 표현을 사용하고 있는가?
ㆍ표현 간 연결성은 어떠한가?
소수의 구조
소수의 자릿값 ㆍ소수의 자릿값을 어떻게 설명하는가?
ㆍ사용되는 표현은 무엇인가?
소수 사이의 관계
ㆍ소수 사이의 관계를 어떻게 설명하는가?
:‘수의 이동’ 또는 ‘소수점의 이동’
0의 처리 ㆍ소수 오른쪽 끝자리에 붙는 ‘0’을 어떻게 설명하는가?
ㆍ사용되는 표현은 무엇인가?
소수의 크기 비교
ㆍ소수의 크기 비교를 어떻게 설명하는가?
ㆍ사용되는 표현은 무엇인가?
<표 III-2> 분석의 초점 및 내용
본 연구에서는 한국과 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 교과서에서 소수의 도입과 소수의 구 조를 다루는 방식이 어떠한지 비교 분석하였다.
<표 III-1>은 해당 국가의 교과서명과 출처를 요 약하여 나타낸 것으로, 소수의 도입과 구조에 대 해 중점적으로 다루었지만, 소수 관련 내용이 어 떻게 전개되는지에 대해서도 전반적으로 알아보 았기 때문에 소수의 연산에 관한 교과서도 분석 대상에 포함시켰다.
2. 분석 기준
이론적 배경을 바탕으로 한국, 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 수학 교과서에서 소수의 도입 및 구조에 관한 내용을 <표 III-2>의 측면에서 분석하였다. 소수의 도입에 관한 분석에서 소수 의 개념 및 본질, 도입 상황, 소수의 의미를 분 석할 때, 이러한 내용은 교과서에 명시적으로 제 시된 것이 아니기 때문에 교과서 진술, 상황에 비추어 어느 것에 보다 근접한지를 판단하여 구 분하였다.
IV. 연구 결과
1. 소수에 대한 전반적인 학습 내용 및 지도 시기
<표 IV-1>은 한국, 일본, 싱가포르, 미국의 초 등학교 수학 교과서에서 다루는 소수에 대한 전 반적인 학습 내용 및 지도 시기를 정리한 것이 다. 소수의 도입 시기와 관련하여, 한국, 일본, 미국에서는 3학년에, 싱가포르에서는 4학년에 도 입하고 있다. 또한 한국, 일본, 미국에서는 소수, 소수의 덧셈과 뺄셈, 소수의 곱셈과 나눗셈의 지 도 시기가 학년 별, 또는 학기 별로 어느 정도
구분된 반면, 싱가포르에서는 4학년 2학기에 모 두 다루고 있다. 한국을 제외한 나머지 나라에서 는 소수의 곱셈과 나눗셈을 4학년 2학기에 학습 하도록 제시하며, 한국은 5학년 2학기에 소수의 곱셈과 나눗셈을 다루고 있다. 미국 교과서의 경 우 다른 나라와 다르게 소수의 개념과 연산이 반복적으로 제시되고 있는데, 특히 소수의 자릿 값과 십진블록 표현을 사용한 모델링은 6학년 1 학기까지 꾸준히 강조되고 있다. 마지막으로, 일 본과 미국의 경우, 소수와 범자연수(whole number)라는 단원이 따로 구분되어 있으며, 싱가 포르에서는 계산기의 사용을, 미국에서는 소수와 분수, 퍼센트와의 관계까지 다루고 있다.
이와 같은 소수 및 소수 연산에 대한 나라별 유사점 및 차이점을 통하여 각 나라에서 간주하 는 적절한 소수의 학습 시기, 내용의 짜임과 흐 름, 강조점 등을 엿볼 수 있다. 예를 들어, 한국, 일본, 미국에서는 소수와 관련된 내용을 구분지 어 체계적으로 학습하는 것이 적합하다고 간주 하는 반면, 싱가포르에서는 한 번에 관련 내용을 집중하여 학습하는 것이 적절하다고 판단하고 있음을 예상할 수 있다.
2. 주요 학습 내용별 지도 방안에 대한 비교 ․분석
가. 소수 도입
<표 IV-2>는 한국, 일본, 싱가포르, 미국의 소 수 도입에 관한 학습 순서, 측정 상황, 그 안에 내재된 소수의 개념 및 본질, 포함된 소수의 의 미, 소수 맨 끝에 붙는 0에 대한 설명 방법, 사 용된 표현을 분석한 것이다. 각각을 자세히 살펴 보면서 나라별 공통점과 차이점을 분석하도록 하겠다.
우선 학습 순서와 관련하여, 네 나라 공통적으
시기
(학년-학기) 한국 일본 싱가포르 미국
3 1
6. 분수와 소수 ㆍ소수 한 자리 수 ㆍ소수 한 자리 수의 크기 비교
5. 범자연수와 소수의 자릿값
ㆍ소수의 자릿값 ㆍ미터측정에서의 소수 ㆍ소수 크기 비교
2
12. 소수
ㆍ남는 부분의 표현 방법
ㆍ소수의 구조 ㆍ소수의 덧셈과 뺄셈
4 1
4. 소수와 소수의 이용 ㆍ소수 한 자리, 두 자
리, 세 자리 수 ㆍ소수의 크기 비교 ㆍ소수의 정렬 ㆍ소수의 덧셈과 뺄셈
2
1. 소수의 덧셈과 뺄셈 ㆍ소수 두 자리 수와 세 자리 수 ㆍ소수 사이의 관계 ㆍ소수의 크기 비교 ㆍ소수의 덧셈과 뺄셈
13. 소수
ㆍ소수의 표현 방법 ㆍ소수의 구조 ㆍ소수의 덧셈과 뺄셈
10. 소수
ㆍ0.1, 0.01, 0.001의 이해
ㆍ소수의 비교와 정렬 11. 소수의 사칙연산 ㆍ소수 한 자리 수, 소
수 두 자리 수의 사칙 연산
12. 소수: 문장제
9. 분수, 소수, 퍼센트 ㆍ분수, 소수, 퍼센트로
바꾸기 ㆍ소수의 곱셈 ㆍ소수의 나눗셈 16. 소수의 곱셈과
나눗셈
5 1
1. 소수와 범자연수 ㆍ소수와 범자연수의 체계
3. 소수의 곱셈 5. 소수의 나눗셈
3. 분수(1)
ㆍ분수를 소수로 전환
2
1. 소수의 곱셈 4. 소수의 나눗셈
7. 소수
ㆍ소수를 분수로 전환 ㆍ10, 100, 1000 곱하기 ㆍ10, 100, 1000으로 나누기
ㆍ계산기 사용 ㆍ문장제
6 1
2. 범자연수와 소수의 연산
ㆍ소수 읽고 쓰기 ㆍ소수의 덧셈과 뺄셈 ㆍ소수의 곱셈 ㆍ소수의 나눗셈
<표 IV-1> 소수에 대한 전반적인 학습 내용 및 지도 시기
로 소수 한 자리의 수부터 소수 세 자리의 수까 지 제시하며, 소수의 십진 체계에 관련된 소수의 구조, 소수 사이의 관계, 소수의 크기 비교 등을 다루고 있다. 한편, 네 나라 가운데 유일 하게 싱가포르에서는 소수의 반올림에 대해 다루고 있다. [그림 IV-1]과 같이 수직선 위에 반올림하 여 나타내려는 자리 수의 근접한 두 소수 사이 에 해당 소수를 위치시켜 더 가까운 소수로 반 올림하여 나타내는 방법을 반복적으로 설명하고 있다. 이러한 반올림은 후속 학습인 소수의 덧셈 과 뺄셈을 한 뒤 어림을 통하여 계산 값의 적절 성을 판단하도록 제시하고 있다. 따라서 이와 같 은 소수의 반올림 활동은 소수 자체의 크기에 대한 양감을 형성하는 것뿐만 아니라 소수 연산 의 결과 값에 대한 적절성을 판단하는데 도움이 될 수 있다.
[그림 IV-1] 싱가포르 교과서의 반올림 지도 내용 (Kheong 외, 2016, p.79)
소수가 처음 도입되는 상황을 살펴보면 한국, 일본, 싱가포르 모두 원래 제시된 단위보다 작은 양을 측정하기 위해 단위를 세분(10등분)하는 활 동이 포함된다. 이 때 한국과 일본의 경우 각각 길이 단위인 1m와 들이 단위인 1dL를 10등분하 여 더 작은 척도를 만들어 측정하는 상황인 반 면이고, 싱가포르는 특정 측정 단위와 관련 없이 단지 ‘1’로 제시되고 10등분하는 상황이라는 차 이점이 있다. 이 때 제시되는 소수는 한국과 일
한국 일본 싱가포르 미국
학습 순서
소수 한 자리 수→소수의 크기 비교→소수 두 자리 수→소수 세 자리 수→소 수 사이의 관계→소수의 크기 비교
소수 한 자리 수→소수의 구조→소수 두 자리 수→
소수 세 자리 수→소수의 구조
소수 한 자리 수→소수 두 자리 수→소수 세 자 리 수→소수의 크기 비교 와 정렬→소수의 반올림
소수 한 자리 수→소수 두 자리 수→소수의 자릿 값→소수의 크기 비교→
소수 두 자리 수, 세 자 리 수→크기 비교와 정렬
측정 상황
단위의 10등분 (1m단위의 10등분)
단위의 10등분 (1dL 단위의 10등분)
단위의 10등분 -
(측정상황 없음)
소수 개념
분모가 10의 거듭제곱인 분수
0보다 크고 1보다 작은 실수
분모가 10의 거듭제곱인 분수
분모가 10의 거듭제곱인 분수
소수 의미
등분할 소수, 양 소수, 배 소수
등분할 소수, 양 소수, 배 소수
등분할 소수, 양 소수 등분할 소수, 양 소수
표현
(3-1) 수직선, 자, 수 막대/원 그림 (4-2) 십진블록, 모눈종이, 수직선
(3-2) 비커 그림, 수직선, 자
(4-2) 십진블록
(4-2) 막대, 수직선, 모눈종이, 원 모델
(3-1) 모눈종이, 십진블록, 미터막대,
수직선
<표 IV-2> 소수 도입에 관한 분석 결과
본의 경우 양 소수, 싱가포르의 경우 등분할 소 수의 의미와 관련된다고 할 수 있다. 하지만 [그 림 IV-2]에 제시된 상황을 살펴보면 일본에 비하 여 한국과 싱가포르는 단위를 10등분할 필요성 이 드러나지 않음을 알 수 있다. 한편, 미국의 경우 어떠한 측정 상황도 없이 모눈종이에 색칠 된 만큼을 분수로 나타내게 하고 이를 다시 소 수로 바꾸어보는 활동을 반복적으로 제시한다. 소수는 역사발생학적으로 측정 활동의 소산이고 초등학생들의 특성에 비추어볼 때, 소수를 측정 활동의 맥락에서 도입하는 것이 바람직하다고 할 수 있다. 단, 단위를 고유의 절대적인 값을 가지는 양 소수로 도입할 것인지, 등분할 소수로 도입할 것인지에 대한 고려가 필요하다.
교과서에서 소수 개념을 어떻게 설명하고 있 는지 살펴보면, [그림 IV-3]과 같이 한국, 싱가포 르, 미국에서는
,
,
, …등을 0.1, 0.2, 0.3, …으로 쓴다고 제시하는데, 이는 소수를 분 모가 10의 거듭제곱인 분수의 다른 이름으로 간 주하는 것이다. 특히, 미국은 소수를 읽는 방식에 있어 분수와 소수를 동일시한다. 예를 들어
‘
’과 ‘0.1’을 모두 분수를 읽는 방식인 ‘십분 의 일(one tenth)'로 읽는다고 제시하는데, 이는 소수와 분수를 서로 밀접하게 관련짓고 있다는 것을 의미한다. 한편, 예외적으로 일본은 어떠한 분수도 도입하지 않고 앞서 제시했던 2.6, 0.6, 0.1과 같은 수를 소수라고 한다고 설명하는데, 이는 소수를 0보다 크고 1보다 작은 실수로 간 주하는 것이다.다음으로 교과서에 내재된 소수의 의미를 살 펴보면, 네 나라의 수학 교과서에는 공통적으로 등분할 소수와 양 소수의 의미가 내재되어 있다. 등분할 소수의 예는 [그림 IV-4]와 같이 전체를 10등분, 100등분 또는 1000등분한 것 가운데 몇 개의 크기를 나타내는데 소수를 사용하는 것으 로, 대부분의 나라에서 분수와 관련지어 소수를 도입하기 때문에 등분할의 의미가 자연스럽게 소수에도 적용된다. 더불어, dL, L, cm, m, …과 같이 양을 나타내는 단위를 붙여 2.1dL, 0.09L 등과 같은 양 소수로 사용되기도 하는데, 이 때
한국 일본 싱가포르 미국
(교육부, 2016a, p.210) (Hitotsumatsu 외, 2011a, p.35) (Kheong 외, 2016, p.53) (Bell 외, 2007, p.114 )
[그림 IV-2] 나라별 소수가 도입되는 측정 상황한국 일본 싱가포르 미국
(교육부, 2016a, p.212) (Hitotsumatsu 외, 2011a, p.35) (Kheong 외, 2016, p.53) (Bell 외, 2007, p.33)
[그림 IV-3] 나라별 소수 개념소수의 값은 절대적인 양을 가리킨다. 배 소수는 네 나라의 교과서에서 직접적으로 제시되고 있 지는 않지만, 한국 교과서에서 ‘0.1이 14개이면 1.4입니다.’, 일본 교과서에서 ‘1.6dL는 0.1의 16 개 세트이다.’와 같은 문장을 통해 ‘0.1×14=1.4’,
‘1.6=0.1×16’, 즉 0.1이 14개면 소수 1.4가 되고 1.6은 단위 0.1이 16개인 소수로 해석할 수 있다.
하지만, ‘1.6=0.1+0.1+…+0.1’은 단위 0.1을 16번 더한 것으로 해석될 수도 있기 때문에 배 소수 로의 도입을 위해서는 교사가 의도적으로 배 개 념에 좀 더 주의를 기울일 필요가 있다고 판단 된다. 한편, 소수를 도입할 때, 교과서에 몫 소 수, 비율 소수, 조작 소수의 의미가 내재되어 있 지 않다는 것을 확인할 수 있는데, 이러한 소수 의 의미는 소수의 곱셈이나 나눗셈 연산과 관련 되기 때문에 처음 도입할 때 이러한 의미를 다 루는 것은 학생들에게 어려움을 겪게 할 수도 있을 것이라 예상된다.
나라별로 소수 개념을 설명하기 위한 모델을 살펴보면, 공통적으로 모눈종이와 수직선이 사용 되고 있다. 보통 소수 한 자리의 수를 도입할 때 는 선형적인 수직선([그림 IV-3]의 수직선 참조)
이나 막대 그림 등의 표현이 활용되고, 소수 두 자리 수를 도입하면서부터는 모눈종이([그림 IV-4]의 모눈종이 참조), 십진블록, 미터막대 (meter stick) 등의 표현이 이용되고 있다. 십진블 록은 한국과 미국에서 공통적으로 사용되는데, 한국은 각설탕을 정육각형 블록으로 간주함으로 써 상황과 연결 지어 블록 간 관계를 소수 사이 의 관계로 설명하고 있다. 한편, 미국은 소수의 도입부터 소수의 연산까지 대부분을 십진블록을 통하여 설명하는데, 십진블록을 간단히 나타내는 모형까지 함께 제시함으로써 학생들도 직접 십 진블록을 그려보면서 활동하도록 구성하고 있다. 십진블록은 시각적으로 소수의 크기 및 소수 사 이의 크기 관계를 파악할 수 있기 때문에 사용 하기 용이하다는 장점이 있으나, 연속량이 이산량 으로 표현된다는 점 때문에 적절하지 않은 상황 이 발생될 수 있다는 점을 염두에 두어야 한다.
한편, 싱가포르에서는 [그림 IV-5]와 같이 동전 모양의 원 안에 10, 1, 0.1 등의 단위를 써 넣은 동전 모델1)을 사용하여 소수의 자릿값 및 크기 비교에 이용하고 있다. 동전 모델은 비교적 이용 하기도 쉽고 직접 그리기도 편하다는 장점이 있
1) 동전모델이라는 용어는 싱가포르 교과서에 제시된 것이 아니라 연구자가 분석을 위해 임의로 사용한 것임
등분할 소수의 예 양 소수의 예 배 소수의 예
(Bell 외, 2007a, p.27)
(Kheong 외, 2016, p.58)
(교육부, 2016a, p.212)
(Hitotsumatsu 외, 2011a, p.35)
(교육부, 2016, p.215)
(Hitotsumatsu 외, 2011a, p.37) 배 소수가 아닌 예
(Kheong 외, 2016, p.65)
[그림 IV-4] 다양한 소수의 의미와 예는 반면, 10, 1, 0.1, …등의 모든 단위의 크기가 동일하기 때문에 소수 사이의 크기 관계를 파악 하기 어렵다는 단점이 있다. 예를 들어, 0.1의 10 배가 1이고 1의
이 0.1이 되는데 0.1과 1의 크기가 같기 때문에 시각적으로는 0.1과 1 사이 의 관계를 파악하는데 어려움이 있을 수 있다. 이에 소수가 처음 도입되어 소수 크기에 대한 양감이 형성 되지 않은 시기에 동전 모델을 사 용하는 것은 재고의 여지가 있다고 판단된다.나. 소수의 구조
소수의 자릿값, 소수 사이의 관계, 소수 오른 쪽 끝자리에 붙는 0에 대한 설명, 소수 사이의 크기 비교를 한국, 일본, 싱가포르, 미국 교과서 에서 어떻게 설명하고 있는지 살펴보았다. <표 IV-3>은 이를 간단히 정리한 것으로 소수의 자 릿값부터 차례대로 살펴보도록 한다.
공통적으로 네 나라 모두 소수에서 자리에 따 라 각 숫자가 나타내는 수의 값이 달라진다는 사실을 표, 글, 그림 등으로 정리하여 제시하고 있다. [그림 IV-6]은 각 나라에서 자릿값에 관한 설명을 어떻게 하고 있는지 보여주는 예들로, 한 국의 경우 나머지 세 나라와 달리 수를 각 자리 마다 분해하여 표로 제시하고 있다. 일본, 싱가 포르, 미국은 각 자리 숫자에 해당되는 자릿값을 대응시켜 설명하며, 싱가포르만 추가적으로 원그 림을 제시하여 이해를 돕고 있다. 나라별로 자릿 값에 대해 어떻게 설명하고 있는지 살펴보면, 한 국의 경우 ‘3.479에서 4는 소수 첫째 자리 숫자 이고 0.4를 나타냅니다.’로, 일본은 ‘3→0.1이 3세 트’로, 싱가포르는 ‘3의 값은 0.3이고, 3은 소수 첫째 자리에 있다.’라고 설명하며 [그림 IV-6]에 서 볼 수 있는 덧셈과 곱셈으로 이루어진 수식 을 함께 제시한다. 끝으로 미국은 ‘소수 첫째 자 리에 있는 4는 0.4의 값을 가진다.’ 로 설명하고
십진블록 동전 모델
(교육부,
2016b,
p.13)(Bell 외, 2007a, p.32) (Kheong
외, 2016, p.75) [그림 IV-5] 소수 개념을 설명하는 표현한국 일본 싱가포르 미국
자릿값 수를 분해하여 표 로 제시
소수 각각에 자릿값 을 부여
소수 각각에 자릿값을
부여 , 동전 모델 추가 소수 각각에 자릿값 부여
관계 십진블록으로 설명 십진블록과 표로 설
명 표로 설명 10배,
을 나누어 표 로 설명
0의 처리
수직선을 통해 2=2.0 설명
말풍선으로 4를 4.0으 로 간주한다고 설명
수직선 및 동전 모델을 통해 0.2=0.20=0.200의 관계 설명
십진블록을 통해 0.3=0.30 설명
자릿값 원리를 통해 3.4=3.40 설명 크기
비교
모눈종이 , 수직선, 표로 비교
수직선 , 0.1의 개수로 비교
수직선 및 표에 수를 정 렬하여 비교
십진블록 및 표에 수를 정렬하여 비교
<표 IV-3> 소수 구조에 관한 나라별 비교 분석
있어, 각 나라별로 유사하나 약간의 차이가 있다 는 것을 알 수 있다.
또한 싱가포르와 미국의 경우, 소수의 자릿값 이 드러날 수 있도록 전개식(expanded form)으 로 소수를 표현하도록 한다. 미국은 자릿값 표 (place-value chart)와 함께 이러한 활동을 학생 들이 할 수 있도록 학습지로 제시한다. 반면, 싱 가포르는 소수의 연산을 학습하기 전에 전개식 을 도입하지만 학생들로 하여금 전개식을 만들 거나, 전개식을 보고 하나의 소수로 나타내어보 도록 하는 활동은 하지 않는다. 소수를 자릿값이 포함된 전개식으로 표현하는 활동은 소수를 이 해하는데 도움이 될 것이라 판단되나, 소수의 연 산에 대한 이해가 선행될 필요가 있다고 판단 되는 바, 한국 교과서에도 이와 같은 내용의 도입 여부 및 도입 시기에 대한 고려가 필요하 다고 생각된다.
다음으로 각 나라마다 소수 사이의 관계를 어 떻게 제시하는지 살펴보았다. <표 IV-4>는 이를 분석하여 정리한 것으로, 일본과 같이 소수 사이 의 관계를 상세하게 설명한 나라도 있는 반면 미국과 같이 간략하게 다루고 있는 나라도 있어 나라별로 차이가 있음을 확인할 수 있었다. 한국 과 일본은 단위 소수 사이의 관계를 십진블록과 화살표의 방향을 이용하여 설명하는데, 10배와
의 관계만을 다루는 한국과 달리 일본은
,
의 관계까지 다루고 있다. 이와 같이십진블록과 수를 함께 제시하는 것은 소수 사이 의 관계를 이해하는데 도움이 될 수 있는데, 오 른쪽 방향으로 갈수록 십진블록의 크기가 작아 지고 왼쪽 방향으로 갈수록 크기가 커지므로 이 를 각각
과 10배의 관계와 연관 지을 수 있을 것이다. 한편, 미국은 표의 형태로만 설명하 며 10배와
의 경우를 나누어 설명하는데, 이 와 관련된 활동이나 설명은 제시하지 않는다.또한 일본과 싱가포르는 구체적인 수를 예로 하여 어떤 수를 10배 또는
했을 때 수의 크 기가 어떻게 변하는지를 화살표의 방향으로 표 현하고 있다. 이 두 나라는 기본적으로 수의 이 동에 초점을 맞추어 설명하고 있지만, 추가적으 로 소수점의 이동 또한 설명하고 있다. 한국의 경우 수의 이동이 아닌 소수점의 이동으로 설명 하는데 소수점이 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동하 는지 고르는 활동이 포함된다. 소수 사이의 관계 를 이해하는 것은 소수의 자릿값 및 연산과도 관련되기 때문에 중요하게 다루어질 필요가 있 으나, 수 또는 소수점의 이동 방향에만 초점을 맞추어 자칫 원리를 이해하지 못한 채 암기식으 로 이루어질 가능성이 있을 것이라 예상된다.한편 소수 오른쪽 끝자리에 붙는 0에 대해서 도 나라별로 차이가 있었다. [그림 IV-7]에서 볼 수 있듯이, 한국은 수직선, 미국은 십진블록을 이용하여 이해를 돕는 반면, 일본은 ‘4-1.8’의 소
한국 일본 싱가포르 미국
자릿값
(교육부,
2016b,
p.17) (Hitotsumatsu 외,
2011b,
p.39)(Kheong 외, 2016, p.65) (Bell 외, 2007, p.35)
[그림 IV-6] 소수의 자릿값수의 뺄셈을 할 때 두 소수의 자릿값을 맞추기 위하여 ‘4를 4.0으로 여긴다.’는 보조 설명만 제 시할 뿐이다. 특히, 미국은 다른 나라에 비하여 소수 오른쪽 끝자리에 붙는 0에 대한 설명을 좀 더 구체적이며 반복적으로 제시하고 있는데, 예 를 들어 십진블록을 통하여 0.3을 나타내는 3개 의 막대블록(longs) 각각을 단위블록(cubes)으로 바꾸면 30개가 되기 때문에 0.03과 같다고 설명 한다. 더불어 소수의 크기를 비교할 때 범자연수 자리부터 소수 자리로 점점 이동하며 하나씩 비 교해 나간다고 설명하면서, 3.4와 3.40의 크기 비 교에 이 원리를 적용하는데, 즉 3.4와 3.40은 일 의 자리, 소수 첫째 자리의 수가 서로 같고, 3.40 의 소수 둘째 자리의 0은
, 즉 0과 같으므로 3.4=3.40이 된다. 소수 오른쪽 끝자리에 0을 붙여도 소수의 크기는 변함없다는 사실은 소수의 연 산을 다룰 때 많이 이용되므로, 학생들이 이러한 사실을 이해하고 상황에 적용할 수 있도록 교과 서를 다룰 때 좀 더 주의를 기울일 필요가 있다.
마지막으로 소수의 크기 비교를 각 나라의 교 과서에서 어떻게 다루는지 살펴보았다. [그림 IV-8]은 소수의 크기를 비교할 때 제시되는 표현 들로 각 나라에서 주로 다루거나 유일하게 다루 는 표현들에 해당한다. 간략히 살펴보면 한국, 싱가포르, 미국에서 제시하는 표는 소수 첫째 자 리부터 차례대로 비교한다는 것을 나타내기에 적합한데, 한국에 비하여 싱가포르와 미국에서 제시하는 표의 모양이 좀 더 간략해 보인다. 한 국과 일본에서 제시하는 수직선은 소수의 위치 를 보임으로써 오른쪽에 위치한 수가 더 큰 수 가 된다는 것을 파악하기에 용이하다. 또한 모눈
한국 일본 싱가포르 미국
관 계
단 위 소
수 (교육부, 2016b, p.18 )
(Hitotsumatsu 외, 2011b, p.39)
-
(Bell 외, 2007a, p.30~31)
10 배 /
-
(Hitotsumatsu 외, 2011b, p.40) (Kheong 외, 2008a, p.6)
-
설명
ㆍ소수점의 이동 ㆍ수의 이동, 소수점의 이동 ㆍ수의 이동, 소수점의 이동
-
‘소수를 10배하면 소수 점이 (오른쪽, 왼쪽)으로 1칸 옮겨집니다.’(교육 부, 2016b, p.19)
‘10배된 모든 수는 그 다음의 높은 자리로 이동 하고, 모든 수의
은 다음의 낮은 자리로 이동 한다.’(Hitotsumatsu 외, 2011b , p.40)
‘10배하면 자릿값 표에 서 각 자리 숫자가 왼쪽 으로 1칸 이동한다.’
(Kheong 외, 2008a, p.6)
<표 IV-4> 소수 사이의 관계
종이나 십진블록은 색칠된 모눈이 차지하는 크 기나 블록의 개수를 통하여 소수의 크기를 비교 할 수 있다. 소수의 크기를 비교하는데 있어 모 눈종이, 수직선, 십진블록과 같은 표현이 보다 구체적이고 가시적이라는 장점이 있지만, 그 원 리를 파악하기에는 표와 같은 형태가 용이하다 는 점을 염두에 두었을 때, 네 나라에서 공통적 으로 이러한 표현들을 적절히 사용하여 원리를 파악할 수 있도록 구성하였을 것이라 예상된다.
V. 결론 및 논의
본 연구에서는 소수의 도입 및 구조에 대해 한국과 일본, 싱가포르, 미국의 초등학교 수학 교과서를 비교 분석하였다. 분석 결과를 바탕으 로 소수의 지도 방안 및 차기 교과서의 단원 개 발에 관한 시사점을 논의하고자 한다.
첫째, 소수의 개념 및 소수 연산에 관한 지도 시기 및 단원 구성을 재고할 필요가 있다. 연구 결과, 소수에 관한 네 나라의 지도시기를 살펴보 면, 한국의 경우 3학년 1학기에 소수 한 자리 수
를 학습한 뒤, 4학년 2학기가 되어서야 소수 두 자리 수와 소수 세 자리 수, 소수의 덧셈과 뺄셈 을 다루고, 다시 5학년 2학기에 소수의 곱셈과 나눗셈을 학습하고 있어, 나머지 세 나라와 비교 했을 때 소수에 관한 학습 간격이 떨어져 있다 고 판단된다. 이는 싱가포르에서 4학년 2학기에 소수와 소수의 사칙연산을 집중적으로 다루고 있는 것과는 특히나 대조적인 모습이다.
소수에서 소수 한 자리 수를 학습할 때 다루 는 여러 가지 아이디어들은 소수 두 자리 수나 소수 세 자리 수에도 적용되는 경우가 대부분이 므로, 소수 한 자리 수부터 세 자리 수를 동일한 단원이나 학기에 가르치는 방안도 재고할 여지 가 있다고 사료된다.
둘째, 소수를 도입할 때 분수와의 관련성 및 범자연수와의 유사성을 어떻게 다룰 것인지에 대한 논의가 이루어질 필요가 있다. 본 연구 결 과, 소수를 처음 도입할 때 한국, 싱가포르, 미국 에서는 공통적으로 전체 1을 10등분하고 분수
을 나타낸 뒤 이를 소수로 0.1이라한다고 설 명하여 소수와 분수와의 관계에 초점을 두고 있한국 일본 싱가포르 미국
0의 처리
(교육부, 2016b, p.15)
(Hitotsumatsu 외, 2011a, p.43)-
(Bell 외, 2007a, p.33)
[그림 IV-7] 소수 오른쪽 끝자리에 붙는 0에 대한 설명한국 일본 싱가포르 미국
크기 비교
ㆍ모눈종이, 수직선, 표 ㆍ수직선, 0.1의 개수 ㆍ표, 수직선 ㆍ십진블록, 표
(교육부, 2016b, p.21) (Hitotsumatsu 외, 2011a, p.39) (Kheong 외, 2016, p.70) (Bell 외, 2007b, p.82)
[그림 IV-8] 소수의 크기 비교에서 사용되는 나라별 표현다. 특히 영어권에 해당하는 싱가포르나 미국은 소수를 읽는 방식을 분수와 동일하게 제시하며 분수의 다른 이름 정도로 소수를 소개하고 있다. 한편, 일본의 경우 어떤 양을 기존의 단위로 측 정할 수 없기 때문에 단위의 세분이 필요한 상 황을 제시함으로써 소수를 도입하는데, 이는 소 수의 역사 발생적 맥락을 반영한 것이라 할 수 있다(변희현, 2005). 뿐만 아니라 일본과 미국의 경우 각각 ‘소수와 범자연수’, ‘범자연수와 소수 의 자릿값’이란 단원을 통하여 한국과 싱가포르 에 비하여 소수와 범자연수의 유사점과 차이점 에 대해 보다 명시적으로 다루고 있다.
이러한 연구 결과를 바탕으로 소수에 대한 이 해를 강화시키기 위한 방안으로서, 소수를 도입 할 때 분수와의 관련성을 다루지만 상황 자체는 소수가 발생된 맥락을 경험하여 소수의 필요성 을 느낄 수 있도록 단위의 세분에 의한 측정 상 황을 도입하는 것을 재고해 볼 수 있다. 또한 소 수 이전에 배운 범자연수에서의 자릿값의 원리 를 소수에 도입하여 소수 사이의 관계 및 소수 의 크기 비교 등을 이해하는데 도움이 될 수 있 도록 하되, 그 차이점이 명확히 드러날 수 있도 록 오류 상황을 일부러 제시하는 등의 내용이 추가될 필요가 있다.
셋째, 소수 사이의 관계에 대한 설명이 도구적 이해 수준에 그치고 있어 소수의 ‘관계’에 보다 주의를 기울일 수 있도록 해야 할 필요가 있다. 연구 결과, 네 나라의 교과서에는 1, 0.1, 0.01, 0.001 사이의 관계 및 10배,
한 소수 사이의 관계에 대해 크게 수의 이동과 소수점의 이동으 로 나누어 설명하고 있었다. 특히 한국 교과서의 경우 소수를 10배,
하면 소수점이 어떻게 이 동하는지에 대해 오른쪽과 왼쪽 가운데 하나를 동그라미 하여 선택하도록 제시하는데, 자칫 이 해가 배재된 암기식 학습이 될 우려가 있다. 반면, 일본의 경우 소수점은 고정시키고 수가 커지 고 작아짐에 따라 수가 어떻게 이동되는지에 초 점을 두어 설명하고 있다. 소수 사이의 관계는 소수의 곱셈 학습 전에 이루어지기 때문에 1, 0.1, 0.01, 0.001 사이의 관계에 대한 이해가 충분 히 이루어지고 이러한 소수 사이에서 찾을 수 있는 10배,
했을 때의 소수의 크기 변화를 다양한 소수에 적용하는 식으로 학습이 이루어 져야 할 것이다. 따라서 현재와 같이 소수 사이 의 관계 및 크기 변화가 소수점의 이동으로 설 명되는 방식을 지양하고 이에 대한 지도 내용 및 방식에 대한 재고가 이루어질 필요가 있다.마지막으로, 학습 내용에 적절한 표현을 다양 하게 제시할 필요가 있다. 표현과 관련하여 네 나라에서는 모눈종이, 수직선, 십진블록을 주로 이용하고 그 밖에 상황에 관련된 막대 그림이나 비커 그림, 원그림 등이 나라마다 사용되고 있었 다. 한국의 경우 주로 수직선에 소수의 위치를 표시하거나 모눈종이의 칸을 색칠하여 소수를 이해하거나 크기를 비교하도록 하고, 십진블록을 통하여 소수 사이의 관계를 이해할 수 있도록 제시한다. 하지만 이 때 상황에 맞지 않거나 몇 개의 표현만이 반복적으로 사용되고 있어 표현 의 종류 및 사용에 대해 재고할 필요가 있다고 판단된다. 물론 하나 또는 몇 개의 표현을 일관 성 있게 제시하는 것도 학습하는데 도움이 되겠 지만, 몇 개의 표현만으로 소수에 관한 모든 내 용을 충분히 나타내는 데에는 한계가 있을 것이 라 예상되므로 좀 더 시의 적절하게 표현이 사 용되어야 할 것이다. 즉, 등분할 소수, 양 소수 등과 같은 소수의 의미, 이산량과 연속량과 같은 양의 종류, 맥락화된 표현부터 좀 더 추상적인 표현까지 표현을 사용하는데 있어 고려할 수 있 는 가능한 많은 제반 사항들을 참고하여 교과서 에 제시함으로써 소수에 대한 이해를 강화시킬 수 있도록 해야 한다.
본 연구에서는 소수의 개념 및 의미, 표현 방 법 등과 같은 요소들이 한국, 일본, 싱가포르, 미 국의 초등학교 수학 교과서에 어떻게 반영되어 있는지 비교 분석하고 이에 대한 시사점을 논의 하였다. 본 연구 결과가 앞으로 소수의 교수 학 습 및 차기 교과서 개발에 유용한 정보를 제공할 수 있기를 기대하며, 이와 관련하여 소수의 연산 에 대한 후속 연구가 이루어지기를 기대한다.
참고문헌
강현영, 박문환, 박교식(2009). 우리나라 초등학 교 수학에서의 소수 도입에 대한 분석과 비 판. 학교수학, 11(3), 463-477.
강흥규(2011). 위치적 십진기수법을 본질로 하여 조직한 소수 개념 지도 방안 연구. 한국초등 수학학회지, 15(1), 199-219.
교육부(2015). 수학 5-2. 서울: 천재교육.
교육부(2016a). 수학 3-1. 서울: 천재교육.
교육부(2016b). 수학 4-2. 서울: 천재교육.
네이버 국어사전 (2016). Retrieved from http://krdic.naver.com/
문범식, 이대현(2014). 초등학생들의 소수 개념과 그 연산에 대한 이해도 분석. 한국초등수학 교육학회지, 18(2), 237-255.
방정숙, 김수정(2007). 십진블록을 활용한 소수의 나눗셈 지도에서 초등학교 5학년 학생들의 개념적 이해 과정 분석. 수학교육학연구, 17(3), 233-251.
방정숙, 김재화(2006). 초등학교 6학년 학생들의 소수 계산 오류와 선행지식간의 연결 관계 분석 및 지도방안 탐색. 수학교육, 45(3), 275-293.
변희현(2005). 소수 개념의 교수학적 분석. 서울 대학교 대학원 박사학위논문.
우정호, 변희현(2005). 소수 개념의 교수학적 분석.
수학교육학 연구, 15(3), 289-313.
장혜원(2011). Stevin의 <소수>의 수학사적 의의 와 수학교육적 함의. 수학교육학연구, 21(2), 121-134.
황현미(2013). 초등학교 교사들의 수학교과서 사 용 실태 분석 및 수준 모델 개발. 한국교원 대학교 박사학위 논문.
Bell, M., Bretzlauf, J., Dillard, A., Isaacs, A., Pitvorec, K., Bell, J., et al. (2007). Everyday mathematics 3-1 (3rd ed). Chicago: Wright Group.
Bell, M., Bretzlauf, J., Dillard, A., Hartfield, R., Isaacs, A., McBride, J., et al. (2007a). Everyday mathematics 4-1 (3rd ed). Chicago: Wright Group.
Bell, M., Bretzlauf, J., Dillard, A., Hartfield, R., Isaacs, A., McBride, J., et al. (2007b).
Everyday mathematics 4-2 (3rd ed). Chicago:
Wright Group.
Bell, M., Bretzlauf, J., Dillard, A., Hartfield, R., Isaacs, A., McBride, J., et al. (2007c). Everyday mathematics 6-1 (3rd ed). Chicago: Wright Group.
Carpenter, T. P. (1986). Conceptual knowledge as a foundation for procedural knowledge: implications from research on the initial learning of arithmetic. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 113-132). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Cramer, K. A. (2003). Using a translation model for curriculum development and classroom instruction. In R, Lesh. & H, Doerr (Eds.), Beyond constructivism: models and modeling perspectives on mathematics problem solving,
learning, and teaching (pp. 449-464). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Cramer, K., Monson, D., Ahrendt. S., Colum, K., Wiley, B., & Wyberg, T. (2015). 5 indicators of decimal understandings. Teaching Children Mathematics, 22(3), 186-195.
Cramer, K. A., Monson, D. S., Wyberg, T., Leavitt, S., & Whitney, S. B. (2009). Models for initial decimal ideas. Teaching Children Mathematics, 16(2), 106-117.
Hiebert, J., Wearne, D., & Taber, S. (1991).
Fourth graders' gradual construction of decimal fractions during instruction using different physical representations. The Elementary School Journal, 91(4), 321-341.
Hiebert, J., Wearne, D. (1986). Procedures over concepts.
The acquisition of decimal knowledge. In J.
Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics(pp.199-223).
Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Hitotsumatsu, S., Masaki, K., Akai, T., Okada, Y., Machida, S., Moriya, Y., et al. (2011a). Study with your friends mathematics for elementary school 3-2. Takeshi, Nara: GAKKOHTOSHO.
Hitotsumatsu, S., Masaki, K., Akai, T., Okada, Y., Machida, S., Moriya, Y., et al. (2011b). Study with your friends mathematics for elementary school 4-2. Takeshi, Nara: GAKKOHTOSHO.
Hitotsumatsu, S., Masaki, K., Akai, T., Okada, Y., Machida, S., Moriya, Y., et al. (2011c). Study with your friends mathematics for elementary school 5-1. Takeshi, Nara: GAKKOHTOSHO.
Kheong, F. H., Soon, G. K., & Ramakrishnan, C.
(2008a). My pals are here! maths 5A (2nd ed).
Singapore: Marshall Cavendish Education.
Kheong, F. H., Soon, G. K., & Ramakrishnan, C.
(2008b). My pals are here! maths 5B (2nd ed). Singapore: Marshall Cavendish Education.
Kheong, F. H., Soon, G. K., & Ramakrishnan, C.
(2016). My pals are here! maths 4B (2nd ed).
Singapore: Marshall Cavendish Education.
Van Galen, F., Feijs, E., Figueiredo, N., Gravemeijer, K., van Herpen, E., & Keijzer, R. (2008).
Core insights into decimals. In L. Walther, M.
Tatar, B. Heijman, N. Kuijpers & N. Spier (Eds.), Fractions, percentages, decimals and proportions: A learning-teaching trajectory for grade 4, 5 and 6. Rotterdam: Sense Publishers.
A Comparative Analysis of Decimal Numbers in Elementary Mathematics Textbooks of Korea, Japan, Singapore and
The US
Kim, JeongWon (Sjntanjin Elelmentary School) Kwon, Sungyong (Gongju National University of Education)
Understanding decimal numbers is important in mathematics as well as real-life contexts. However, lots of students focus on procedures or algorithms of decimal numbers without understanding its meanings. This study analyzed teaching method related to decimal numbers in a series of mathematics textbooks of Korea, Japan, Singapore and the US. The results showed that three countries except Japan introduced the decimal numbers as another name of fraction, which highlights the relation between the concept of
decimal numbers and fractions. And limited meanings of decimal numbers were shown such as
‘equal parts of a whole' and ‘measurement'.
Especially in the korean textbooks, relationships between the decimals were dealt instrumentally and small number of models such as number lines or 10×10 grids were used repeatedly. Based these results, this study provides implications on what and how to deal with decimal numbers in teaching and learning decimal numbers with textbooks.
* Key Words : Decimal numbers(소수), Elementary Mathematics Textbooks(초등학교 수학 교과서)
논문접수 : 2017. 2. 10 논문수정 : 2017. 3. 3 심사완료 : 2017. 3. 5
