Rotordynamic Performance Predictions of Tilting Pad Journal Bearing with Rocker-Back Pivots and Comparison with Published Test Results

DOI http://dx.doi.org/10.9725/kstle.2015.31.6.294

로커-백 피벗을 갖는 틸팅 패드 저널 베어링의 회전체동역학적 성능 예측 및 기존 결과와의 비교

김태호^1,†·최태규²·김충현³

1국민대학교 기계시스템공학부, ²두산중공업 가스터빈 개발1팀,

3한국과학기술연구원 바이오닉스연구단

Rotordynamic Performance Predictions of Tilting Pad Journal Bearing with Rocker-Back Pivots and Comparison

with Published Test Results

Tae Ho Kim^1,†, Tae Gyu Choi² and Choong Hyun Kim³

1School of Mechanical Systems Engineering, Kookmin University

2Gas Turbine Development team, Doosan Heavy Industries

3Center for Bionics, Korea Institute of Science and Technology

(Received September 22, 2015; Revised November 12, 2014 ; Accepted November 13, 2014)

Abstract − In this paper, we predict the rotordynamic force coefficients of tilting pad journal bearings (TPJBs) with rocker-back pivots, and we compare the predictions to recently published predictions and test data. The present TPJB model considers the rocker-back pivot stiffness calculated based on the Hertzian contact-stress the- ory, which is nonlinear with the application of a force . For the five-pad TPJB in load-between-pad and load- on-pad configurations, the predictions show the pressure- and film-thickness distributions, the deflection and stiffness of the individual pivots, and bearing stiffness and damping coefficients. The minimum film thickness and peak pressure occur at the bottom pad on which the applied load is directed. Because of the preload, the pres- sure is positive even at the upper pad in the opposite direction to the applied load. The pivot deflection and stiff- ness are maximum at the bottom pad that receives the heaviest pressure load. The predicted stiffness coefficients increase as the static load and rotor speed increase, while the damping coefficients decrease as the rotor speed increases, but increase as the static load increases. In general, the predicted stiffness coefficients agree well with the test data. The predicted damping coefficients overestimate the test data, particularly for large static loads. In general, the current predictive model considering the pivot stiffness improves the accuracy of the rotordynamic performance compared to previously reported models.

Keywords: damping(감쇠), pivot stiffness(피벗 강성), rocker-back pivot (로커-백 피벗), stiffness(강성), tilting pad journal bearing(틸팅 패드 저널 베어링)

1. 서 론

최근 터보기계의 고출력, 고효율 추세에 따라 압축기, 대형터빈, 및 전동발전기 등은 고속 회전이 가능한 틸팅

패드 베어링(Tilting pad bearing, TPB)을 채택하고 있 다. TPB은 패드(Pad)의 틸트(Tilt) 거동이 가능함으로써 회전체의 고속 불안정성을 야기하는 베어링 교차 강성 (Cross-coupled stiffness)을 제거하는 장점을 갖는다. 일 반적으로 TPB은 패드를 지지하는 피벗(Pivot)의 형태에 따라 구분되며, 볼-소켓(Ball-socket) 형 피벗과 로커-백 (Rocker-back)형 피벗이 주로 사용된다. 볼-소켓 피벗은

†Corresponding author : [email protected] Tel: +82-2-910-4723, Fax: +82-2-910-4839

볼 모양의 피벗을 패드의 반구형 소켓이 감싸는 형태 로 패드와 피벗이 점 접촉을 한다. 반면, 로커-백 피 벗은 패드 하단과 하우징의 곡률반경의 차이로 접촉 하며, 패드와 하우징은 축 방향으로 선 접촉한다. 최근 Choi와 Kim[1]은 Kirk와 Reddy[2], 그리고 Nicholas와 Wygant[3]가Hertzian contact stress 이론[4]을 바탕으 로 제시한 다양한 형태의 피벗 강성 모델을 이용하여 틸팅 패드 저널 베어링(Tilting pad journal bearing, TPJB)에 대한 정·동특성 해석을 수행하였다. 예측된 피벗의 강성은 형태, 치수, 및 하중 조건에 따라 달라 지며 피벗의 강성이 감소함에 따라 베어링의 강성과 감쇠가 감소함을 보였다. Kim과 Choi[5]는 참고문헌 [1]에서 개발한 베어링 해석모델을 이용하여 볼-소켓 피벗을 갖는 틸팅 패드 베어링을 해석하였다. Childs 와 Harris[6]이 기존에 수행한 해석 및 실험결과와 비 교는 피벗 강성을 고려한 해석이 성능예측의 정확성을 향상시킴을 보였다. Carter와 Childs[7] 그리고 Childs 와 Carter[8]은 로커-백 피벗을 갖는 틸팅 패드 베어링 에 대한 성능 연구를 수행하였으며, LBP(Load-between- pads)와 LOP(Load-on-pad) 하중조건에 대해 실험결과 와 해석결과를 비교하였다. 동특성의 예측과 실제 거 동은 뚜렷한 차이를 갖는데, 특히 감쇠 계수 예측의 경우 고하중 영역에서 실험의 결과와 매우 큰 차이를 보인다.

본 논문에서는 참고문헌[1]의 베어링 해석 모델을 이 용하여 로커-백 피벗을 갖는 TPJB의 성능 해석을 수행하고 하중의 증가에 따른 로커-백 피벗의 비선형 거동을 분석하고자 한다. 또한, 참고 문헌[7,8]의 해 석 및 실험 결과와 비교를 통해 해석결과를 검증하 고자 한다.

2. 해석 모델

Fig. 1은 본 논문에서 해석한 TPJB의 로커-백 피벗 의 개략도를 보여준다. 참고문헌[7, 8] 등에서 사용한 기 존의 베어링 해석모델은 패드를 지지하는 피벗의 반경 방향 움직임은 고려하지 않으나, 본 논문에서는 Fig. 2 와 같이 유체 동압 및 하중에 의한 피벗의 반경방향 변형을 고려함으로 모델의 정확성을 향상시켰다[1].

피벗의 변형을 고려한 윤활 유막 두께는 식 (1)과 같으며, 식 (2)의 비압축성 유체를 위한 레이놀즈 방정 식을 이용하여 해석하였다. 자세한 해석 방법은 참고 문헌[1]을 따른다.

(1)

(2) 식 (1)에서 δ, ζ, Rp, Rb, RJ, tp, e, h, θc, θp, θ는 각각 패드 틸팅 각도, 피벗 반경방향 변위, 패 드의 곡률 반경, 베어링 반경, 저널 반경, 패드 두께 , 저널 편심량, 윤활유막 두께, 저널 자세각, 원주 좌 표계 기준으로부터 피벗까지의 각도, 그리고 윤활두 께 해석 각도를 나타내며, 식 (2)에서 p, t, h, ρ, µ, Ω는 각각 압력, 시간, 윤활유막 두께, 유체의 밀 도, 유체의 점도, 그리고 회전각속도이다. x, z는 각 각 원주방향 및 축방향 좌표계를 나타낸다. 참고 문 헌[1]에서 구체적으로 기술하고 있는 바와 같이 패드 는 유체동압(Hydrodynamic pressure)의 발생으로 인 해 피벗을 기준으로 틸트 거동을 하게 되며, 피벗의 강성(Kp)에 따라 반경방향으로 변형하게 된다. 식 (3)

h=(Rp–RJ) e cos θ– ( c–θ)+{ζ R–( p–Rb)} cos(θc–θ) δ R– ( p+tp)sin θ( c–θ)

∂

∂x--- ρh

3

12µ ---∂p

∂x---

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ∂

∂z--- ρh

3

12µ ---∂p

∂z---

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+ ∂

∂x--- R^jΩ ---2 ρh

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ∂

∂t----( )ρh +

=

Fig. 1. Schematic view of rocker-back pivot configurations.

Fig. 2. Schematic view of TPJB model with pad rotation and pivot deflection [1].

은 로커-백 형 피벗의 강성의 계산식을 보여준다. 피 벗 강성은 하우징 (DH)과 패드 하단 (DP)의 곡률반경, 로커-백 길이(LR)에 영향을 받으며, 패드와 하우징의 탄 성률(Modulus of Elasticity, E)와 푸아송 비(Poisson’s ratio, ν)와 같이 재료 특성에 따라 변한다. 또한, 피 벗에 집중되는 하중 (FPo)의 변화에 따른 비선형을 갖는다.

(3)

Fig. 3은 참고문헌[1]에서 해석한 단일 로커-백 피벗 에 대한 강성 해석 예이다. 로커-백 피벗의 강성은 직 경 차이가 증가할수록 그리고 하중이 증가할수록 비선 형적으로 감소한다. 또한 식 (3)을 참고하면, 길이가 증가할수록 피벗 강성이 선형적으로 증가함을 알 수 있다. 참고문헌[9]는 유한요소 해석을 통해 로커-백 피 벗의 강성을 해석하였으며, 직경 차이가 클수록 그리 고 하중이 작을수록 식 (3)을 이용한 해석 결과와 잘 일치하는 경향을 보였다.

3. 해석 결과 및 실험 결과와의 비교

Table 1은 참고문헌[7, 8]에서 사용된 베어링의 형상 정보를 보여준다. 참고문헌[7]의 베어링은 LBP 형태의 5-패드 틸팅 패드 저널 베어링으로 피벗은 로커-백 피 벗에 의해 지지된다. 참고문헌[8]의 베어링의 형상은 참고문헌[7]과 동일하나, LOP 형태의 하중방향을 가지 고 있다. 참고문헌[7]과 [8]에서는 피벗의 형상을 제시 하고 있지 않아 임의의 피벗 형상을 Table 2와 같이 가정하여 비교하였다. Table 2의 피벗 형상은 Table 1 의 베어링 형상을 바탕으로 하였다. 피벗 하우징 반경 은 저널 반경과 클리어런스, 패드 두께의 합보다 조금 크게 가정하였고, 로커-백 반경은 하우징 반경의 1/3 값을 사용하였다. 로커-백 길이는 베어링 길이보다 조 금 작은 값을 가정하여 실제 로커-백 피벗의 형상과 유사하도록 가정 하였다.

Kp πELR

2 1( –ν²) 2

3--- ln D( ^H–DP)4ELR

2.15²FPo

--- +

---

=

Fig. 3. (a) Pivot stiffness vs. differential diameter and (b) pivot stiffness vs. static load for increasing rocker back lengths [1].

Table 1. Design parameters of TPJB and lubricant type [7, 8]

Pivot Type Rocker back

Number of pads 5

Configuration LBP, LOP

Pad arc angle (deg) 57.87

Pivot offset 0.6

Rotor diameter (mm) 101.587 Pad axial length (mm) 60.325 Diametrical pad clearance (µm) 221 Diametrical bearing clearance (µm) 157.5 Radial pad clearance (Cp) (µm) 110.5 Radial bearing clearance (Cb) (µm) 79.2

Preload 0.282

Pad polar inertia (kgm²) 0.000249

Pad mass (kg) 0.44

Lubricant type ISO VG 32

Table 2. Design parameters of pivot

Pivot Type Rocker back Housing Radius (m) 0.06

Rocker back Radius (m) 0.02 Rocker back Length (m) 0.06

Pivot and housing material AISI 4140 steel

3-1. LBP하중조건 해석 및 실험 결과 비교

Fig. 4는 TPJB이 패드 4와 패드 5사이에 하중을 받는 LBP 형태를 도식화하여 보여준다. Fig. 5는 오 일 유막의 압력이 하중이 집중되는 패드 4와 5에서 가장 높으며 또한 동일한 순서의 패드에서 최소 유막 두께를 가짐을 보여준다. 반면, 하중의 반대 방향에 위 치한 패드 1에서 최소 압력과 최대 유막 두께를 보여 준다. 각 패드는 예압(preload)를 갖기 때문에 정하중 을 직접적으로 받지 않는 패드 1, 2, 3에서도 오일 유 막 압력이 양의 값을 갖는 것을 알 수 있다.

Fig. 6은 회전속도 4,000 rpm에서 하중의 중가에 따른 각 피벗의 변형량 및 강성 변화 예측 결과를 보 여준다. 하중 방향에 위치한 패드 4와 패드 5는 동일 한 변형량 및 강성을 가지며 하중의 증가에 따라 비선

형적으로 증가하는 경향을 갖는다. 반면, 패드 2는 가 장 작은 피벗 변형량과 강성을 가지며 하중이 증가함 에 따라 비선형적으로 감소한다. 패드 1과 패드 3은 동일한 피벗 변형량과 강성을 가지며 하중의 증가에 따 라 약간 감소한다. 패드 4와 패드 5에서 최대, 패드 2 에서 최소 피벗 변형량과 강성을 갖는다. 패드가 예압 을 갖기 때문에 모든 피벗은 모든 하중 조건에서 양의 변형량과 강성을 가지며, 따라서 음압으로 인한 패드의 떨림(fluttering)이 발생하지 않을 것으로 예측된다.

Figs. 7~10은 회전속도 4,000 rpm, 7,000 rpm, 10,000 rpm에서 하중의 증가에 따른 베어링의 강성 및 감쇠 계수 해석결과를 참고문헌[7]에 보고된 실험 및 해석 결과와 비교하여 나타내었다. 일반적으로 실험결과는 회전속도 및 하중의 증가에 따라 강성(KXX, KYY)이 상 승함을 보여주는데 기존의 해석 결과[7] 및 현재의 해 석 결과와 동일한 경향임을 알 수 있다. 현재의 해석 결과는 특히 하중방향의 강성(KYY)이 기존 해석 결과보 다 더 작아 정확성이 향상됨을 알 수 있는데 이는 하 중에 따른 피벗의 변형을 고려하였기 때문이다.

실험결과는 베어링의 감쇠(CXX, CYY)가 회전속도 및 Fig. 4. Five-pad TPJB with LBP configuration.

Fig. 5. Predicted pressure (upper) and film thickness (lower) profiles along angular location at rotor speed of 4,000 rpm for LBP configuration with static load of 1034 kPa.

Fig. 6 Predicted (a) pivot deflection vs. unit load and (b) pivot stiffness vs. unit load at rotor speed of 4000 rpm for LBP configuration.

하중에 따라 변화는 경향이 뚜렷하지 않다. 반면, 해석 결과는 회전속도가 증가함에 따라서는 약간의 감소를 보이며 하중의 증가에 따라서는 뚜렷한 증가를 보이는

데 이에 따라 하중방향의 감쇠(CYY)의 경우 고하중 조 건에서 실험치보다 매우 큰 값을 갖는다. 피벗의 변형 을 고려한 현재의 해석은 하중방향의 감쇠(CYY)가 기존 Fig. 7. Stiffness (KXX) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LBP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [7].

Fig. 8. Stiffness (KYY) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LBP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [7].

Fig. 9. Damping (CXX) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LBP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [7].

Fig. 10. Damping (CYY) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LBP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [7]

해석 결과보다 뚜렷이 감소하여 실험 결과와 가까워지 는 경향을 보인다. 특히, 10,000 rpm의 고속 회전속도 에서는 비교적 정확히 실험결과를 예측한다.

3-2. LOP하중조건 해석 및 실험 결과 비교

Fig. 11은 TPJB이 패드 4 방향의 하중을 받는 LOP 하중 조건을 도식화한 것이다. Fig. 12는 오일 유막에 형성되는 압력과 유막 두께의 분포를 보여준다. 하중 이 가해지는 방향의 패드 4에서 압력이 가장 높으며 유막 두께는 가장 작다. 반면, 하중의 반대 방향에 위 치한 패드 1과 2에서 최소 압력과 최대 유막 두께를 갖는다. LBP하중 조건과 마찬가지로 패드 예압으로 인 해 정하중을 직접적으로 받지 않는 상부 부 패드 1, 2에서도 양의 오일 유막 압력이 형성됨을 알 수 있다.

LOP 하중조건의 경우 LBP의 경우와 달리 패드 4가

대부분의 하중을 지지하기 때문에 패드 4에서의 최대 압력은 Fig. 5의 패드 4와 5에서 형성되는 압력의 최 대값보다 크다.

Fig. 13은 회전속도 4,000 rpm에서 하중의 중가에 따른 각 피벗의 변형량 및 강성 변화 예측 결과를 보 여준다. 하중 방향에 위치한 패드 4와 그 양 옆에 위 치한 패드 3과 5는 하중의 증가에 따라 피벗의 변형 량과 강성이 비선형적으로 증가하는 경향을 갖는다. 반 면, 상부 패드 1과 2는 하중에 따라 피벗 변형량과 강성이 비선형적으로 감소하는데 그 값이 다른 피벗들 과 비교할 때 가장 작다. 패드 1과 2 그리고 패드 3 과 5는 각각 동일한 값의 피벗 변형량과 강성을 보여 준다. 또한, LBP 패드와 마찬가지로 패드 예압으로 인 해 모든 피벗이 양의 변형량과 강성을 가짐을 알 수 있다.

Figs. 14~17은 회전속도 4,000 rpm, 7,000 rpm, 10,000 rpm에서 LOP 하중의 증가에 따른 베어링의 강성 및 감쇠 계수 해석결과를 참고문헌[8]의 실험 및 해석 결 과와 비교하여 보여준다. 일반적으로 실험결과는 회전 Fig. 11. Five-pad TPJB with LOP configuration.

Fig. 12. Predicted pressure (upper) and film thickness (lower) profiles along angular location at rotor speed of 4,000 rpm for LOP configuration with static load of 1034 kPa.

Fig. 13. Predicted (a) pivot deflection vs. unit load and (b) pivot stiffness vs. unit load at rotor speed of 4000 rpm for LOP configuration.

속도 및 하중의 증가에 따라 강성 (KXX, KYY)이 상승 함을 보여주는데 기존의 해석 결과[8] 및 현재의 해석 결과는 이러한 경향을 잘 예측한다. 하지만, 일반적으 로 해석 결과들은 실험결과보다 KXX는 약간 크고 KYY

는 약간 작은 값을 보인다. 현재의 강성 해석 결과는 4,000 rpm의 최저 회전속도에서 기존 해석 결과보다 실험결과를 잘 예측한다.

실험결과는 베어링의 감쇠 (CXX, CYY)가 회전속도에 Fig. 14. Stiffness (KXX) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LOP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [8].

Fig. 15. Stiffness (KYY) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LOP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [8].

Fig. 16. Damping (CXX) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LOP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [8].

Fig. 17. Damping (CYY) vs. unit load at rotor speeds of 4,000, 7,000, 10000 rpm for LOP configuration. Predictions compared to published predictions and test data in Ref. [8].

따라서는 약간 감소하고 하중에 따라서는 약간 증가함 을 보여준다. 해석결과들은 모두 실험결과와 동일한 경 향을 보여주지만, 하중에 따른 증가세가 매우 뚜렷하 여 저하중 조건을 제외하고는 실험결과에 비해 매우 큰 값들을 예측한다. 현재의 해석 결과는 피벗 변형의 고려로 인해 하중의 증가에 따른 감쇠의 증가세가 완 만해져서 기존의 해석결과에 비교할 때 특히 고하중 및 고속 회전속도 조건에서의 정확성 향상이 뚜렷함을 알 수 있다.

4. 결 론

본 논문은 로커-백 피벗의 강성을 고려한 TPJB의 해석을 통해 성능을 예측하고 결과를 기존에 출판된 문헌의 강성 및 감쇠 계수 해석 및 실험 결과와 비교 하여 정확성을 검증하였다. 이를 통해 아래와 같은 결 론을 도출하였다.

해석 결과는 TPJB이 LBP하중 조건에서 하중 방향 에 위치한 두 개의 패드에서 최대 압력, 최소 유막 두 께, 최대 피벗 변형량, 최대 피벗 강성을 가짐을 보여 준다.

해석 결과는 TPJB이 LOP하중 조건에서 하중 방향 에 위치한 한 개의 패드에서 최대 압력, 최소 유막 두 께, 최대 피벗 변형량, 최대 피벗 강성을 가짐을 보여 준다.

LBP 및 LOP 하중 조건에서 예측된 TPJB의 강성 계수는 회전속도 및 하중의 증가에 따라 상승하며 기 출판된 실험결과와 비교적 잘 일치한다.

LBP 및 LOP 하중 조건에서 예측된 TPJB의 감쇠 계수는 회전속도에 따라서 감소하며 하중의 증가에 따 라서 증가하여, 회전속도 및 하중에 따라 미미한 변화 를 보이며 크기가 더 작은 실험결과와 어느정도의 차이 를 보인다. 그러나, 이러한 차이는 회전속도가 높을수록 그리고 하중이 작을수록 감소하여 정확도가 향상된다.

현재의 해석 결과는 피벗 변형의 고려로 인해 하중 의 증가에 따른 강성 및 감쇠 계수의 증가세가 완만해 져서, 기존의 해석결과와 비교할 때 특히 고하중 및 고속 회전속도 조건에서 실험결과를 더 정확히 예측함 을 알 수 있다.

Acknowledgements

본 연구는 2015년도 산업핵심기술개발사업의 터보

기계용 중대형 틸팅 패드 베어링 개발 과제 및 2013 년도 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가 원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 연구 과제(No.

20134040200580)의 일환으로 수행되었으며, 이에 관계 자 여러분에 감사드립니다.

References

[1] Choi, T. G., Kim, T. H., “Analysis of Tilting Pad Journal Bearing Including Pivot Stiffness”, J. Korean Soc. Tri- bol. Lubr. Eng., Vol. 30, No. 2, pp. 77-85, 2014.

[2] Kirk, R. G., Reedy, S. W., “Evaluation of Pivot Stiffness for Typical Tilting-Pad Journal Bearing Designs”, ASME J. Vib. Acoust, Stress and Reliab., Vol. 110, No. 2, pp. 165-171, 1988.

[3] Nicholas, J. C., Wygant, K. D.,“Tilting Pad Journal Bearing Pivot Design for High Load Applications”, Proc. 24th Turbomachinery Symposium, Turboma- chinery Laboratory, Texas A&M University, College Station, TX, pp. 33-47, 1995.

[4] Young, W. C., Budynas, R. G., Roark’s Formulas for Stress and Strain, 7th Edition., Chap. 13, McGraw-Hill, New York, 2001. (ISBN-13: 9780070725423) [5] Kim, T. H., Choi, T. G., “Performance Predictions of

Tilting Pad Journal Bearing with Ball-Socket Pivots and Comparison to Published Test data”, The KSFM Journal of Fluid Machinery, under review.

[6] Childs, D., Harris, J., “Static Performance Charac- teristics and Rotordynamics Coefficients for a Four- Pad Ball-in-Socket Tilting Pad Journal Bearing”, J.

Eng. Gas Turbines Power, Vol. 131, No. 6, p. 062502, 2009.

[7] Carter, C. R., Childs, D. W., “Measurements Versus Predictions for the Rotordynamic Characteristics of a Five-Pad Rocker-Pivot Tilting-Pad Bearing in Load- Between-Pad Configuration”, J. Eng. Gas Turbines Power, Vol. 131, No. 1, p. 012507, 2009.

[8] Childs, D. W., Carter, C. R., “Rotordynamic Char- acteristics of a Five Pad, Rocker-Pivot, Tilting Pad Bearing in a Load-on-Pad Configuration; Compari- sons to Predictions and Load-Between-Pad Results”, J. Eng. Gas Turbines Power, Vol. 133, No. 8, pp.

082503, 2011.

[9] Lee, T. W., Kim, T. H., “Finite Element Analysis of Pivot Stiffness for Tilting Pad Bearings and Com- parison to Hertzian Contact Model Calculations”, J.

Korean Soc. Tribol. Lubr. Eng., Vol. 30, No. 4, pp.

205-211, 2014.

[10] Choi, T. G., “Analysis of Tilting Pad Journal Bear- ings Considering Pivot Deflections”, Master The- sis, Kookmin University, Seoul, Korea, 2015.