거시경제 제12주 제2강 강의요지
장세진(강의 2015.11.19, 정리 11.20) 1. 거시경제 강의
(1) (복습과 계속) 가격탐색(1) - 스티글러의 “정보의 경제학”(1961)
1) 티셔츠 구매를 위한 가격탐색: P={$20,$18,$22;1/2,1/4,1/4}의 확률변수, 탐 색비용은 c=$0.5. (티셔츠를 언제 얼마에 사는가?)
2) 최적 탐색회수의 결정
(i) n회 탐색에서 최저가격의 기대값. 점차 낮아짐. (계산 방법은 아래에) (ii) 추가 탐색에서 최저가격의 기대절감액. 점차 낮아짐. (차액)
탐색회수 기대최저가격 기대이득 탐색비용
1 20.000 - 0.5
2 19.250 0.7500 0.5 3 18.875 0.3750 0.5 4 18.641 0.2344 0.5 5 18.477 0.1641 0.5 6 18.356 0.1201 0.5 7 18.267 0.0894 0.5 8 18.200 0.0668 0.5 9 18.150 0.0501 0.5 10 18.113 0.0375 0.5
<표 1> 가격탐색의 기대이득과 탐색비용 (단위: 달러)
(iii) 추가 탐색의 기대 이득(기대절감액)>탐색비용이면 탐색을 계속. 아니면 중단하고 현재 가격을 수용하여 구매.
(iv) 최적 탐색 회수는 추가탐색의 기대이득(기대절감액)=탐색비용에서. 자연 수가 아니면, 그 보다 작은 최대의 자연수에서 최적 탐색회수 n*=2가 결 정. (아래 그림)
(v) (참고) <표1>에서 기대최저가격은 어떻게 계산되었는가? 경우의 수를 모 두 열거하여 계산하는 것은 n이 커지면 곧 복잡해 진다. 임의의 n에 대해
서는 다음과 같이 계산하는 것이 간편하다.
i) n회 탐색에서 최저가격이 Pi(단, P1=18,P2=20,P3=22) 이상일 확률을 구한다. 1회 독립 시행에서 Pi 이상일 확률을 n제곱하면 된다.
(a) 18달러 이상일 확률 (4/4)n=1 (이것은 확률 1로 보장된다.)
(b) 20달러 이상일 확률 (3/4)n (n번 모두 20 또는 22달러가 나와야 한 다.)
(c) 22달러 이상일 확률 (1/4)n (n번 모두 22달러가 나와야 한다)
ii) n회 탐색에서 최저가격이 Pi 미만일 확률을 구한다. 여사건이므로, 1에 서 Pi 이상일 확률을 빼주면 된다.
(a) 18달러 미만일 확률 1-(4/4)n=0 (18달러보다 작을 수는 없다.) (b) 20달러 미만일 확률 1-(3/4)n
(c) 22달러 미만일 확률 1-(1/4)n
iii) n회 탐색에서 최저가격이 Pi일 확률을 구한다. (위의 차분으로)
(a) 22달러일 확률 = 1 - 22달러 미만일 확률 (∵22달러가 최고가격)
=1-[1-(1/ 4)n]=(1/4)n
(b) 20달러일 확률 = 22달러 미만일 확률 - 20달러 미만일 확률
=[1-(1/4)n]-[1-(3/4)n]=(3/4)n-(1/4)n
(c) 18달러일 확률 = 20달러 미만일 확률 - 18달러 미만일 확률(0) = 1-(3/4)n
iv) 이들을 대입하여,
n회 탐색의 기대최저가격=∑3
i=1Pi×n회 탐색에서 최저가격이 Pi일 확률 =22×(1/4)n+20×[ (3/4)n-(1/4)n]+18×[1-(3/4)n]
v) n회째 추가탐색의 기대이득은
-[n회 탐색의 기대최저가격-(n-1)회 탐색의 기대최저가격]
이다. 표에서는 공란으로 두었지만, 1회 탐색은 구매를 위하여 꼭 필요하 므로, 1회 탐색의 기대최저가격-지급용의가격으로 계산할 수 있다.
3) (비교정학) 탐색회수의 변화
(i) 탐색비용이 줄면, 탐색회수가 늘어남.
i) 예컨대 탐색비용이 0.25달러로 줄어들면 n=3의 기대이득 0.375달러가 탐색비용보다 크기 때문에 탐색회수는 3회로 늘어남. (n=4번째 탐색은 기대이득 $0.23이 탐색비용 $0.5보다 작으므로 일어나지 않음.)
ii) 탐색비용이 감소하면 탐색회수는 점점 더 빠르게 늘어남.
(ii) 불확실성이 크면(변동폭이 커지면), 탐색회수가 늘어남.
i) 가격 변동폭이 2달러에서 4달러로 늘어나면, 기대이득도 2배로 됨.
ii) 탐색비용이 0.5달러로 일정하다면 탐색회수는 2회에서 5회로 늘어남.
(iii) 가격, 탐색비용이 비례적으로 변하면, 탐색회수는 불변임.
i) 가격변동폭이 2달러에서 4달러로 늘어나고, 탐색비용도 0.5달러에서 1달 러로 늘어나면, 탐색회수는 2회로 변하지 않음.
ii) 거꾸로 가격변동폭이 2달러에서 1달러로 줄어들고, 탐색비용도 0.5달러 에서 0.25달러로 줄어들어도, 탐색회수는 2회로 변하지 않음.
4) 정치적 선택에의 응용
(i) 합리적 무지: 정보도 자유재가 아닌 경제재임. 정보 획득에 비용이 들면, 모든 정보를 획득하는 것이 아니라, 정보 획득의 이득(추가정보에 의하여 올바른 선택을 함으로써 얻는 차익)이 정보비용보다 큰 경우까지만, 정보를 얻고, 남은 정보는 무지한 채로 경제 행동을 선택함. 이것을 합리적 무지
(rational ignorance)라고 부름.
(ii) 후보에 관한 정보탐색 수준의 결정: 유권자는 입후보자의 공약, 인품, 능 력에 관한 정보를 기대이득과 탐색비용이 일치하는 수준까지만 획득함. 그 런데 기대이득은 ① “올바른 후보를 선택하여 공약의 차이가 가져올 차익”
에, ② “추가 정보에 의하여 올바른 후보를 선택하여 투표하고, 그 한 표의 변경에 의하여 선거 결과에 차이를 가져올 확률”을 곱하여 계산됨. 그렇지 만, 중위투표자 정리에 의하여 ①의 차익은 작아질 뿐만 아니라, 유권자의 수가 늘어남에 따라, ②의 확률은 무시할 만큼 작아지게 되므로, 추가 정보 획득의 유인이 사실상 없어짐. 따라서 유권자는 정보탐색활동을 거의 하지 않고 합리적 무지의 상태에서 후보를 선택하거나 대중매체가 전달하는 무 료 정보에 의하여 후보를 선택하게 됨.
i) (참고) 민주선거에서 득표를 극대화하려는 후보자는 중위 투표자의 선호 에 따라 공약을 결정함. 예컨대, 5명의 회원을 가진 등산회의 개인 선호 가 100m, 200m, 700m, 800m, 1000m라고 하자. 그러면 중위투표자는 700m를 선호하는 사람이다. 그러면, 700m를 공약으로 내세우는 회장 후보가 최다득표로 당선된다. 이를 중위투표자 정리(median voter theorem)라고 부름.
ii) 여러 후보자의 공약은 중위 투표자의 선호로 수렴하는 경향이 생김. 입 후보자 간의 공약의 차이는 수사학적인 차이에 그치는 경향이 있음.
5) 정태적 분석의 오류
(i) 스티글러의 정보 경제학에 대한 공헌은 크지만, 논리적인 오류가 있음. 티 셔츠의 예에서, 첫 가게에서 가격 18달러의 제안을 받았다고 하자. 그러면
n*=2이므로, 두 번째 방문한 후 결정할 것인가? 아니다. 그냥 사야 한다.
그것이 탐색비용 0.5달러만큼 이득이다.
(ii) 동태적 문제의 정태적 분석: 무엇이 틀렸는가? 스티글러는 방문하기 전에 미리 기대최저가격의 차이로 기대이득을 계산하고, 이를 탐색비용과 비교 하여 최적 탐색회수를 결정하였다. 실제로는 추가탐색 여부를 제안가격이 라는 정보를 이용하여 결정하는 것이 합리적이다. 스티글러는 실제의 탐색 과정에서 순차적, 동태적으로 얻어지는 정보를 무시하고 있다. 더 받을지 여부는 패를 보고 나서 결정하는 것이 합리적이다.
스티글러의 가격탐색에서 탐색 회수는 기대이득(기대최저가격의 절감액)=
탐색비용인 곳에서 미리 결정된다. 탐색회수는 탐색비용이 작을수록, 가 격제안의 변동폭이 클수록 많아지게 된다. 스티글러의 가격탐색은 정보획 득의 분석에 새로운 통찰을 주었지만, 동태적 탐색을 정태적으로 분석하 는 오류를 범하고 있다.
(2) 가격탐색(2): 동태적 가격탐색 1) 추가탐색 여부의 결정
(i) 동태적 판단: 관찰 후에 추가탐색의 이득과 비용을 계산. 추가탐색의 이득 은 현재 관찰한(제안 받은) 가격에 비하여 추가탐색에서 가격제안이 쌀 경 우에 발생. 제안가격이 최저 가격과 같으면 기대이득(기대가격절감액)이 사 라짐. 이후 제안가격이 증가하면 기대이득이 커짐.
(ii) P=$18이면, 추가탐색의 이득은 전혀 없다. 따라서, 탐색비용과 관계없이 탐색을 중단하고, 바로 구매하여야 한다.
i) 배우자 탐색에서 사전적 분석에서 n*=10이 최적이라도, 첫 번째 구혼자 가 나만을 진심으로 사랑하는 백마 탄 왕자(공주)라면 추가 탐색을 중단 하고 청혼을 받아들여야 한다.
(iii) P=$20이면, 추가탐색의 이득이 있음. 추가 탐색으로 18달러를 발견하면
2달러 절감. 확률은 1/4, 기대절감액은 $0.5. 따라서 무차별하다. 우리는 무차별할 경우, 제안된 가격을 수용하고 구매하는 것으로 간주한다.
(iv) P=$22이면, 추가탐색의 이득이 커진다. 18달러를 발견하면 4달러 절감, 20달러를 발견해도 2달러 절감. 기대이득은 $4×0.25+$2×0.5=$1+$1=$2.
추가탐색의 기대이득이 탐색비용보다 크므로, 거절하고 탐색을 계속한다.
(v) 결국 이 경우, 가격 제안이 20달러 이내이면 수용하고, 그보다 크면 거절 하고 탐색을 계속하게 된다. 수용 여부의 기준이 되는 가격 20달러를 유보 가격(reservation price)이라고 부른다.
(vi) 유보 가격은 왜 존재하는가? 추가 탐색의 순이득은 기대이득-탐색비용이 다. 탐색비용은 0.5달러로 고정되어 있다. 추가탐색의 기대이득(기대절감 액)은 제안 가격이 $18(가능한 최저가격)과 같으면 0에서 시작하여 제안가 격이 증가할수록 증가한다. 탐색 비용이 양수이므로, 순이득은 -에서부터 시작하여 점차 커지게 된다. 그 중간에 순이득=0이 되는 점, 즉 기대이득=
탐색비용인 가격이 존재한다. 그것이 유보 가격이다. 유보 가격은 존재하고 유일하다.
(vii) 그러면 추가탐색의 기대이득>탐색비용 대신에 제안가격>유보가격으로 추가탐색 여부를 결정해도 동일한 결과를 얻게 된다. 결국 동태적 탐색 문 제는 유보 기준을 정해두고 현재의 관찰을 유보기준과 비교하여 결정하는 형태를 취하게 된다. 이 원리는 가격 탐색뿐만 아니라, 일자리 탐색, 카드 탐색, 배우자 탐색에도 그대로 적용된다.
2) 탐색회수의 확률적 결정
(i) 탐색 회수는 미리 결정해 두는 것이 아니라, 유보가격에 의하여 확률적으 로 결정된다. 매 탐색마다 제안 가격이 유보 가격 이하면 수용(탐색 중단) 하고, 초과면 거절(탐색 계속)하기 때문이다.
(ii) 제안 가격을 수용하고, 탐색을 중단할 확률은? n번째 시도에서 성공할 확률 p=Pr(P≤유보가격)= Pr(P=$18또는P=$20)=1/4+1/2=3/4.
(iii) 성공할 때까지 탐색 회수는? 축차적으로 계산하면, i) n=1에서 성공할 확률: 3/4 → p
ii) n=2에서 성공할 확률: (1/4)×3/4 → qp (q=1-p는 실패할 확률) iii) n=3에서 성공할 확률: (1/4)2×3/4 → q2p
(iv) 기대탐색회수: 탐색회수 n을 확률변수 D로 표시하면 ED=1×p+2×qp+3×q2p+⋯ (멱급수, power series) (v) 양변에 q를 곱하면
{
ED =1×p+2×qp+3×q2p+⋯qED =q×p+2×q2p+3×q3p+⋯
(vi) 두 식을 어긋나게 빼면, (1-q)ED=p+qp+q2p+⋯
(vii) 우변은 초항 p, 공비 0<q<1인 무한등비급수이므로, 합계는 초항/(1-공 비)이다. 즉, p/(1-q)=p/p=1.
(viii) 따라서 ED=1/(1-p)=1/p. 확률 p인 사건을 성공할 때까지 걸리는 기대 회수는 1/p. 예컨대, 성공확률 1/100인 사건에서 성공할 때까지 평균 100 번이 걸림.
(ix) 티셔츠의 가격탐색에서 기대탐색회수는 4/3. 1번이 약간 넘어 걸림. (이 수치가 자연수일 필요는 없음.)
동태적 가격탐색은 제안가격을 관찰하고, 이를 기준으로 추가탐색의 기대 이득과 탐색비용을 비교하는 방식으로 이루어진다. 그 대신 제안가격을 유보가격과 비교하여도 된다. 유보가격은 제안가격을 수용하는 최대의 가 격으로, 추가탐색의 기대이득(가격절감액)과 탐색비용이 같아지는 수준에 서 결정된다. 탐색회수는 확률적으로 결정되며, 탐색회수의 기대값은 유 보가격 이내의 가격제안을 받을 확률(성공확률)의 역수로 주어진다.
3) 탐색비용이 다른 경우
(i) 나는 쇼핑을 좋아한다. 돈은 적고 시간은 많고, 쇼핑은 즐겁다. 탐색비용 은 거의 0이다(그렇지만, 양수다). 그러면 유보가격은 18달러. 성공확률은 1/4, 평균 탐색 회수는 4회.
(ii) 나는 쇼핑을 싫어한다(돈은 많고 시간은 적다). 그래서 탐색비용은 2달러 이다. 그러면 유보가격은 22달러가 된다. 왜냐? 22달러에서 추가탐색의 기 대절감이득은 (22-20)×1/2+(22-18)×1/4=1+1=$2. 탐색비용과 같다. 따라서 최고가격인 22달러도 (무차별하게) 수용한다. 성공확률=100%. 기대탐색회 수=1회. (무조건 첫 가게에서 산다.)
4) 동태적 가격 탐색과 스티글러의 가격 탐색의 비교
(i) 탐색비용이 작으면 탐색활동은 활발하게 늘어난다. 평균탐색회수가 늘어 난다는 점에서는 맞다. (같다)
i) 탐색비용이 25센트이면 유보가격은 얼마로 될까? $20보다 낮은 것은 분 명. (x-18)×1/4=0.25. 따라서 유보가격은 x=19달러로 된다. (유보가격이 꼭 실현가능한 가격일 필요는 없다. 탐색은 실현가능한 19달러 이내의 가격, 즉 18달러를 발견할 때까지 계속된다.)
ii) 이 경우, 성공확률은 p=1/4. 따라서 평균탐색회수는 4/3회에서 4회로 크게 늘어난다.
(ii) 불확실성이 크면 탐색활동은 활발하게 늘어난다. 완전한 정찰제면 기대이 득이 없으므로 탐색은 없어진다. 가격 변동폭이 커지면? 추가탐색의 이득 이 커진다. 유보가격이 낮아진다. 성공확률이 줄어들고, 평균탐색회수가 늘 어난다. (같다)
i) 가격 변동폭이 20±2달러에서 20±4달러로 늘어나면? 이제 제안가격 20 달러에서 기대이득은 (20-16)×1/4=1달러로 늘어난다. 탐색비용은 0.5달 러로 유지된다면, 20달러에서 탐색을 중단하지 않는다.
ii) 유보가격은 (x-16)×(1/4)=0.5로부터 x=18달러가 된다. 탐색은 실현가 능한 18달러 이내의 가격, 즉 16달러를 발견할 때까지 계속된다. 그러면 성공확률은 1/4, 기대탐색회수는 4회로 늘어난다.
iii) 이것은 변동폭이 유지되고, 탐색비용이 반으로 줄어든 경우와 같다. 탐 색에서는 확률분포의 평균이 아니라, 가격변동폭의 탐색비용에 대한 상대 적 크기가 중요할 뿐이다.
(iii) 가격제안, 탐색비용이 비례적으로 변하면 탐색활동은 같다. 유보가격도 비례적으로 변화한다. 따라서 성공확률, 평균탐색회수도 같다. (같다.) i) 가격이 20±2달러에서 40±4달러로 늘어나고, 탐색비용도 0.5달러에서 1
달러로 모두 2배로 증가하면?
ii) 유보가격도 20달러에서 40달러로 2배가 된다. 40달러에서 기대이득은 (40-36)×1/4=1이 성립하기 때문이다. 성공확률은 3/4으로 같고, 따라서 기대탐색회수는 4/3으로 유지된다.
iii) 평균이 아니라 변동폭의 상대적 크기가 중요하다. 가격분포가 20±2달 러→20±4달러로 늘어나고 탐색비용이 0.5달러→1달러로 늘어난 경우와
간다.
(iv) 이와 같이 중요한 함축이 대부분 같다는 사실이 역설적으로 스티글러가 정태적 분석의 오류를 깨닫기 어렵게 만들었을 것으로 추측된다.
유보가격은 탐색비용이 작을수록, 가격변동폭이 클수록 낮아진다. 가격제 안의 확률분포, 탐색비용이 비례적으로 변하면 성공확률, 평균탐색회수는 변하지 않는다. 이런 점에서 스티글러의 정태적 분석의 결론은 평균탐색 회수에서 그대로 성립한다.
5) 재방문 허용 여부
(i) 우리는 재방문 허용 여부에 거의 관심을 기울이지 않았음. 현재의 제안 가격을 기준으로 추가탐색의 기대이득과 탐색비용을 비교하든, 현재 이전 의 최저 제안 가격을 기준으로 기대이득과 탐색비용을 비교하든, 결과는 동일하기 때문임.
(ii) 이 문제에서 매 방문에서 같은 조건에 추가탐색 여부를 결정하고, 따라서 지금 되돌아가서 수용할 가격이라면, 당시에 그 제안가격을 만났을 때, 수 용했어야 하기 때문임. 이것은 동태적 일관성(dynamic consitency) 또는 시간 일관성(time consistency)이라고 부르기도 함.
(iii) 이것은 매회 탐색에서 같은 선택구조가 반복된다는 것을 전제로 하고 있 음. 즉 무한한 탐색 기회, 일정한 확률분포, 일정한 탐색비용이 전제로 되 어야 함. 그러면, 재방문을 허용하는가 여부는 문제로 되지 않음. 실제로 가격탐색에서는 재방문이 허용되는 것이 보통이지만, 다른 탐색에서는 재 방문이 허용되지 않는 경우가 많음. 그러므로, 재방문 허용 여부가 문제로 되지 않는다는 것은 동태적 탐색의 중요한 장점이기도 함.
(iv) 학생 질문: 잠깐! 그렇지만, 우리는 확률분포를 탐색자가 확실히 안다고 가정하고 있지 않은가? 더욱이 현실적으로 재방문이 이루어지기도 하고, 재방문 허용이 탐색자에게 유리하게 작용하는 수도 많지 않은가?
i) 우리는 가격 탐색이 일정한 탐색비용(0.5달러)만 내면 무한히 허용된다 고 가정하였음.
(a) 탐색비용이 증가할 수 있음. 쇼핑이 오래 걸리면 다리가 아파질 수도 있음. 그러면 유보가격이 관대해지고, 과거에 거절하였던 가격도 매력 적이게 됨.
(b) 어떤 탐색은 유한한 회수만큼만 허용됨. (제한된 회수를 넘어서면 탐 색비용이 무한대가 된다고 볼 수 있음). 예를 들어 재수강은 한 번 또 는 두 번만 허용될 수 있음. 포커에서 카드를 바꾸는 회수도 제한되는 것이 보통임. 그러면 (재방문이 허용되지 않으면) 과거에 버린 학점, 버 린 패가 아쉬워 질 수도 있음.
(c) 주어진 탐색비용으로 무한히 허용된다고 하더라도 나이가 들어서 비 용의 부담이 증가할 수 있음. 우리는 가격탐색에서 나이가 드는 것을 고려하지 않았음. (쇼핑하는 사이 한두 시간만큼 늙었다는 것은 무시해 도 좋음.) 그렇지만, 배우자 탐색에서 나이는 중요한 요소가 될 수 있 음. 그러면 “재방문” 여부가 문제로 됨.
ii) 우리는 확률분포가 일정하다고 가정하였음.
(a) 우리는 가격제안의 확률분포는 알고, 다만 어느 가게가 무슨 가격을 부를지 모른다고 가정하였음. 실제로는 확률분포 자체를 잘 모를 수도 있음. 이 경우, 탐색 과정에서 확률 분포를 학습해 나갈 것임. 확률분포 가 변하면 유보가격이 변하게 됨.
(b) (참고) 우리는 불확실성을 두가지 의미로 사용하고 있음. 하나는 확 률분포를 정확히 알되, 개별 가게의 가격제안만 모르는 경우, 두 번째 는 확률분포 자체를 모르는 경우. 프랭크 나이트는 기업이윤의 존재를
설명하면서(불확실성 부담설), 이를 위험(risk)과 불확실성(uncertainty) 으로 구분하였음.
(c) 주관적으로 인식한 확률 분포가 학습 과정에서 불리한 방향으로 변해 서 유보가격이 올라가면, 과거에 거절하였던 가격이 매력적으로 보일 수 있음. 배우자 탐색에서도 구혼 제안을 해 오는 사람의 확률분포에 대한 주관적 인식이 바뀌면서, 유보기준이 낮아지고, 과거에 거절하였 던 구혼자가 아쉽게 회상될 수 있음.
(d) 거꾸로 학습 과정에서 주관적 확률분포가 유리하게 변화하면, 유보가 격이 낮아지거나 유보기준이 더 까다로워 질 수도 있음. (이 경우는 재 방문 가능 여부가 문제로 되지 않음.)
(e) (선진) 확률분포의 학습은 휴대폰 주파수 경매(경매도 일종의 집단적 최적 중단 문제임)와 같이 잠재가치가 불확실한 품목의 경매를 설계할 때, 중요한 고려사항이 됨.
우리의 모형에서 재방문은 이용되지 않는다. 나중에 수용할 가격이라면, 원래에도 수용하였을 것이기 때문이다. 따라서 재방문 허용 여부는 유보 가격이나 성공확률, 탐색회수에 영향을 미치지 않는다. 다만, 탐색회수에 제한이 있거나, 탐색비용이 변화하거나, 확률분포가 학습으로 변화하는 경 우에는 재방문 허용이 탐색자에게 유리하게 되므로, 유보가격은 더 낮아 지게 된다.
(3) 일자리 탐색(직장 탐색) 1) 배경
(i) 일자리 탐색은 가격 탐색보다 신중하게 이루어짐. 보통 일자리는 평생 직 장이라는 개념으로 고용계약이 이루어지고, 따라서 1회의 계약이 평생을 두고 영향을 미침. 평생 입을 백 벌의 티셔츠를 한꺼번에 사는 것에 해당 함. 따라서 가격 차이에 훨씬 민감하게 반응하게 되고, 탐색은 훨씬 신중하 게 진행됨.
(ii) 더욱이 현대의 분업체계에서 일자리는 소득의 원천일 뿐만 아니라, 자아 실현의 장소가 되기도 함. 그러므로, 직장은 여러 가지 법적, 제도적 장치 에 의하여 보호됨. 예컨대, 근로기준법 23조는 정리 해고에 엄격한 조건을 부과하고 있음.
2) 설정:
(i) 매주 새로운 임금제안 (w/P)이 주어진 확률분포에 따라 이루어짐. (그림)
i) 그림의 곡선이 종 모양(bell-shape)의 분포를 보이고 있으므로 종형 분 포라고 부르기도 함. 흔히 가정되는 정규 분포는 종형 분포임.
ii) 그림에서 분포를 나타내는 곡선을 확률밀도함수라고 부름. 확률밀도함수 는 변수가 특정한 구간의 값을 취할 확률을 면적으로 나타내 줌. 즉 확률 변수 (w/P)가 구간 (a,b) 사이의 값을 취할 확률 Pr(a≤w/P≤b)은 구간 (a,b)에서의 확률밀도함수의 그래프 아래의 면적으로 주어짐.
(a) 확률밀도함수를 f라고 하고, 그래프 아래의 면적을 적분기호를 사용 하여 표시하면, Pr(a≤w/P≤b)= ⌠⌡
b
af(w/P) d(w/P).
(b) (참고1) 적분( ∫)을 단순히 면적으로 나타내는 기호로 생각해도 충분 하다. 구간 (a,b)에서 함수 f(x)와 수평축이 이루는 면적을
S=⌠⌡
b
af(x) dx라고 표시한다.
(c) (참고2) 좀더 욕심을 내면, 미분하면 f(x)가 되는 함수, 즉 F'(x)=f(x)인 함수 F(x)를 f(x)의 원시 함수이라고 부른다. 원시함수를 알면, S=⌠⌡
b
af(x) dx=F(b)-F(a)이 성립하는데, 이를 미적분학의 기본 정 리라고 부른다. 예컨대 f(x)=x이면, F(x)=x2/2이다. 따라서 0과 1사이 에서 직선 y=x(원점을 통과하는 기울기 1인 직선)가 수평축과 이루는 삼각형(밑변 1, 높이 1인 직각 이등변 삼각형)의 면적은
⌠⌡
1
0x dx=F(2)-F(0)=1/2이다.
iii) 따라서 임금제안이 위의 그림과 같은 확률분포를 보이면, 제안된 임금 (w/P)가 (w/P)' 이상일 확률은 위의 그림에서 빗금 친 부분의 면적으로 주어짐. 확률밀도함수는 비음수함수이고, 전체의 면적이 1이므로, 빗금 친 부분의 면적은 0에서 1 사이의 수치가 됨.
iv) 우리는 모든 직업조건(작업환경, 승진기회, 복리후생 등)이 실질임금으
로 반영되어 있다고 가정함.
(ii) 제안임금을 수용하면 그 임금 w/P를 받고 평생(무한생애)동안 취업함.
(생애소득을 현재가치로 합산하면 할인요소를 β라고 할 때, (w/P)/(1-β) 가 됨.)
i) 이자율이 i로 일정하다고 가정하고, 생애 임금소득을 현재가치로 합산하 면, w/P+ w/P
(1+i)+ w/P (1+i)2+⋯
ii) 초항이 w/P이고 공비가 1/(1+i)이므로, 무한등비급수는 초항/(1-공비)
= w/P 1-1/(1+i).
(a) (참고) 무한등비급수의 공식의 유도: 초항을 a, 공비를 r이라고 하 면, 무한등비급수는 S=a+ar+ar2+⋯
양변에 r을 곱하면 rS=ar+ar2+ar3+⋯
두식의 양변을 빼주면, (1-r)S=a (*)
∴S=a/(1-r). (**)
(b) (**)의 연산이 정당하려면 r≠1이어야 한다(0으로 나누는 것은 정의되 지 않기 때문이다). 또한 (*)의 연산이 정당하려면 S가 유한한 숫자여 야 한다( ∞-∞는 정의되지 않기 때문이다). S가 유한하려면, |r|<1이어 야 한다. 왜냐? 무한등비급수는 Sn=a+ar+ar2+⋯+arn-1에서 n→∞일 때 의 극한값으로 정의된다. r=1이면, Sn=na이다. r≠1이면, 양변에 r을 곱하여 rSn=ar+ar2+ar3+⋯+arn. a,r,n이 유한하면, 우변( n항의 합계)이 둘다 유한하므로, 양변을 빼줄 수 있다. 따라서, (1-r)Sn=a-arn.
1-r≠0이므로, Sn= a(1-rn)
1-r (단 r≠1, r=1이면 Sn=na). 이것은 (유한한) 등비급수의 공식이기도 하다. rn은 r>1 또는 r<-1이면 n→∞에 따라, rn→±∞로 발산한다. r=1이면 +∞로 발산하고 r=-1이면, ±1로 진동한 다(수렴하지 않는다). |r|<1이면, 즉 -1<r<1이면 rn→0으로 수렴하고, 따라서 급수는 Sn→a/(1-r)로 (유한한 실수로) 수렴한다. 이 경우에만, (*)이 정당화된다. 따라서 |r|<1일 때, 그 때에만, S= lim
n→∞Sn=a/(1-r)이 다.
(c) 위의 무한등비급수에서 공비는 0<1/(1+i)<1이므로 무한등비급수의 수렴이 보장된다.
iii) 할인요소를 β=1/(1+i)로 두면, 생애소득은 w/P 1-β.
(iii) 이를 거절하면 실업수당 ω만 받고 다음 주에 주어진 확률분포에 따라 새로운 임금 제안을 받게 됨.
i) ω는 그리스어의 마지막 문자. omega라고 읽음. 대문자는 Ω.
ii) I am the Alpha and the Omega, the First and the Last, the Beginning and the End. (Revelation 22:13)
iii) 배로는 왜 ω를 사용하였을까? w와 비슷해서? 실업수당이 마지막 보루 라서?
직장탐색 모형에서 노동자는 매주 같은 확률분포에 따라 임금제안을 받 게 되고, 탐색자가 이를 수용하면 그 임금에 영원히 취업하고, 거절하면 그 주에는 실업수당만을 받고 다음 주에 다시 새로운 임금제안을 받는다 고 가정한다.
3) 임금 제안 수용(탐색 중단)의 판단-유보임금의 결정
(i) 추가탐색의 기대이득이 탐색비용보다 크면 거절하고, 실업수당 ω을 받음.
아니면 수용하고 취업함.
(ii) 기대이득은 현재 받은 제안임금보다 높은 임금을 받는 경우의 증가 차액 (현재가치로 합산)에 확률을 곱하여 합산한 것. 제안임금이 높으면 기대이 득은 줄어듦.
(iii) 탐색비용은 기회비용으로 금주의 손실, 즉 제안임금-실업수당. 제안임금 이 높으면 탐색비용은 증가함. 실업수당이 높으면 탐색비용은 감소.
(iv) 제안임금이 실업수당과 같으면 탐색비용은 0이 되고, 기대이득은 양수 임. 따라서 추가탐색의 순이득은 양수이므로, 실업수당과 같은 수준의 임금 제안은 수용하지 않음.
(v) 제안임금이 높을수록 기대이득은 낮아지고, 탐색비용은 커짐. 따라서 추 가탐색의 순이득은 제안임금의 감소함수임. 제안임금이 높아짐에 따라, 순 이득은 양수에서 음수로 감소하므로 중간에 순이득이 0이 되는 제안임금이 존재하고 유일함. 이것이 유보 임금(reservation wage)임.
(vi) 그렇게 유보임금을 결정하면, 기대이득과 탐색비용을 비교하는 대신, 제 안임금과 유보임금을 비교하여도 같은 결과를 얻음. 결국 최적 중단의 문 제는 유보임금을 결정하는 문제로 환원됨.
(vii) 유보임금은 기대이득=탐색비용인 수준에서 결정됨. 제안임금이 유보임 금보다 작으면 거절하고, 이상이면 수용함.
4) 성공확률, 탐색회수, 실업기간, 실업률.
(i) 유보임금이 결정되면, 성공확률 p는 유보임금 이상인 부분에서 확률밀도 함수 아래의 면적으로 주어짐. 즉 p=Pr[(w/P)≥(w/P)'].
(ii) 성공확률이 주어지면 평균탐색기간(주수)은 ED=1/p로 주어짐.
(iii) 평균탐색기간(평균실업기간)이 길어지면 실업률이 올라감.
유보임금은 추가탐색의 기대이득(다음 주에 제안임금 이상의 임금제안을 받음으로써 생기는 생애소득 현재가치의 증가액)이 탐색비용(제안임금-실 업수당)과 같아지는 수준에서 결정된다. 성공확률은 유보임금 이상의 임 금제안을 받을 확률이고, 기대탐색회수는 성공확률의 역수로 주어진다.
기대탐색회수의 증가는 경제 전체에서 평균실업기간이 길어지는 것을 의 미하므로, 실업률의 증가를 초래하게 된다.
5) 외생변수 변화의 효과
(i) 탐색비용이 줄어들면 탐색이 활발해 짐. 특히, 실업수당이 올라가면 탐색 비용이 줄어듦. 그러면 유보임금이 올라감. 그러면 성공확률이 줄어듦. 그 러면 기대탐색기간이 길어짐. 그러면 실업률이 올라감. 즉,
ω↑→(w/P)'↑→p↓→ED↑→u↑.
(ii) 제안 임금의 불확실성(변동폭, 분산)이 커지면, 탐색의 기대이득이 커지 고, 유보임금이 올라가고, 기대탐색기간(평균실업기간)이 늘어남.
(iii) 임금제안, 탐색비용(실업수당 포함)이 비례적으로 변화하면 유보임금도 비례적으로 변하고, 성공확률, 기대탐색기간은 변화하지 않음.
실업수당이 늘어나서 탐색비용이 줄면, 유보임금이 올라가고, 성공확률이 줄어들어, 평균실업기간이 길어져서 실업률이 증가한다. 임금제안의 변동 폭이 커지면, 유보임금이 올라가고, 성공확률이 줄어들어, 실업률이 증가 한다. 임금제안의 확률분포, 실업수당이 비례적으로 변하면, 유보임금도 비례적으로 변하고, 성공확률은 변하지 않는다.
6) 왜 청년실업률은 (우리나라뿐만 아니라, 다른 나라에서도) 보통의 실업률보 다 훨씬 높아지는 경향이 있는가?
(i) 실업률=전 연령층 실업/전 연령층 노동력. 청년 실업률=청년층 실업/청년 층 노동력. 청년층=15-29세(만 15세 이상 30세 미만)
(ii) (잔여 생애가 길다) 청년층의 특성은 무엇인가? 위의 직장 탐색은 무한 생애를 살고 있는 노동자를 가정하였다. 그러면 모든 노동자는 똑같이 젊 다(또는 똑같이 늙다). 실제로 유한한 생애를 산다면 청년 노동자의 특성은 잔여 생애, 따라서 잔여 노동기간이 길다는 것이다. 그러면 생애소득의 현 재가치를 합산할 때, 제안임금의 작은 차이도 청년층에게는 생애소득으로 더 큰 차이를 만들게 된다. 따라서 청년층은 중장년층에 비하여 임금제안 의 작은 차이에도 더 민감하게 반응하게 된다. (우리는 하루 저녁 파티의 데이트 파트너를 선택할 때보다, 평생의 배우자를 선택할 때, 더 신중하게 탐색하게 된다.)
(iii) (탐색비용이 작다) 우리는 탐색비용을 제안임금-실업수당이라고 했지만, 실업수당을 실업실효소득으로 폭넓게 해석해야 한다. 부모가 숙식을 제공 하고 용돈을 주는 것도 실업실효소득이다(중장년층은 기대하기 어렵다). 또 한 실업기간에 자신의 생산성을 높이는 학습(인적 자본투자)으로 생애소득 의 기대값을 증가시킬 수도 있다(중장년층은 인적 자본투자의 효과가 상대 적으로 작다). 더욱이 같은 금전적 결핍이라고 청년층이 상대적으로 견디기 쉽다(내가 라면을 먹는 것은 견디기 쉬워도 자녀의 장난감을 사주지 못하 는 것은 견디기 어렵다.) 그러므로, 청년층은 같은 정도로 가난해도 낮은 임금제안(상대적으로 나쁜 직장 조건)을 수용하기 어렵다.
(iv) (불확실성이 크다) 청년층은 무한한 가능성을 가지고 있다. 보는 사람에 따라서 생산성의 평가, 따라서 임금제안의 변동폭이 크다. (중장년이 되면, 그 사람의 경력에 따라서 생산성의 정확한 추정이 가능해지고 임금제안의 변동폭도 작아진다.) 변동폭이 크면 의외로 높은 임금제안을 받을 확률이 높아져서, 탐색의 기대이득이 증가하고, 유보임금이 높아진다.
(v) (참고) 청년실업률이 높다는 것을 부정적으로만 볼 필요는 없다. 청년이 차별받는 것을 의미하는 것은 아니기 때문이다. 오히려, 기준을 낮추어 타 협하고 절충하여 취업하는 대신, 충분히 방황하고 탐색하며 자신의 꿈과 열정을 실현할 수 있는 직장을 찾는 것이 청년의 특권이라는 것을 의미한 다.
청년 실업률이 높은 이유는 잔여생애가 길고, 탐색비용이 작고, 불확실성 이 크기 때문이다. 청년은 충분히 방황하고 탐색하며 일자리를 선택할 특 권이 있다.
(4) Birds do it!
1) 잠깐! 우리는 노동자의 직장탐색을 설명하려는 중이다. 모든 노동자가 최적 중단같은 복잡한 문제를 풀 수 있다고 가정하는 것은 무리가 아닌가?
2) 새들은 깨어 있는 동안 거의 항상 모이를 쪼아 먹어야 필요한 에너지를 유 지한다. 한 곳에서 모이가 소진되면 새로운 먹이 장소를 탐색하여 날라가야 한다. 인하대에서 모이를 쪼아먹던 비둘기가 시간당 모이 섭취량이 감소함에
따라 새로운 장소, 예컨대 자유공원으로 날아가는 타이밍을 선택하는 문제를 생각하자.
3) 이 문제는 연속적인 시간에서 타이밍을 선택한다는 점에서 위의 가격탐색이 나 직장탐색 문제보다 조금더 복잡해 보인다. (굳이 비유하면, 사양산업에 종 사하는 노동자가 언제 사표를 내고, 새 직장을 탐색하는가에 해당한다.) 비둘 기는 감소하는 모이섭취량을 알지만, 새 장소에서의 모이섭취량은 모르는 상 태에서 떠날 타이밍을 선택해야 한다. 날아가는 시간 동안 먹이를 먹지 못하 고(실업에 해당한다), 에너지를 소비한다(마이너스의 실업수당에 해당한다).
그것이 탐색비용이다. 새로운 수렵채집 장소인 자유공원의 모이 존재량은 확 률론적으로 결정되고, 실망스러울지 모른다. 그러면 다시 떠나 제3의 장소를 다시 탐색하여야 한다.
4) 동물 생태학자는 시간당 모이 섭취량의 유보수준을 계산하고, 비둘기의 최 적 중단시점을 추정할 수 있다. 비둘기는 그에 맞게 인하대를 떠난다. 비둘기 가 어떻게 그 문제를 푸는지는 모른다. 그렇지만, 신통하게도 푼다. 그렇지 않았더라면 아마도 진화과정에서 도태되었을지 모른다.
5) 잠깐! 그러면 우리도 비둘기처럼 행동하면 되지, 따로 확률변수니, 기대값이 니 하면서 최적 중단문제를 배울 필요도 없지 않은가? 우리의 일차적 목적은 생태학자가 비둘기의 행동을 설명하는 것처럼, 노동자나 소비자의 탐색 과정 을 이해하고 설명하는 것이다. 우리 자신이 탐색이론에 바탕하여 더 좋은 의 사결정을 하는 것은 부수적 목적일 뿐이다. 아마도 단순한 시행착오보다 더 지성적으로 의사결정을 한다는 점에서 때로는 도움이 될 것이다. 다만, 배우 자 탐색은 페르몬의 도움을 받아 감성으로 결정하는 편이 자연의 이치이고 아마도 더 좋을 것이다.
직장탐색모형을 노동자가 풀기에 최적 중단 문제가 지나치게 어렵다고 비판할 수는 없다. 모이를 탐색하는 비둘기도 유사한 최적 중단 문제를 풀기 때문이다.
(5) 우리는 세 번째 지성적 장애물을 넘어섰다.
1) 첫 번째 허들은 상호의존, 특히 국민소득회계에서처럼 구성의 오류를 범하 지 않고, 구성원 전체의 상호의존성을 분석하는 것.
2) 두 번째 허들은 동태적 분석. 솔로우의 성장모형에서처럼 상태(점)이 아니 라, 과정(경로)을 분석하는 것.
3) 세 번째 허들은 불확실성. 우리는 결정론적 세계가 아니라, 확률론적 세계에 서 탐색을 언제 중단하는가를 배웠다.
4) 이제 사고체계로서 더 이상의 허들은 없다. 불확실성 아래 개인이 동태적 선택한 행동 경로들이 어떻게 상호 작용하고 어떤 경기순환과정을 결과하는 지를 분석한다. 기업은 어떻게 노동자를 탐색하고 빈자리를 채우는지, 통화 당국은 어떻게 화폐를 공급하는지, 정부는 어떻게 재정을 조달하고 지출하는 지, 한 나라는 다른 나라와 어떻게 재화와 요소를 거래하는지를 분석하는 것 이 우리의 남은 과제이다.
우리는 어느덧 상호의존, 동태분석, 불확실성이라는 세가지 지성적 장애물 을 모두 넘어섰다.
중요용어: 스티글러의 가격탐색, 합리적 무지, 유보가격, 성공확률, 기대탐 색회수, 재방문, 직장탐색모형, 실업수당(실업실효소득), 유보임금, 평균실 업기간, 청년실업률.
