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해석개론 1 시험

2020년 3월 30일

• 답안지는 A4용지 (줄 없는 것) 백지 3장, 앞뒤로 6쪽을 사용합니다.

• 문제당 한 쪽을 사용하되, 각 쪽 첫 줄에 문제번호, 소속, 학번, 이름을 씁니다.

• 첫 쪽 둘째 줄에 ”이 답안지는 다른 이의 도움없이 본인 스스로 작성하였습니 다.” 라고 쓰고 사인합니다.

• 모든 문제의 답안에는 명시적인 예외가 없는 한 풀이 과정을 씁니다.

1번. (15점)

수열 hani이 다음과 같이 주어져 있을 때, 이 수열의 상극한과 하극한을 구하여라.

(1) an=√

n + 1 −√ n (2) an=Pn

k=12−k

(3) {an : n = 1, 2, 3 . . . } = Q ∩ [0, 1]을 만족하는 수열 hani

2번. (10점)

다음 문장이옳은지 그른지 판단하여라.

(1) 단조증가수열 hani이 a로 수렴하면 a는 집합 {an: n = 1, 2, . . . }의 최소상계이다.

(2) 단조증가수열 hani이 a로 수렴하면 a는 집합 {an: n = 1, 2, . . . }의 극한점이다.

3번. (25점)

칸토르집합 C =Tn=1In (교재 1.5절 보기 3 참조) 의 정의에서 집합 In을 구성하는 각 구간들의 양끝점들 전체의 집합을 E라 정의하자. 즉, E =

[

n=1

∂In이다.

(1) E ⊂ C임을 보여라.

(2) 칸토르집합의 원소들을 0, 2를 이용하여 삼진법으로 표현하였을 때, E의 원소들은 어 떤것들인지 설명하여라.

(3) 집합 C \ E에 들어가는 유리수의 예를 들어라.

(4) 집합 C \ E에 들어가는 무리수의 예를 들어라.

(5) 각 n = 1, 2, . . . 에 대하여 xn ∈ (C \ E) ∩ Q이면서 lim

n→∞xn = 0인 수열 hxni의 예를 들어라.

4번. (15점)

실수체 R이 만족하는 다음 두 성질

• 임의의 양수 ε > 0에 대하여 1

n < ε인 자연수 n ∈ N이 존재한다,

• 유계 무한집합 A ⊂ R은 극한점을 가진다 을 이용하여 완비성공리를 증명하여라.

5번. (15점)

다음 평면집합 A에 대하여 int A, A, ∂A를 구하여라. (답만 쓴다.) (1) A = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2≤ 1}

(2) A = {(x, y) ∈ R2: x + y ∈ C}, 단 C는 칸토르집합 (3) A = A0× Q, 단, A0=S∞

n=1(2−n−1, 2−n)

6번. (21점)

다음 문장이옳은지 그른지 판단하여라.

(1) an> 0이고 limnan= 0이면P∞

n=1an이 수렴하거나P∞

n=1(−1)nan이 수렴한다.

(2) A ∩ B = ∅이면 int A ∩ int B = ∅이고 A ∩ B = ∅이다.

(3) A가 유계집합이면 int A와 A도 유계집합이다.

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참조

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