Single-Particle States in a Semiconductor Spherical Quantum Shell with Thickness

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V = ∞ for 0 ≤ r ≤ a , b ≤ r ≤ ∞ . (1)

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∇²Ψ + k²Ψ = 0 , k =

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dr² + 2rdR(r) dr +£

k²r²− l(l + 1)¤

R(r) = 0 , (3) s

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x²d²Z(x)

dx² + xdZ(x) dx +£

x²− (l + 1 2)²¤

z(x) = 0 , (4) s

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nl(kb)A_l, (6)

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nl(kb)nl(ka)o

= 0 , (7)

X< α = ^b_a, x = ka kb = αxsÙ¼Ð sÐÂÒ' ª

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jl(x)

nl(x) = jl(αx)

nl(αx) , (8)

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¦ lÉr C¸ ªÃºÐ"f 6£§s &ñÃº°úכ`¦ |9 ÷r Ã

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a) − jl(βnl)

nl(βnl)n_l(β_nlr a)

) , (10) s

¦ ^ 1lx<ÊÃºH

Ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(βnlr

a) Y_l^m(θ, φ) , (11) s

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a

|Rnl(βnlr a)|²r²dr

Z

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|Y_l^m(θ, φ)|²dΩ

= 1 , (12)

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º_ "é¶&h H%\"f_ 1lxõ ½¨ Ï@!sq <ÊÃº_ f§½©

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a³

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α³

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nl(βnlα)nl+1(βnlα)

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−

½

jl+1(βnl) − jl(βnl)

nl(βnl)nl+1(βnl)

¾₂#₋¹

2

, (13)

Ð ÅÒ#Qf`¦ ·ú Ãº e [17].

III. +sÇÊÝ õmÍ +sÇÂ]Ø

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(3)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

r/a Rnl(βnl r/a), |Rnl(βnl r/a)|2

Solid n=1, l=0 Dotted n=2, l=0 Point n=3, l=0

Fig. 1. Radial part of the wavefunction and probability density.

Fig. 2. Position probability density of the state, nlm = 100.

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¦ l = 0 ½¨,|9_ âÄºK βn0ü<

βn0= αn0/(α − 1) , (14)

Fig. 3. Position probability density of the state, nlm = 110.

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º_ K [þtÉr ¸¿º ½¨+þA ª&h_ l = 0 âÄºü< K

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u 9 ½¨,|9 ¿ºaqÖ¦, α yè½+ÉÃº2¤ K_ ß¼ l

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ºaqÖ¦, α yè½+ÉÃº2¤ &.

8 ½¨+þA ª&hõ ½¨,|9_ âÄº K °ú t

H ½¨,|9_ ¿ºaqÖ¦Ér yy_ ªo ¸| `¦ 1lx r

\ ëß7á¤K ôÇ. \V\¦ [þt#Q, ½¨+þA ª&h?/_ éß{9 {

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 n⁰l⁰_ âÄº αnl= βn⁰l⁰s¦

jl(αnl) = 0 , jl⁰(βn⁰l⁰)

nl⁰(βn⁰l⁰) = jl⁰(αβn⁰l⁰)

nl⁰(αβn⁰l⁰) , (15)

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¦ 1lxr\ ëß7á¤K Ù¼Ð

jl⁰(αnl)

nl⁰(αnl) = jl⁰(ααnl)

nl⁰(ααnl) , (16)

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