• 2교시 수리 영역 •

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“가형” 정답

1 ③ 2 ① 3 ① 4 ④ 5 ④

6 ④ 7 ② 8 ⑤ 9 ③ 10 ⑤

11 ② 12 ① 13 ④ 14 ⑤ 15 ⑤ 16 ④ 17 ① 18 ③ 19 ③ 20 ② 21 ② 22 330 23 46 24 13 25 657 26 54 27 13 28 144 29 90 30 200

해 설

1. [출제의도] 로그 계산을 할 수 있다.

(주어진 식)

= log ₂20 - log ₂5 = log ₂ 20 5 = 2 2. [출제의도] 무한급수의 값을 구할 수 있다.

(주어진 식)

= 20042

(

¹1 - 1

3

)

^{+ 2004}2

(

¹3 - 1 5

)

^{+ …}

= 1002

3. [출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있다.

AB-A=A(B-E)

=

(

-1 -1^{1 -1}

) (

-1 -1^{0 1}

)

=

( )

^{1 2}1 0 4. [출제의도] 무리방정식의 근을 구할 수 있다.

± x=x-3 ⇔ x= (x-3)²

⇔ x²-7x+9 = 0

따라서 α, β는 방정식 x²-7x+9 = 0 의 두 근 이므로 α+β = 7

5. [출제의도] 분수부등식의 근을 구할 수 있다.

주어진 부등식을 통분하여 정리하면 x²+x-2

x²-6x+5 ≦0, ⁽x-1)(x+ 2) (x-1)(x- 5) ≦ 0 (x+ 2)(x- 5) ≦ 0 ( x≠1,x≠5) -2 ≦x≦5 ( x≠1,x≠5)

정수 x는 -2 , -1 , 0, 2, 3, 4 의 6 개이다.

6. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 거듭제곱근의 대소를 비교할 수 있다.

3 6 = 6 ¹²⁴ , ⁴ 8 = 2 ¹²⁹ , ⁶ 12 = 12 ¹²² 이므로 세 수를 12 제곱하면

6⁴= 2⁴×81 , 2⁹=2⁴×32 , 12²=2⁴×9 따라서 작은 것부터 차례로 나열하면

6 12 , ⁴ 8 , ³ 6

7. [출제의도] 그래프에서 분수방정식의 근을 이해 할 수 있다.

분수방정식의 양변에f(x)g(x) 를 곱하여 정리 하면

{2g(x)-f(x)} {g(x) +f(x) } = 0

∴ g(x_{) = 12} f(x) , g(x) = -f (x) 따라서 구하는 실근의 개수는 두 곡선

, 의 교점 또는

, 의 교점 중

인 것의 개수와 같다.

아래의 그림에서 구하는 개수는 개이다.

x O

y=g(x) 　 y= -f (x) 　 y_{= 12} f(x) y

8. [출제의도] 행렬의 덧셈을 활용할 수 있다.

A+B=

(

^ab⁺+^cd

)

⁼

( )

^pq

0 ≦a≦1 , 0≦b≦1 , 0≦c≦1 , 0 ≦d≦1 이므로 0≦a+c≦ 2 , 0≦b+d≦2

∴ 0≦p≦2 , 0≦q≦2

따라서 구하는 영역의 넓이는 4 이다.

9. [출제의도] 행렬의 여러 가지 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. (A+E)(A-E) =A²-E²

=A²-E ∴ 참 ㄴ. 반례: A=

(

^{-1 0}0 0 이면

)

A(A+E) =O이 성립한다. ∴ 거짓 ㄷ. A(A+E) =E 이므로 A^{- 1}=A+E

(A²)^{- 1}=(A^{- 1})²= (A+E)² ∴ 참 10. [출제의도] 로그를 이용하여 수열의 합을 구할

수 있다.

f(x) =x+ log10x이므로

∑¹⁰⁰

n= 1[f(n)] = [f( 1)] + [f( 2)] + … + [f(100)]

= [ 1 + log101 ] + [ 2 + log102 ] + … + [ 100 + log10100 ]

= (1+ …+ 100)+( [ log₁₀1 ]+ … +[ log₁₀100 ] )

= 5050+(0× 9+1×90+2×1) = 5142

11. [출제의도] 무한급수의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. ∑^∞

n= 1a_n= α, ∑^∞

n= 1(a_n+b_n) = β 라 하면

∑^∞

n= 1b_n= _n∑^∞_{= 1}^{{ (a}n+b_n)-a_n) }

= _n∑^∞_{= 1}^(an+b_n)-_n∑^∞_{= 1}^an

= β-α (수렴) ∴ 참 ㄴ. _n∑^∞_{= 1}^an이 수렴하므로 lim

n→ ∞a_n= 0 ,

∑^∞

n= 1b_n이 수렴하므로 lim

n→ ∞b_n= 0

nlim→ ∞a_nb_n= 0 ∴ 참

ㄷ. 반례: 수열 {a_n} 이 1, 0, 1, 0, 1, … 수열 {b_n} 이 0, 1, 0, 1, 0, … 이면 _n∑^∞_{= 1}^anb_n= 0 (수렴)이지만

nlim→ ∞a_n≠ 0 , lim

n→ ∞b_n≠ 0 이다. ∴ 거짓 12. [출제의도] 수열의 규칙성을 이해할 수 있다.

어두운 정사각형 내부의 자연수의 합은 108 이 고, 어두운 정사각형 내부의 한 수 를 오른쪽 으로 만큼 이동하고, 아래쪽으로 만큼 이동 하면 이 된다. 따라서 어두운 정사 각형 내부의 개의 수를 오른쪽으로 만큼 이 동하고, 아래쪽으로 만큼 이동하면 정사각형

내부의 자연수의 합 은

,

과 은 이하의 자연수이므로

, ∴

<별해>

(가운데 수)× , (가운데 수)

∴ m= 5 , n= 4

13. [출제의도] 수열의 규칙성을 발견할 수 있다.

a_n은 n개의 정사각형을 세로 개, 가로 개 붙여서 만들 수 있는 서로 다른 모양의 직사각형 의 개수이므로 a_{n은 두 자연수 에 대하여}

i×j=n(i≦j)인 순서쌍 의 개수이다.

ㄱ. n= 6 이면 6= 1×6 = 2×3 에서

∴ 참

ㄴ. n이 소수이면 a_n= 1 ∴ 참

ㄷ. a_n= 2 인 한 자리 자연수 은 , , 8 , 9 로 4 개이다. ∴ 거짓

<참고>

a_{n은 자연수} n의 양의 약수의 개수를 라 하면 p가 짝수이면

p가 홀수이면 가 된다.

14. [출제의도] 평균과 표준편차의 성질을 이용하 여 문제를 해결할 수 있다.

E(T) = E

(

^{a (X - m)σ +b}

)

^{= aE( X )σ - a mσ + b}

= a m σ - a m

σ +b

σ(T) = σ

(

^{a(Xσ-m) +b}

)

^{= |a| σ(σX)}

= |a|σ

σ = |a| = 20

∴ a= 20(∵ a> 0) ∴

15. [출제의도] 이항정리를 이용하여 부등식을 증 명할 수 있다.

(i)

(

1 + 1n

)

ⁿ

= 1+ _nC1 1

n +ⁿC2

(

¹n

)

^{2+ … +nCn}

(

¹n

)

ⁿ

≧ 1+ 1+_nC₂

(

n¹

)

²

= 2+ n-1

2n ^{> 2} (∵ ) (ii)

(

1 + 1n

)

ⁿ

= 1+ _nC1 1

n +ⁿC2

(

¹n

)

^{2+ … +nCn}

(

n¹

)

ⁿ

= 1 + 1 + 12!

(

1 - 1n

)

^{+ 1}3!

(

1 - 1n

)(

1 - 2n

)

+ … + 1n!

(

1 - 1n

)

^․…․

(

^{1 - n - 1}n

)

< 1+1+ 12! + 1

3! + … + 1 n! k!= 1․2․…․k≧ 2^{k- 1}이므로

(

^{1+ 1}n

)

^{n< 1+ 1}₂^{0 + 1}₂^{1 + … +} ₂^{n1- 1}

= 3-

(

¹2

)

^{n- 1< 3}

(i), (ii)에 의하여 인 자연수 에 대하여

부등식 이 성립한다.

16. [출제의도] 평면도형에서 등차수열을 발견할 수 있다.

, ,

이므로

∴

따라서 ∠BCD= 240°를 중심각으로 하는 원을 생각하면 ∠BND= 120°는 원주각이 되므로 점 N은 그 원 위에 있다. 즉 점 N은 점 C를 중심으로 하고 CB= CD를 반지름으로 하는 원 위에 있다.

∴ CB= CN = CD

∴ ∠BNC= 45°, ∠CND = 75°

∠DNE =105°

즉, ∠BNC, ∠CND, ∠DNE 는 공차가 30°

인 등차수열을 이룬다.

17. [출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

직선 AB 의 방정식은 y= -x+5 이므로 점 P 의 좌표를 (a,b) 라 하면 a+b= 5 이 때, 점 H 의 x좌표는 b= log₂x-1 에 서 x= 2^{b+ 1} ∴ PH = 2^{b+ 1}-a

또, 점 K 의 y_좌표는 y= 2^a-1

∴ PK = 2^a-1-b PH+ PK = 2^{b+ 1}-a+2^a-1-b

= 2^a+2^{b+ 1}-6 ≧ 2 2^a⋅2^{b+ 1}-6

= 10

따라서 a= 3 , b= 2 일 때 최소값은 10 이다.

18. [출제의도] 정규분포를 이용하여 문제를 해결 할 수 있다.

A 고등학교에서 임의로 뽑은 9명의 학생의 몸무 게의 평균을 X_{라 하면}

E(X) = 60 , σ(X) = σ

n ^{= 6}9 = 2 이므로 X_{는 정규분포} N(60 , 2²) 을 따른다.

한편 경고음이 울리려면 9X≧549에서 X≧ 5499 = 61

따라서 구하는 확률은

P(X≧ 61 ) =P

(

^{Z≧ 61-60}2

)

=P(Z≧ 0.5 ) = 0.5-P(0≦Z≦0.5 )

= 0.5-0.19 15 = 0.3085

19. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 도형의 자취를 그릴 수 있다.

(

^{a- 1 -}b a+ 3^b

) ( )

y^{x =}

(

^{1 - 2}2 1

) ( )

^xy ^이므로

(

b^{a- 2 -}- 2 a^b+ 2⁺²

) ( )

^xy ⁼

( )

⁰0 …… ㉠

㉠이 x=y= 0 이외의 해를 가지므로 역행렬이 존재하지 않는다.

(a- 2) (a+ 2)- (-b+ 2)(b- 2)= 0 a²+(b-2)²=4

따라서 점 (a,b)의 자취의 개형은 ③이다.

20. [출제의도] 조건을 만족하는 확률을 구할 수 있다.

지수와 상우 모두 번호가 n_{인 다리를 건너게} 될 확률을 P_{n이라 하면} P₀= 0 ,

, ,

, ,

, 따라서 구하는 확률은

21. [출제의도] 등비수열을 활용하여 실생활 문제

를 해결할 수 있다.

80×0.96ⁿ< 64×0.99ⁿ 양변에 상용로그를 취하면

log 80 +n { log 9.6 - 1} < log 64 + n { log 9.9 - 1}

n> 1-3log2

log 9.9-log 9.6 = 1-0.9030 0.9956-0.9823

= 0.09700.0133 ≒7.29

따라서 8 년 후 즉, 2011 년에 처음으로 작아진다.

22. [출제의도] ∑의 성질을 이용하여 식을 계산 할 수 있다.

∑¹⁰

k= 1(k²+ 3k-10)- ∑¹⁰

k= 1(k²-3k-10)

= _k∑¹⁰_{= 1}^{{(k2+ 3k- 10)- (k2-3k- 10)}}

= _k∑¹⁰_{= 1}^{6k = 330}

23. [출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 합성함수의 값을 구할 수 있다.

(g∘f)(x) =g(f(x)) = log2

(

¹4

)

^x

= log₂2^{- 2x} =-2x ∴ (g∘f)(- 23) = 46 24. [출제의도] 역행렬의 존재 조건을 이해할 수

있다.

임의의 실수 x에 대하여 역행렬이 존재하려면 (x+2a) (x+a)+12 ≠ 0

이 항상 성립해야 하므로 x에 대한 이차방정식 x²+3ax+2a²+12= 0이 실근을 갖지 않아야 한다.

D= 9a²-4(2a²+12) < 0, a²< 48 따라서 정수 a는 -6 , -5 , … , 5 , 6 으 로 13 개이다.

25. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있다.

말하여야 하는 수는 3 , 6 , 9 를 제외한 7 가 지 수로 이루어져 있고, 그 중 0 은 제외되므로 그 개수는

7×7×7-1 = 342

따라서 말하지 않아야 하는 수의 개수는 999-342 = 657

26. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있다.

limn→∞

6n+1

n²⋅a_n ^{= limn→∞ 6}n+1 n ^{⋅ lim}n→∞

n⋅1a_n

= 6 ⋅9 = 54

27. [출제의도] 무한등비급수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

10

{

1 - 12 +2 3 -1

2 ⋅

(

²3

)

²⁺

(

²3

)

³- 12 ⋅

(

²3

)

^{4+ ⋯}

}

= 10

(

1- 12

)

⁺¹⁰

{

²3 -1

2

(

²3

)

²

}{

¹⁺

(

3²

)

²⁺

(

²3

)

^4+⋯

}

= 5 + 10⋅ 49 ⋅

 1 1 - 49



= 13

28. [출제의도] 수열을 이용하여 문제상황을 추측 할 수 있다.

흰 바둑돌과 검은 바둑돌을 합쳐 개가 있다고 하면 개의 바둑돌은 맨 앞의 바둑돌이 검은 색인 경우와 앞의 두 바둑돌이 흰색-검은색인 경 우 두 가지로 나눌 수 있다. 즉,

(i) 맨 앞의 바둑돌이 검은 색인 경우

● × × × × … × 이므로 개를 배열

하는 방법의 수

(ii) 맨 앞의 두 바둑돌이 흰색-검은색인 경우

○ ● × × × … × 이므로 개를 배열

하는 방법의 수

따라서, 가 성립한다.

이 수열을 a₁에서 까지 차례로 나열하면 다음과 같다.

2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , , , ,

∴ a₁₀= 144

29. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 문제를 해 결할 수 있다.

원점에서 점 A (1 , 3 ) 까지 최단거리로 움직이 는 경우는 위쪽방향으로 칸, 오른쪽방향으로 1 칸 움직여야 한다. 그런데 모두 번 움직여야 하므로 아래쪽방향 또는 왼쪽방향으로 칸 이동 한 후 다시 위쪽 방향 또는 오른쪽방향으로 칸 움직여야 한다.

오른쪽으로 1 칸 움직이는 경우를 왼쪽으로 1 칸 움직이는 경우를 위쪽으로 1 칸 움직이는 경우를

아래쪽으로 1 칸 움직이는 경우를 라 하면 원점에서 점 A (1 , 3 ) 으로 움직이는 경우의 수 는 a_{를 2 개,} a '_{을 1개, 를 개 나열하는} 경우의 수와 a_{를 1개, 을 1개, 를 개} 나열하는 경우의 수의 합과 같다.

2! 1! 3! +6! 6!

1! 1! 4! = 90 (가지) 30. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 문제를 해

결할 수 있다.

최고속력을 2xkm/시 라 하면 역 를 만들어 5 분간 정차할 때 추가되는 시간은

20x ^{- 20}2x ^{+ 5}60 = 11 60 ,

∴ x= 100

따라서 최고속력은 2x= 200 ( )

“나형” 정답

1 ③ 2 ⑤ 3

6 ④ 7 ④ 8

11 ① 12 ① 13 16 ④ 17 ② 18 21 ② 22 330 23 26 54 27 19 28

해 설

2. [출제의도] 유리수 지수를 계산할 수 있다.

a ^{32 - 12 - 13} =a ²³ ∴ □ 4. [출제의도] 극한값을 구할 수 있다.

(주어진 식)

= lim

n→∞

-2005(n+ n ²-2004) 2004( n²-2005+n)

=- 20052004

5. [출제의도] 주어진 행렬의 역행렬을 구할 수 있 다.

이면

∴

7. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 활용할 수 있다.

의 가수를 라 하면

( )

0≦ 1+α

2 < 1이므로 문제의 조건에서 α+ 1+α

2 = 34 ∴ α= 1 6

따라서 log x_{의 가수는 1+2}^α = 712 이다.

10. [출제의도] 순서도를 보고 인쇄되는 값을 구할 수 있다.

n= 1이면 S= 1 22

n= 2이면 S=

(

^{1 2}2

)

^{+ 2 3}2

… n= 10이면

S =

(

^{1 2}2 + 2 32 + … + 9 102

)

^{+ 10 11}2 따라서 인쇄되는 S_{의 값은}

S=_k∑¹⁰_{= 1}^k(k₂^{+1) =}_k∑¹⁰_{= 1}^k2₂^+k

= 12

(

^{10 11 21}6 + 10 112

)

^{= 220}

11. [출제의도] 극한값의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. a_n<b_n이므로 lim

n→∞a_n=∞ 이면

nlim→∞b_n=∞ 이 성립한다. ∴ 참

ㄴ. 반례: a_n= 1n ^,b_n= 2n ^이면 자연수 n_{에 대하여} a_n<b_n이지만

nlim→∞a_n= lim

n→∞b_{n ∴ 거짓}

ㄷ. 반례: 수열 {a_n} 이 1, 0, 1, 0, 1, … 수열 {b_n} 이 0, 1, 0, 1, 0, … 이면 lim

n→ ∞a_nb_n= 0 이지만

nlim→ ∞a_n≠ 0 , lim

n→ ∞b_n≠ 0 이다. ∴ 거짓 14. [출제의도] 도형에서 수열의 규칙성을 발견할

수 있다.

가장 안 쪽 첫 번째 정삼각형의 변에 나열된 원 의 개수는 (4+ 3+ 2) 개

두 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 (7+6+5) 개

세 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 (10+9+8) 개

…

9 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 (28+27+26) 개

따라서 9 번째 정삼각형까지 나열된 원의 총 개수는 (4+3+2)+(7+6+5)+…+(28+27+26) 따라서, 10 번째 정삼각형의 맨 위의 꼭지점에 적힌 수는

1+(2+3+4+…+26+27+28)

= 28․292 = 406

<별해>

(n+ 1) 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개 수는 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수 에서 를 더한 개수와 같다.

즉, 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수를 이라 하면 수열 은 첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열이다.

∴

따라서 번째 정삼각형의 맨 위의 꼭지점에 적힌 수는

15. [출제의도] 역행렬이 존재함을 증명할 수 있다.

⇔

즉,

(

^- k²¹+1

)

^{(A+kE) (A-kE) =E}

∴ (A+kE)^{- 1}= - 1

k²+ 1 (A-kE) 17. [출제의도] 산술기하평균의 관계를 이용하여

지수로그문제를 해결할 수 있다.

a> 1 , b> 1에서 log_ab > 0 , log_ba > 0 산술기하평균의 관계에 의하여

∴ log _a³b²+ log _b⁴a ³

= 23 log ^ab _{+ 34 log b} a

≧ 2 2

3 log^ab_{․ 34 log b}a = 2 18. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 문제를 해결

할 수 있다.

S중 가장 작은 수는 1+3+…+19 = 100 S중 가장 큰 수는 81+83+…+99 = 900 수열 {a_n} 은 첫째항이 100 , 마지막항이 900 이고, 공차가 2 인 등차수열을 이룬다.

따라서 구하는 값은

a₁₀₀= 100+99×2= 298

20. [출제의도] 지수를 이용하여 실생활 문제를 해 결할 수 있다.

피자 8 조각을 굽는데 걸리는 시간이 2 조각을 굽는데 걸리는 시간의 a_{배라 하면}

1.2×8 ¹² =a×1.2×2 ²¹ a×2 ²¹= 8 ¹² = 2 ²³

∴ a= 2

23. [출제의도] 역행렬을 이용하여 주어진 행렬을 구할 수 있다.

A^{- 1}PB=E에서

양변의 왼쪽에 A, 오른쪽에 B^{- 1}를 곱하면 P=AB^{- 1}

P=

(

¹⁰1 10¹

) ( )

^{1 1}2 3 ^{- 1}

=

(

¹⁰1 10¹

) (

-2^{3 -1}1

)

=

(

-17^{28 -9}9

)

따라서 행렬 P의 모든 성분의 합은 11 이다.

25. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이용할 수 있다.

logA=n+ α (n은 정수, 0≦α < 1)라고 하 면 근과 계수의 관계에서

n+α = 332 , n^α=k 2 n+α = 16+ 12

∴ n= 16, α = 12

∴ k= 2n^α= 2⋅16⋅ 12 =16

27. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이용하 여 주어진 조건을 해결할 수 있다.

Ⅰ에서 … ㉠

Ⅱ에서 과 의 소수부분(가수)

이 같으므로

(정수)

㉠에서 이므로

logM= log 10⁶×10 ¹⁹³ ×10 ²⁰³

∴ logM = 19

29. [출제의도] 여러 가지 수열의 규칙을 추측할 수 있다.

수열의 각 항을 차례로 구해 보면 1 , 2 , 3 , 92 , , , , … 여기서 a_{2n- 1}(n= 1, 2, 3, …)을 구해보면

1 , 3 , 6 , 10 ,

a_{2n- 1}=1+ ⁿ∑_k^{- 1}_{= 1}^bk ( )

= 1 +ⁿ∑_k^{- 1}_{= 1}^(k+1)

= n(n+ 1) 2

∴ a₁₃=a_{2․7 - 1}= 7․82 = 28

30. [출제의도] 행렬을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

( )

^xy ⁼

(

0.2 - 0.1^{1 1}

)

- 1

( )

⁷⁰2

=- 10.3

(

^{-0.1 -1}-0.2 1

) ( )

⁷⁰2

=

( )

³⁰40

∴ x= 30, y= 40

따라서 2003 년의 A 매장의 매출액은 x×(1+0.2) = 30×1.2 (억 원)

2 3 4