ISSN 2287-8130(Online) Particle and Aerosol Research
Par. Aerosol Res. Vol. 9, No. 3: September 2013 pp. 163-171 http://dx.doi.org/10.11629/jpaar.2013.9.3.163
원형관 코팅장치에서 연소 입자의 응축성장에 미치는 2차원 열 및 물질전달의 영향
박 성 훈 순천대학교 환경공학과
(2013년 8월 25일 투고, 2013년 9월 9일 수정, 2013년 9월 24일 게재확정)
Effects of Two‐dimensional Heat and Mass Transports on Condensational Growth of Soot Particles in a Tubular Coater
Sung Hoon Park
Department of Environmental Engineering, Sunchon National University (Received 25 August 2013; Revised 9 September 2013; Accepted 24 September 2013)
Abstract
Soot particles emitted from combustion processes are often coated by non‐absorbing organic materials, which enhance the global warming effect of soot particles. It is of importance to study the condensation characteristics of soot particles experimentally and theoretically to reduce the uncertainty of the climate impact of soot particles. In this study, the condensational growth of soot particles in a tubular coater was modeled by a one‐dimensional (1D) plug flow model and a two‐dimensional (2D) laminar flow model. The effects of 2D heat and mass transports on the predicted particle growth were investigated. The temperature and coating material vapor concentration distributions in radial direction, which the 1D model could not accounted for, affected substantially the particle growth in the coater.
Under the simulated conditions, the differences between the temperatures and vapor concentrations near the wall and at the tube center were large. The neglect of these variations by the 1D model resulted in a large error in modeling the mass transfer and aerosol dynamics occurring in the coater. The 1D model predicted the average temperature and vapor concentration quite accurately but overestimated the average diameter of the growing particles considerably. At the outermost grid, at which condensation begins earliest due to the lowest temperature and saturation vapor concentration, condensing vapor was exhausted rapidly because of the competition between condensations on the wall and on the particle surface, decreasing the growth rate. At the center of the tube, on the other hand, the growth rate was low due to high temperature and saturation vapor concentration. The effects of Brownian diffusion and thermophoresis were not high enough to transport the coating material vapor quickly from the tube center to the wall.
The 1D model based on perfect radial mixing could not take into account this phenomenon, resulting in a much higher growth rate than what the 2D model predicted. The result of this study indicates that contrary to a previous report for a thermodenuder, 2D heat and mass transports must be taken into account to model accurately the condensational particle growth in a coater.
Keywords：Coater, Condensational growth, Two‐dimensional (2‐D) laminar flow, Heat and mass transports
* Corresponding author.
Tel：+82‐62‐750‐3816, E‐mail：shpark@sunchon.ac.kr
1. 서 론
연소 공정에서 배출되는 검댕(soot) 입자들은 흔히 탄소 aggregate 입자에 비흡수성 유기물질이 코팅되 어 있다. 코팅된 유기물질은 검댕 입자에 의한 빛의 산란 및 흡수를 강화시켜 검댕 입자의 기후변화 영 향을 증가시키는 것으로 알려져 있으며, 이 때문에 검댕 입자는 이산화탄소에 이어 두번째로 지구온난 화 영향이 큰 물질로 지목받고 있으나 그 정량적 평 가에 대한 불확도는 아직 크다(Jacobson et al., 2007;
Park, 2009; Ramanathan and Carmichael, 2008).
검댕 입자의 온난화 영향을 정량적으로 파악하기 위해서는 대기 중 검댕 에어로졸에 대한 관측 뿐 아 니라 실험실에서 정밀하게 제조된 모형 검댕 입자 를 이용한 측정이 필요하다. Tjong(2012)은 원형관 모양의 코팅장치를 사용하여 잉크 입자에 올레일 알코올(oleyl alcohol)을 코팅시킨 후, 대기 중 검댕입 자 측정에 사용되는 Laser‐Induced Incandescence의 측정 결과에 코팅 물질이 미치는 영향을 조사하였 다. Soewono(2013)는 비슷한 코팅장치를 사용하여 탄소 나노입자에 올레일 알코올(oleyl alcohol)을 코 팅한 후 유기물질 코팅에 의한 검댕 입자의 구조 및 광특성 변화를 관찰하였다. 이러한 코팅장치 내에서 는 포화된 코팅 물질 증기가 온도의 냉각과 함께 입 자 표면에 응축되면서 코팅이 이루어진다. 원하는 정도의 코팅을 정밀하게 제어하기 위해서는 장치 내에서 벌어지는 응축(condensation), 응집(coagulation), 핵화(nucleation), 확산(diffusion), 열영동(thermopho- resis) 등 에어로졸 동력학을 정확하게 모의하는 수 치모델의 도움이 필수적이다.
원형관을 흐르는 공기 중에서 이루어지는 입자의 응축성장을 모의하기 위한 수치모델은 대개 원형관 안에서의 유체 흐름을 플러그흐름(plug flow)으로 가 정한다(Riipinen et al., 2010; Saleh and Shihadeh, 2007; Saleh et al., 2011). 최근 Park et al.(2013)은 원 형관 모양의 thermodenuder(TD) 안에서 벌어지는 에 어로졸 동력학을 모의하는 2차원 열 및 물질전달 모 델을 개발하였다. 그들의 연구결과에 따르면 TD 안 에서 기류의 2차원 속도분포와 열 및 물질전달이 에 어로졸 질량농도 변화에 미치는 영향은 크지 않았 다. 그러나, 증기의 응축이 입자표면보다는 벽면에 서 주로 일어나도록 설계된 TD와는 달리, 응축이 벽
면보다 입자표면에서 주로 일어나도록 설계된 코팅 장치에서는 기류의 2차원 속도분포가 에어로졸 동 력학에 미치는 영향이 훨씬 클 가능성이 있다. 그러 나 이를 연구한 보고는 아직 발표된 바 없다.
본 연구에서는 원형관 모양의 코팅장치에서 일어 나는 에어로졸 입자의 응축성장을 1차원 플러그흐 름 모델과 2차원 층류 모델로 모의하고, 2차원 열 및 물질전달의 고려가 입자 성장 예측에 미치는 영 향을 분석하였다.
2. 수치실험 방법
여기서는 원형관을 통과하는 기류 속에서 준휘발 성 물질의 응축에 의해 에어로졸 입자가 성장하는 과정을 모의하는 두 가지 모델에 대해 간략하게 설 명한다. 비휘발성 물질로 가정하는 탄소 입자들과 그 입자들 표면에 응축될 준휘발성 증기를 담고 있 는 뜨거운 기류가 coater의 냉각부(cooling section)로 들어간다. 냉각부의 벽면온도(wall temperature)는 상 온(20℃)으로 점점 내려간 후 일정하게 유지된다. 첫 번째 모델인 플러그흐름 모델에서는 반경방향의 혼 합이 완벽하여 온도 및 속도 구배가 없다고 가정한 다. 반면, 두번째 모델인 2차원 층류 모델(2‐
dimensional laminar flow model)에서는 반경방향의 혼합이 브라운 확산에 의해서만 이루어지는 포물선 형 속도분포(parabolic velocity profile)를 가정한다.
2.1 플러그흐름 모델
플러그흐름 모델은 반경방향의 혼합이 완벽하여 온도 및 속도 구배가 없다고 가정하기 때문에 모든 변수가 축방향 좌표에 따라서만 결정되는 1차원 모 델이다. 이 모델에서 축방향 좌표(z)의 함수인 혼합 평균온도(bulk temperature)는 다음과 같은 간단한 1 차원 열전달 방정식으로부터 구한다(Bird et al., 2002).
p b w t b
c m
T T h r dz dT
&
) (
2 -
= p
(1) 여기서 Tb와 Tw는 각각 혼합평균온도와 벽면온도 이고, rt는 원형관의 반경, m&과 cp는 각각 공기의
유량과 비열이다. 원형관을 흐르는 층류에 대한 혼 합평균열전달계수 h는 다음과 같이 주어진다(Bird et al., 2002).
rt
k h Nu
2
= ×
(2) 여기서 k는 열전도율이고, Nu는 Nusselt 수로서 경계 조건에 따라 다르지만 대개 4 정도의 값을 가진다.
예를 들어, 원형관을 흐르는 층류의 경우 관벽에서 열유속이 일정할 경우에는 4.364이고, 관벽에서 온 도가 일정할 경우에는 3.657이다(Bird et al., 2002).
본 연구에서는 뒤에서 설명할 2차원 모델과 가장 유 사한 혼합평균온도를 예측하는 Nusselt number의 값 을 구해 적용하였다. k와 h의 값은 벽면온도와 혼합 평균온도의 평균인 막온도(film temperature)에 따라 결정하였다. h와 cp가 Tb의 함수이므로 식 (1)은 반 복연산법(iteration)으로 풀었다.
준휘발성 유기물질 증기의 농도는 다음과 같은 1 차원 물질수지 방정식으로부터 구하였다.
nucl
cond s
dz s c u
d( )=& +&
(3) 여기서 u(=m&/prt2r)는 평균유속, r는 공기의 밀 도, c는 증기의 몰농도, s&cond와 s&nucl은 각각 응축 과 균질핵화(homogeneous nucleation)로 인한 손실 항이다. s&cond와 s&nucl의 계산은 나중에 에어로졸 동 력학 모델에 대한 설명에서 다루도록 하겠다. 경계 조건은 z=0에서 c =ci이다.
2.2 2차원 층류 모델
2차원 층류 모델로는 Park et al.(2013)이 TD 안에 서의 입자동력학을 모의하기 위해 개발했던 모델을 코팅장치용으로 변형하여 사용하였다. 여기서는 반 경방향의 온도 구배를 고려하게 되지만 온도 편차 가 크지 않기 때문에 층류의 포물선형 속도분포와 주요 모수들은 혼합평균온도의 함수로 정해진다고 가정하였다. 본 연구에서 수행한 모든 계산에서 Reynolds 수는 50 미만으로, 층류 조건을 만족시켰 다.
먼저 플러그흐름 모델에서처럼 식 (1)을 반복연산 법으로 적분하여 T 를 z의 함수로 구한 후, 이를 이b
용하여 r , k, u 를 z의 함수로 결정하였다. 이 모수 들과 포물선형 층류 속도분포 가정을 기반으로 하 여, 원형관 내 실제 온도분포는 다음과 같은 2차원 에너지방정식을 풀어서 구하였다. 축 방향의 확산 항은 이류 항에 비해 무시할 수 있다고 가정하였고, 응축으로 인한 잠열 효과 역시 무시하였다.
÷ø ç ö è æ
¶
¶
¶
= ¶
¶
¶
÷÷ ø ö çç è æ -
r r T r r z T r u r
t
1 1
2 2
2
a (4)
여기서 a(=k/rcp)는 열확산계수이다. 경계조건 은 모든 r에 대해 z=0에서 T =T0, z>0에 대해
rt
r = 에서 T=Tw(z), z>0에 대해 r=0에서 =0 dr dT
이다. 식 (4) 우변에 있는 2차 미분항은 다음과 같이 차분화하였다.
r r
T T r
T T T r T r r
T r r T r
r i
i i i i i
D + - D
+
» -
¶ + ¶
¶
=¶
÷ ø ç ö è æ
¶
¶
¶
¶ + - + -
2 ) (
2 1
1 1 1
2 1 1 2
2
for i > 1 (5)
단, 원형관 중심에서는 다음 차분식을 사용하였다.
2 1 2 2
) (
) ( 2 4 1
r T T r
T r r T r r
i i
D
» -
¶
= ¶
÷ ø ç ö è æ
¶
¶
¶
¶ +
for i = 1 (6)
식 (6)을 얻기 위해 다음과 같이 로피탈의 법칙 (L'Hopital's rule)이 사용되었다.
2
1 2
r T r T
r ¶
=¶
¶
¶
at r=0 (7)
준휘발성 유기물질 증기의 농도에 대한 2차원 물 질수지 방정식은 다음과 같다.
nucl cond t
s r s
r c r Dr z
c u r
r ÷+& +&
ø ç ö è æ
¶
¶
¶
= ¶
¶
¶
÷÷ ø ö çç è
æ - ( ) 1
1
2 2
2
(8) 여기서 D는 증기의 확산계수이다. 경계조건은 모든 r에 대해 z=0에서 c =ci, z>0에 대해 r =rt에서
) ( w
sT
c
c = , z>0에 대해 r=0에서 =0 dr dc
이며, cs
Fig. 1. Linear fitting of diffusivity data for normal alkane as a function of reduced molecular mass.
는 포화증기농도이다. 포화증기농도는 온도에 따라 달라지는데 임의의 온도 T에서 포화증기농도의 값 은 다음 Clausius‐Clapeyron 식을 이용하여 기준 온 도 Tref에서의 값으로부터 구할 수 있다.
ïþ ïý ü ïî
ïí ì
÷÷ ø ö çç è
æ -
= D
T T R T H
p T p
ref v ref
s s
1 exp 1
) ( ) (
(9) 여기서 DHv는 증발 엔탈피, R은 기체상수, ps는
cs에 상응하는 포화증기압이다. 식 (8) 우변에 있는 2차 미분항은 식 (5), (6)의 방법을 사용하여 차분화 하였다.
증기의 확산계수는 분자량이 같은 노르말 알칸 (normal alkane) 탄화수소의 확산계수와 같다고 가정 하였다. 탄소수 1에서 20까지(분자량 16.04에서 282.55까지)의 노르말 알칸 화합물의 확산계수 값들 (Rosner et al., 2000)에 대해 선형근사를 실시하여 다 음과 같은 분자량‐확산계수 근사식을 구하였다.
mol/g ) ( 01092 .
0 Ma
D=- m- (cm2/s) (10)
여기서 m=MvMa/(Mv+Ma)이고, Mv와 Ma는 각 각 준휘발성 증기와 공기의 분자량이다. 식 (10)은 Elliott and Watts(1971)가 제안한 mlim®MaD=0의 극한 특성을 만족시킨다. Fig. 1은 선형근사 결과를 보여 주고 있다.
2.3 에어로졸 동력학 모델
본 연구에서 사용한 1차원 및 2차원 모델에서는 에어로졸 동력학 모의를 위해 Moving Sectional Method(Tsantilis et al., 2002)를 사용하였다. 이 기법 에서는 입자들이 그 직경에 따라 여러 개의 섹션 (section)으로 구분되고, 각 섹션의 입자들은 응축 과 정에서 수 농도의 변화 없이 그 직경만 시간에 따라 커지게 된다. 응축으로 인한 k번째 섹션의 입자 직 경(dp,k)의 변화와 증기 농도의 감소는 다음 두 식 으로 주어진다(Fuchs and Sutugin, 1971).
{ } 2
, ,
, ,
,
) / 2 ( 33 . 1 ) / 2 ( 71 . 1 1
/ 2 ) 1
4 (
k p v k p v
k p v s
k p c k v p
d d
T d c d c DM dz dd
l l
l
r + +
- +
=
(11)
{ }å
= + +
- + -
=
nS
k v pk v pk
k p v k
k p s
cond d d
N d d T c c D s
1 2
, ,
,
, 1 1.71(2 / ) 1.33(2 / )
/ 2 ) 1
(
2 l l
p l
&
(12) 여기서 rc는 응축된 코팅 물질의 밀도, lv는 응축 하는 증기의 평균자유행정(mean free path), nS는 입 자크기섹션의 수, N 는 k번째 섹션의 입자 수농도k
이다. 기체분자운동론에 따르면 lv의 값은 확산계 수와 다음 관계를 가진다(Seinfeld and Pandis, 1998).
2 / 1
8 ) / 1 ( 3
32 ÷
ø ç ö è æ
= +
RT M M M
D v
a v v
p l p
(13) 균질핵화에 따른 핵 입자 수농도(N )의 변화, 핵 n 입자의 부피(v ), 증기 농도의 감소는 다음 세 식으n 로 표현된다(Seinfeld and Pandis, 1998).
{ }úú û ù êê
ë é-
÷÷ ø ö çç è
=æ
) ( / ln ) 3 ( exp 16 ) ( / 2
2 3
3 2 1 2
2 1 2 / 1
1 k T c c T
v T
c c
c N v m dt dN
s s B
A
n p s
p s
(14)
{/ ( )}
ln ) ( 3
32
3 3
1 3 2 1
T c c T k
m v v
s B
p
n r
s
= p
(15)
{ } { }úû
ù êë
é-
÷÷ ø ö çç è - æ
= 3 ( )ln / ( )
exp 16 ) ( / 2 ) ( / ln ) ( 3
32
2 3
3 2 1 2
1 2 / 1
1 3
3 3 2 1
T c c T k
v T
c c
c v m T c c T k
N s v
s B s
s B
A nucl
p s p
s s
& p
(16)
for i > 1 여기서 s 는 응축된 코팅 물질의 표면장력, m 과 1
v1은 응축된 분자 하나가 차지하는 질량과 부피, N 는 아보가드로 수, A k 는 볼쯔만 상수이다. B
에어로졸 입자의 브라운 확산과 열영동에 의한 벽면 손실은 다음과 같은 2차원 물질수지 방정식에 의해 주어진다.
þ ý ü î
í
ì ÷
ø ç ö è æ
¶
¶
¶ + ¶
÷ ø ç ö è æ
¶
¶
¶
= ¶
¶
¶
÷÷ ø ö çç è æ -
r T T r N r r r
r N r D r z N u R
r k k
k p k
r 55m . 1 0
) 1 (
2 2 ,
2
(17) 여기서 Dp,k(=kBTCc/3pmdp,k)는 k번째 섹션 입자 의 확산계수, Cc는 미끄럼보정인자(slip correction factor)(Hinds, 1999), m는 공기의 점도이다. 식 (17) 의 우변에 있는 두 항은 각각 브라운 확산과 열영 동 효과를 나타낸다. 브라운 확산 항은 식 (5), (6) 의 방법을 사용하여 차분화하였고, 열영동 항은 다 음과 같이 차분화하였다.
ïþ ïý ü ïî
ïí ì
÷÷ ø ö çç
è æ
D - - D + - D + - D
+
» -
ïþ ïý ü ïî
ïí ì
÷÷ ø ö çç
è æ
¶ - ¶
¶ + ¶
¶ +¶
¶
= ¶ þ ýü î íì
÷ ø ç ö è æ
¶
¶
¶
¶
- - + - +
+ - +
r T T T r N N N r r T T r
T T T T N
r T T r N N r r T r
T T N r T T r N r r
i i
i i k i k
i k i i i i i i
i i k
k
k k
k
2 1 2 1 1 2 ) (
2
1 1 1 1
1 1 1 , 1 , , 1 1 2
1 , 1
2 2
(18)
단, 원형관 중심에서는 다음 차분식을 사용하였다.
2 , 1 2 2
) (
) 4 (
2 1
r T T T N r
T T N r T T r N r r
i i i
i k k
k
D
» -
¶
= ¶ þý ü îí
ì ÷
ø ç ö è æ
¶
¶
¶
¶ +
for i = 1 (19) Tb의 함수로 구해지는 모든 모수들 가운데 Dp,k
가 가장 큰 불확도를 가지는 모수인데, 이는 Dp,k가 온도 뿐 아니라 입자크기에 따라 변하기 때문이다.
원형관 중심에서보다 벽면으로 가까이 갈수록 벽면 에서의 냉각 효과 때문에 온도는 감소하고, 낮은 온 도에서 더 빨리 진행하는 응축 효과 때문에 입자 크 기는 증가한다. 이 두 가지 변화는 모두 Dp,k의 값 을 감소시키는 효과를 가져온다. 그러나 다행히도 본 연구에서 수행한 모델링의 경우 브라운 확산 효 과는 무시할 수 있을 정도로 작은 것으로 나타났는 데, 브라운 확산의 효과가 가장 크게 나타난 가장 바깥쪽 격자에서 브라운 확산으로 인해 발생하는
농도 차이가 0.2% 미만이었다.
원형관 내 위치에 따라 응축성장의 정도가 다르 므로 각 섹션의 입자 직경도 위치에 따라 다르다.
따라서, 브라운 확산과 열영동에 의한 입자의 이동 은 각 위치에서 각 섹션의 입자크기의 변화를 수반 하게 된다. 이 변화는 다음과 같은 방법으로 고려하 였다. r 방향의 온도 구배와 입자 농도 구배가 모두 음이기 때문에 이 방향의 입자의 이동은 항상 양의 방향, 즉 벽면을 향하는 방향이다. z 방향 증가분이 dz이며 반경 ri-1£r£ri (ri=( -i 0.5)rt/Nr) 범위에 있는 i번째(1£i £Nr) 환상 제어체적(annular control volume)을 고려하면, (i‐1)번째 체적으로부터 이동해 오는 입자의 수(Fi-1)는 i번째 체적 안쪽에 있는 원 기둥 안의 입자 수 감소분과 같으므로 다음 식이 성 립한다.
å
-
=
- =-
1
1 1
i
j j j
i dNV
F
for i³2 (20) 여기서 Vj 는 j번째 제어체적의 부피, dNj는 그 안에 서의 입자 수농도의 변화량이다. 따라서 입자의 이 동으로 인한 입자 평균 직경의 변화는 다음 식으로 표현된다.
1 1 , , 1 , 1
1 1 , ,
, ,
) (
) (
- - -
- - -
+ - - - + =
- +
= -
i i i i
i p i p i i p i
i i i
i i p i i i i p new i
p NV F F
d d d F
F F V N
F d F V N d d
(21) 식 (21)의 양변에서 dp,i를 빼고 dN®0, 즉
0
®
F 을 취하면 다음 식을 얻는다.
i i
i
j j j i p i p i
p NV
V dN d
d dd
å
-
=
- -
=
1
1 1 , , ,
) (
(22)
각 환형 제어체적의 값으로 V1=pr12dz, )
( 2- 2-1
= i i
i dz r r
V p for i³2를 대입하고 여기에 다 시 ri=( -i 0.5)rt/Nr을 대입하면 식 (22)는 다음과 같이 정리된다.
) 1 (
) 1 ( 125
. 0 ) (
1 2 1 1
, , ,
-
ïþ ïý ü ïî
ïí
ì + -
-
=
å-
= -
i N
dz j dN dz
d dN d dz dd
i i j
j i
p i p i p
(23)
Fig. 2. Comparison of temperatures predicted by the models. Nu = 4.44 was used for the 2D simulation. Tb: bulk temperature calculated by the 1D plug flow model; Tw: wall temperature;
Tavg: cup‐average temperature calculated by the 2D laminar flow model; r : radial coor- dinate; R : tube radius.
균질핵화에 의해 생성된 입자들을 Moving Sec- tional Method로 다루기 위해서는 핵 입자들이 생성 되고 응축성장하는 한 계속해서 새로운 섹션을 추 가해줘야 하는데 이는 사실상 불가능하다. 따라서 본 연구에서 사용한 모델에서는 독립된 “nuclei mode”를 두고 핵화, 브라운 응집, 응축에 의한 크기 분포의 변화를 모멘트 기법(Otto et al., 1999; Park et al., 1999; Park et al., 2002) 을 사용하여 추적하였다.
핵화, 응집, 응축이 동시에 일어날 때 이에 따른 입 자크기분포 n( tv, )의 변화는 다음 식으로 표현된다.
{ }
ò
ò - - - ¥
+ -
=
¶ +¶
¶
¶
0
0 ( , )( ,)( ,) (,) (, )(,)
2 ) 1 ( ) (
) , ( ) ( ) , (
v d t v n v v t v n v d t v n t v v n v v v v v v S
v t v n v I t
t v n
v
n b b
d
{ }
ò
ò - - - ¥
+ -
=
¶ +¶
¶
¶
0
0 ( , ) ( ,) (,) (,) (, )( ,)
2 ) 1 ( ) (
) , ( ) ( ) , (
v d t v n v v t v n v d t v n t v v n v v v v v v S
v t v n v I t
t v n
v
n b b
d
(24) 여기서 v는 입자의 부피, I(v)=dv/dt는 응축에 의 한 입자성장률, S는 핵화 속도(nucleation rate), δ는 디랙 델타 함수(Dirac delta function), v 은 핵화에 n 의해 생성된 입자의 부피, b 는 두 입자 간 충돌빈 도함수(collision kernel)이다. 식 (24)에서 좌변 두번 째 항은 입자의 응축성장을, 우변 첫번째 항은 핵화 에 의한 입자의 생성을, 두번째 및 세번째 항은 응 집에 의한 입자의 성장을 나타낸다. 모멘트 기법에 서는 nuclei mode 입자들의 크기분포를 다음과 같은 대수정규함수(log‐normal function)로 가정한다.
{ }
ú ú û ù ê
ê ë
= é -
) ( ln 18
) ( / exp ln ) ( ln 2
) ( 3 ) 1 ,
( 2
2
t t v v t
t N t v
v n
g g g
n
s s
p (25)
여기서 sg는 입자 직경의 기하표준편차, vg는 기하 평균입자부피이다. 모멘트 기법에서는 Nn, sg, vg의 시간에 따른 변화를 추적함으로써 입자크기분포의 변화를 구한다. 사용된 모멘트 기법에 대한 자세한 설명은 Park et al.(2013)을 참조하기 바란다.
코팅되는 입자들 간의 응집이나, 이 입자들과 핵 화로 생겨난 핵 입자들 사이의 응집은 Park et al.(2013)의 제안을 따라 무시하였다. 모든 미분방정 식은 유한차분법(finite difference scheme)을 사용하 여 수치적으로 풀었다. 반경 방향과 축 방향 격자 수는 각각 10과 1980이었다. 수치적분에는 5차 Runge‐Kutta법이 사용되었다.
3. 결과 및 고찰
모든 수치계산은 Table 1에 제시한 조건에서 수행 하였다.
Fig. 2는 플러그흐름 모델에 의해 계산된 혼합평 균온도(Tb)와 2차원 층류 모델에 의해 계산된 온도 분포 및 평균온도(cup‐average temperature)(Tavg)를 비 교하고 있다. Nu = 4.44일 때 Tb와 Tavg 간 차이가 가 장 작았으며(< 1.3K), Nu의 값이 4.4와 4.5 사이에서 변하는 동안 Tb의 변화는 0.5K에 달했지만 Tavg의 변 화는 0.02K 미만이었다. 이 결과는 2차원 층류모델 에 사용되는 모수들의 값을 Tb에 근거해 구하는 것 이 합리적임을 의미한다. Fig. 2는 1차원 플러그흐름 모델이 추적하지 못하는 반경 방향 온도분포가 상 당히 넓다는 것을, 즉 벽면 근처의 온도와 원형관 중심부 온도 사이에 큰 차이가 있다는 것을 보여주 고 있다. 이는 나중에 보여지듯 원형관 내부에서 일 어나는 물질 전달과 에어로졸 동력학을 모의하는 데 큰 오차를 불러일으키는 원인이 된다.
Fig. 3은 1차원 및 2차원 모델로 계산한 코팅 물질 증기의 농도를 비교하고 있다. 벽면에서의 포화농도 (csw)와 혼합평균온도에 대한 포화농도(csb)도 함께 나타냈다. 포화증기농도가 증기농도보다 낮아지는 순간 응축이 일어나며 증기농도는 감소하기 시작한
Parameter Value
Number of sections 1
Nonvolatile particle diameter 217 nm Particle number density at 298.15K 1.0´1010 m‐3 Coating material
molecular mass liquid density surface tension liquid feed rate
oleyl alcohol 266 g mol‐1 0.8 g cm‐3 0.015 N m‐1 0.1 mL h‐1
Inlet air flow rate 2 SLPM
Tube length 80 cm
Tube diameter 2 cm
Initial bulk temperature 373.15K
Wall temperature Assumed to decrease linearly from the initial bulk temperature to the ambient temperature (293.15K ) for the first 30 cm and then remain constant
Table 1. Summary of the conditions for numerical calculations.
Fig. 3. Comparison of coating material vapor con- centrations predicted by the models. Nu = 4.44 was used for the 2D simulation. cb: bulk vapor concentration calculated by the 1D plug flow model; csw: saturate vapor concentration at wall temperature; csb: saturate vapor concentration at bulk temperature; cavg: cup‐
average vapor concentration calculated by the 2D laminar flow model; r : radial coordinate;
R : tube radius.
다. 따라서, 증기농도의 감소는 온도가 가장 낮아서 포화농도가 가장 낮은 가장 바깥쪽 격자에서부터
시작된다. Fig. 3에 따르면, 1차원 모델은 평균 증기 농도를 꽤 정확하게 예측하지만 반경 방향의 증기 농도분포에 대한 정보는 제공할 수 없다.
1차원 모델과 2차원 모델의 예측 간의 가장 큰 차 이는 입자 직경에서 나타났다(Fig. 4). 1차원 모델이 2차원 모델에 비해 입자의 응축성장을 심하게 과대 평가하고 있음을 볼 수 있다. 이러한 차이는 1차원 모델에서 반경 방향의 혼합이 완벽하다고 가정했기 때문에 발생한 것으로 풀이된다. 앞서 언급한 것처 럼 2차원 모델에서는 입자의 성장이 가장 바깥쪽 격 자에서부터 시작한다. 그러나 이 격자에서는 입자 표면에서의 응축이 벽면에서의 응축과 경쟁하면서 코팅 물질 증기가 급속히 고갈된다. 뒤에서 보여지 듯이 브라운 확산과 열영동이 원형관 중심부에 있 는 증기 분자들을 충분히 신속하게 이동시켜주지 못하기 때문에, Fig. 4에서 나타난 것처럼 가장 바깥 쪽 격자에서의 입자 성장은 오래 지속되지 못한다.
한편, 관 중심부에서는 높은 온도 때문에 응축성장 이 빠르게 일어나지 못한다. 반면, 1차원 모델에서 는 반경 방향의 완전 혼합을 가정하기 때문에, 물질 전달 지체로 인한 응축성장 지체의 효과가 제대로 반영되지 못하고 2차원 모델보다 훨씬 높은 응축성
Fig. 4. Aerosol growth due to condensation predicted by the models.
Fig. 5. Comparison of average coating material vapor concentrations predicted with and without nucleation taken into account.
장을 예측하게 된다.
위에서 언급한 것처럼 브라운 확산의 효과는 무시 할 수 있을 정도로 작았다. 반면 열영동의 효과는 상당했는데, 원형관을 통과하는 동안 9.5%의 입자들 이 열영동에 의한 벽면손실로 사라졌다. 그러나 이 벽면 손실이 평균입자직경에 미치는 영향은 미미했 다.
출구에서 nuclei mode 입자들의 기하평균직경(dg) 과 기하표준편차(σg)는 각각 91 nm와 1.2였다. 비교 적 작은 σg 값은 unimodal 분포의 사용이 적합하였 음을 뒷받침해주었다. Fig. 5에서는 균질핵화를 고려 하였을 때와 고려하지 않았을 때 예측된 평균 코팅 물질 증기농도를 비교하였다. 균질핵화의 고려에 의 해 야기된 차이는 최대가 11% 정도였는데 이는 주 로 출구 부근에서 발생하였다. 따라서, 균질핵화가 입자의 응축성장에 미치는 영향은 미미한 것으로 판단된다.
4. 결 론
1차원 플러그흐름 모델이 추적하지 못하는 반경 방향의 온도분포와 코팅물질 증기농도분포가 코팅 장치 내에서의 입자의 응축성장에 큰 영향을 미치 는 것으로 나타났다. 벽면 근처와 원형관 중심부에 서의 온도와 증기농도에는 큰 차이가 있었으며, 이
를 무시하는 1차원 모델은 원형관 내부에서 일어나 는 물질 전달과 에어로졸 동력학을 모의하는 데 큰 오차를 가져왔다. 1차원 모델은 온도와 증기농도의 평균값은 꽤 정확하게 예측하지만 응축성장하는 에 어로졸 입자의 직경은 심하게 과대평가하였다. 가장 바깥쪽 격자에서 가장 낮은 온도와 포화증기농도 때문에 가장 활발하게 시작되는 입자의 응축성장은 코팅 물질 증기의 급속한 고갈에 의해 지체되고, 원 형관 중심부에서는 높은 온도와 포화증기농도 때문 에 응축성장률이 낮았다. 브라운 확산과 열영동은 바깥쪽에서 고갈되는 코팅 물질 증기를 원형관 중 심부로부터 공급해줄 만큼 충분히 빠르지 못했다.
그러나, 반경 방향의 완전 혼합을 가정하는 1차원 모델에서는 이러한 현상을 정확히 모의하지 못함으 로 인해 2차원 모델보다 훨씬 높은 응축성장을 예측 하였다. 브라운 확산으로 인한 벽면 손실은 무시할 수 있을 정도로 적었고, 열영동으로 인한 벽면 손실 은 9.5%에 달했다. 그러나 이 벽면 손실이 평균입자 직경에 미치는 영향은 미미했다. 본 연구의 결과는 thermodenuder에 대한 기존 연구결과와는 달리 코팅 장치에서 입자의 응축성장을 정확하게 모의하기 위 해서는 2차원 열 및 물질전달을 반드시 고려해주어 야 한다는 것을 보여주었다.
