관로에서의 유체의 흐름 Chapter 14

관로에서의 유체의 흐름 Chapter 14

관로문제 단일관

14-1 ( )

관의 지름에 비하여 길이가 긴 관을 사용하여 유체를 수송 할 경우의 관을 관로(pipe line)라고 한다. 정상흐름의 관로 문제는 Bernoulli의 방정식과 연속방정식을 이용함으로써 해 결할 수 있다. 가장 효율적인 방법은 에너지선과 수력구배선 을 그리는 것이다. 이러한 선들에서 압력 속도 및 단위중량, 당의 에너지의 변화 등을 전체 문제에 대하여 명확하게 알 수 있다. 이와 같은 선들을 그리는 것은 여러개의 방정식들 을 쓰는 것과 같고 방정식들만으로는 해결할 수 없는 문제들 을 해결할 수 있게 한다.

공학에서 관유동 문제는 보통 (1)유량과 관로의 특성으로 수두손실과 압력변화를 계산하는것, (2) 흐름을 생기게 하는 수두와 관로의 특성으로 유량을 계산하는 것, 그리고 (3) 압 력차가 알려진 두 구역사이에 주어진 유량을 통과시키는데 필요한 관의 지름을 계산하는 것 등이다.

첫째 문제는 직접 풀 수 있으나 나머지는 시행오차법, (試行 에 의하여 해결된다 마찰계수

) .

誤差法 f와 손실계수 ζ는

수에 따라 변화하고 수는 또한 각각 Reynolds , Reynolds (2) 와 (3)의 미지수인 유량과 관지름에 따라 변화하기 때문에 시 행오차법이 필요하게 된다. 그러나 공학적인 관로문제는 대 부분 Reynolds수가 높은 거친 관에서의 흐름들이다. 이런 흐름의 문제에서는 (1)Reynolds수가 높고 거친 관에서 흐름 은 f 와 ζ 가 일정하게 되는 경향이 있고, (2) Moody 선도 에서 f 를 선정할 때 오차가 생기며 그리고, (3) 공학적인 답

은 위의 사실들로 보아서 시행오차법을 사용하여야 할 정도 의 정밀도를 필요하지 않는 그러한 이유 등 때문에 시행오차 법을 거의 필요로 하지 않는다.

그림 8-20과 같이 수면 높이의 차가 H 인 두 수원지(水源 사이의 관에서 흐르는 유량을 계산하는 문제를 예를 들어 )

池

생각하여 보자. 에너지선은 한 쪽 수원지의 수면에서 시작하 여 다른 수원지의 수면에서 끝난다. 즉 관마찰로 인한 수두 손실을 나타내는 서서히 내려오는 h_Lf, 입구손실과 출구손실 을 나타내는 급강하하는 h _Le와 h _Lx를 사용해서 그림에 보 인 바와 같이 에너지선을 그릴 수 있다.

즉, h _Le+h _Lf+h _Lx=H

이다. 이 식은 두 수원지 수면사이에 에너지방정식을 적용한 것이다. 해당하는 수두손실의 식을 대입하면 다음과 같다.

(0.5+f l d⁺¹⁾

V² 2g ⁼H

만약 흐름이 난류이고 f 의 근사치로서 0.03 이 선정되었 다면 위의 식의 괄호안의 양, (量)은 l/d 가 100, 1000, 10,000 으로 관이 길어질 경우 각각 4.5, 31.5, 301.5 가 된다. 이 때 입구와 출구의 손실인 부차적 손실은 관이 길어져도 항상

(0.5+1) V²

2g인 일정한 값을 유지한다. 상기한 l/d 의 각 값 에 대하여 부차적 손실을 무시한다면 유량과 유속은 무시하, 지 않았을 때에 비하여 약 18.2% 및 0.3%의 오차를 나타내 게 된다. 명백히 비교적 긴 관로에서는 부차적 손실은 극히 적기 때문에 아주 무시할 수 있다. 여기에 또 하나의 편리한 근사법을 도입하자. 즉 l/d 를 증가시키면 속도수두 V²/2g 를 감소시킬 것이고 에너지선과 수력구배선은 서로 근접하게, 된다.

따라서, 이 때에는 H=f l d

V² 2g ⁼h_L

이며 그림, 8-21과 같이 에너지선과 수력구배선을 하나의 단 일선으로 표시 할 수 있고 속도와 유량을 시행오차법으로 구, 할 수 있다.

또한 관로의 말단에 노즐이 붙어 있는 경우의 에너지선과 수력구배선이 그림 8-22에 표시되었다. 여기에서 만약 l/d 가 크고 d₂/d₁가 작으면 부차적 손실과 관로의 속도수두는 무시할 수 있다. 그러나 노즐 끝에서의 속도수두는 무시할 수 없다. 그러므로 근사해(近似解)를 위하여 관로에서 일치 되었던 에너지선과 수력구배선은 그림에 보인 바와 같이 노 즐에서는 분리된다. 유량은 다음의 연속방정식과 Bernoulli 방정식을 연립방정식으로 한 해(解)로써 얻을 수 있다.

Q=A₁V₁=A₂V₂, H= V₂² 2g ⁺f l

d₁

V₁² 2g 처음 식을 둘째 식에 대입하면

V₂²

2g ⁼H-

(

)

을 얻는다. 만약 노즐에서의 분류가 충동터빈을 구동한다면, 분류로 얻을 수 있는 동력에 대한 식은 다음과 같다.

P=Qγ[ V₂²/2g]

이 식에 위의 식을 대입하면

P=Qγ

[

]

모든 손실과 속도수두가 포함 (a)

부차적 손실과 관로의 속도수두가 무시 (b)

을 얻으며 최대동력을 얻기 위하여, dP/dQ= 0을 취하면 flQ²

2gd₁ A₁^{2 =} H 3

이다 이것은 분류의 최대동력은.

fl V₁² 2gd₁ ⁼

H

3 또는 V₂² 2g ⁼

2H 3

일 때에 얻을 수 있음을 나타낸다 이것으로 어떤 이용할 수. 있는 유량으로 최대동력을 얻을 수 있는 관과 노즐의 치수를 결정할 수 있다.

예제 수원지의 수면과 출구와의 수직거리는

[ 14-1] 9 m이

다. 관은 지름 155 mm의 신품 주철관이다. 관로를 흐르는 유량을 구하라.

수면

[Sol] 1과 관로의 출구 2에 에너지방정식 (6-8)을 적 용하면

p₁

γ + V₁²

2g ⁺z₁=p₂

γ + V₂²

2g ⁺z₂+h_L

1-2

출구관의 중심을 기준으로 취하면 위의 식은, 9= V₂²

2g ⁺h_L1-2 (1) 이다.

밸브와 90゜엘보우에서 생기는 수두손실을 각각 h_Lv , h_L90이라고 하면 위의 식에서 h_{L1 -2}는

h_{L1 -2}=h _Le+h_Lf+h_L90+h_Lv 이다.

그림에서 l=102m 이므로 해당식을 위의 식에 대입하면 h_L1-2=

(

)

=(0.5+f ¹⁰²

0.155+2×0.75+7.5) V₂² 2g

이것을 식(1)에 대입하면 9=(1+0.5+f ¹⁰²

0.155+2×0.75+7.5) V₂² 2g 9=(10.5+659f) V₂²

2g ⁽²⁾

관의 마찰계수 f는 속도 V가 정해지지 않으면 구할 수 없다.

따라서, f=0.03이라고 가정하면 식(2)는 9=(10.5+659×0.03) V₂²

2×9.81, V₂=2.42 m/ sec 신품 주철관의 거칠음이 표 8-1로부터 e= 0.30 mm 이면,

e/d= 0.30/155 = 0.0019이다.

따라서, R= 2.42×0.155

11.46×10^-7 =3.27×10⁵

그림 8-4의 Moody 선도에서 f ≅ 0.024를 얻는다 이 값을. 식(2)에 대입해서 유속을 다시 계산하면 다음과 같다.

9=(10.5+659×0.024) V₂²

2×9.81, V₂= 2.59 m/ sec 이에 대한 Reynolds수는 R= 2.59×0.155

11.46×10^-7 =3.5×10⁵ 이다.

이 때의 f 는 위에서 기술한 값과 거의 변화가 없다.

따라서, Q= π

4(0.155)²×2.59=0.0488 m³/s=48.8l/ sec

예제 수면 높이의 차가

[ 14-2] 15 m인 저수지를 지름 300 mm인 깨끗한 주철관 500 m로 연결하였다. 관로를 흐를 유량을 계산하라. 물의 온도는 10℃이고 입구는 직각모서리 로 가정하라.

에너지방정식 을 적용하고 해당하는 손실계수

[Sol] (6-8)

를 사용하면,

15=(0.5+f ⁵⁰⁰

0.30+1) V₂²

2g ⁽¹⁾

f=0.03 이라고 가정하면 V=2.39 m/ sec 이다.

따라서 이 때의, Reynolds수는 R= 2.39×0.3

13.10×10^-7 =5.47×10⁵ 이다 표. 8-1에서 신품 주철관의 거치름 e=0.3 mm를 사용하 면 e/d= 0.3/300 = 0.001이다. 들의 값을 이용해서 그림 8-4 의 Moody 선도로부터 f ≅ 0.021을 얻는다 이 값을 식. (1)에 대입해서 계산을 되풀이 하면 V=2.84 m/ sec , R=6.50 ×10⁵ 이 다. 이때 f ≅ 0.02이며 거의 변화가 없다 따라서 관을 흐, . 르는 물의 속도는 2.84 m/ sec 이며 유량은 다음과 같다, .

Q=π

4(0.30)²×2.84 =0.20 m³/ sec

예제 밑의 저수지에서 위의 저수지에 물을 [ 14-3]

70l/ sec 의 유량으로 수송하려고 한다. 요구되는 펌프의 동 력을 계산하라. 물의 온도는 15 ,℃ 관은 신품 주철관이며, 부차적 손실은 무시하라.

[Sol] e/d= 0.3/200 = 0.0015, e/d= 0.3/150 = 0.002 V₂₀₀= 70×10^-3

π

4 (0.2)²

=2.23 m/ sec,

V₁₅₀= 70×10³ π

4 (0.15)²

=3.96 m/ sec,

R₂₀₀= 2.23×0.2

11.46×10^-7 =3.89×10⁵, R₁₅₀= 3.96×0.15

11.46×10^-7 =5.18×10⁵,

f₂₀₀ ≅ 0.022, f₁₅₀ ≅ 0.02 h_L200=0.022×300

0.2 × (2.23)²

2×9.81 =8.36 m h_L150=0.02× 600

0.15 × (3.96)²

2×9.81 =63.94 m 에너지선으로부터

E_P=(45-15)+8.36+63.94=102.3 kg_f m/kg_f P= 1,000×70×10^{- 3}×102.3

75 = 95.48 PS