7.7 1차원 압밀방정식

7.7 1차원 압밀방정식

7.7.1 1차원 압밀의 기본 미분방정식

(1) Terzaghi의 점토 압밀이론식 유도과정에 대한 가정 가. 흙은 균질함

나. 흙은 포화되어 있음

다. 흙입자와 물은 압축되지 않으며, 흙의 압축은 오직 간극수 유출에 기인함 라. 간극수의 흐름은 1차원 연직방향으로만 발생함

마. Darcy 법칙이 유효하며 투수계수는 일정함 바. 간극비는 유효응력에 반비례함

그림 7-15 1차원 압밀

(2) z 방향으로의 부피변화율

(

)

∂v_z

∂z dzdxdy^{= ∂}V

∂t

V: 흙 요소의 부피 = dxdydz, vz: 물의 z 방향으로의 속도 (3) Darcy's law

v_z=ki=k^∂h

∂z ⁼ k γ_w

∂u

∂z

u: 점토층에 작용한 응력증가로 인한 과잉간극수압 k

γ_w ∂²u

∂z^{2 =} dxdydz^{1 ∂}V

∂t ,



 

 

  





(4) 압밀도중 부피변화율 = 간극의 부피변화율

∂V

∂t ^{= ∂}V_v

∂t

Vv: 간극의 부피, Vv= e·Vs, Vs,: 흙입자의 부피

∂V

∂t ⁼V_s^∂e

∂t ⁼ V 1+e ^∂e

∂t ⁼ dxdydz 1+e ^∂e

∂t γk_w ∂²u

∂z^{2 = 1+1} e ^∂e

∂t

(5) 간극비 변화가 유효응력의 증가에 선형적으로 증가한다면,

∂e=-a_v∂σ'

_: 압축계수(coefficient of compatibility) = - ∂e

∂σ' σ'= σ-u

(6) 유효응력 증가는 간극수압의 감소에 기인

∂e=a_v∂u k γ_w ∂²u

∂z^{2 =} a_v 1+e ^∂u

∂t ⁼m_v^∂u

∂t

_: 체적변화계수(coefficient of volume change) (7) Terzaghi 압밀이론의 기본 미분방정식

∂u

∂t ⁼ k γ_wm_v ^∂

2u

∂z^{2 =}c_v^∂2u

∂z²

_: 압밀계수(coefficient of consolidation) (8) 투수계수에 대한 압밀이론 기본 방정식

k=c_v^γ_wm_v

7.7.2 압밀 미분방정식의 해

(1) 비교적 얇은 점토층이 모래층 사이에 있는 경우에 있어서 해를 구하는 방법 가. 간극수압의 분포가 깊이에 따라 일정한 경우의 초기경계조건

t=0 일 때, u=ui, ui : 초기 과잉간극수압

나. 상면: 점토층, 하면: 모래층 으로 과잉간극수압이 항상 0 인 경계조건 z=0 일 때, u=0; z=2H 일 때, u=0

다. 초기경계조건과 경계조건을 이용하여 임의 시간에 임의 깊이에서 과잉간극수압 u=^m_m

∑

= 0

2u_i

M ^sin Mz H e ^-M

2T

M= (2m+1)π

2 , 시간계수(T)= c_vt

H² , H: 배수거리 라. 압밀시간

t= TH² c_v

7.8 압밀도

7.8.1 압밀도

- 압밀도(degree of consolidation): 과잉간극수압이 감소한 비율 또는 그 결과 압밀침 하가 일어난 비율

(1) 양면배수 조건의 점토층에서 임의 시간에 임의 깊이에서 압밀도 _ U_z = u_i-u (소실된 과잉간극수압)

u_i (초기 과잉간극수압) =1- u u_i U_z= 1-^m_m

∑

= 0

M2 ^sin Mz H e ^-M

2T,



^

  ∞



_





^



그림 7-16 압밀도와 시간계수 및 깊이의 관계

7.8.2 평균압밀도

(1) 임의 시간에서 평균압밀도(average degree of consolidation) U_av(%) = 점토층 전체의 소실된간극수압의 합

점토층의 초기 과잉간극수압의 합

=

⌠⌡

2H

0 u_idz- ⌠⌡

2H

0 udz

⌠⌡

2H 0 u_idz

= 1-^m_m

∑

= 0

M e2 ^-M

2T

평균압밀도(_ ) 시간계수 T

예 I 예 II

0 0 0

10 0.003 0.047

20 0.009 0.100

30 0.024 0.158

40 0.048 0.221

(2) 평균압밀도의 근사식 U_av= 0∼60%: T= π

4

(

)

U_av= 60∼100%: T=1.781 - 0.933 log (100-U_av) (3) 침하량 기준에 의한 평균압밀도

U_av= S_t S_c

St: 임의 시간에서 점토층의 침하량; Sc: 최종(t=∞) 압밀침하량

그림 7-17 평균압밀도와 시간계수 사이의 관계

7.8.3 초기 과잉간극수압 분포가 다른 경우

그림 7-18 초기 과잉간극수압의 분포

50 0.092 0.294

60 0.160 0.383

70 0.271 0.500

80 0.440 0.665

90 0.720 0.940

100 ∞ ∞

7.9 압밀계수

7.9.1 압밀계수

(1) 압밀도나 압밀소요시간을 구하기 위함, 시간-침하량 곡선으로부터 구함 (2) 액성한계가 클수록 감소

(3) logt 방법과 t 방법

7.9.2 logt 방법

그림 7-19 logt 방법

(1) Casagrande and Fadum이 제안한 방법

가. 주어진 압력에 대한 시간의 경과에 따른 시료의 압축량 그래프 나. _ _이 되도록 곡선상에 A, B점 결정

다. A, B의 변형량의 차=, A점 위 연직방향으로 만큼의 점 C

라. C점의 수평선에서 세로축(변형량)과 만나는 점 _: 압축량이 0인 지점(_가 초기

_와 일치하지 않은 것은 흙속의 간극이 100% 포화되어 있지 않기 때문)

마. 변형량-log  곡선에서 두 직선이 만나는 교점 D: 1차압밀이 100% 완료되었을 때 의 압축량 _

바. 변형량 _ _  _에 해당하는 점 E: 압밀이 50% 완료된 시간 _

사. 평균압밀도 _  에 대한 시간계수: 0.197

아. 압밀계수:

T₅₀(U_av= 50%)= 0.197 = c_vt₅₀ H² c_v= 0.197H²

t₅₀

7.9.3 t ^방법

그림 7-20 t 방법

(1) Taylor가 제안한 방법 가. 변형량-대응 시간 그래프 나. 초기 직선부 AB선 결정

다. OC=1.15OB가 되는 AC선 결정

라. 압밀곡선과 AC선의 교점 D: 압밀이 90% 완료(_)된 시간의 제곱근



마. 평균압밀도 _  에 대한 시간계수: 0.848

사. 압밀계수:

T₉₀(U_av= 90%) = 0.848 c_v= 0.848H²

t₉₀

7.9.4 압밀비

(1) 그림 7-19와 7-20으로부터 여러 압밀비 정의 가. 초기 압밀비: r₀= a₀-a_s

a0-a_f

나. 1차 압밀비(logt 방법): r_p= a_s-a₁₀₀ a₀-a_f 다. 1차 압밀비( t 방법): r_p= 109

a_s-a₉₀ a₀-a_f 라. 2차 압밀비: r_s= 1- (r₀+r_p)

7.10 2차압밀

그림 7-21 2차압밀지수의 정의

(1) Ramond and Wahls, Mersri and Godlewski에 의한 2차압축지수, Ca

C_a= Δe

Δlogt ^{= Δ}e

logt₂- logt₁ ^{= Δ}e log t₂

t1

Δe: t1과 t2 사이의 간극비의 차

(2) 2차 압밀침하량, Ss

S_s= Δe

1+e_p H= C_a

1+e_p Hlog t₂

t₁ ⁼C^'_aHlog t₂ t₁

ep: 1차압밀 완료시의 간극비, Ca: 2차압축지수 C^'_a: 수정 2차압축지수, H: 점토층의 두께

(3) 유기질 흙, 압축성이 큰 무기질 흙에서 중요한 요인 (4) 자연 퇴적토의 수정 2차압축지수: 0.005～0.05 범위

7.11 점증하중으로 인한 압밀침하

가. 구조물 축조로 인한 하중은 시간이 지남에 따라 증가: 굴착초기에 순하중이 감소하 다 구조물이 축조되어 흙 하중을 초가하면 침하 발생 시작

그림 7-22 점증하중으로 인한 침하량

7.12 압밀침하의 촉진

7.12.1 연직 드레인공법

그림 7-23 연직 드레인공법

(1) 배수거리가 긴 점토지반에 투수성이 큰 재료를 연직방향으로 설치하여 수평방향으 로의 배수거리를 단축시켜 압밀을 촉진시키는 공법(드레인 간격이 가장 중요한 요소) (2) 샌드 드레인(sand drain) 공법: 점토지반내에 직경 20～50cm의 모래말뚝을 1.5～

6.0m 간격으로 설치하는 공법, 경제적․시간적인 면에서 장점, 전단강도와 투수성저하로 배수효과가 감소하는 단점

(3) 페이퍼 드레인(paper drain) 공법: 투수성이 큰 종이를 연직 드레인 재료로 사용하 여 압밀을 촉진시키는 공법, 카드보드 드레인(cardboard drain), 심지 드레인(wick drain), 플라스틱 드레인(plastic drain)

7.12.2 드레인공법의 특성

(1) 드레인 간격은 점토층의 두께보다 작아야 함

(2) 연직방향(cv)과 수평방향 압밀계수(ch)의 비(ch/cv)가 클수록 드레인 설치효과가 큼 (충적점토 지반에 적합한 반면 유기질 지반에 부적당)

(3) 스미어(smear) 효과: 점토지반의 교란에 의해 드레인에 인접한 점토의 압밀계수가 작아지는 효과(수평방향 압밀계수나 드레인 직경을 감소시킴으로서 보정)

그림 7-24 드레인의 배치 및 단면도

7.12.3 드레인공법의 원리

그림 7-25 방사상방향의 압밀도와 시간계수의 관계

(1) 극좌표에 의한 수평․수직방향의 3차원 압밀방정식

∂u

∂t ⁼c_h

(

∂r

)

U_r=f(T_r)

Uv: 연직배수에 의한 평균압밀도, Ur: 방사상방향(수평방향) 배수에 의한 평균 압밀도, Tv: 연직배수에 의한 압밀의 시간계수

(

)

밀의 시간계수

(

)

(2) 평균압밀도, U

U= 1-(1-U _v)(1-U_r) =U_v+U_r-U_vU_r