6-3 평면변형률
평면응력 때와는 달리 평면변형률의 대상은 두꺼운 물체이다. 이 경우에도 6-1절 의 경우와 같이 변환된 좌표에 관한 변형률을 계산하고 주변형률을 찾는다.
< 그림 6-6 >
x u dx
dx x dx
dx u
x
∂
= ∂
∂ − + ∂
= ( )
ε
y v
y
∂
= ∂ ε
∂ + ∂
∂
= ∂
′
′
∠ ′
−
∠
= y
u x
c v a b
xy
bac γ
x dx dx u
b
a ∂
+ ∂
′ =
′ ( )
) (
dx ab
ab b
a
x
=
′ −
= ′
이고
ε
이므로같은 방법으로,
(a)
(b)
(c)
변환된 축에서의 변형률 성분은,
< 그림 6-7 > 좌표변환
(d)
x y y u x
x x u x
u
x ∂ ′
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ +
∂
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ =
∂
∂ ′
′ = ε
y y y v y
x x v y
v
y ∂ ′
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ +
∂
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ =
∂
∂ ′
′ = ε
∂ ′
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ +
∂
⋅ ∂
∂
∂ ′
+
∂ ′
⋅ ∂
∂
∂ ′
′ +
∂
⋅ ∂
∂
∂ ′
=
∂ ′
∂ ′
′ +
∂
∂ ′
′ =
y y y u y
x x u x
y y v x
x x v y
u x
v γxy
x u
x ∂ ′
∂ ′
′ = ε
y v
y ∂ ′
∂ ′
′ = ε
∂ ′
∂ ′
′ +
∂
∂ ′
′ =
y u x
v γxy
(e)
식 (e)에 식 (f)을 대입하여 정리하면 다음을 얻을 수 있다.
θ θ sin
cos y
x
x = ′ − ′ θ
θ cos
sin y
x
y = ′ + ′ θ θ sin cos v u
u′ = +
θ θ cos sin v u
v′ = − +
좌표축 변환은 그림 (6-7)의 관계식에서 다음과 같이 정리된다.
(f)
(g)
이것을 정리하면 식 (6-8)으로 된다.
εx´ 또는 εy´의 최대, 최소값도 dεx´/dθ=0 또는 dεy´/dθ=0에서 구할 수 있으며 역시 γ´xy=0의 조건과 같다. 이 때의 θ를 θn이라 하면
tan2θn=γxy/(εx-εy)이며 θn의 값이 두 개 있어서 직교하는 두 방향을 나타냄.
이 식은 평면응력에 관한 식(6-1)에 대응되는 식이고, 다만 xy만 xy/2로 대응된다.
y x
y
x
ε ε ε
ε ′ + ′ = +
(6-8)
(h)
주변형률의 방향을 변형률의 주축(principal axis of strain)이라 하며, 이 주축에 대해서 45° 기울어진 축이 전단변형률이 최대가 되는 직교축이며 이 축을
최대 전단변형률 축(axis of maximum shear strain)이라 한다.
< 그림 6-8 모어의 변형률원과 주축 >
2 2
2 1
2 ) 2
2(
1
+
−
± +
=
x y xy
y x
γ ε
ε ε ε ε
ε
(
x xy y)
n ε ε
θ γ
= − 2 tan
(6-9) εx´의 최대, 최소값을 ε1, ε2라 하면 이것은 주변형률(principal strain)이 된다.
6-3 모어의 변형률원과 스트레인 게이지
변형률 측정에 가장많이 쓰이는 방법은 스트레인 게이지(strain gage)를 사용 하는 것으로 크기가 작고 편리하며 정밀도가 좋아 실용적이고 널리 보급된 것이다. εx, εy 등 x, y축의 방향은 스트레인 게이지로 측정이 용이하나 γxy는 아주 작은 양이라서 측정하기 어려워 x, y축 이외에 또 하나의 방향의 ε을
측정하여 세 방향의 스트레인을 측정한다. 이 세 방향으로 많이 이용되는 것은 계산이 쉬운 <참고 1>에서 (a), (b)의 경우이다. 지금 그림 (c)에서 A, B 및 C의 세 방향의 변형률 εθ
1, εθ
2 및 εθ
3를 측정하고 이것으로 εx, εy 및 γxy를 식(6-43)과 같이 계산한 다음 모어의 변형률원에서 주변형률 ε1, ε2를 구한다.
< 참고 1 > 로제트(rosette) 스트레인 게이지
※ 로제트 (rosette)게이지 : 한 점에서 세 방향의 변형률(또는 그 이상)을
측정하도록 조립되어 있는 스트레인 게이지의 짝
− + + +
=
− + + +
=
− + + +
=
3 3
2 2
1 1
2 2 sin 2
2 cos 2
2 2 sin 2
2 cos 2
2 2 sin 2
2 cos 2
3 2 1
γ θ ε θ
ε ε ε ε
γ θ ε θ
ε ε ε ε
γ θ ε θ
ε ε ε ε
θ θ θ
xy y
x y x
xy y
x y x
xy y
x y x
+ +
−
=
=
=
⇒
=
=
+ +
=
=
=
=
o o
o o o
o o
o
45 90
0 90
0
3 2
1
2 2
: 90
2 2
: 2 45
: 0
3 2
1
ε ε ε
γ
ε ε
ε ε
ε ε
θ
γ ε ε
ε θ
ε ε
θ
θ θ
θ
xy
y x
y
xy x y
x
= −
− +
=
=
⇒
− +
=
=
=
+ +
=
=
=
=
=
=
2 3
) 2
2 3( 1
4 3 4
3 : 4
120
4 3 4
3 : 4
60
: 0
120 60
0 120 60
0
3 120 2 60
1 0
3 2
1
o o
o o o
o
o o
o
o o
o
ε ε
γ
ε ε
ε ε
ε ε
γ ε ε
ε ε θ
γ ε ε
ε ε θ
ε ε ε θ
θ θ
θ
xy y
x
xy y
x
xy y
x
x
1) 46° 로제트
2) 60° 로제트
A 방향 : B 방향 : C 방향 :
참고 ε1,, ε2가 구해지면 후크 법칙에 의해 다음 식과 같이 ⌠1, ⌠2를 구할 수 있다.
( )
( )
− +
=
− +
=
1 2 2
2
2 2 1
1
1 1
νε ν ε
σ
νε ν ε
σ
E E
(6-10)
모어원을 이용, ε1, ε2를 구함.
[예제 6-2] 응력을 받는 물체 내의 한 점의 평면변형률 상태에서 εx=600Ⅹ10-6, εy= 140Ⅹ10-6, xy=360Ⅹ10-6이다. 모어의 변형률 원을 작도하고 주변형률
의 크기와 방향을 구하라.
중심점의 좌표 :
반지름 :
6
6
10 320
2 10 140 500
2
−
−
×
=
+ × + y =
x ε
ε
6
2 2
10 255
2 2
× −
=
+
−
= x y xy
R ε ε γ
) (
5 . 22 ,
1 2
tan
10 65 10
255 10
320
10 575 10
255 10
320
6 6
6 2
6 6
6 1
n CCW
y x
xy n
= o
− =
=
×
=
×
−
×
=
×
=
× +
×
=
−
−
−
−
−
−
ε θ ε θ γ ε ε
풀이
Strain gages in the aerospace industry Experimental stress analysis
On an aerospace component
