6-3 평면변형률

6-3 평면변형률

평면응력 때와는 달리 평면변형률의 대상은 두꺼운 물체이다. 이 경우에도 6-1절 의 경우와 같이 변환된 좌표에 관한 변형률을 계산하고 주변형률을 찾는다.

< 그림 6-6 >

x u dx

dx x dx

dx u

x

∂

= ∂

∂ − + ∂

= ( )

ε

y v

y

∂

= ∂ ε

 

 





∂ + ∂

∂

= ∂

′

′

∠ ′

−

∠

= y

u x

c v a b

xy

bac γ

x dx dx u

b

a ∂

+ ∂

′ =

′ ( )

) (

dx ab

ab b

a

x

=

′ −

= ′

이고

ε

이므로

같은 방법으로,

(a)

(b)

(c)

변환된 축에서의 변형률 성분은,

< 그림 6-7 > 좌표변환

(d)

x y y

u x

x x

u x

u

x

∂ ′

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ +

∂

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ =

∂

∂ ′

′ = ε

y y y

v y

x x

v y

v

y

∂ ′

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ +

∂

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ =

∂

∂ ′

′ = ε

 

 





∂ ′

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ +

∂

⋅ ∂

∂

∂ ′

 +



 





∂ ′

⋅ ∂

∂

∂ ′

′ +

∂

⋅ ∂

∂

∂ ′

 =



 





∂ ′

∂ ′

′ +

∂

∂ ′

′ =

y y y

u y

x x

u x

y y

v x

x x

v y

u x

v γ

xy

x u

x

∂ ′

∂ ′

′ = ε

y v

y

∂ ′

∂ ′

′ = ε

 

 





∂ ′

∂ ′

′ +

∂

∂ ′

′ =

y u x

v γ

xy

(e)

식 (e)에 식 (f)을 대입하여 정리하면 다음을 얻을 수 있다.

θ θ sin

cos y

x

x = ′ − ′

θ θ cos

sin y

x

y = ′ + ′

θ θ sin cos v u

u ′ = +

θ θ cos sin v u

v ′ = − +

좌표축 변환은 그림 (6-7)의 관계식에서 다음과 같이 정리된다.

(f)

(g)

이것을 정리하면 식 (6-8)으로 된다.

ε_x´ 또는 ε_y´의 최대, 최소값도 dε_x´/dθ=0 또는 dε_y´/dθ=0에서 구할 수 있으며 역시 γ´xy=0의 조건과 같다. 이 때의 θ를 θ_n이라 하면

tan2θ_n=γ_xy/(ε_x-ε_y)이며 θ_n의 값이 두 개 있어서 직교하는 두 방향을 나타냄.

이 식은 평면응력에 관한 식(6-1)에 대응되는 식이고, 다만 τ_xy만 γ_xy/2로 대응된다.

y x

y

x ε ε ε

ε ′ + ′ = +

(6-8)

(h)

주변형률의 방향을 변형률의 주축(principal axis of strain)이라 하며, 이 주축에 대해서 45° 기울어진 축이 전단변형률이 최대가 되는 직교축이며 이 축을

최대 전단변형률 축(axis of maximum shear strain)이라 한다.

< 그림 6-8 모어의 변형률원과 주축 >

2 2

2 1

2 ) 2

2 (

1  

 

 + 

 

 



 −

± +

 =

 

_{x y xy}

y x

γ ε

ε ε ε ε

ε

(

_x ^xy _y

)

n

ε ε

θ γ

= − 2 tan

(6-9) ε_x´의 최대, 최소값을 ε₁, ε₂라 하면 이것은 주변형률(principal strain)이 된다.

6-3 모어의 변형률원과 스트레인 게이지

변형률 측정에 가장많이 쓰이는 방법은 스트레인 게이지(strain gage)를 사용 하는 것으로 크기가 작고 편리하며 정밀도가 좋아 실용적이고 널리 보급된 것이다. ε_x, ε_y 등 x, y축의 방향은 스트레인 게이지로 측정이 용이하나 γ_xy는 아주 작은 양이라서 측정하기 어려워 x, y축 이외에 또 하나의 방향의 ε을

측정하여 세 방향의 스트레인을 측정한다. 이 세 방향으로 많이 이용되는 것은 계산이 쉬운 <참고 1>에서 (a), (b)의 경우이다. 지금 그림 (c)에서 A, B 및 C의 세 방향의 변형률 ε_θ1, ε_θ2 및 ε_θ3를 측정하고 이것으로 εx, εy 및 γ_xy를 식(6-43)과 같이 계산한 다음 모어의 변형률원에서 주변형률 ε₁, ε₂를 구한다.

< 참고 1 > 로제트(rosette) 스트레인 게이지

※ 로제트 (rosette)게이지 : 한 점에서 세 방향의 변형률(또는 그 이상)을 측정하도록 조립되어 있는 스트레인 게이지의 짝

 













− + + +

=

− + + +

=

− + + +

=

3 3

2 2

1 1

2 2 sin 2

2 cos 2

2 2 sin 2

2 cos 2

2 2 sin 2

2 cos 2

3 2 1

γ θ ε θ

ε ε

ε ε

γ θ ε θ

ε ε

ε ε

γ θ ε θ

ε ε

ε ε

θ θ θ

xy y

x y

x

xy y

x y

x

xy y

x y

x





















+ +

−

=

=

=

⇒









=

=

+ +

=

=

=

=

















45 90

0

90 0

3 2

1

2 2

: 90

2 2

: 2 45

: 0

3 2

1

ε ε γ ε

ε ε

ε ε

ε ε

θ

γ ε ε

ε θ

ε ε

θ

θ θ

θ

xy

y x

y

xy x y

x

 













 













= −

− +

=

=

⇒

 













− +

=

=

=

+ +

=

=

=

=

=

=

2 3

) 2

2 3 ( 1

4 3 4

3 : 4

120

4 3 4

3 : 4

60

: 0

120 60

0 120

60 0

3 120 2 60

1 0

3 2

1

























ε ε

γ

ε ε

ε ε

ε ε

γ ε ε

ε ε

θ

γ ε ε

ε ε

θ

ε ε

ε θ

θ θ

θ

xy y

x

xy y

x

xy y

x

x

1) 46° 로제트

2) 60° 로제트

A 방향 : B 방향 : C 방향 :

참고 ε_1,, ε₂가 구해지면 후크 법칙에 의해 다음 식과 같이 σ1, σ2를 구할 수 있다.

( )

( ) ^



 



− +

=

− +

=

1 2 2

2

2 2 1

1

1 1

νε ν ε

σ

νε ν ε

σ

E E

(6-10)

모어원을 이용, ε₁, ε₂를 구함.

[예제 6-2] 응력을 받는 물체 내의 한 점의 평면변형률 상태에서 ε_x=600Ⅹ10^-6, ε_y= 140Ⅹ10^-6, γ^xy=360Ⅹ10^-6이다. 모어의 변형률 원을 작도하고 주변형률

의 크기와 방향을 구하라.

중심점의 좌표 :

반지름 :

6

6

10 320

2 10 140 500

2

−

−

×

=

+ × +

_y

=

x

ε

ε

6

2 2

10 255

2 2

×

−

=

 

 

 + 

 

 



 −

=

^{x y xy}

R ε ε γ

) (

5 . 22 ,

1 2

tan

10 65 10

255 10

320

10 575 10

255 10

320

6 6

6 2

6 6

6 1

n

CCW

y x

xy n

=



− =

=

×

=

×

−

×

=

×

=

× +

×

=

−

−

−

−

−

−

ε θ ε

θ γ ε ε

풀이

Strain gages in the aerospace industry Experimental stress analysis

On an aerospace component