5-9 균일강도의 보

균일강도의 보 : 보의 모든 단면에서 σ_MAX과 같은 응력이 생기도록 만든 보

5-9 균일강도의 보

[그림 5-18]

, 32

d

Z Px

M _{= − =}

32 / 32

/

3

d

Pl d

Px Z

M

al π π

σ

= = − = ⁻

33

l d x d =

∴

, 32

al

d pl

=

단

(1) 원형단면의 외팔보

[예제 5-18] 등분포하중을 받는 사각형단면의 단순지지보[그림 17] : 사각형 단면의 폭 가 일정, h가 변하는 경우 M, Z 를 구하라.

풀이

균일응력을 σ_al이라하면 윗식의 조건식을 구할수 있다.

[그림 17]

(2) 높이가 일정한 사각형단면의 외팔보

6 / 6

, /

0

3

b h

pl bh

Px px

M = −

= − = −

높이 h가 일정, 폭 b가 변하는 경우 균일응력을 허용응력으로 하고, 고정 단 단면의 폭을 b₀ 라 하면,

l b x b =

∴

[그림 5-19]

(3) 균일강도의 판스프링

(

)

⁶

6

/ b h

Pl h

n b

n P l

• =

=

판스프링(leaf spring) : b₀를 2n등분하여 n개의 짝으로 한것을 겹친 스프링

[그림 5-20]

첫째 판은 첫 접점에서 M=P·l/n 둘째 판은 둘째 접점에서 M=P·l/n

[예제 5-19] 단면의 폭 가 일정할 때 등포하중을 받는 균일강도인 외팔보의 단 면 높이를 구하라.

풀이

단면의 폭이 일정하고 높이가 변하므로 단면은 사각형이다.

폭 b는 일정하고 h=h(x)이다.

균일강도의 보이므로 σ_al이 일정하므로,

다음식이 성립되어야 한다. _{[그림 17]}

[예제 5-20] 차축에 12ton의 하중이 작용하며, 양단이 베어링으로 지지될 때 축의 치수를 구하라. 단 양단의 베어링 및 하중이 작용하는 부분의 길이, 직 경의 비는 1.5:1, 허용굽힘응력은 400kgf/cm²으로 한다.

풀이

차축을 단순보로 가정하여 취급하면,

[그림 18]

베어링부의 반력 R_A, R_B

베어링 A의 길이 다음에 베어링 의 치수를 결정하려 면 단면을 고정단으로 해서 되는 집중하중을 받는 외팔보로 생각하면 된 다. 즉 이 굽힘모멘트 는 베어링 B의 길이와 직경의 비 이므로 다음과 같이 구한다.

베어링 B의 길이 :

5-10 이종재료의 보

⇒ 두 가지 재료로 된 보의 굽힘응력 계산시 아래와 같이 가정한다

(1) 직선보로서 굽힐 때 비틀어지지 않고(대칭굽힘을 함), (2) 두 가지 재료 사이에 미끄럼이 없으며,

(3) 각 재료는 탄성한계 이하의 힘을 받아, (4) 변형 후에도 단면은 평면을 유지한다.

⇒ 이러한 가정하에 두 가지 재료로 된 보이지만 한 가지 재료로 환산하면 앞서 배운 단일재료의 보 취급 을 하도록 하는 것이다.

5-10 이종재료의 보

이종재료의 보의 단면 동일재료로 환산한 경우

1) 재료의 ②의 부분을 재료의 ①의 부분으로 바꾼다. 즉 단일재료로 하되 단면 높이는 그림과 같이 그대로 두고 폭만 바꾸도록 한다.

2) 재료 ① ,② 의 모든 양을 ε₁, ε₂, σ₁, σ₂, E₁ 및 E₂ 로 표시 3) 두 재료의 변형량 ε₁₌ ε₂ 는 같다.

[그림 21]

5-10 이종재료의 보

다음 y거리에 있는 dy부분의 미소면적에 작용하는 힘은 재료 ① 부분에 서는 σ₁·bdy, ② 부분에는 σ₂·bdy , 재료 ②를 재료 ①로 바꾸어 놓았을 때 이 바꾸어진 부분의 폭을 b_e라 하면 σ₁·b_edy 로 된다. 이때 재료 ②부분이 받는 힘과 이 부분을 재료 ①로 환산했을 때 받는 힘은 같아야 하므로 식은 다음과 같다

세 가지 이상의 재료에서도 같은 요령으로 취급하면 된다. 가령 E₁, E₂, E₃ 의 3층 재료로 된 b₁ X h의 사각형 단면 보에서 각층의 보의 높이는 일정한 상태로 의 단일재료로 변환하려고 할 때 각 층의 폭을 b₁, b₂, b₃

등으로 하면 식 (5-33)으로 적용하면 식은 아래와 같다.

(5-13)

재료 ①로 바꾸어진 보의 단면을 등가단면(transformed equivalent cross section, 等價斷面)이라 한다.

여기서 특히 주의할 것은 ②의 부분을 재료 ①로 바꾸어 계산했으나 응 력산출에서는 다시 재료 ②에 대한 응력을 식 (5-31)로 산출해야 한다.

[예제 5-21] 강과 구리로 된 보의 최대굽힘응력을 구하라. 단, 길이 4m의단순 보 중앙에 집중하중 1,500kgf이 작용하고 있다.

풀이

[그림 19]

최대굽힘응력 σ₁은 식 (5-20)에서 구한다.

이 σ’₂는 재료 1로서의 응력이므로 재료 2의 응력으로 식 (5-31)을 사용하여 다시 환산해야만 한다.

순수굽힘을 받는 탄·소성재료인 보에 굽힘모멘트 M 이 적은 동안 에는 최대응력은 σ_yp보다 적으며, [그림 5-22(a)]와 같이 선형응력 분포를 갖는 탄성굽힘상태이다.

5-10 탄•소성굽힘

[그림 5-22] 탄소성 굽힘의 응력분포

보의 끝단응력이 항복응력에 이르게 될 때의 모멘트를 항복(降伏) 모멘트(yield moment)라 하며 아래의 식이 된다.

사각형 단면보의 경우

만약 보에 항복모멘트 M_yp 보다 큰 굽힘모멘트가 작용한다면?

=>최대변형률은 항복변형율 ε_yp를 초과할 것이다. 이때의 응력 조건은 그림 5-31 (c) 와 같다.

굽힘모멘트를 더 증가시키면?

=> 소성영역이 중립축 쪽으로 확장되어 그림 5-31 (e)의 상태가 되 고 탄성영역은 거의 없다.

=> 이 응력분포에 해당하는 모멘트를 소성모멘트(plastic moment) M_p 라 한다.

[그림 5-23] M_p의 결정

단면의 중립축 하부면적 A₁, 단면에 작용하는 인장력 T는 σ_ypA₁ 중립부 상부의 압축력 C는 σ_ypA₂ 가 된다.

C와 T에 대한 중립축에 관한 모멘트를 취하면 소성모멘트 M_p를 구할 수 있음

y₁과 y₂는 중립축으로부터

면적 A₁, A₂ 의 도심 c₁, c₂ 까지 거리

C와 T는 이므로,

탄성굽힘의 식 (5-35)와 마찬가지로 식 (5-37)도 다음과 같이 표시할 수 있다.

Z

: 단면의 소성계수

(plastic modulus, 塑性係數)

어떤 보의 소성모멘트 M_p와 항복모멘트 M과의 비는 식 (5-39)와 같이 단면형상의 함수가 되는데,

이것을 보통 형상계수(shape factor, 形狀係數) f 라 함.

[예제 5-22] 높이가 h 이고, 폭이 b인 사각형단면 보의 형상계수 f를 구하라

풀이

소성계수 Z_P는 다음과 같이 된다.

또 탄성하의 단면계수는 이므로 형상계수는 f=3/2로 된다.

그러므로 사각형단면에서는 소성모멘트가 항복모멘트보다 50% 더 크다.

[예제 5-23] 원형단면에서 f를 구하여 탄성과 소성의 특징을 비교하여라.

풀이

소성모멘트 :

탄성모멘트 :

여기서 이 되어 소성모멘트 Mp쪽이

항복모멘트가 70% 만큼을 알 수 있다.

예제와 같이 단면이 주어지면 중립면의 위치 및 M_p가 구해진다.

보가 붕괴되는데 필요한 수만큼의 소성힌지(M_p가 생기는 단면)가 생기며 이렇게 되는 최소의 외력이 극한하중(limit load) P_L이 된다.

 정정 구조물의 극한하중

P가 점점 증가될 때 BC부재의 축력 이 크므로

먼저 σ_yp 에 도달하여 BC부재가 붕괴되는 동시에 구조물 전체가 붕괴됨

[그림 5-24 (a)] (b)

이때의 하중이 P_L

 부정정 구조물의 극한하중

따라서 두 개의 부재가 붕괴되면 구조물은 붕괴된다.

부재 C₁C가 제일 먼저 항복점에 도달하여 소성상태로

되더라도 구조물은 정정구조물이 되어 계속 힘을 받을 수 있다.

나중에 나머지 부재 B₁B가 붕괴되면 전체가 붕괴된다.

평형조건식인 두 식에 미지수는 3 이므로 부정정량은 1이다.

[그림 5-25]

[예제 5-24] 외팔보에서 P_L을 구하라.

풀이

외팔보에서 P가 점점 커질 때 맨 먼저 M 이 가장 큰 고정단 A에서 소성힌지가 되어 이 보는 붕괴된다.

이 하중의 허용값, 이것을 계산하는데 극한 설계

의 목적이 있다.

[그림 20]

[예제 5-25] 부정정보에서 극한 등분포 하중을 구하라.

풀이

부정정량 1이므로 두 곳에서 소성힌지가 되면 붕괴된다. (a)와 같은 BMD를 그려보 면 굽힘모멘트가 가장 큰 곳이 두 곳이다.

M_A 와 M_D 인데 M_D의 곳은 알 수 없어서 구 해봐야 한다. 지금 M_A가 M_P로 되었을 때 구 해보자.

이 M_D마저 M_P가 되면 이 보는 붕괴된다.

M_D=M_P에서(이때의 w₀가 w_L이다.)

[그림 21]

[예제 5-26] 양단고정보에서 을 구하라.

풀이

부정정량 2이므로 세 곳에서 소성힌지가 되면 붕괴된다. BMD를 그려보면 굽힘모멘 트가 가장 큰 곳이 A, B 및 C 단면. 즉, M_A 와 M_B 및 M_C 가 M_D에 도달할때 P를 P_L로 한 다.

[그림 22]

[예제 5-27] 원형단면 봉이 비틀림을 받을 때 극한 비틀림모멘트 T_L을 구하라.

풀이

한 단의 단면 전체가 τ_yp로 되면 붕괴된다.

τ_max=τ_yp가 되는 탄성에서의 최대 비틀림 모멘트 는 이 보다 33.3%가 더 크다는 것을 알 수 있다.

[그림 23]

6장 조합응력과 모어원

학습목표

1. 조합응력이 작용할 때의 탄성체에 생기는 응력상태를 실용상 중요한 평면응력(plane stress) 상태와 평면변형률(plane strain) 상태로 나누

어 배운다.

2. 좌표변화에 따른 응력 및 변형률을 구하는데 편리한 모어 원(Mohr’s circle)을 배운다.

3. 변형률을 측정하는데 널리 사용되는 스트레인 게이지를 소개한다.