2주차.멱급수와테일러급수멱급수와테일러급수

2주차. 멱급수와 테일러급수

차례

(1) 멱급수

(2) 테일러급수

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(1) 멱급수 - 기하급수(geometric series)

로 바꿔보시오.

(정의) 위와 같은 형태의 급수를 0에 대한 멱급수

(power series) 또는 멱급수라 합니다.

함수

1+𝑥²

의 멱급수를 구하시오.

• (풀이 힌트) 아래 식 𝑥 에 −𝑥²을 대입합니다.

함수

1+𝑥²

의 멱급수를 구하시오.

• (답)

(정의) 다음과 같은 형태의 급수를 a에 대한 멱급수 (power series) 또는 멱급수라 합니다.

• 여기서 𝑎와 𝑐_𝑛은 실수.

• 𝑐_𝑛은 멱급수의 계수(coefficients).

• 멱급수는 수렴하면 𝑥의 함수.

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멱급수의 수렴

(정의)

수렴구간(interval of convergence):

멱급수가 수렴하는 구간

수렴반경(raidus of convergence) : 수렴하는 구간의 길이의 절반

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출처: 장건수(대표역자), R. Smith & R. Minton, 미분적분학(Calculus 4e), 북스힐, 2013.

출처: 장건수(대표역자), R. Smith & R. Minton, 미분적분학(Calculus 4e), 북스힐, 2013.

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출처: 장건수(대표역자), R. Smith & R. Minton, 미분적분학(Calculus 4e), 북스힐, 2013.

수렴반경 정리

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멱급수의 성질

예제: 함수 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥의 멱급수를 구하시오.

• (풀이 힌트) 아래 식을 활용하시오.

• 뒷장에 풀이와 답:

이므로

• 𝑥 = 1 에서 교대급수 판정법에 의해 수렴하고 𝑥 = −1에서도 같 은 이유로 수렴한다.

• 수렴구간: |x| ≤ 1

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위 함수의 멱급수를 구하시오.

  ^ln  ¹ 

f x  x 

x  0



(2) 테일러 급수(Taylor series)

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Maclaurin Series:

       

 

0 0

2! 3!

f f

P x f f x  x  x

      

Taylor Series:

(generated by

f

x  a

          

   

2! 3!

f a f a

P x f a f a x a  x a  x a

         



18

  ^ln  ¹ 

f x  x 

 





f x  x 

 

 

f  

0

0

a 

 

f x 1

  x



 

f   1

a 

1

   

1 1 f x

x

  



 

f     1 ²

1 a   2



19

  ^ln  ¹ 

f x  x 

   

2 1 1

f x

x

  



 

f   ³

2

a  6

 

 

 

4

4

6 1 1

f x

x

  

 ⁴

 

f   ⁴

6 a   24

   

1 1 f x

x

  



 

f     1 ²

1 a   2



20

  ^ln  ¹ 

f x  x 

 

2 6 24 P x   x x  x  x

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

 

P x

 

f x

두 함수는 0 근처에서 거의 같은 것을 볼 수 있 다.



21

 

2! 3! 4! 5! 6!

x x x x x

P x   x       

예제:

y  cos x

  ^cos

f x  x ^f   ^{0  1}

  ^sin

f  x   x ^{f }   ^{0  0}

  ^cos

f  x   x ^{f }   ^{0   1}

  ^sin

f  x  x ^{f }   ^{0  0}

 ⁴

  ^cos

f x  x ^f

  ^{0  1}

 

2! 4! 6! 8! 10!

x x x x x

P x       



cosx의 Maclaurin급수

의 Maclaurin급수를 구하시오.

항이 점점 더 많아지면, 원래 함수에 더욱 근사하게 됩니다.

이 멱급수의 수렴구간을 구해보시오.

수렴값은 무엇입니까?

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example:

^cos   ^at

y _ x x _  2

 

2 2! 2 3! 2

P x _{  } x_ _{ }x _ _{  } x _ _{  }

     

     

  ^cos

f x  x

f _{  }2

  

  ^sin

f  x   x

f _{ }2 _{ }

  

  ^cos

f  x   x

f _{ }2 _

  

  ^sin

f  x  x 1

f _{  }  2 _

   

 ⁴

  ^cos

f x  x

⁰

f _{  }  2

   

 

3 5

2 2

2 3! 5!

x x

P x x

 

 ^{     }

     

      



cosx의

x=π/2에서 Taylor급수 cosx의 x=π/2에서 Taylor급 수를 구하시오.

23

테일러 급수는 함수값을 추측하는 데 사용할 수 있습니다.

(적어도 이론적으로는… 요즘은 계산기나 컴퓨터를 이용해 서 직접 계산할 수 있습니다. 그러나 계산기 만드는 방법 은?)

추정치는 그 값이 얼마나 정확한지를 알 때만 유용합니다.

대략적인 함수값을 추정할 때 테일러 급수의 앞에 몇 개 항 을 사용합니다. 이때, 사용하지 않는 급수의 끝부분은 나머 지 항들(remainder term)이라 합니다.

이 나머지 값을 알면 추정한 함수값이 얼마나 정확한지를 알 수 있습니다. -> 오차계산 가능



나머지R_n(x) 값을 알 수 있을까요?

24

정리(Taylor 정리)

함수

f

I=(c-r, c+r)

n

x

I)

나머지의 Lagrange Form

 

 



  

1 !

n

n n

f c

R x x a

n

 

 



z

c

x



정리