개념탑
3 2
중학수학Ⅰ
. 삼각비1 삼각비 002
2 삼각비의 활용 008
Ⅱ
. 원의 성질1 원과 직선 015
2 원주각 022
Ⅲ
. 통계1 대푯값과 산포도 031
2 상관관계 038
Ⅰ 삼각비
피타고라스 정리에 의해 BCÓ="Ã17Û`-15Û` ='¶64=8이므로 sin`A= BCÓACÓ=;1¥7;, tan`C= ABÓBCÓ=;;Á8°;;
∴ sin`A_tan`C=;1¥7;_;;Á8°;;=;1!7%;
1
피타고라스 정리에 의해 ABÓ="Ã9Û`+3Û` =3'¶10이므로 sin`A= BCÓABÓ= 33'¶10= '¶1010 , cos`A= ACÓABÓ= 93'¶10= 3'¶1010 ∴ sin`A+cos`A= '¶1010 +3'¶10
10 =2'¶10 5 A
;1!7%;
1
2'¶105본문 11쪽
삼각비의 값
1 ⑴ sin`A= BCÓ
ACÓ= '53 ⑵ cos`A= ABÓ ACÓ=;3@;
⑶ tan`A= BCÓABÓ= '52
2 ⑴ △ABC에서 피타고라스 정리에 의해 ABÓ="Ã13Û`-5Û` ='¶144=12
⑵ sin`C= ABÓACÓ=;1!3@;, cos`C= BCÓACÓ=;1°3;, tan`C= ABÓBCÓ=;;Á5ª;;
1 삼각비
1 ⑴ '5 3 ⑵ 2
3 ⑶ '5 2
2 ⑴ 12 ⑵ sin`C=;1!3@;, cos`C=;1°3;, tan`C=;;Á5ª;;
CHECK
삼각비의 뜻
본문 10쪽1
△ABC에서 sin`A= BCÓ8 =;4!; ∴ BCÓ=2`cm따라서 피타고라스 정리에 의해 ABÓ="Ã8Û`-2Û` =2'¶15(cm)
2
△ABC에서 tan`C= ABÓ6 =;3$; ∴ ABÓ=8 따라서 피타고라스 정리에 의해 ACÓ="Ã8Û`+6Û` =10B
2'¶15`cm
2
10본문 11쪽
삼각비의 값이 주어질 때, 변의 길이
D
;5#;
4
;1@7#;본문 12쪽
직각삼각형의 닮음과 삼각비
cos`A=;6%;이므로 오른쪽 그림의 직각
A
C 6
5 B
삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의해 BCÓ="Ã6Û`-5Û` ='¶11
∴ tan`A= BCÓABÓ= '¶115
3
sin`B=;4#;이므로 오른쪽 그림의 직각삼 AB 4 3
C
각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의해 BCÓ="Ã4Û`-3Û` ='7
∴ cos`B= BCÓABÓ= '74 C
'¶115
3
'74본문 12쪽
한 삼각비의 값이 주어질 때, 다른 삼각비의 값
2 Ⅰ . 삼각비
개념탑
1 ⑴ sin`60ù+cos`30ù= '32 +'3 2 ='3`
⑵ sin`45ùÖcos`60ù= '22 Ö;2!;='2 ⑶ tan`30ù_tan`60ù= '33 _'3=1
⑷ tanÛ``45ù+sinÛ``30ù-cosÛ``45ù=1Û`+{;2!;}Û`-{ '22 }Û`
=1+;4!;-;4@;=;4#;
2 ⑴ sin`30ù=;6{;에서 ;2!;=;6{; ∴ x=3 cos`30ù=;6};에서 '32 =;6}; ∴ y=3'3 ⑵ tan`45ù= x3'2에서 1= x3'2 ∴ x=3'2 cos`45ù= 3'2y 에서 '2
2 =3'2
y ∴ y=6
1 ⑴ '3` ⑵ '2` ⑶ 1` ⑷ ;4#;
2 ⑴ x=3, y=3'3` ⑵ x=3'2, y=6`
CHECK
특수한 각의 삼각비의 값
본문 13쪽2
sin`(2x-25ù)= '22 이므로 2x-25ù=45ù, 2x=70ù ∴ x=35ù
2
cos`B= BCÓABÓ= 8'316 ='32 이므로 ∠B=30ù B
35ù
2
30ù본문 14쪽
특수한 각의 삼각비의 값이 주어질 때, 각의 크기 구하기
피타고라스 정리에 의해
BCÓ="Ã9Û`+12Û` ='¶225=15 △ABC와 △DEC에서
∠BAC=∠EDC=90ù이고, ∠C는 공통이므로 △ABC`»△DEC`(AA 닮음) ∴ ∠ABC=∠DEC
따라서 △ABC에서 cos`x= ABÓ
BCÓ=;1»5;=;5#;
4
피타고라스 정리에 의해 ABÓ="Ã8Û`+15Û` ='¶289=17 △ABC와 △ACD에서∠ACB=∠ADC=90ù이고,∠A는 공통 이므로 △ABC»△ACD`(AA 닮음) ∴ ∠ABC=∠ACD
따라서 △ABC에서
sin`x+cos`x= ACÓABÓ+ BCÓABÓ=;1!7%;+;1¥7;=;1@7#;
15 A
9 12
B D C
E x x
17 15 A
B 8 C
Dx x
⑴ tan`45ù-cos`60ù=1-;2!;=;2!;
⑵ sin`60ù_tan`30ù= '32 _'3 3 =;2!;
⑶ sinÛ``45ù+cosÛ``45ù={ '22 }Û`+{ '22 }Û`=1 ⑷ sin`30ù+'3`tan`60ù=;2!;+'3_'3`=;2&;
1
⑴ sin`45ù_cos`30ùÖtan`60ù= '22 _'32 Ö'3= '24 ⑵ '2`tan`30ù_tan`60ù+2`cos`45ù
='2_ '33 _'3+2_'2 2 =2'2 ⑶ sin`30ù_cos`60ù+cos`30ù_sin`60ù =;2!;_;2!;+ '32 _'3
2 =;4!;+;4#;=1 A
⑴ ;2!; ⑵ ;2!; ⑶ 1 ⑷ ;2&;
1
⑴ '4 ⑵ 2'2 ⑶ 12본문 14쪽
특수한 각의 삼각비의 값
sin`55ù= ABÓ
OAÓ= 0.821 =0.82, cos`55ù= OBÓOAÓ= 0.571 =0.57, tan`55ù= CDÓODÓ= 1.431 =1.43
∴ sin`55ù+cos`55ù+tan`55ù=0.82+0.57+1.43=2.82
1
ㄱ. sin`x= ABÓOAÓ= ABÓ1 =ABÓ ㄴ. tan`x= CDÓODÓ= CDÓ1 =CDÓ ㄷ. sin`y= OBÓOAÓ= OBÓ1 =OBÓ ㄹ. cos`y= ABÓOAÓ= ABÓ1 =ABÓ 따라서 바르게 말한 학생은 동은이다.
A 2.82
1
동은본문 17쪽
임의의 예각의 삼각비의 값
1 ⑴ sin`50ù= ABÓOAÓ= 0.771 =0.77 ⑵ cos`50ù= OBÓOAÓ= 0.641 =0.64 ⑶ tan`50ù= CDÓ
ODÓ= 1.191 =1.19
2 ⑴ sin`0ù+cos`90ù=0+0=0 ⑵ cos`0ù+tan`45ù=1+1=2 ⑶ tan`0ù-sin`90ù=0-1=-1 ⑷ cos`60ù_sin`90ù=;2!;_1=;2!;
1 ⑴ 0.77 ⑵ 0.64` ⑶ 1.19
2 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ -1 ⑷ ;2!;
CHECK
임의의 예각과 0ù, 90ù의 삼각비의 값
본문 16쪽3
오른쪽 그림의 △AOB에서 tan`h= BOÓ
AOÓ=(직선의 기울기)='3 즉, tan`h='3이므로 h=60ù
4
오른쪽 그림의 △AOB에서(직선의 기울기)= BOÓAOÓ=tan`30ù= '33 ∴ a= '33
즉, y= '33 x+b의 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로 x=-3, y=0을 대입하면 0=-'3+b ∴ b='3 ∴ ab= '33 _'3=1
B
O x
h y
A y=13x+1
B
A
O x
-3 y
30ù
D 60ù
4
1본문 15쪽
직선의 기울기와 삼각비
△ABC에서 tan`60ù= BCÓ
ABÓ= x'2='3` ∴ x='6 △BCD에서 tan`45ù= BCÓCDÓ= '6y =1 ∴ y='6
3
△ABC에서 sin`60ù= ACÓABÓ= ACÓ12 ='3 2 ∴ ACÓ=6'3`cm
△ACD에서 sin`45ù= CDÓ
ACÓ= CDÓ6'3= '22 ∴ CDÓ=3'6`cm
C
x='6, y='6
3
3'6`cm본문 15쪽
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 변의 길이 구하기
4 Ⅰ . 삼각비
개념탑
⑴ sin`43ù=0.6820, tan`44ù=0.9657
∴ sin`43ù+tan`44ù=0.6820+0.9657=1.6477 ⑵ sin`44ù=0.6947이므로 ∠x=44ù
cos`42ù=0.7431이므로 ∠y=42ù ∴ ∠x+∠y=44ù+42ù=86ù
A
⑴ 1.6477 ⑵ 86ù
1
승훈본문 19쪽
삼각비의 표 이해하기
1 ⑴ sin`25ù=0.4226 ⑵ cos`28ù=0.8829 ⑶ tan`26ù=0.4877
2 ⑴ sin`55ù=0.8192 ∴ x=55 ⑵ cos`54ù=0.5878 ∴ x=54 ⑶ tan`56ù=1.4826 ∴ x=56
1 ⑴ 0.4226 ⑵ 0.8829 ⑶ 0.4877
2 ⑴ 55 ⑵ 54 ⑶ 56
CHECK
삼각비의 표
본문 18쪽4
⑴ (주어진 식)={;2!;+0}_1=;2!;
⑵ (주어진 식)= '32 _1+'3
3 _0='3 2 ` ⑶ (주어진 식)=1Ö1-0_ '32 =1
2
⑴ (주어진 식)= '22 -'2 2 +0=0 ⑵ (주어진 식)=0_'3+1Ö1=1 ⑶ (주어진 식)=(1+0Û`)_{;2!;}Û`-0Û`=;4!;B
⑴ ;2!; ⑵ '32 ⑶ 1
2
⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ ;4!;본문 17쪽
0ù, 90ù의 삼각비의 값
sin`63ù= ACÓABÓ=;10{0;=0.8910이므로 x=89.10 cos`63ù= BCÓABÓ=;10}0;=0.4540이므로 y=45.40 ∴ x+y=89.10+45.40=134.50
2
tan`35ù= ACÓABÓ=;4{;=0.7002 ∴ x=2.8008 B134.50
2
2.8008본문 19쪽
삼각비의 표를 이용하여 삼각형의 변의 길이 구하기
01
피타고라스 정리에 의해 BCÓ="Ã(2'3)Û`-3Û` ='3이므로 sin`A= '32'3=;2!;, cos`A= 32'3= '32 , tan`A= '33 ∴ sin`A+cos`A_tan`A=;2!;+ '32 _'3
3
=;2!;+;2!;=1
01
③02
①03
③04
'3+'6605
③06
4'2`cm07
108
②, ④09
⑴ = ⑵ < ⑶ >10
⑤11
78ù기본 다지기 문제
본문 22~23쪽1
ㄱ. sin`17ù=0.2924ㄴ. tan`19ù=0.3443이므로 x=19
ㄷ. sin`19ù=0.3256, cos`18ù=0.9511, tan`17ù=0.3057 이므로
sin`19ù+cos`18ù+tan`17ù
=0.3256+0.9511+0.3057=1.5824 따라서 바르게 말한 학생은 승훈이다.
02
△ABC에서 cos`A= ABÓACÓ= ABÓ6 =;3@; ∴ ABÓ=4 따라서 피타고라스 정리에 의해
BCÓ="Ã6Û`-4Û` =2'5
03
sin`A=;5$;이므로 오른쪽 그림과 같이A B
C
5 4
∠B=90ù이고, ACÓ=5, BCÓ=4인 직각삼
각형 ABC를 그릴 수 있다.
즉, ABÓ="Ã5Û`-4Û` =3이므로 cos`A=;5#;, tan`A=;3$;
∴ 5`cos`A_tan`A=5_;5#;_;3$;=4
04
cos`60ù_tan`30ù+sin`45ùÖtan`60ù =;2!;_ '33 +'22 Ö'3 = '36 +'2
2 _ 1 '3 = '36 +'6
6 ='3+'6 6
05
크기가 가장 작은 내각의 크기는 180ù_ 11+2+3 =30ù 따라서 A=30ù이므로
cos`A_tan`A+sin`A=cos`30ù_tan`30ù+sin`30ù
= '32 _'3
3 +;2!;
=;2!;+;2!;=1
06
△ABD에서sin`45ù= ADÓ
ABÓ= ADÓ4 ='2 2 ∴ ADÓ=2'2`cm
△ACD에서 cos`60ù= ADÓ
ACÓ= 2'2 ACÓ=;2!;
∴ ACÓ=4'2`cm
07
오른쪽 그림과 같이 그래프가 x축, y축a O
y y=x+2
x 2
A B
-2
과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 A(-2, 0), B(0, 2)이므로 직각삼각 형 AOB에서 `
OAÓ=2, OBÓ=2 ∴ tan`a= OBÓOAÓ=;2@;=1 [다른 풀이]
직각삼각형 AOB에서
tan`a= OBÓOAÓ=(직선의 기울기)=1
08
① cos`x= OBÓOAÓ= OBÓ1 =OBÓ ② tan`x= CDÓODÓ= CDÓ1 =CDÓ ③ cos`y= ABÓOAÓ= ABÓ1 =ABÓ ④ sin`z=sin`y= OBÓOAÓ= OBÓ1 =OBÓ ⑤ tan`z= ODÓ
CDÓ= 1 CDÓ
09
⑴ ∠x=∠ABC이므로 sin`x= ACÓABÓ, cos`x= BCÓ ABÓ ACÓ=BCÓ이므로 sin`x=cos`x
⑵ ∠x=∠DBC일 때, sin`x= CDÓBDÓ, cos`x= BCÓBDÓ CDÓ<BCÓ이므로 sin`x<cos`x
⑶ ∠x=∠EBC일 때, sin`x= ECÓ
BEÓ, cos`x= BCÓBEÓ ECÓ>BCÓ이므로 sin`x>cos`x
10
① cosÛ``0ù+sinÛ``90ù=1Û`+1Û`=2 ② tan`45ù(1+tan`0ù)=1_(1+0)=1 ③ sin`0ù-sin`60ù_cos`90ù=0- '32 _0=0 ④ sin`90ù_cos`30ùÖtan`60ù=1_ '32 Ö'3=;2!;⑤ (sin`0ù+sin`30ù)(cos`90ù-cos`45ù) ={0+;2!;}{0- '22 }=-'2
4 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
11
sin`40ù=0.6428이므로 ∠x=40ù tan`38ù=0.7813이므로 ∠y=38ù ∴ ∠x+∠y=40ù+38ù=78ù 6 Ⅰ . 삼각비개념탑
1
점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H, AHÓ=h라 하면sin`BÖsin`C = h15Ö h10 = h
15 _10 h =;3@;
2
직각삼각형 FGH에서 FHÓ="Ã3Û`+3Û` =3'2 직각삼각형 DFH에서 DFÓ="Ã(3'2 )Û`+3Û` =3'3 ∴ cos`x= FHÓDFÓ= 3'23'3= '63
3
cos`60ù=;2!;이므로 3x-30ù=60ù ∴ x=30ù ∴ sin(x+15ù)_cos`x=sin`45ù_cos`30ù= '22 _'3
2 ='6 4
4
△CPO에서 tan`30ù= POÓCOÓ= POÓ'3 = '33 이므로 POÓ=1 이때 AOÓ=COÓ='3이므로 APÓ=AOÓ-POÓ='3-1
5
tan`60ù= CDÓODÓ= CDÓ1 ='3 ∴ CDÓ='3 sin`60ù= ABÓOAÓ= ABÓ1 ='3
2 ∴ ABÓ= '32 cos`60ù= OBÓOAÓ= OBÓ1 =;2!; ∴ OBÓ=;2!;
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△COD-△AOB =;2!;_1_'3-;2!;_;2!;_ '32
= '32 -'3
8 =3'3 8
A
B H C
15 h 10
1
;3@;2
⑤3
③4
③5
3'386
⑴ 2`sin`x-2`cos`x ⑵ 27
① △ABC, AA, ∠ACB, ∠ABC② "Ã5Û`+12Û` =13
③ ABÓ
BCÓ=;1°3;, ACÓBCÓ=;1!3@;, ;1°3;+;1!3@;=;1!3&;
8
① 30ù ② DBÓ='3, DCÓ=2 ③ 2+'3 ④ 2-'3실력 올리기 문제
본문 24~25쪽6
⑴ 45ù<x<90ù일 때, sin`x>cos`x이므로 sin`x-cos`x>0, cos`x-sin`x<0∴ (주어진 식) =(sin`x-cos`x)-(cos`x-sin`x)
=2`sin`x-2`cos`x ⑵ 45ù<x<90ù일 때, tan`x>1이므로
1+tan`x>0, 1-tan`x<0
∴ (주어진 식)=(1+tan`x)+(1-tan`x)=2
7
① △ABC»△HBA»△HAC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠ACB, ∠y=∠ABC② △ABC에서 피타고라스 정리에 의해 BCÓ="Ã5Û`+12Û` =13
③ △ABC에서
sin`x= ABÓBCÓ =;1°3;, sin`y= ACÓBCÓ =;1!3@;
∴ sin`x+sin`y=;1°3;+;1!3@;=;1!3&;
8
① △ACD에서∠CDB=∠CAD+∠ACD=15ù+15ù=30ù ② △CDB에서
tan`30ù= BCÓ DBÓ= 1
DBÓ= '33 이므로 DBÓ= 3 '3='3, sin`30ù= CBÓDCÓ= 1DCÓ=;2!;이므로 DCÓ=2
③ △ACD는 이등변삼각형이므로 DAÓ=DCÓ=2 ∴ ABÓ=DAÓ+DBÓ=2+'3
④ △CAB에서 tan`15ù= BCÓ
ABÓ= 1
2+'3=2-'3
오른쪽 그림과 같이 점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
AHÓ=8`sin`45ù=8_ '22 =4'2(cm) BHÓ=8`cos`45ù=8_ '22 =4'2(cm) CHÓ=BCÓ-BHÓ=7'2-4'2=3'2(cm)
따라서 △ACH에서 ACÓ="Ã(4'2)Û`+(3'2)Û` =5'2(cm)
1
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 PBÓ에H A
B P 60ù
3`km 2`km
내린 수선의 발을 H라 하자.
△APH에서 AHÓ=2`sin`60ù
=2_ '32 ='3(km)
PHÓ=2`cos`60ù=2_;2!;=1(km) BHÓ=3-1=2(km)
즉, △ABH에서 ABÓ="Ã('3)Û`+2Û` ='7(km) 따라서 터널의 길이는 '7`km이다.
H
B 45ù C
A D 8`cm
712`cm
A
5'2`cm
1
'7`km본문 31쪽
일반 삼각형의 변의 길이 ⑴
1 ⑴ △ABH에서 AHÓ=4`sin`60ù=4_ '32 =2'3 ⑵ △ABH에서 BHÓ=4`cos`60ù=4_;2!;=2 ⑶ CHÓ=BCÓ-BHÓ=7-2=5
1 ⑴ 2'3` ⑵ 2 ⑶ 5 ⑷ '¶37
2 ⑴ 6 ⑵ 60ù ⑶ 4'3
CHECK
일반 삼각형의 변의 길이
본문 30쪽2
B 20'2`
2
9'2`m본문 31쪽
일반 삼각형의 변의 길이 ⑵
tan`50ù= ACÓBCÓ에서 BCÓ= ACÓtan`50ù = 6 tan`50ù
1
△ABC에서 BCÓ=ABÓ`sin`40ù=3_0.64=1.92(m)2
△ABC에서 ACÓ=ABÓ`cos`30ù=8_ '32 =4'3(cm) △ACD에서 ADÓ= ACÓcos`45ù =4'3_ 2'2=4'6(cm)
3
△ABC에서 BCÓ=ACÓ`tan`46ù=12_1.04=12.48(m) ∴ BDÓ =BCÓ+CDÓ=12.48+1.6=14.08(m) A
⑤
1
1.92`m2
4'6`cm3
14.08`m본문 29쪽
직각삼각형의 변의 길이
2 삼각비의 활용
1 ⑴ 10, 10_0.81=8.1(cm) ⑵ sin`36ù, 10_0.59=5.9(cm)
CHECK
직각삼각형의 변의 길이
본문 28쪽1
⑷ △ACH에서 피타고라스 정리에 의해 ACÓ="Ã(2'3)Û`+5Û` ='¶37
2 ⑴ △ACH에서 AHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '22 =6 ⑵ △ABC에서 ∠B=180ù-(45ù+75ù)=60ù ⑶ △ABH에서 ABÓ= AHÓsin`60ù = 6
sin`60ù =6_ 2 '3=4'3
8 Ⅰ . 삼각비
개념탑 오른쪽 그림과 같이 CHÓ=h`m라 하
A B
C
H
45ù 60ù
40`m
면 △ACH에서 ∠ACH=45ù이므로 h`m
AHÓ=h`tan`45ù=h(m)
△BCH에서 ∠BCH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m)
ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 40=h+ '33 h ∴ h= 1203+'3=20(3-'3)
따라서 열기구의 높이는 20(3-'3)`m이다.
1
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ AB 30ù H 45ù C
10
에 내린 수선의 발을 H, AHÓ=h라 h
하면 △ABH에서 ∠BAH=60ù 이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h
△ACH에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 10='3h+h
∴ h= 10
'3+1=5('3`-1) ∴ △ABC=;2!;_BCÓ_AHÓ
=;2!;_10_5('3`-1)=25('3`-1)
A
20(3-'3)`m
1
25('3-1)본문 33쪽
모두 예각이 주어졌을 때, 삼각형의 높이
1 ⑴ △ACH에서 ∠ACH=30ù이므로 AHÓ=h`tan`30ù= '33 h
⑵ △BCH에서 ∠BCH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h
⑶ 4= '33 h+'3h이므로 4'3 3 h=4 ∴ h=4_ 3
4'3='3 따라서 CHÓ의 길이는 '3이다.
1 ⑴ '3
3 h ⑵ '3h ⑶ '3
CHECK
삼각형의 높이
본문 32쪽3
AHÓ=h`cm라 하면
△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h(cm) △ACH에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h(cm)
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 12='3h-h ∴ h= 12
'3-1=6('3+1)
따라서 AHÓ의 길이는 6('3+1)`cm이다.
B
6('3+1)`cm
2
10'3`m본문 33쪽
둔각이 주어졌을 때, 삼각형의 높이
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하자.
△ABH에서
BHÓ=20`sin`45ù=20_ '22 =10'2이고 △ABC에서 ∠C=180ù-(45ù+105ù)=30ù
따라서 △BHC에서 BCÓ= BHÓsin`30ù =10'2_2=20'2
2
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면△BCH에서
BHÓ=6'3`sin`60ù=6'3_ '32 =9(m) △ABC에서
∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù △ABH에서 ABÓ= BHÓsin`45ù =9_ 2
'2=9'2(m) 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 9'2`m이다.
H
45ù 105ù B
C
A 20
75ù B 60ù
A
H
613`m C
오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어진다.
정삼각형 한 개의 넓이는
;2!;_8_8_sin`60ù=;2!;_8_8_ '32
=16'3`(cmÛ`)
따라서 정육각형의 넓이는 6_16'3=96'3(cmÛ`) C
96'3`cmÛ`
3
72'2`cmÛ`본문 36쪽
원에 내접하는 정다각형의 넓이
ACÓ=BCÓ이므로 ∠A=∠B=75ù ∴ ∠C=180ù-(75ù+75ù)=30ù ∴ △ABC=;2!;_ACÓ_BCÓ_sin`30ù =;2!;_6_6_;2!;=9(cmÛ`)
A 9`cmÛ`
1
8`cm본문 35쪽
예각이 주어졌을 때, 삼각형의 넓이
1 ⑴ △ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`30ù =;2!;_10_8_;2!;=20(cmÛ`) ⑵ △ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`45ù =;2!;_5_7_ '22 =35'2
4 (cmÛ`)
2 ⑴ △ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin(180ù-135ù) =;2!;_4_5_ '22 =5'2(cmÛ`) ⑵ △ABC=;2!;_ACÓ_BCÓ_sin(180ù-120ù) =;2!;_3_4_ '32 =3'3(cmÛ`)
1 ⑴ 20`cmÛ`` ⑵ 35'24 `cmÛ`
2 ⑴ 5'2`cmÛ` ⑵ 3'3`cmÛ`
CHECK
삼각형의 넓이
본문 34쪽4
△ABC에서 ∠A=180ù-(40ù+20ù)=120ù∴ △ABC=;2!;_ABÓ_ACÓ_sin(180ù-120ù) =;2!;_6_10_ '32 =15'3(cmÛ`)
2
오른쪽 그림에서 AB C 712`cm
12`cm
△ABC
=;2!;_ACÓ_BCÓ_sin(180ù-C) 이므로
21'2=;2!;_7'2_12_sin(180ù-C) ∴ sin(180ù-C)=;2!;
따라서 180ù-∠C=30ù이므로 ∠C=150ù B
③
2
150ù본문 35쪽
둔각이 주어졌을 때, 삼각형의 넓이
2
AHÓ=h`m라 하면△AHC에서 ∠CAH=60ù이므로 ` HCÓ =h`tan`60ù='3h(m)
△AHB에서 ∠BAH=30ù이므로 ` HBÓ=h`tan`30ù= '33 h(m) BCÓ=HCÓ-HBÓ이므로 20='3`h- '33 h, 2'3
3 h=20 ∴ h=10'3
따라서 AHÓ의 길이는 10'3`m이다.
1
△ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`60ù이므로 12=;2!;_ABÓ_2'3_ '32 , ;2#; ABÓ=12 ∴ ABÓ=8`cmO8`cm 60ù
60ù
10 Ⅰ . 삼각비
개념탑
ABCD=ABÓ_BCÓ_sin`60ù =4_4'3_ '32 =24(cmÛ`)
∴ △APD=;4!;`ABCD=;4!;_24=6(cmÛ`)
1
ABCD=ABÓ_ADÓ_sin`(180ù-150ù)이므로 21=ABÓ_7_;2!; ∴ ABÓ=6`cm2
BCÓ=ADÓ=8`cm이므로 ABCD=ABÓ_BCÓ_sin`B 20'2=5_8_sin`B∴ sin`B= '22
그런데 0ù<∠B<90ù이므로 ∠B=45ù A
6`cmÛ`
1
6`cm2
45ù본문 38쪽
평행사변형의 넓이
1 ⑴ ABCD =ABÓ_BCÓ_sin`60ù =8_10_ '32 =40'3(cmÛ`) ⑵ ABCD =ABÓ_ADÓ_sin`(180ù-135ù) =4_7_ '22 =14'2(cmÛ`)
2 ⑴ ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`45ù =;2!;_12_10_ '22 =30'2(cmÛ`) ⑵ ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`(180ù-120ù) =;2!;_15_16_ '32 =60'3(cmÛ`)
1 ⑴ 40'3`cmÛ`` ⑵ 14'2`cmÛ`
2 ⑴ 30'2`cmÛ` ⑵ 60'3`cmÛ`
CHECK
사각형의 넓이
본문 37쪽5
B9'2`cmÛ`3
60ù4
24`cm본문 39쪽
사각형의 넓이
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 ABCD=△ABC+△ACD =;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`45ù
+;2!;_ADÓ_CDÓ_sin`(180ù-135ù) =;2!;_3'2_4_ '22 +;2!;_'2_2_'2
2 =6+1=7(cmÛ`)
4
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 ABCD=△ABC+△ACD
=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`(180ù-120ù) +;2!;_ADÓ_CDÓ_sin`60ù
=;2!;_10_10_ '32 +;2!;_10'3_10'3_'3 2 =25'3+75'3=100'3(cmÛ`)
312`cm
12`cm A
B C
D
45ù 4`cm
135ù 2`cm
1013`cm
1013`cm A B
C 60ù D
10`cm 10`cm
120ù
D
③
4
100'3`cmÛ`본문 36쪽
다각형의 넓이
3
오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개의 합동인 이등변삼각형으로 나누어진다.이등변삼각형 한 개의 넓이는 ;2!;_6_6_sin`45ù=;2!;_6_6_ '22
=9'2(cmÛ`)
따라서 정팔각형의 넓이는 8_9'2=72'2(cmÛ`)
6`cm O
45ù
BDÓ=ACÓ=6`cm
∴ ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`(180ù-135ù) =;2!;_6_6_ '22 =9'2(cmÛ`)
3
두 대각선이 이루는 각 중 예각의 크기x
D A
B C
12`cm9`cm
를 x라 하면
ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`x 이므로
27'3=;2!;_9_12_sin`x ∴ sin`x= '32
따라서 x=60ù이므로 두 대각선이 이루는 각 중 예각의 크 기는 60ù이다.
4
ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`60ù이므로 240'3=;2!;_ACÓ_40_ '3210'3 ACÓ=240'3 ∴ ACÓ=24`cm
01
④ a=b`tan`A02
∠C=180ù-(52ù+90ù)=38ù이므로 x=6`sin`38ù=6_0.62=3.72 y=6`cos`38ù=6_0.79=4.74 ∴ x+y=3.72+4.74=8.4601
④02
②03
⑤04
3'7`km05
②06
③07
3(3-'3)`cm08
③09
⑤10
②11
②12
120ù13
(72p-36'3)`cmÛ`14
②15
13'3`cmÛ`16
④17
12`cmÛ`18
③기본 다지기 문제
본문 42~44쪽03
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ AB 60ùH C
6`m
10`m
에 내린 수선의 발을 H라 하면 AHÓ=6`sin`60ù
=6_ '32 =3'3(m) BHÓ=6`cos`60ù=6_;2!;=3(m) CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-3=7(m)
따라서 △AHC에서 ACÓ="Ã(3'3)Û`+7Û` =2'¶19(m)
04
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에120ù
A(민준)
B H
(송이) 3`km C(태경) 6`km
서 BCÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면
∠ACH=60ù이므로 AHÓ=6`sin`60ù
=6_ '32 =3'3(km) CHÓ=6`cos`60ù=6_;2!;=3(km) ∴ BHÓ=3+3=6(km)
따라서 직각삼각형 ABH에서
ABÓ="Ã(3'3)Û`+6Û` ='¶63 =3'7(km)
05
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 ACÓ에H
105ù 30ù A
B C
10`cm
내린 수선의 발을 H라 하면
△BCH에서 BHÓ=10`sin`30ù =10_;2!;=5(cm)
△ABC에서 ∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù 따라서 △ABH에서
ABÓ= BHÓsin`45ù =5_ 2
'2=5'2(cm)
06
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CHB에서CHÓ=6'2`sin`45ù =6'2_ '22 =6(cm) 직각삼각형 CAH에서 ACÓ= CHÓsin`60ù =6_ 2
'3=4'3(cm)
07
AHÓ=h`cm라 하면 △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h(cm)60ù 45ù
A H B
C
612`cm
12 Ⅰ . 삼각비
개념탑 △ACH에서 ∠CAH=30ù이므로
CHÓ=h`tan`30ù= '33 h(cm)
BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 6=h+ '33 h ∴ h= 18
3+'3=3(3-'3)
따라서 AHÓ의 길이는 3(3-'3)`cm이다.
08
나무의 높이 AHÓ를 x`m라 하면 △ABH에서BHÓ=x`tan`45ù=x(m) △ACH에서
HCÓ=x`tan`60ù='3x(m)
이때 BHÓ+HCÓ=BCÓ이므로 x+'3x=10 ∴ x= 10
'3+1=5('3-1)
따라서 나무의 높이는 5('3-1)`m이다.
09
AHÓ=h`m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h(m)△ACH에서 ∠CAH=30ù이므로`
CHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m)
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 50='3h- '33 h ∴ h=50_ 32'3=25'3`
따라서 AHÓ의 길이는 25'3`m이다.
10
△ABC=;2!;_ACÓ_ABÓ_sin`45ù =;2!;_5_8_ '22 =10'2(cmÛ`)11
△ABC=;2!;_30_BCÓ_sin`60ù=210'3 15_BCÓ_ '32 =210'3∴ BCÓ=28`cm
12
△ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`(180ù-B)이므로 24'3=;2!;_8_12_sin`(180ù-B)∴ sin`(180ù-B)= '32
따라서 180ù-∠B=60ù이므로 ∠B=120ù
A
B 45ù C
45ù 60ù
30ù H10`m
x`m
13
∠OBA=∠OAB=30ù이므로∠AOB=180ù-(30ù+30ù)=120ù ∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(반원의 넓이)-△OAB
=;2!;_p_12Û`-;2!;_12_12_sin(180ù-120ù) =72p-72_ '32 =72p-36'3(cmÛ`)
14
오른쪽 그림과 같이 정십이각형은 12개의O 30ù 4`cm
합동인 이등변삼각형으로 나누어진다.
이등변삼각형 한 개의 넓이는
;2!;_4_4_sin`30ù=;2!;_4_4_;2!;=4(cmÛ`) 따라서 정십이각형의 넓이는 12_4=48(cmÛ`)
15
△BCD에서 BDÓ=4`tan`60ù=4'3(cm) ∴ ABCD=△ABD+△BCD=;2!;_ABÓ_BDÓ_sin`30ù+;2!;_BDÓ_CDÓ =;2!;_5_4'3_;2!;+;2!;_4'3_4
=5'3+8'3=13'3(cmÛ`)
16
오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 ABCD=△ABD+△BCD
=;2!;_4_4_sin(180ù-120ù) +;2!;_4'3_4'3_sin`60ù =;2!;_4_4_ '32 +;2!;_4'3_4'3_'3
2 =4'3+12'3=16'3(cmÛ`)
17
ABCD=ABÓ_BCÓ_sin`45ù =4'2_6_ '22 =24(cmÛ`)∴ △AED=;2!;`ABCD=;2!;_24=12(cmÛ`)
18
ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`(180ù-120ù) =;2!;_14_10_ '32 =35'3(cmÛ`)120ù
60ù A 4`cm 4`cm
D
C
B 413`cm`
413`cm`
1
DMÓ=MCÓ=2`sin`60ù=2_ '32 ='3 즉, △DMC는 DMÓ=MCÓ인 이등변삼각형이므로 MNÓ⊥DCÓ ∴ MNÓ="Ã('3`)Û`-1Û` ='2
또, △DMN에서 sin`x= DNÓDMÓ= 1 '3= '33
2
오른쪽 그림과 같이 네 점 C, D, E, F를 잡C D E
F 60ù
30ù
으면 20`m
CEÓ=20`m이므로
△CDE에서 DEÓ=20`tan`30ù= 20'33 (m) △CEF에서 EFÓ=20`tan`60ù=20'3(m) 따라서 B`건물의 높이는
DFÓ=DEÓ+EFÓ= 20'33 +20'3`=80'3 3 (m)
3
∠ACH=180ù-135ù=45ù이므로 △ACH에서AHÓ=ACÓ`sin`45ù=4_ '22 =2'2(cm) CHÓ=ACÓ`cos`45ù=4_ '22 =2'2(cm) BHÓ=BCÓ+CHÓ=3'2+2'2=5'2(cm) ∴ AB="Ã(2'2)Û`+(5'2)Û` ='¶58(cm)
4
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 AH C B 60ù
30ù 6`cm 45ù
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서 AHÓ=6`sin`60ù
=6_ '32 =3'3(cm) BHÓ=6`cos`60ù=6_;2!;=3(cm)
13 13 D
M C
N 1
x 1
1
MNÓ='2, sin`x= '33
2
803 `'3 m3
'¶58`cm4
(3+3'3)`cm5
⑤6
10'5`cm7
① sin`60ù, 20'3 ② sin`30ù, 2ADÓ, sin`30ù, ;2%;ADÓ③ 20'3, ;2(;, 40'3 9
8
① 1003'3`m ② 100'3`m ③ 200'3 3 `m실력 올리기 문제
본문 45~46쪽 △AHC에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=AHÓ`tan`45ù=3'3`(cm) ∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=3+3'3`(cm)5
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓB C
A
45ù 30ù
H12`cm
에 내린 수선의 발을 H, h`cm
AHÓ=h`cm라 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므 로 BHÓ=h`tan`45ù=h(cm) △ACH에서 ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h`tan`60ù='3h(cm)
BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 12=h+'3h ∴ h= 12
'3+1=6('3-1)
∴ △ABC=;2!;_BCÓ_AHÓ=;2!;_12_6('3-1) =36('3-1)(cmÛ`)
6
ABÓ=2a`cm, BCÓ=3a`cm`(단, a>0)라 하면 ADÓ=BCÓ=3a`cmABCD=ABÓ_ADÓ_sin`(180ù-150ù)에서 15=2a_3a_;2!;, 15=3aÛ` ∴ a='5`(∵ a>0) 따라서 ABÓ=2'5`cm, ADÓ=3'5`cm이므로 ABCD의 둘레의 길이는
2(2'5+3'5)=2_5'5=10'5`(cm)
7
① △ABC=;2!;_8_10_sin`60ù=20'3(cmÛ`) ② △ABD=;2!;_8_ADÓ_sin`30ù=2ADÓ(cmÛ`) △ADC=;2!;_ADÓ_10_sin`30ù=;2%;ADÓ(cmÛ`) ③ △ABC=△ABD+△ADC이므로20'3`=;2(;ADÓ ∴ ADÓ= 40'39 `cm
8
① △ABC에서 ∠BAC=30ù이므로
BCÓ=ABÓ`tan`30ù= 100'33 (m) ② △ABD에서 ∠BAD=60ù이므로 BDÓ=ABÓ`tan`60ù=100'3`(m)
③ CDÓ=BDÓ-BCÓ=100'3- 100'33 = 200'33 (m) 따라서 10분 동안 배가 움직인 거리는 200'33 `m이다.
C B
30ù
60ù
D A
100`m
14 Ⅰ . 삼각비
개념탑
ⅠⅠ 원의 성질
원의 중심을 O라 하면 오른쪽 그림과
A B
O M C
4`cm
r`cm 413`cm
같이 CMÓ의 연장선은 점 O를 지난다.
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하 면 AOÓ=COÓ=r`cm이므로
C 8`cm
4
8`cm5
10`cm본문 52쪽
원의 일부분이 주어진 경우
ABÓ⊥OMÓ이므로 AMÓ=BMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_6=3(cm) 따라서 직각삼각형 OAM에서
OMÓ=¿¹OAÓ Û`-AMÓ Û`="Ã5Û`-3Û` ='¶16=4(cm)
1
직각삼각형 OMB에서BMÓ=¿¹OBÓ Û`-OMÓ Û`="Ã6Û`-4Û` ='¶20=2'5`(cm) A
4`cm
1
4'5`cm2
8`cm본문 51쪽
현의 수직이등분선을 이용하여 길이 구하기 ⑴
1 ⑴ ABÓ⊥OMÓ이므로
AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_18=9(cm) ∴ x=9
⑵ ABÓ⊥OMÓ이므로 ABÓ=2BMÓ=2_5=10(cm) ∴ x=10
2 ⑴ ABÓ⊥OMÓ이므로
AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4(cm) ⑵ 직각삼각형 OAM에서
OMÓ=¿¹OAÓ Û`-AMÓ Û`="Ã5Û`-4Û` ='9=3(cm)
3 ⑴ 직각삼각형 OMB에서
BMÓ=¿¹OBÓ Û`-OMÓ Û`="Ã13Û`-5Û` ='¶144=12(cm) ⑵ ABÓ⊥OMÓ이므로 ABÓ=2BMÓ=2_12=24(cm)
1 원과 직선
1 ⑴ 9 ⑵ 10
2 ⑴ 4`cm ⑵ 3`cm
3 ⑴ 12`cm ⑵ 24`cm
CHECK
현의 수직이등분선
본문 50쪽1
ABÓ⊥OMÓ이므로 BMÓ=AMÓ=8`cm OBÓ=x`cm라 하면 OCÓ=OBÓ=x`cm이므로 OMÓ=OCÓ-CMÓ=x-5(cm)
직각삼각형 OMB에서
xÛ`=8Û`+(x-5)Û`, 10x=89 ∴ x=8.9 따라서 OBÓ의 길이는 8.9`cm이다.
3
OCÓ=OAÓ=10`cm이고 OMÓ=CMÓ이므로 OMÓ=;2!; OCÓ=;2!;_10=5(cm)직각삼각형 OAM에서
AMÓ=¿¹OAÓ Û`-OMÓ Û` ="Ã10Û`-5Û` ='¶75=5'3`(cm) ∴ ABÓ=2AMÓ=2_5'3=10'3`(cm)
B 8.9`cm
3
10'3`cm본문 51쪽
현의 수직이등분선을 이용하여 길이 구하기 ⑵
따라서 ABÓ⊥OMÓ이므로
ABÓ=2BMÓ=2_2'5=4'5`(cm)
2
ABÓ⊥OMÓ이므로AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8'3=4'3`(cm)
∠AOM=180ù-120ù=60ù이므로 직각삼각형 OAM에서 OAÓ：AMÓ=2：'3, OAÓ：4'3=2：'3
∴ OAÓ=8`cm
직각삼각형 OMA에서 AMÓ="Ã6Û`-3Û`='¶27=3'3`(cm) 따라서 ABÓ=2AMÓ=2_3'3=6'3`(cm)이므로 CDÓ=ABÓ=6'3`cm
1
OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=12`cm ∴ AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6(cm) 따라서 직각삼각형 AOM에서 OAÓ="Ã6Û`+6Û` ='¶72=6'2`(cm)A
6'3`cm
1
6'2`cm2
12`cmÛ`본문 54쪽
현의 길이의 성질 이해하기
1 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=6`cm ∴ x=6 ⑵ ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=3`cm ∴ x=3 ⑶ OMÓ=ONÓ이므로
ABÓ=CDÓ=2CNÓ=2_5=10(cm) ∴ x=10
⑷ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ
∴ DNÓ=;2!; CDÓ=;2!; ABÓ=;2!;_14=7(cm) ∴ x=7
2 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ACB=∠ABC=65ù
1 ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 10 ⑷ 7
2 65ù
CHECK
현의 길이
본문 53쪽2
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
A B
O
C M 6`cm
ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면
OMÓ=;2!; OCÓ=;2!; OAÓ=;2!;_6=3(cm) 따라서 직각삼각형 OAM에서
AMÓ=¿¹OAÓ Û`-OMÓ Û` ="Ã6Û`-3Û` ='¶27=3'3`(cm) ∴ ABÓ=2AMÓ=2_3'3=6'3`(cm)
6
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서A B
M
O C 413`cm r`cm
;2R;`cm
ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면
AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ
=;2!;_4'3=2'3`(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 D
6'3`cm
6
4`cm본문 52쪽
원의 일부분을 접은 경우
OMÓ=COÓ-CMÓ=r-4(cm) 직각삼각형 AOM에서
rÛ`=(4'3 )Û`+(r-4)Û`, 8r=64 ∴ r=8 따라서 원의 반지름의 길이는 8`cm이다.
4
원의 중심을 O라 하면 오른쪽 그림과A B
C
13`cm O 24`cm
M
같이 CMÓ의 연장선은 점 O를 지난다.
AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ =;2!;_24=12(cm) 직각삼각형 AOM에서
OMÓ=¿¹OAÓ Û`-AMÓ Û`="Ã13Û`-12Û` ='¶25=5(cm) ∴ CMÓ=COÓ-OMÓ=13-5=8(cm)
5
접시의 반지름의 길이를 r`cm라 하면12`cm 2`cm
r`cm
A B
C M
O
OMÓ=OCÓ-CMÓ=r-2(cm)
AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6(cm) 직각삼각형 AOM에서
rÛ`=6Û`+(r-2)Û`, 4r=40 ∴ r=10 따라서 접시의 반지름의 길이는 10`cm이다.
OAÓ=r`cm, OMÓ=;2!; OCÓ=;2!; OAÓ=;2!;r(cm) 이므로 직각삼각형 AOM에서
rÛ`=(2'3 )Û`+{;2!;r}Û`, ;4#;rÛ`=12, rÛ`=16 ∴ r`=4`(∵ r>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 4`cm이다.
16 ⅠⅠ . 원의 성질
개념탑
∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 OPÓ="Ã8Û`+15Û` ='¶289=17(cm)
따라서 OAÓ=OTÓ=8`cm이므로 PAÓ=OPÓ-OAÓ=17-8=9(cm)
1
∠OAP=90ù이므로 OAÓ=OBÓ=r`cm라 하면 직각삼각형 APO에서 (2+r)Û`=4Û`+rÛ`, 4r=12 ∴ r=3따라서 원 O의 넓이는 p_3Û`=9p(cmÛ`) A
9`cm
1
9p`cmÛ`본문 56쪽
원의 접선과 반지름
1 ⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로
APBO에서 ∠x=360ù-(90ù+90ù+120ù)=60ù ⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서 ∠x=360ù-(90ù+90ù+80ù)=100ù
2 ⑴ PAÓ=PBÓ=2'3`cm
⑵ ∠PAO=90ù이므로 직각삼각형 POA에서 POÓ="Ã(2'3 )Û`+2Û`='¶16=4(cm)
1 ⑴ 60ù ⑵ 100ù
2 ⑴ 2'3`cm ⑵ 4`cm
CHECK
원과 접선
본문 55쪽3
PAÓ=PBÓ이므로 이등변삼각형 APB에서 ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180ù-50ù)=65ù 따라서 ∠PAO=90ù이므로
∠OAB=∠PAO-∠PAB=90ù-65ù=25ù
2
OCÓ=OBÓ=3`cm이므로 POÓ=4+3=7(cm) 직각삼각형 PBO에서PBÓ="Ã7Û`-3Û` ='¶40=2'¶10`(cm) ∴ PAÓ=PBÓ=2'¶10`cm
3
PBÓ=PAÓ=6'3`cm, ∠OBP=90ù이므로 △OBP에서OBÓ= 6'3tan`60ù =6'3Ö'3 =6'3_ 1'3=6`(cm)
이때 △OAPª△OBP`(RHS 합동)이므로
AOBP=2△OBP=2_{;2!;_6_6'3 }=36'3`(cmÛ`) B
25ù
2
2'¶10`cm3
36'3`cmÛ`본문 56쪽
원의 접선의 성질
2
직각삼각형 OAM에서 OMÓ="Ã5Û`-4Û` ='9=3(cm) CDÓ=ABÓ=2AMÓ=2_4=8(cm)이므로ONÓ=OMÓ=3`cm
∴ △OCD=;2!;_8_3=12(cmÛ`)
AMON에서
∠MAN=360ù-(90ù+90ù+100ù)=80ù
또, OMÓ=ONÓ이므로` △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각 형이다.
∴ ∠ACB=;2!;_(180ù-80ù)=50ù
3
ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 △ABC는 ABÓ=BCÓ=CAÓ인 정삼 각형이다.따라서 ABÓ=BCÓ=CAÓ=2ADÓ=2_4=8(cm)이므로`
△ABC= '34 _8Û`=16'3`(cmÛ`) B
50ù
3
16'3`cmÛ`본문 54쪽
길이가 같은 두 현이 만드는 삼각형
BPÓ=BQÓ=x`cm라 하면
ARÓ=APÓ=(14-x)`cm, CRÓ=CQÓ=(12-x)`cm ACÓ=ARÓ+CRÓ이므로
10=(14-x)+(12-x), 2x=16 ∴ x=8 따라서 BPÓ의 길이는 8`cm이다.
A 8`cm
1
5`cm본문 59쪽
삼각형의 내접원
ADÓ=AEÓ, BDÓ=BFÓ, CEÓ=CFÓ이므로
(△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
=ABÓ+(BFÓ+CFÓ)+CAÓ
=(ABÓ+BDÓ)+(CEÓ+CAÓ)
=ADÓ+AEÓ=2ADÓ
따라서 2ADÓ=10+6+8=24에서 ADÓ=12`cm이므로 BDÓ=ADÓ-ABÓ=12-10=2(cm)
4
AEÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ=ABÓ+(BDÓ+CDÓ)+CAÓ
=(ABÓ+BEÓ)+(CFÓ+CAÓ)=AEÓ+AFÓ =2AFÓ=2_14=28(cm)
5
PAÓ=PBÓ, ECÓ=EBÓ, DCÓ=DAÓ이므로(△PED의 둘레의 길이) =PEÓ+EDÓ+DPÓ
=PEÓ+(ECÓ+DCÓ)+DPÓ`
=(PEÓ+EBÓ)+(DAÓ+DPÓ)
=PBÓ+PAÓ=2PAÓ=2PBÓ ∴ PBÓ=;2!;_(△PED의 둘레의 길이)
=;2!;_4=2(km) C
2`cm
4
28`cm5
2`km본문 57쪽
원의 접선의 길이의 응용
1 ⑴ BQÓ=BPÓ=8-2=6(cm) ⑵ ARÓ=APÓ=2`cm이므로 CQÓ=CRÓ=5-2=3(cm) ⑶ BCÓ=BQÓ+CQÓ=6+3=9(cm)
2 ⑴ BQÓ=BPÓ=(12-x)`cm ⑵ ARÓ=APÓ=x`cm이므로 CQÓ=CRÓ=(9-x)`cm ⑶ BCÓ=BQÓ+CQÓ이므로
13=(12-x)+(9-x), 2x=8 ∴ x=4
1 ⑴ 6`cm ⑵ 3`cm ⑶ 9`cm
2 ⑴ (12-x)`cm ⑵ (9-x)`cm ⑶ 4
CHECK
삼각형의 내접원
본문 58쪽4
APÓ=ADÓ=5`cm, BPÓ=BCÓ=3`cm A
O
C B P
5`cm
3`cm H D
이므로 ABÓ=APÓ+BPÓ=5+3=8(cm) 점 B에서 ADÓ에 내린 수선의 발을` H라 하면 AHÓ=ADÓ-HDÓ=5-3=2(cm)이므로 직각삼각형 ABH에서
CDÓ=BHÓ="Ã8Û`-2Û` ='¶60=2'¶15`(cm) D
2'¶15`cm
6
4`cm본문 57쪽
반원에서의 접선의 길이
6
ACÓ=x`cm라 하면 PCÓ=ACÓ=x`cm,H O
A C P
B D
6`cm
9`cm
PDÓ=BDÓ=9`cm이므로 CDÓ=(x+9)`cm
점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
CHÓ=ABÓ=2AOÓ=2_6=12(cm) HDÓ=BDÓ-ACÓ=(9-x)`cm 직각삼각형 CHD에서
(x+9)Û`=12Û`+(9-x)Û`, 36x=144 ∴ x=4 따라서 ACÓ의 길이는 4`cm이다.
18 ⅠⅠ . 원의 성질
개념탑
DGÓ=DHÓ=4`cm이므로 CDÓ=6+4=10(cm) 이때 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
(ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+CDÓ)
=2_(11+10)=42(cm)
1
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ADÓ+BCÓ=7+8=15(cm) ∴ BCÓ=15_;5#;=9(cm)2
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ABÓ+CDÓ=8+18=26(cm)따라서 등변사다리꼴 ABCD에서 ABÓ=CDÓ이므로 ABÓ=;2!;_26=13(cm)
3
ABÓ는 원 O의 지름의 길이와 같으므로 ABÓ=6`cm ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서ADÓ+BCÓ=6+9=15(cm)
∴ ABCD=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ =;2!;_15_6=45(cmÛ`)
4
A에서 B, C를 지나 D까지 이동한 거리는 60_50=3000(m)이고B에서 C까지 이동한 거리는 60_15=900(m)이므로 A에서 B까지 이동한 거리와 C에서 D까지 이동한 거리의
합은 3000-900=2100(m)
따라서 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 D에서 A까지의 거 리는 2100-900=1200(m)
A 42`cm
1
9`cm2
13`cm3
45`cmÛ`4
1200`m본문 61쪽
외접사각형의 성질
1 ⑴ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 x+8=6+12 ∴ x=10
1 ⑴ 10 ⑵ 3
2 14`cm
3 4`cm
CHECK
외접사각형의 성질
본문 60쪽5
1
ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ=8`cm, CEÓ=CFÓ=6`cm이므로 2(ADÓ+8+6)=38∴ ADÓ=5`cm
직각삼각형 ABC에서 A
C D
E O F B
r`cm 3`cm
4`cm
ABÓ="Ã4Û`+3Û` ='¶25=5(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라
하면 OECF는 정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=r`cm
BDÓ=BEÓ=(4-r)`cm ADÓ=AFÓ=(3-r)`cm ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로
5=(3-r)+(4-r), 2r=2 ∴ r=1 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1`cm이다.
2
ADÓ=AFÓ=x`cm라 하면 AC D
E F O
B 10`cm
2`cm
BDÓ=BEÓ=2`cm, CFÓ=CEÓ=10`cm이므로 ABÓ=(x+2)`cm ACÓ=(x+10)`cm 직각삼각형 ABC에서
(x+10)Û`=(x+2)Û`+12Û`, 16x=48 ∴ x=3 따라서 ADÓ의 길이는 3`cm이다.
B 1`cm
2
3`cm본문 59쪽
직각삼각형의 내접원
⑵ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 7+5=x+9 ∴ x=3
2 ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=8+6=14(cm)
3 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 6+4=3+(BQÓ+3)
∴ BQÓ=4`cm
01
직각삼각형 AOH에서 AHÓ="Ã12Û`-8Û` =4'5`(cm)∴ ABÓ=2AHÓ=2_4'5=8'5`(cm)
02
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가O
A M B
10`cm
16`cm
10`cm, 현 AB의 길이가 16`cm인 원 O 에서
AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_16=8(cm) 직각삼각형 OAM에서
OMÓ="Ã10Û`-8Û` ='¶36=6(cm)
따라서 원의 중심에서 현까지의 거리는 6`cm이다.
03
오른쪽 그림에서 원의 지름의 길이는A
D O M C 3`cm B
9`cm
CDÓ=3+9=12(cm)이므로 OAÓ=6`cm, OMÓ=9-6=3`(cm) 직각삼각형 AOM에서
AMÓ="Ã6Û`-3Û` ='¶27=3'3`(cm) ∴ ABÓ=2AMÓ=2_3'3=6'3`(cm)
04
원의 중심을 O라 하면 오른쪽 그림 CO
A B
D 6`cm 12`cm r`cm
12`cm
과 같이 CDÓ의 연장선은 점 O를 지 난다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OAÓ=r`cm, ODÓ=(r-6)`cm이므로 직각삼각형 AOD에서
rÛ`=12Û`+(r-6)Û`, 12r=180 ∴ r=15 따라서 원의 반지름의 길이는 15`cm이다.
05
직각삼각형 OAM에서AMÓ="Ã15Û`-9Û` ='¶144=12(cm) ∴ ABÓ=2AMÓ=2_12=24(cm) 따라서 OMÓ=ONÓ이므로
CDÓ=ABÓ=24`cm
01
⑤02
②03
⑤04
15`cm05
④06
63ù07
9'2`cm08
⑤09
④10
5`cm11
④12
4`cm기본 다지기 문제
본문 64~65쪽06
AMON에서∠MAN=360ù-(90ù+126ù+90ù)=54ù
또, OMÓ=ONÓ이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각 형이다.
∴ ∠x=;2!;_(180ù-54ù)=63ù
07
APBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로∠APB=360ù-(90ù+90ù+90ù)=90ù
따라서 직각삼각형 APB에서 PBÓ=PAÓ=9`cm이므로 ABÓ="Ã9Û`+9Û` =9'2`(cm)
08
PAÓ=PBÓ이므로∠PAB=∠PBA=;2!;_(180ù-60ù)=60ù 따라서 △PAB는 정삼각형이므로
△PAB= '34 _6Û`=9'3`(cmÛ`)
09
∠ATO=90ù이므로 직각삼각형 AOT에서 ATÓ="Ã13Û`-5Û` ='¶144=12(cm)이때 ATÓ=AT'Ó, BDÓ=BTÓ, CDÓ=CT'Ó이므로 (△ABC의 둘레의 길이)
=ABÓ+BCÓ+CAÓ
=ABÓ+(BDÓ+CDÓ)+CAÓ =(ABÓ+BTÓ)+(CT'Ó+CAÓ) =ATÓ+AT'Ó
=2ATÓ
=2_12=24(cm)
10
BEÓ=BDÓ=3`cm이므로 CFÓ=CEÓ=7-3=4(cm) ∴ ADÓ=AFÓ=9-4=5(cm)11
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 9+x=7+y ∴ y-x=212
원 O의 반지름의 길이가 6`cm이므로 AB E
H D
F C G O
15`cm 13`cm
BFÓ=6`cm 6`cm
따라서 CGÓ=CFÓ=15-6=9(cm) 이므로
DHÓ=DGÓ=13-9=4(cm)
20 ⅠⅠ . 원의 성질
개념탑
1
원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발A C D B
O
M
을 M이라 하면 AMÓ=BMÓ=;2!; ABÓ =;2!;_20=10(cm)
CMÓ=DMÓ=;2!; CDÓ=;2!;_14=7(cm) ∴ ACÓ=AMÓ-CMÓ=10-7=3(cm)
2
ABÓ：CDÓ=7`:`5이므로 ABÓ`:`10=7`:`5 ∴ ABÓ=14`cm오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
O
A C M D B
10`cm
ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면 BMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_14=7(cm) DMÓ=;2!; CDÓ=;2!;_10=5(cm) ∴ DBÓ=BMÓ-DMÓ=7-5=2(cm)
3
OMÓ=ONÓ에서 BCÓ=ACÓ이므로 AB C
N
M 3`cm
O
∠B=∠A=60ù 60ù
∴ ∠C=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉, △ABC는 정삼각형이다.
OCÓ를 그으면
△OMCª△ONC`(RHS 합동)이므로 ∠OCM=;2!;∠ACB=;2!;_60ù=30ù 즉, 직각삼각형 OMC에서
CMÓ= 3
tan`30ù =3Ö'3
3 =3'3`(cm)
1
3`cm2
2`cm3
6'3`cm4
5'6`cmÛ`5
4p`cm6
6`cm7
① (8-x)`cm, (9-x)`cm② (8-x), (9-x), -2x+17, 6
③ IEÓ, BEÓ, 2, 2_6=12(cm)
8
① 7`cm② 3'5 2 `cm
실력 올리기 문제
본문 66~67쪽 따라서 BCÓ=2CMÓÓ=2_3'3=6'3`(cm)이므로 ABÓ=BCÓ=6'3`cm4
점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면O P
A D
B H C
3`cm 2`cm
BHÓ=ADÓ=2`cm, HCÓ=3-2=1(cm) ADÓ=DPÓ, BCÓ=CPÓ이므로
DCÓ =DPÓ+CPÓ=ADÓ+BCÓ
=2+3=5(cm) 직각삼각형 DHC에서
DHÓ="Ã5Û`-1Û` ='¶24=2'6(cm) 따라서 ABÓ=DHÓ=2'6`cm이므로 ABCD=;2!;_(2+3)_2'6=5'6(cmÛ`)
5
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 AC D O
E F B
6`cm
4`cm
r`cm
OECF는 정사각형이므로
CEÓ=CFÓ=r`cm BEÓ=BDÓ=4`cm AFÓ=ADÓ=6`cm 이므로
BCÓ=(r+4)`cm, ACÓ=(r+6)`cm 직각삼각형 ABC에서
10Û`=(r+4)Û`+(r+6)Û`, rÛ`+10r-24=0 (r-2)(r+12)=0
∴ r=2``(∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_2=4p(cm)
6
BEÓ=x`cm라 하면 ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ에서8+DEÓ=12+x ∴ DEÓ=(4+x)`cm
직각삼각형 DEC에서 ECÓ=(12-x)`cm, DCÓ=8`cm이 므로
(4+x)Û`=(12-x)Û`+8Û`, 32x=192 ∴ x=6 따라서 BEÓ의 길이는 6`cm이다.
7
① BEÓ=BDÓ=x`cm이므로AFÓ=ADÓ=(8-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(9-x)`cm ② ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 5=(8-x)+(9-x) 5=-2x+17 ∴ x=6
