범위 지수 삼각함수의 그래프 : -

범위 지수 삼각함수의 그래프 : -

1.

¹⁾ log_{ }



 ^  



이 정의되기 위한 모든 정수 의 값의 합은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

²⁾다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

.

ㄱ



^ ^



 ^



^



 

.

ㄴ



^{ } ^{ }



^



^{ } ^{ }



^  .

ㄷ



^{ }^{ } ^{ }

^{ }^{ }

 

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,

④ ㄱ ㄷ, ⑤ ㄴ ㄷ,

3.

³⁾ 양수 , 에 대하여 log_⋅log_  이고,



^log



^



^log



^{ 일 때, ⋅의 값은?}

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

⁴⁾정의역이   ≤  ≤ 인 두 지수함수   ^,

 



^





^{에 대하여 의 최댓값을 , 의 최솟값을}

이라 할 때, 의 값은?

① _



 ②  ③ 

④  ⑤ 

5.

^{5 )}함수   log_ 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만난다 두 교점의. 좌표가 각각 , 일 때, ^의 값은? ( ,단   , ≠)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.

^{6 )}다음 중 옳지 않은 것은? ( ,단 은 정수)

①  와 동경이 일치하는 최소의 양의 각은 이다.

② 두 각 , 의 동경이 일치하면    이다.

③ 와  는 같은 사분면에 속하는 각이다.

④ 와 _



는 동경이 일치한다.

⑤ 는 제사분면에 속하는 각이다.

7.

⁷⁾함수   sin의 그래프와 직선   가 만나는 점의 개수는?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.

⁸⁾다음은



^

 ,



^{ }

 이 모두 자연수가 되도록 하는

자연수 의 최솟값을 구하는 과정이다.



^

 이 자연수가 되기 위해서는

  가 ×^(는 자연수 꼴이어야 한다) .



^{ }

 이 자연수가 되기 위해서는

  나 ×^(는 자연수 꼴이어야 한다) .

가 ×^ 나 ×^에서

는 의 배수, 는 의 배수이어야 한다.

따라서 구하는 의 최솟값은

  다 ,   라 일 때,

   × 마 ×^

위의 가( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 에 알맞은 값을 각각나 다 라 마 , ,

, , 라 할 때, _



 의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9.

^{9 )}어떤 약을 혈관 내에 주사했을 때 초기 혈중 농도 _과

시간 후의 혈중 농도  사이에는   _



^





^{(는 양의}

상수) 인 관계가 성립한다 이 약은 혈중 농도가.  이상일 때에만 효력이 있으며 이 약을 주사하여 초기 혈중 농도를, 

의 배로 하면 시간 동안 효력이 있다고 한다 이 약이. 

시간 동안 효력이 있게 하기 위한 초기 혈중 농도를 , 

시간 동안 효력이 있게 하기 위한 초기 혈중 농도를 라 할 때, _



 의 값은?

①  ② ^ ③ ^

④ ^ ⑤ ^

10.

¹⁰⁾다음 조건을 만족시키는  이하의 모든 자연수 의 값의 합은?

log_



 ^



과 log_



  ^



은 같은 자연수이고

     ≤ 

 인 두 실수 , 가 존재한다.

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

11.

^{1 1)}자연수 에 대하여 두 함수    ^{   },

 ^{   } 의 그래프와 직선   이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 , 라 하자 선분.  위에 있고 좌표가 정수인 점의 개수를 _이라 할 때, [보기 에서 옳은 것만을] 있는 대로 고른 것은?

. ㄱ _ 

.

ㄴ _ _{  }을 만족시키는 의 최솟값은 이다.

.

ㄷ _ _{  }을 만족시키는 자연수 의 개수는 이다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

12.

^{1 2)}집합  



∣^ ^{  }^   



에 대하여

 이 되도록 하는 정수 의 개수는?

단

( , 는 집합 의 원소의 개수이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

13.

¹³⁾그림과 같이 곡선   log_  과 축이 만나는 점을

라 하고 곡선,   log_와 직선   이 만나는 점을 라 하자 점. 를 지나고 기울기가 _{ }



인 직선 이 축, 축과 만나는 점을 각각 , 라 하자 삼각형. 의 넓이가 삼각형 의 넓이의 _



배일 때 다음 조건을 만족시키는, 곡선   의 점근선의 방정식은   이다 상수. 의 값은?

가 곡선

( )   log_  을 평행이동 또는 축에 대하 여 대칭이동 또는 축에 대하여 대칭이동 및 이들을 여 러 번 결합한 이동을 통해 곡선   와 일치시킬 수 있다.

나 곡선

( )   는 두 점 , 를 지나고,   이 다.

① _

  ^



 ② _

  ^





 ③ _

  ^





④ _

  ^

 ⑤ _

  ^



14.

^{1 4)}두 함수  ^,  log_에 대하여 곡선   ,

  ,   ^{ }와 직선    가 만나는 점을 각각





^ _



^{, }



^ _



^{, }



^ _



^{라 할 때}, [보기 에서 옳은 것만을] 있는 대로 고른 것은?

.

ㄱ _ _ ㄴ. _

_

_

 _

_

.

ㄷ _ _ _

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

15.

^{1 5)}그림과 같이 반지름의 길이가 m인 원 모양의 물레방아가 수면으로부터  m 떨어진 위치에서 회전하고 있다 물레방아가 정지했을 때 물레방아의 중심에서 수면에. , 수평으로 그은 직선이 물레방아와 만나는 점 중 오른쪽에 있는 점을 라 하자 이 물레방아가 시계 반대 방향으로.

분에 바퀴 돈다고 할 때, 초 후 점 와 수면사이의 거리는?

① _



 ^

m ② _



 ^

m ③ _



m

④ _



 ^

m ⑤ _



 ^ m

16.

¹⁶⁾함수  cos   에 대한 설명으로 보기 에서[ ] 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

함수 .

ㄱ   ,   tan의 주기는 같다.

함수 .

ㄴ   의 최댓값과 최솟값의 합은 이다.

.

ㄷ  ≤   에서   와   sin 가 만나는 점 의 개수는 개다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

17.

¹⁷⁾로그함수를 보기 에서 고른 것은[ ] ?

.

ㄱ   log_^ ㄴ. _{  } log_



.

ㄷ   log_^ ㄹ.   log





.

ㅁ   ^log ㅂ. log_ 보 기

[ ]

① ㄱ ㄴ, ② ㄴ ㄷ, ③ ㄷ ㄹ,

④ ㄷ ㅁ, ⑤ ㄹ ㅂ,

서술형

18.

^{1 8)} ≤  ≤ ,  ≤  ≤ 에서 sinsincoscos  일 때, sin cos 의 최댓값을 구하시오.

19.

^{1 9)} 에 대한 로그부등식 log







^

 



^{ log  }를 만족시키는 정수해가 개가 되도록 하는 자연수 의 값을 구하고, 에 대한 지수방정식



^^





^{   의 해를 구하시오.}

20.

²⁰⁾다음 조건을 만족시키는  이하의 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.

log_



 ^



과 log_



  ^



은 같은 자연수이고,

     ≤ 

 인 두 실수 , 가 존재한다.

21.

²¹⁾자연수 에 대하여

_



^cos

 

  은 자연수



^{에 대하여  이 집합 의}

원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 의 개수를 구하시오.

빠른정답

1) ③ 2) ④ 3) ⑤

4) ④ 5) ⑤ 6) ⑤

7) ① 8) ③ 9) ⑤

10) ② 11) ② 12) ③ 13) ① 14) ② 15) ①

16) ⑤ 17) ③ 18) _



^  

19)   , _{  }



 20)  21) 

정답 및 풀이

1) ③

밑 조건에서   이고,  ≠이다.

∴   , ≠  ⋯ ㉠

진수 조건에서  ^   이므로

^   에서    이다.

∴       ⋯ ㉡

따라서 ㉠ ㉡, 의 공통범위를 구하면

     , ≠ 이다.

그러므로 log_{ }



 ^  



이 정의되기 위한 정수 의 값은 , , , 이고,

합은      이다.

2) ④ .

ㄱ



^ ^



 ^



^



     

.

ㄴ  ^ ^ 이므로 구하고자 하는 값은



^{ } ^{ }



^



^{ }^{ }



^

  ×^{ }×^{ } 이다.

.

ㄷ



^{ }^{ }^{ }

^{ } ^{ }





^{ }^{ } ^{ }

^{ }^{ }





^{ }^{ }



^{ }



^{ }



^{ }







^{ }^ 

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다. 3) ⑤

log_  , log_  라 하자.

문제 조건에 의해   , _



^

^ 이다.

  에서 _



 

이므로 이를 _



^

^ 에 대입하면 _

^

^ 에서



^



^ ^  이다.

즉,



^ 



^ 



 이고 와 는 실수이므로

  이면    즉,   이면   이고,

  이면    즉,   이면   이다.

∴  ×^  ×  

4) ④

 ^에서 밑이 보다 크므로

  ≤  ≤ 에서 의 최댓값은

   ^ 이다.





^





^{에서 밑이 보다 작으므로}

  ≤  ≤ 에서 의 최솟값은 최솟값   



^





^{ }

이다.

∴   × 

 

5) ⑤

함수   log_ 의 그래프와

그 역함수의 그래프는 직선   에 대하여 대칭이므로 두 교점의 좌표는  ,  이다.

함수   log_ 의 그래프는

점  을 지나므로   log_  이다. ∴    또한 함수,   log_ 의 그래프는

점  를 지나므로   log_이다. ∴ ^  따라서 ^   ×  이다.

6) ⑤

①     × 이다.

두 각의 동경이 일치하면 그 차이는

② 이다.

③ 와  는 모두 제사분면의 각이다.

④ _{ × }



  

이므로

와 _



는 같은 각이다.

⑤    × 이므로 제사분면에 속하는 각이다.

7) ①

두 함수의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 함수   sin의 그래프와 직선   가 만나는 점의 개수는 개다.

8) ③



^

 이 자연수가 되기 위해서는

   ×^ (는 자연수 꼴이어야 한다) .



^{ }

 이 자연수가 되기 위해서는

   × ^ (는 자연수 꼴이어야 한다) .

 × ^  × ^에서

는 의 배수, 는 의 배수이어야 한다.

따라서 구하는 의 최솟값은

  ,   일 때,    ×^×^이다.

따라서   ,   ,   ,   ,

  ^ 이므로 _



 이다.

9) ⑤

_ ,   일 때의   이므로

   ×



^





^{에서  이다.}

_ ,   일 때의   이라 하면

  ×



^





^{ }

_

_^

_

^{ }

 이므로

  이다.

또한, _ ,   일 때의   이라 하면

  ×



^





^{ }

_

_^

_

^{ }

 이므로

  이다.

따라서 _



 

   ^이다.

10) ②

 이하의 자연수 에 대하여

log_



 ^



 log_



  ^



  ( ,단 는 자연수 이다) . 즉  ^   ^ ^이므로

실수 , 는 각각 에 관한 이차방정식

^  ^ 의 두 근이다.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

  이고,   ^이므로

  



^^  



^^ ^{ }이다.

(∵    ) 이때,     ≤ 

이므로  



^^ ^{ }≤ 

이다.

∴ ^{ } ^≤ 

^{ }

( )ⅰ   일 때

  ^ 

  ⋯이므로 이를 만족하는 자연수 은 없다.

( )ⅱ   일 때

  ^≤ 

  ⋯이므로

이를 만족하는 자연수 의 값은 이다.

( )ⅲ   일 때

  ^≤ 

  ⋯이므로

이를 만족하는 자연수 의 값은 , 이다.

그러므로 ( )~( )ⅰ ⅲ에 의하여

_ 이다. (∴참) .

ㄴ   일 때, 



^{   }





^{,   이므로}

_      

  일 때, 



^{    }





^{,    이므로}

_      

  일 때, 



^{    }^





^{ }

^

     





^이므로

_      

따라서 _ _{  }을 만족시키는

의 최솟값은 이다. (∴참) .

ㄷ   일 때, 



^{   }^





^{, }



^{    }^





^{이므로  ≥ 일}

때, _ 이다.

따라서 _ _{  }을 만족시키는

자연수 은 , 으로 개수는 이다. (∴거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다.

12) ③

^  (  )라 하면

^  ^   

  ^   ^

  에서 이 방정식이 하나의 근만 존재하려면

  ^  또는   ^≥ 이어야 한다.

즉,    또는    또는 ^≤ 이므로

  ,   ,   ,   ,

  ,  ,   이다.

따라서 정수 의 개수는 이다.

13) ①

 ,  이고 직선 의 방정식은 _{  }



   

즉 _{  }



  

이므로 두 점 , 의 좌표는 각각

  , 



^{ }





^이다.

이때 삼각형 의 넓이가

곡선   log_를 축에 대하여 대칭이동한 후,

축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프여야 한다.

즉,   log_ 이고

이때 함수 의 점근선은 직선   이다.

점   와 점 



 



^가

곡선   의 그래프 위에 있으므로 각각을 대입하면 다음과 같다.

  log_     ⋯ ㉠

 log_   

 ⋯ ㉡ 과 을 연립하면

㉠ ㉡

log_   log_   

이므로

log_



^ 

  



^{ }

이다.

즉, _

 

  

 ^



이므로     ^



이다.

∴   

  ^





따라서 곡선   의 점근선은

직선 _{  }

  ^



 이다. _{∴   }

  ^





14) ②

^{ }  log_이다.

또한    는 기울기가  인 직선으로 직선   에 수직이므로

점 , 는 직선   에 대칭임을 알 수 있다.

따라서 _ _이고 _ _이다.

.

ㄱ _ _ _ .

ㄴ _

_

_

 _

_

은 원점에서 점 를 이은

직선의 기울기를 의미하고,

_

_

는 원점에서 점 를 이은

직선의 기울기를 의미한다. _{∴ }

_

_

 _

_

.

ㄷ _ _ _

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

15) ①

분에 바퀴()를 돈다면

초에 _



만큼 움직인다.

즉 반지름의 길이가, m인 원의 중심을 좌표평면에서 원점 에 놓이도록 하면 점  이고,

이 물레방아가 시계 반대 방향으로 초 동안 돌면 점 의 좌표는



^cos

 sin





^이므로





^{ }

  

^



^이다.

따라서 점 와 수면사이의 거리는 _{  }



 

m

이므로 초 후 점 와 수면사이의 거리는







^{ }

^



^{ }

 ^ m이다.

16) ⑤

  cos   cos 이다.

함수 .

ㄱ   의 주기는 _



 이고

  tan의 주기도 이므로 같다.

함수 .

ㄴ   의

최댓값은 cos  일 때 이고, 최솟값은 cos  일 때  이므로 최댓값과 최솟값의 합은 이다.

.

ㄷ   sin 이라 하면

  에서  cos   sin 이고,

 cos  sin이므로

두 함수   와   의 그래프의 교점의 개수는 두 함수   cos와   sin의 그래프의 교점의 개수와 같다.

 ≤   에서 교점의 개수는 총 개이다.

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다. 17) ③

.

ㄱ   log_이므로 로그함수가 아니다.

.

ㄴ   log_이므로 로그함수가 아니다.

.

ㄷ   log_이므로 로그함수이다.

. ㄹ   log



이므로 로그함수이다.

.

ㅁ   ^log^이므로 로그함수가 아니다.

.

ㅂ log_는 가 없으므로 함수가 아니다.

따라서 로그함수인 것은 ㄷ ㄹ, 이다. 18) _



^  

 ≤  ≤ ,  ≤  ≤ 에서

 ≤ sin ≤ ,   ≤ cos ≤ 이므로

 ≤ sin ≤ 이고,   ≤ cos ≤ 이다.

즉,  ≤ sinsin≤ ,   ≤ coscos≤  이므로 sinsincoscos 에서 sinsin , coscos 이다.

이때,  ≤ sin ≤ ,   ≤ cos ≤ 이므로

sin  

, cos   ∴ sin  

, cos  

 ≤  ≤ 에서 방정식 _{sin  }



을

만족시키는 의 값은 _{  }



 또는 _{  }



이다.

 ≤  ≤ 에서 방정식 cos  을 만족시키는 의 값은 _{  }



이다.

∴   

 

 

 또는

  

  

 



( )ⅰ _{   }



인 경우

sin cos sin

 cos



 

^

 

 

^  

( )ⅱ _{   }



인 경우

sin cos sin

 cos



 

^

 

 

^ 

밑이 보다 큰 양수이므로 _{   }



 이다.

( )ⅰ   일 때

    

 에서    따라서     이다.

( )ⅱ   일 때

    

 에서   

따라서     이다.

그러므로 ( ), ( )ⅰ ⅱ에 의해

의 범위는      또는     이다.

이때 정수해가 개가 되도록 하는 자연수 의 값은  뿐이다. ∴    따라서 방정식



^^





^{   ,     에서}

 

   이므로 _{  }



이다.

20) 

log_ ^과 log_  ^이 같은 자연수 이므로 log_ ^  log_ ^  

단

( , 는 자연수 라 하면)

 ^   ^ ^이다. ⋯ ㉠ 즉 이차함수,     ^의 그래프와

직선   ^의 교점의 좌표는   ,   이다.

에서

㉠   ^  ^  ^ ^, 즉 ^ ^    이므로

      이다.

이때,     이므로    이다.

∴    ,    

주어진 조건에서      ≤ 

이므로

     ≤ 

,       ≤ 



     ≤ 

, _{   ≤ }





∴ 

≤   

, _



  ≤ 



즉,     ^이라 하면 즉 이차함수, 의 그래프와





^





^{≤  }



^





^{이어야 하므로}



^≤ ^ 

^ 이다.



^≤ ^에서 ^≤ ^× 

이므로 ^≤ ^{  }×^

^ 

^

에서 ^ ^×이므로 ^ ^{ }

∴ ^{ } ^≤ ^{  }×^ ( )ⅰ   일 때,

  ^≤  ∴    ( )ⅱ   일 때,

  ^≤ 

이를 만족시키는 자연수 은 존재하지 않는다.

( )ⅲ   일 때,

  ^≤  ∴    ( )ⅳ   일 때,

  ^≤ 

이를 만족시키는 자연수 은 존재하지 않는다.

( )ⅴ   일 때,

  ^≤ 

이를 만족시키는  이하의 자연수 은 존재하지 않는다.

따라서 ( )ⅰ∼( )ⅴ에서

조건을 만족시키는  이하의 자연수 의 값은

, 이므로 그 합은    이다.

21) 

cos    이다. ( ,단 은 정수)

가 자연수일 때,

_



^cos

 

  은 자연수



^{에 대하여}

 이 집합 _의 원소가 되려면



 

  이어야 한다.

즉,     ×에서

  

× 

  

이고,

은 정수이고, 과 는 자연수이므로

는 의 배수이다.

따라서 두 자리 자연수 중 짝수 는

, , ⋯, 로 총 개다.