5 Z 4, pp. 521∼529

 5 Z 4, pp. 521∼529

ß O

Ë à à Š M X ê s ; c Æ k Ó À W ¥ á J Ë# aP  Œ ˜ my ¢= k€ ¾ß f Ä 8 ý  ày ¢ M × DÑ ÷ ° ‚ Ç “ Ó ÞS ë s

~ ç

¡ ò 6 B  ™ ¸ · T „ ç ¡ I · x

]

jÅ Ò@ /† < Ɠ § õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ õ , ] jÅ Ò 690-756



™ ») o Z 9 

î

ß –1 l x @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , î ß –1 l x 690-749

(2011¸   3 Z 4 31{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   4 Z 4 18{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2011¸   5 Z 4 6{ 9  > F  S X ‰& ñ )

&

ñ ï  r € © œ © œ^  ¦ : Ÿ x > (canonical ensemble statistics)\  ¦  6   x # Œ  â  ”    l  © œ? /\  e ”   H ì ø ͕ ¸^ ‰ œ í  



(bulk semiconductor superlattice) „   > _  C • ¸ l  oü < \ P 6   x | ¾ Ó\  p u   H  l  © œ_  [ jl ü <  â   y

Œ

• Õ ªo “ ¦ “ : r • ¸_  % ò † ¾ Ó`  ¦ K $ 3 & h ·Ã ºu & h Ü ¼– Ð  © œ[ jy  › ¸  % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: C • ¸ l  o, ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   , \ P 6   x | ¾ Ó

Orbital Magnetization and Heat Capacity in Bulk Semiconductor Superlattices under a Tilted Magnetic Field

Dong Shik Kang · Sang Chil Lee ^∗

Faculty of Science ducation, Jeju National University, Jeju 690-756

Suck Whan Kim

Department of Physics, Andong National University, Andong 760-749 (Received 31 March 2011 : revised 18 April 2011 : accepted 6 May 2011)

We analytically and numerically study the orbital magnetization and the heat capacity of an electron system on the basis of canonical ensemble statistics for a bulk semiconductor superlattice under a tilted magnetic field. The orbital magnetization and the heat capacity as functions of the magnetic field strength for finite temperature for a bulk semiconductor superlattice are obtained.

Furthermore, the dependences of the orbital magnetization and the heat capacity an the temperature and the tilt angle of the tilted magnetic field are calculated.

PACS numbers: 75.70.cn, 75.20.Ck, 65.40

Keywords: Orbital Magnetization, Semiconductor Superlattice, Heat Capacity

I. " e  ] Ø

ê

ø Í Ä º [1]  l  © œ? /\  » ¡ ¤ @  ) a  Ä »„   [ þ t _  C • ¸î  r 1

l

x s  ì ø Í $ í y Œ ™Ã ºÖ  ¦(diamagnetic susceptibility)`  ¦ + þ A$ í

∗

E-mail: [email protected]

r

†     H  z  ´`  ¦ \ V8 £ ¤ ô  Ç s A  C • ¸ $ í \  @ /ô  Ç ´ ú §“ É r ƒ  

½

¨ s À Ò# Q4 R M ® o   [1–13]. Childersü < Pincus [2]  H

›

¸ o”  1 l x   ( J $ ™[ >  Ä ºÓ ü t — ¸4 S q`  ¦  6   x # Œ  Ä »„   > 

\

 @ /ô  Ç ì ø Í $ í y Œ ™Ã ºÖ  ¦ _  ß ¼l ´ òõ \  ¦ › ¸  % i  . Huck- estein ü < K¨ummel [3]“ É r f ” y Œ • € ª œ Ä ºÓ ü t — ¸4 S q\  @ /ô  Ç \ P % i 

†

< Æ Ÿ íJ $ ™[ > – РÒ'   l  o(magnetization)\  ¦ > í ß – # Œ,  

-521-

l

 o  o† < Æ( J $ ™[ > _  † < Êà º– Ð ”  1 l x † < Ê`  ¦ ˜ Ð% i  . Wangõ  O’Connell [4]“ É r ç  H{ 9 ô  Ç  l  © œ \  e ”   H s  " é ¶ „   >  _

  Ä »\  -t \  @ /ô  Ç K $ 3 & h  ³ ð‰ & ³Ü ¼– РÒ'  > í ß –ô  Ç   l

— ¸F ' pà Ôü < \ P 6   x | ¾ Ó\  @ /ô  Ç ê ø Í Ä º ï  r 0 A ( f ” ´ òõ \  ¦ › ¸



 % i  . Oh 1 p x [5]“ É r  â  t “ ¦ y © œô  Ç  l  © œ \  e ”   H



×  æ € ª œ Ä ºÓ ü t _   l  o\  ¦ \ P % i † < Æ ( J $ ™[ > – РÒ'  à ºu & h  Ü

¼– Ð ½ ¨ # Œ,  l  o  o† < Æ( J $ ™[ > _  † < Êà º– Ð ”  1 l x † < Ê`  ¦

˜

Ð% i  . Gao 1 p x [6]“ É r s  " é ¶ ì ø ͕ ¸^ ‰> \ " f ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô   Ä

»\  -t , „     ' pà Ԗ Ðx , „    \ P 6   x | ¾ Óõ  ° ú  “ É r \ P % i † < Æ& h  Ó

ü

t o | ¾ Ó\  @ /ô  Ç Û ¼— 2 ;-C • ¸  © œ  ñ Œ •6   x _  ´ òõ \  ¦ & ñ | ¾ Ó& h Ü ¼

–

Ð ] jr  % i  . Ramos 1 p x [7]“ É r  â  ”    l  © œ \  e ”   H s

 " é ¶ ì ø ͕ ¸^ ‰ „   > _   o† < Æ( J $ ™[ > , ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  - t

,  l y Œ ™Ã ºÖ  ¦,  l  oü < ° ú  “ É r \ P % i † < Æ& h  $ í | 9 `  ¦ { 9     l

 © œ_  [ jl ,  â  y Œ •, “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð › ¸  % i  .

ì

ø ͕ ¸^ ‰ ] j› ¸l Õ ü t _  µ 1 τ  “ É r  ×  æ € ª œ Ä ºÓ ü t _   © œ# 4  ¿ ºa 

\

 ¦  8  Œ •>  ë ß –[ þ t # Q
” ¸ß ¼l \  ¦ ° ú   H ì ø ͕ ¸^ ‰œ í    ½ ¨› ¸ ]

j Œ •s  0 p x >  ÷ &# Q, ì ø ͕ ¸^ ‰œ í    ™ è Ó ü t o  ƒ  ½ ¨

 Ö

¸ µ 1 Ïy  s À Ò# Qt “ ¦ e ”   [8–13]. Õ ª Q
 ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   \ 

"

f “  0 A& h Ü ¼– Ð   › ¸  ) a Å Òl & h “   ( J $ ™[ > \  _ K " f Å Ò# Q t

  H p m  ½ ™× ¼\  ¦ + þ A$ í `  ¦ : Ÿ x ô  Ç   o,  l y Œ ™Ã ºÖ  ¦, \ P 6   x | ¾ Ó õ

 ° ú  “ É r \ P % i † < Æ& h  Ó ü t o | ¾ Ó_   l  © œ,  â  y Œ •, “ : r • ¸\  @ / ô

 Ç _ ” > r$ í \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H z  ´+ « >õ  s  : r& h Ü ¼– Ð  f ”  p f  ¨ ô

 Ç z  ´& ñ s  .

‘

: r ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r Ä »ô  Çô  Ç “ : r • ¸\ " f  â  ”    l  © œ 

\

 e ”   H é # Qo  ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   _  ó ¡ š2 £ §f . Ë Ý ¼  Ä » \  -t 

\

 ¦ „   x 9 • ¸·“ : r • ¸· l  © œ· â  y Œ •_  † < Êà º– Ð+ ‹ K $ 3 & h Ü ¼

–

Ð > í ß – # Œ C • ¸ l  o·\ P 6   x | ¾ Ó_  Ó ü t o & h  : £ ¤$ í `  ¦  [ jy 

›

¸    H  כ s  . > í ß –`  ¦ é ß –í  H  o l  0 A # Œ é # Qo  ì ø Í

•

¸^ ‰œ í   _  z ~ ½ ӆ ¾ Ó\  @ /ô  Ç Å Òl ( J $ ™[ > “ É r x 9 ] X   ½ + Ë  H



(tight-binding approximation)`  ¦  6   x # Œ  ï “   + þ A I

_  Å Òl ( J $ ™[ > – Ð   H   % i   [14]. \  -t  “ ¦Ä »u  ë  H ]

j\  ¦  â  ”    l  © œ_  ” > r F  \ " f K $ 3 & h Ü ¼– Ð Û  ¦ l  0 A

# Œ 1 l qw n  „   — ¸+ þ A`  ¦ “ ¦ 9 % i  . ¢ ¸ô  Ç ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   

>

_  Á º| 9 " fü <  • 2 ;  â >  ´ òõ   H Á ºr  % i  . ‘ : r ƒ  ½ ¨

\

" f  H  o† < Æ( J $ ™[ > s  { 9 & ñ ô  Ç @ /& ñ ï  r € © œ © œ^  ¦ : Ÿ x > (grand canonical ensemble statistics)\  ¦  6   x t  · ú §“ ¦, z  ´] j z  ´ +

« >\ " f  Ö ¸6   x ½ + É Ã º e ”   H „   à º { 9 & ñ ô  Ç & ñ ï  r € © œ © œ^  ¦ : Ÿ x

>

(canonical ensemble statistics)\  ¦ 0 A_  é ß –í  H  o  ) a ì ø ͕ ¸

^

‰œ í    — ¸+ þ A\  & h 6   x # Œ ó ¡ š2 £ §f . Ë Ý ¼  Ä »\  -t \  ¦ s  : r

&

h Ü ¼– Ð ½ ¨ “ ¦  ô  Ç . ó ¡ š2 £ §f . Ë Ý ¼  Ä »\  -t \  ¦  l  © œ _

 [ jl \  @ /K  ô  Ç    p ì  r # Œ C • ¸  l  o\  ¦ % 3 “ ¦, “ : r

•

¸\  @ /K  ¿ º    p ì  r # Œ „    \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦ % 3   H  .



7 Hë  H _  ½ ¨$ í “ É r  6 £ § õ  ° ú   . II] X \ " f  H  â  ”    l  © œ s

 é # Qo  ì ø ͕ ¸^ ‰ œ í   \   Œ •6   x ½ + É M : é ß –{ 9 „    K x 9 ž Ð m

î ß –\  { 9  [ O 1 l x : r`  ¦ & h 6   x # Œ \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ % 3 “ ¦,

Fig. 1. (Color online) Schematic illustration of a GaAs- based semiconductor superlattice [15].

s

– РÒ'  ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t \  ¦ > í ß –ô  Ç . Õ ªo “ ¦ ó ¡ š 2

£

§f . Ë Ý ¼  Ä »\  -t \  ¦  l  © œ\  @ / # Œ ô  Ç    p ì  r # Œ C

• ¸  l  o\  ¦ ½ ¨ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç ó ¡ š2 £ §f . Ë Ý ¼  Ä »\  -t \  ¦ “ : r

•

¸\  @ /K  ¿ º    p ì  r # Œ „    \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦ ½ ¨ô  Ç . b ] X 

\

" f  H Ä »ô  Çô  Ç “ : r • ¸\ " f \ P % i † < Æ& h “   Ó ü t o | ¾ ӓ   C • ¸ l 



o·\ P 6   x | ¾ Ó`  ¦ „   x 9 • ¸ü < “ : r • ¸,  l  © œ_  [ jl  x 9   â  y Œ • _

 † < Êà º– Ð+ ‹ à ºu & h    õ \  ¦ % 3 “ ¦ Ó ü t o & h  $ í | 9 `  ¦ › ¸ ô  Ç



.  t } Œ •  © œ\     : r`  ¦ ] jr ½ + É  כ s  .

II. á J Ë# aP  Œ ˜ my ¢= k€ ¾ß f Ä ; c 6 ” X ¢ { ¢¨ | 

Õ

ªa Ë > 1õ  ° ú  s  é # Qo  ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   _  Å Òl ( J $ ™[ >  ~ ½ Ó

†

¾ Ó(z ~ ½ ӆ ¾ Ó)\  @ /K   â  y Œ • θ_   â  ”   ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ç  H{ 9 ô  Ç



l  © œ ~ B = (0, B sin θ, B cos θ) s  { 9  ½ + É M : [14,15], 7 ˜ '

( J $ ™[ > \  @ /ô  Ç ê ø Í Ä º > s t  ~ A = (0, B _z x, −B _y x) = (0, xB cos θ, −xB sin θ)\  ¦  6   x €  , é ß –{ 9 „    K x 9 ž Ðm  î

ß – H“ É r

H = H 0 + H 1 , (1)

H ₀ = p ² _x 2m + 1

2 mω _c ²



x cos θ + p _y mω c

 2

(2)

H ₁ = ∆ 2

 1 − cos



k _z − eB

~ x sin θ

 d



(3)

Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”   [14, 15]. # Œl " f ~ A  H 7 ˜' ( J $ ™[ >  s

“ ¦, p x ü < p y   H y Œ •y Œ • xü < y ~ ½ ӆ ¾ Ó_  î  r1 l x | ¾ Ós  9, k z   H z

~

½ ӆ ¾ Ó_   à º 7 ˜'  $ í ì  r s “ ¦, ω c = eB/m ^∗   H  s 9 þ t – Ðà Ô



: r ”  1 l x à ºs  . m ^∗ “ É r Ä »´ ò| 9 | ¾ Ós “ ¦, ∆ü < d“ É r y Œ •y Œ • x 9  ] X

  ½ + Ë  H  \  ¦ Ù þ ¡`  ¦ M :_  é # Qo  ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   _  p m 



½ ™× ¼ ; Ÿ ¤ õ  Å Òl ( J $ ™[ > _  Å Òl \  ¦ _ p ô  Ç . é # Qo  ì ø ͕ ¸

^

‰œ í     H Å Òl ( J $ ™[ > \  _ K " f p m  ½ ™× ¼ + þ A$ í  ) a  .

|H 0 | > |H 1 |, 7 £ ¤ B cos θ > 2∆α n m ^∗ /[(2n + 1)e~]`  ¦ ë ß –7 á ¤

€   H 0   H q [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß –, H ¹ “ É r [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼

–

Ð  Ò  ¦ à º e ”  . q [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß – H 0 _  \  -t  “ ¦Ä »

° ú

כ E n ⁰ (k y , k z ) ü < “ ¦Ä »† < Êà º ψ ⁿ (k y , k z )   H

E _n ⁰ =

 n + 1

2



~ω c cos θ (4) ü

<

ψ n (k y , k z ) = 1 pL y

e ^ik

^y

φ n,k

_y

(x − x 0 )ξ k

_z

(z) (5)

s

 . # Œl " f n(= 0, 1, 2, · · · )“ É r ê ø Í Ä º ï  r 0 A t à º\  ¦
 

? /“ ¦, ~“ É r e  ¦ | ½ Óß ¼  © œÃ º\  ¦ 2π – Ð
è  H  כ s  . d ” (5)_ 

“

¦Ä »† < Êà º φ n,k

_y

(x − x 0 )  H ”  1 l x×  æd ” s  x 0 = −l ² _B k y “   é

ß –í  H › ¸ o”  1 l x  _   1 l x † < Êà º, k ^y   H y ~ ½ ӆ ¾ Ó_   à º 7 ˜' , l _B = q

~

m

^∗

ω

c

cos θ = q

~

eB cos θ   H „   _  Ä »´ ò  l ì ø Í â , L y   H y ~ ½ ӆ ¾ Ó_  ½ ©   o  ) a U  ´s s  . # Œl " f r « Ñ_   Òx 



 H V = L x L _y L _z Ü ¼– Ð L x ü < L z   H y Œ •y Œ • xü < z ~ ½ ӆ ¾ Ó_  ½ ©  



o  ) a U  ´s s  . d ”  (4)ü < d ”  (5)`  ¦ s 6   x # Œ é ß –{ 9 „    K  x 9

ž Ðm î ß –\  { 9   [ O 1 l x : r`  ¦ & h 6   x €   „   _  \  -t  “ ¦ Ä

»° ú כ E n (k _y ⁰ , k ⁰ _z )“ É r

E _n (k ⁰ _y , k _z ⁰ ) =

 n + 1

2



~ω c cos θ + ∆

2 (1 − α _n cos k _z ⁰ d ⁰ ) (6)

ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”    [14,15]. # Œl " f

d ⁰ = d/ cos θ, α _n = e ⁻

^a24

L _n  a ² 2



(7)

Ü

¼– Ð a = d tan θ/l ^B s “ ¦ L ⁿ   H Laguerre  † ½ Ód ” `  ¦
 



· p . d ”  (6)_  > í ß –õ & ñ \ " f ý a³ ð  ¨ 8 Š k ⁰ _y = k y cos θ − k _z sin θ, k ⁰ _z = k _y sin θ + k _z cos θ`  ¦  6   x % i  . d ”  (6)_ 

\

 -t  “ ¦Ä »° ú כ\ " f k ⁰ y 
 
t  · ú §“ ¦ e ”  . s   H y Œ • ê ø Í



Ä º ï  r 0 A  H n õ  k ⁰ z  Å Ò# Q& ’ `  ¦ M : k y ⁰ \  @ / # Œ » ¡ ¤ @÷ &

#

Q e ” 6 £ §`  ¦
  · p . ³ ðï  r » ¡ ¤ @à º ! l rZ O \  _  # Œ » ¡ ¤ @à º ζ\  ¦ > í ß – €  

ζ = X

k

⁰_y

(1) = m ^∗ ω c L x L y

2π~ (8)

s

 .

C

• ¸ l  o·\ P 6   x | ¾ Óõ  ° ú  “ É r \ P % i † < Æ& h  Ó ü t o | ¾ Ó`  ¦ s  : r& h  Ü

¼– Ð › ¸  l  0 A # Œ > _  „   à º N`  ¦ ` …Ø Ôp -n | Ã Ì ì  r

Ÿ

í† < Êà º f(E)\  ¦  6   x # Œ
 ? /€  

N = Z ∞

−∞

D(E)f (E)dE = X

σ,n,k

_y⁰

,k

⁰_z

1

e ^β(E

ⁿ

^(k

^y

^,k

^z

^)−µ) + 1 (9) ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”   . # Œl " f β = 1/(k B T ) Ü ¼– Ð k B   H ^  ¦ Þ

Ôë ß –  © œÃ º, D(E)  H  © œI x 9 • ¸, σ  H Û ¼— 2 ; t à º, T   H “ : r

•

¸, µ  H  o† < Æ( J $ ™[ > s  . d ”  (6)_  \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦  6   x

“ ¦ „   _  Û ¼— 2 ;\  _ ô  Ç » ¡ ¤ @• ¸ 2ü < ê ø Í Ä º ï  r 0 A\  @ / ô

 Ç » ¡ ¤ @• ¸ ξ\  ¦ “ ¦ 9 €   é ß –0 A Òx { © œ  © œI x 9 • ¸ ˜ D(E)(=

D(E)/V )  H

D(E) = ˜ m ^∗ ω _c cos θ π ² ~d

X

n

α _n θ E − E _n ⁰ − ^1−α ₂

ⁿ

∆
θ E _n ⁰ + ^1+α ₂

ⁿ

∆ − E
q 

 E − E _n ⁰ − ^1−α ₂

ⁿ

∆

E _n ⁰ + ^1+α ₂

ⁿ

∆ − E
 

(10)

ü

< ° ú  s  > í ß –  ) a  .  © œI x 9 • ¸  H y Œ • p m  ½ ™× ¼_   { Œ • (E = E ⁰ _n + ∆ ^1−α ₂

ⁿ

) õ  =  G @ /l  (E = E n ⁰ + ∆ ^1+α ₂

ⁿ

) \ " f : £ ¤ s 

&

h

`  ¦ ”   . θ(x)  H x > 0{ 9  M : θ(x) = 1, x < 0{ 9  M : θ(x) = 0 Ü ¼– Ð & ñ _ ÷ &  H K ‰q  s × ¼ > é ß –† < Êà ºs  . “ ¦“ : r

“

  q » ¡ ¤ @ „   l ^ ‰, 7 £ ¤ β(E − µ) << 1“    â Ä º\   H ` … Ø

Ôp -n | Ã Ì ì  r Ÿ í† < Êà º  H   H  & h Ü ¼– Ð Ð l oÛ ¼R / ÷-^  ¦ Þ Ôë ß – ì  r Ÿ í

†

< Êà º  ) a   [14–16].   " f “ ¦“ : r“   q » ¡ ¤ @ „   l ^ ‰“  

 â

Ä º, > _  „   x 9 • ¸ n ^e (= N/V )  H

n e = m ^∗ ω c cos θ

π~d ⁰ e ^βµ e ⁻

^β∆2

∞

X

n=0

e ^−β ( ⁿ⁺

¹₂

) ~ω

c

cos θ

I 0

 β∆α _n 2



(11) Ü

¼– Ð Å Ò# Q”   . d ”  (11)Ü ¼– РÒ'   o† < Æ( J $ ™[ >  µ  H

µ = − 1

β ln m ^∗ ω c cos θe ⁻

^β∆2

πn _e ~d ⁰

∞

X

n=0

e ^−β ( ⁿ⁺

¹2

) ~ω

c

cos θ I 0

 β∆α n

2

 !

(12)

Ü

¼– Ð Å Ò# Q”   . # Œl " f I 0 (x)  H I ν (x) = P ∞

s=0 1 s!(s+ν)!

x 2

^2s+ν

–

Ð & ñ _ ÷ &  H ] j17 á x à º& ñ  ) a Z …

!

s q† < Êà ºs  .  o† < Æ( J $ ™[ > “ É r { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð “ : r • ¸,  l  © œ,  â



y Œ •, „   x 9 • ¸, p m  ½ ™× ¼ ; Ÿ ¤, œ í    Å Òl \  _ ” > r † < Ê`  ¦

· ú

˜ à º e ”  . “ ¦“ : r   H   › ¸| \ " f β~ω c cos θ/2 < 1 s Ù ¼– Ð ]

j17 á x à º& ñ  ) a Z …! s q† < Êà º  H I 0 (β∆α n /2) ' 1 Ü ¼– Ð   H    ) a



. d ”  (12)_   o† < Æ( J $ ™[ > “ É r   H  & h Ü ¼– Ð

µ ' − 1 β ln





2πn _e ~d ⁰ e ⁻

^β∆2

sinh  _β

2 ~ω c cos θ  m ^∗ ω _c cos θ



 (13) ü

< ° ú  s  % 3 `  ¦ à º e ”  .

C

• ¸ l  o·\ P 6   x | ¾ Óõ  ° ú  “ É r \ P % i † < Æ& h  Ó ü t o | ¾ Ó`  ¦ > í ß –

l  0 AK " f  H ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   > _  ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t 

\

 ¦ > í ß – # Œ  ô  Ç  [16]. q » ¡ ¤ @ „   l ^ ‰s “ ¦ “ ¦“ : r“  

 â

Ä º\  @ /ô  Ç   H  d ”  ln 1 + exp β(µ − E _n (k ⁰ _y , k _z ⁰ ))

' exp β(µ − E n (k _y ⁰ , k ⁰ _z ))
ü < d ”  (6) _  \  -t  “ ¦Ä »° ú כ E n (k ⁰ _y , k ⁰ _z )`  ¦  6   x €   ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t  F   H

F = N µ − 1 β

X

σ=±

X

n,k

⁰_y

,k

⁰_z

ln 

1 + e ^β(µ−E

ⁿ

^(k

^0y

^,k

^0z

⁾⁾ 

' N µ − 2ζe ^βµ β

X

n,k

_z⁰

e ^−βE

ⁿ

^(k

^0y

^,k

^0z

⁾

= N µ − 2ζe ^βµ e ⁻

^β∆2

β

∞

X

n=0

e ^−β ( ⁿ⁺

¹₂

) ~ω

c

cos θ X

k

z

e

^β∆αn2

^{cos k}

^0z

^d0 = N µ −

m ^∗ ω c cos θL x L y L z e ^βµ e ⁻

^β∆2

I 0

 _β∆α

n

2

 2π~βd ⁰ sinh 

β~ω

c

cos θ 2

 (14)

ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”   . # Œl " f Û ¼— 2 ; » ¡ ¤ @• ¸ü < ê ø Í Ä º ï  r 0 A » ¡ ¤

@• ¸ P

σ=±

P

k

_y⁰

(1) = 2ζ\  ¦ “ ¦ 9 % i  . ¢ ¸  6 £ § _  › ' a > d ” 

∞

X

n=0

e ^−β ( ⁿ⁺

¹₂

) ~ω

c

cos θ = 1 2 sinh 

β~ω

c

cos θ 2

 (15) ü

<

X

k

⁰_z

e

^β∆αn2

^{cos k}

^0z

^d0 = L _z 2π

Z π/d

⁰

−π/d

⁰

e

^β∆αn2

^{cos k}

^0z

^d0 dk ⁰ _z = L _z

d ⁰ I ₀  β∆α _n 2



(16)

`

 ¦  6   x % i  . ] j17 á x à º& ñ  ) a Z …! s q† < Êà º_    H  d ”  I ₀ (β∆α _n /2) ' 1 ü < d ”  (13)_   o† < Æ( J $ ™[ >  µ\  ¦ d ”  (14)\ 

@

/{ 9  # Œ & ñ o  €   ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t  F   H F = N µ − N

β (17)

ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”   .



l  © œs   â  t >    o   H  â Ä º, z ~ ½ ӆ ¾ Ó_  C • ¸ l  o

M _z   H  l  © œ ~ B _  z-$ í ì  r“   B _z (= B cos θ) \  @ /ô  Ç 6 £ § ó ¡ š 2

£

§f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t  −F _     oÖ  ¦ – Ð & ñ _   ) a  . Õ ª QÙ ¼– Ð z ~ ½ ӆ ¾ Ó_  C • ¸ l  o M ^z   H  â  y Œ • θ  “ ¦& ñ  ) a  © œI \ 

"

f  l  © œ [ jl  B\  @ /ô  Ç 6 £ § ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t  −F _ 



  oÖ  ¦ õ   l  © œ [ jl  B “ ¦& ñ  ) a  © œI \ " f  â  y Œ • θ\ 

@

/ô  Ç 6 £ § ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô  Ä »\  -t  −F _     oÖ  ¦ _  ½ + ËÜ ¼– Ð Å Ò

#

Q”   .   " f z ~ ½ ӆ ¾ Ó_  C • ¸ l  o M z   H

M z = −  ∂F

∂B z



N,V,T ,B

y

= −N  ∂µ

∂B z



N,V,T ,B

y

= −N 1 cos θ

 ∂µ

∂B



N,V,T ,θ

− 1 B sin θ

 ∂µ

∂θ



N,V,T ,B

!

(18)

Ü

¼– Ð > í ß –  ) a  . # Œl " f B ^y = B sin θ s  . d ”  (18)`  ¦ % 3 l  0 A # Œ θü < B\  › ' a ô  Ç p ì  r \  @ /ô  Ç ƒ   WZ O g Ë :

∂

∂B _z =

 ∂

∂B



θ

 ∂B

∂B _z



θ

+  ∂

∂θ



B

 ∂θ

∂B _z



B

= 1 cos θ

 ∂

∂B



θ

− 1 B sin θ

 ∂

∂θ



B

(19)

ü

<

 ∂B

∂B _z



θ

=  ∂B z

∂B

 ⁻¹

θ

= 1 cos θ ,

 ∂θ

∂B _z



B

=  ∂B z

∂θ

 ⁻¹

B

= − 1

B sin θ (20)

\

 ¦  6   x % i   [13]. d ”  (13)_   o† < Æ( J $ ™[ >  µ`  ¦ d ”  (18)\ 

@

/{ 9  # Œ > í ß – €   C • ¸ l  o M ^z   H

M _z = −N



− 4µ ^∗ _B k _B T

~ω c cos θ + 2µ ^∗ _B cos θ



coth  β

2 ~ω c cos θ



(21) Ü

¼– Ð   H    ) a  . ¢ ¸ô  Ç

coth

 ~ω c cos θ 2k _B T



' 2k B T

~ω c cos θ + ~ω c cos θ

6k _B T (22)

`

 ¦  6   x €  , C • ¸ l  o  H

M _z ' − N µ ^∗ _B ~ω ^c cos θ

3k _B T (23)

Ü

¼– Ð Å Ò# Q”   .

\ P

6   x | ¾ Ó C ^V   H

C V = T  ∂ ² F

∂T ²



V,N

= −k B β ²

 2 ∂F

∂β + β ∂ ² F

∂β ²



V,N

= −N k B

 2β ² ∂µ

∂β + β ³ ∂ ² µ

∂β ²



V,N

(24)

ü

< ° ú  s  & ñ _   ) a  . “ ¦“ : r   H  \ " f \ P 6   x | ¾ ӓ É r

C V = N k B





β~ω

c

cos θ 2

sinh 

β

2 ~ω c cos θ 





2

' N k B



1 − ~ ² ω _c ² cos ² θ 12k _B ² T ²



(25)

s

 . # Œl " f x < 1{ 9  M :,   H  d ”  (x/sinh(x)) ² ' 1 − x ² /3`  ¦  6   x % i  .

Fig. 2. (Color online) Magnetic-field strength depen- dence of negative orbital magnetization for various tilt angles and various temperatures at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.

III. • ¤V + s ÇÊ ÝÑ ÷ À X Ø8 ý

s

 ] X \ " f  H “ ¦“ : r“   q » ¡ ¤ @ „   [ þ t \  @ /K  é # Qo  ì ø Í

•

¸^ ‰œ í   » ¡ ¤ \  @ /K   â  ”   ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð K ”    l  © œ_ 

†

< Êà º– Ð % 3 # Q”   C • ¸ l  oü < \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦ : £ ¤& ñ ô  Ç “ : r • ¸ü <  â



y Œ •\  @ /K  à ºu & h    õ [ þ t`  ¦ ] jr ô  Ç . à ºu > í ß –\    6

 

x ) a Ó ü t o  © œÃ º[ þ t“ É r GaAs _  Ä »´ ò| 9 | ¾ Ó m ^∗ = 0.067m e ( m e   H „   _  & ñ t  | 9 | ¾ Ó), „   x 9 • ¸ n ^e = 4 × 10 ²⁰ m ⁻³ , p

m  ½ ™× ¼ ; Ÿ ¤ ∆ = 2.0 meV, œ í   _  Å Òl  d = 5 nms 



.

Õ

ªa Ë > 2(a), 2(b), 2(c)  H ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   _  “ : r • ¸ 100 K, 250 K, 400 K { 9  M :, z-~ ½ ӆ ¾ Ó_  6 £ § _  C • ¸ l  o\  ¦  â  

Fig. 3. (Color online) Tilt-angle dependence of neg- ative orbital magnetization for various magnetic-field strengths and various temperatures at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.

y

Œ

•\  θ = 0 ^◦ , 18 ^◦ , 36 ^◦ @ /K   l  © œ_  † < Êà º– Ð
  · p  כ s 



. Õ ªa Ë > 2\ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  ± ú “ É r  l  © œ % ò % i \ " f 6 £ § _

 C • ¸ l  o  H  l  © œ_  [ jl \  q Y V “ ¦,  â  y Œ •õ 

“

: r • ¸ 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ 6 £ § _  C • ¸ l  o  H y Œ ™™ è   H  ⠆ ¾ Ó`  ¦

 ? /“ ¦ e ”  .

Õ

ªa Ë > 3(a), 3(b), 3(c)  H “ : r • ¸ y Œ •y Œ • 100 K, 250 K, 400K { 9  M :  l  © œ_  [ jl  B = 5 T, 20 T, 35 T\  @ / K

 { 9    â  y Œ •_  † < Êà º– Ð" f 6 £ § _  C • ¸ l  o\  ¦
  · p

 כ

s  . Õ ªa Ë > 3_  6 £ § _  C • ¸ l  o  H Õ ªa Ë > 3\ " fü < ° ú  “ É r Ó

ü

t o & h  € ª œ © œ`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”  .

Õ

ªa Ë > 4(a), 4(b), 4(c)“ É r  l  © œ_  [ jl  y Œ •y Œ • 5 T,

Fig. 4. (Color online) Temperature dependence of neg- ative orbital magnetization for various tilt angles and various magnetic-field strengths at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.

15 T, 35 T { 9  M : 6 £ § _  C • ¸ l  o\  ¦  â  y Œ • θ = 0 ^◦ , 18 ^◦ , 36 ^◦ \  @ /K  “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð
  · p  כ s  . Õ ªa Ë >

3 \ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  6 £ § _  C • ¸ l  o  H % i r  Õ ªa Ë > 2\ 

"

fü < ° ú  “ É r € ª œ © œ`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”  . Õ ªa Ë > 2, 3, 4_    õ   H d ”  (23) Ü ¼– РÒ'  s K ½ + É Ã º e ”  . ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   \   l  © œs 

 â

 t >    o   H  â Ä º, é # Qo ì ø ͕ ¸^ ‰_  3 " é ¶ „   l ^ ‰ ü

< ° ú  s  C • ¸ l  o  H “ : r • ¸\  ì ø Íq Y V   H Curie Z O g Ë :`  ¦ ë

ß –7 á ¤ “ ¦  l  © œ_  [ jl \  q Y V   H ê ø Í Ä º ì ø Í $ í `  ¦
 

? / 9  â  y Œ •s  7 £ x † < Ê\     C • ¸ l  o  H y Œ ™™ è† < Ê`  ¦

· ú

˜ à º e ”  .

Õ

ªa Ë > 5(a), 5(b), 5(c)“ É r “ : r • ¸ y Œ •y Œ • 100 K, 250 K, 400 K { 9  M :, \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦  â  y Œ • θ = 0 ^◦ , 18 ^◦ , 36 ^◦ \  @ /K   l 

Fig. 5. (Color online) Magnetic-field strength depen- dence of heat capacity for various tilt angles and various temperatures at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.



© œ_  † < Êà º– Ð
  · p  כ s  . Õ ªa Ë > 5\  ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s 



l  © œ_  [ jl  7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ \ P 6   x | ¾ ӓ É r y Œ ™™ èô  Ç . “ : r • ¸ ü

< { 9    â  y Œ •s  7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ \ P 6   x | ¾ ӓ É r 7 £ x ô  Ç .  Œ •“ É r



l  © œ_  [ jl \ " f  H { 9    â  y Œ •\  › ' a > \ O s  \ P 6   x | ¾ ӓ É r N k _B – Ð { 9 & ñ  . \ P 6   x | ¾ Ós  0Ü ¼– Ð Ã º§ 4    H  l  © œ_  [ j l

  H “ : r • ¸ 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ 7 £ x ô  Ç .

Õ

ªa Ë > 6(a), 6(b), 6(c)“ É r “ : r • ¸ y Œ •y Œ • 100 K, 250 K, 400 K { 9  M :  l  © œ_  [ jl  B = 5 T, 20 T, 35 T\  @ /K  { 9

   â  y Œ •_  † < Êà º– Ð" f \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦
  · p  כ s  . Õ ªa Ë >

5 _  \ P 6   x | ¾ ӓ É r Õ ªa Ë > 5\ " fü < ° ú  “ É r Ó ü t o & h  € ª œ © œ`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”

 .

Fig. 6. (Color online) Tilt-angle dependence of heat ca- pacity for various magnetic-field strengths and various temperatures at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.

Õ

ªa Ë > 7(a), 7(b), 7(c)“ É r  l  © œ_  [ jl  y Œ •y Œ • 10 T , 15 T , 35 T { 9  M : \ P 6   x | ¾ Ó`  ¦  â  y Œ • θ = 0 ^◦ , 18 ^◦ , 36 ^◦ \ 

@

/K  “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð
  · p  כ s  . Õ ªa Ë > 7\ " f “ : r • ¸

7

£

x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ \ P 6   x | ¾ ӓ É r – ÐÕ ª† < Êà º + þ AI – Ð 7 £ x  # Œ Nk ^B \  Ã

º§ 4  “ ¦,  l  © œ [ jl  9 þ t à º2 Ÿ ¤ à º§ 4    H “ : r • ¸  H 7 £ x  ô

 Ç . Õ ªa Ë > 5, 6, 7_    õ   H d ”  (26)Ü ¼– РÒ'  s K ½ + É Ã º e ”

 .

IV. + s Ç Â ] Ø

Fig. 7. (Color online) Temperature dependence of heat capacity for various tilt angles and various magnetic-field strengths at ∆ = 2.0 meV and d = 5 nm.

t

F K  t  é # Qo  ì ø ͕ ¸^ ‰œ í   \   â  ”    l  © œs   Œ • 6

 

x ½ + É M :, & ñ ï  r € © œ © œ^  ¦ : Ÿ x > \  ¦  6   x # Œ „   _  ó ¡ š2 £ §f . Ë Þ Ô



Ä »\  -t \  ¦ > í ß – # Œ C • ¸ l  o·\ P 6   x | ¾ Ó_  Ó ü t o & h  : £ ¤

$ í

`  ¦  l  © œ_  [ jl ,  â  y Œ •, “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð Ã ºu & h Ü ¼– Ð

›

¸  % i  . { 9    l  © œ_  [ jl  7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ 6 £ § _  C 

•

¸ l  o  H 7 £ x   9, “ : r • ¸ü < { 9    l  © œ_   â  y Œ •s  7

£

x  €   C • ¸ l  o  H y Œ ™™ èô  Ç . “ : r • ¸ü < { 9    â  y Œ • s

 7 £ x  €   \ P 6   x | ¾ ӓ É r 7 £ x  % i Ü ¼ 9  Œ •“ É r  l  © œ_  [ j l

\ " f  H { 9    â  y Œ •\  › ' a > \ O s  \ P 6   x | ¾ ӓ É r N k B – Ð { 9 

&

ñ % i  . \ P 6   x | ¾ Ós  0Ü ¼– Ð Ã º§ 4    H  l  © œ_  [ jl   H “ : r

•

¸ 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ 7 £ x ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç “ : r • ¸ 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ \ P 

6  

x | ¾ ӓ É r – ÐÕ ª† < Êà º + þ AI – Ð 7 £ x  # Œ Nk B \  à º§ 4  “ ¦,   l

 © œ [ jl  9 þ t à º2 Ÿ ¤ à º§ 4    H “ : r • ¸  H 7 £ x ô  Ç .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] L. D. Landau, Z. Phys. 64, 629 (1930).

[2] D. Chilreres and P. Pincus, Phys. Rev. 177, 1036 (1969).

[3] B. Huckestein and R. K¨ ummel, Phys. Rev. B 38, 8215 (1988).

[4] L. Wang and R. F. O’Connell, Phys. Rev. B 37, 3052 (1988).

[5] J. H. Oh, K. J. Chang, G. Ihm, S. J. Lee, Phys. Rev.

B 48, 15441 (1993).

[6] F. Gao, D. J. D. B eaven, J. Fulcher, C. H. Yang, Z. Zeng, W. Xu and C. Zhang, Physica E 40, 1454 (2008).

[7] A. C. A. Ramos, T. F. A. Alves, G. A. Farias, R. N.

Costa Filho and N. S. Almeida, Physica E 41, 1267 (2009).

[8] L. Esaki and R. Tsui, IBM Res. Note, RC-2418, Mar. (1969). L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. Dev.

14, 61(1970).

[9] J. C. Man, in Two Dimensional Systems, Het- erostructures and Superlattices, edited by G. Bauer, F. Kuchar and H. Heinrich (Springer-Verlag, Berlin, 1984), p. 183.

[10] G. Marx and R. Kummel, J. Phys. C 3, 8237 (1991).

[11] S. J. Lee, M. J. Park, G. Ihm, M. L. Falk, S. K.

Noh, T. W. Kim and B. D. Choe, Physica B 184, 318 (1993).

[12] G. Ihm, M. L. Falk, S. K. Noh, S. J. Lee and T. W.

Kim, Phys. Rev. B46, 15270 (1992); Phys. Rev. B 46, 15530 (1992).

[13] P. A. Maksym and T. Charkraborty, Phys. Rev. B 45, 1947 (1992).

[14] S. C. Lee, J. W. Kang, D. S. Kang, Y. B. Kang, K.

H. Kim, H. S. Ahn, M. Yang, N. L. Kang and S. W.

Kim, Physica B 287, 313 (2007).

[15] D. S. Kang, S. W. Kim and S. C. Lee, J. Korean Phys. Soc. 57, 1456 (2010).

[16] J. Y. Ryu, S. W. Kim, S. C. Lee and C. S. Ting,

Phys. Rev. B 62, 385 (2000).