Optimal PM policy following the expiration of <i>k0</i>-RRW †

2020, 31

1)

41–49

k

-재생교체보증이 종료된 이후의 최적의 예방보전정책 ^†

저 ᆼ기문

¹

1경성대학교 수학응용통계학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 28ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 16ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 17ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

Jung (2018a)ᄋ ᅳ ᆫ ᄋ ᅲᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨᄋ ᅵ ᆫ k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ (k

-renewing replacement warranty)ᄋ ᅳ ᆯ ᄀ

ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵᄅ ᅥᄒ ᅡ ᆫ k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼᄀ ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ ᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆼ ᄅ ᅭ ᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅵᄒ ᅮᄋ ᅴ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄌ ᅡ ᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄆ ᅩ ᄒ ᅧ

ᆼ (preventive maintenance model)ᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄀ ᅩ, ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨ ᄋ

ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄄ ᅢ, ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨ (preventive maintenance policy)ᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅬ ᄌ

ᅥ ᆨᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄌ ᅮ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ (expected cost rate per unit time)ᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄀ ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅳ ᆨ, ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄎ ᅬᄉ ᅩᄒ ᅪᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫ ᄌ ᅮᄀ ᅵ (PM period)ᄋ ᅪ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫ ᄒ ᅬ ᆺ ᄉ ᅮ (PM number)ᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅩᄌ ᅡ ᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄁ ᅳ ᇀ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄎ ᅵᄌ ᅥ ᆨ ᄋ ᅨᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄀ ᅪ ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ

ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅢ ᆨᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅥ ᆯᄆ ᅧ ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅱᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆼ ᄀ ᅵᄃ ᅢᄇ ᅵᄋ ᅭ ᆼ, ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄌ ᅮᄀ ᅵ, ᄎ ᅬᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅴ ᄋ ᅨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅩᄌ ᅥ ᆫᄒ ᅬ ᆺ ᄉ ᅮ, k

-ᄌ ᅢᄉ ᅢ ᆼ ᄀ

ᅭᄎ ᅦᄇ ᅩᄌ ᅳ ᆼ.

1. 서론 이

ᆯ반적으로 시스템을 구입하는 경우에 특정 보증기간 (warranty period)이 주어지게 되는데, 가장 ᄀ

ᅵ본적인 보증의 형태로는 교체보증 (replacement warranty)과 최소수리보증 (minimal repair war- ranty)이 있다. 보증기간 동안에 발생되는 시스템의 고장에 대하여 생산자가 새로운 시스템으로 교체 (replacement)를해주고 보증기간 또한 새롭게 시작되는보증을재생교체보증 (renewing replacement warranty; RRW)이라고 한다. 그리고 교체가 아닌 최소수리 (minimal repair)가 제공된다면 이는최소 ᄉ

ᅮ리보증 (minimal repair warranty; MRW)에 해당된다. 이러한 교체 및 최소수리 보증과관련된 연 ᄀ

ᅮ로는 Sahin과 Polatoglu (1996), Chien (2008a), Chien (2008b), Yeh 등 (2007), Jung 등 (2010), Jung (2016) 등이 있다.

ᄎ

ᅬ근에 Jung (2018b)은 Jung (2018a)이 제안한 k0-재생교체보증 (k0-renewing replacement war- ranty; k0-RRW) 하에서 수리가 가능한 시스템에 대한 보증 이후의 교체모형 (replacement model)을 ᄌ

ᅦ안했고, 제안된교체모형에 대하여 사용자 측면의 최적의 교체주기 (optimal replacement period)를 겨

ᆯ정하는 최적의 교체정책에 대하여 살펴보았다. 여기서 k0-재생교체보증 (k0-RRW)은 재생교체보증 ᄋ

ᅴ횟수 k0가 주어지는유한 재생교체보증으로 제공되는재생보증의횟수 k0가 0이면 기존의 보증정책 ᄋ

ᅵᆫ 최소수리보증 (minimal repair warranty; MRW)이 되고 k⁰가 ∞이면 기존의 보증정책인 재생교체

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2018 ᄒ ᅡ ᆨᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅮ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

(48434) ᄇ ᅮᄉ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄂ ᅡ ᆷᄀ ᅮ ᄉ ᅮᄋ ᅧ ᆼᄅ ᅩ 309, ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄒ ᅡ ᆨᄋ ᅳ ᆼᄋ ᅭ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

ᄇ

ᅩ증 (renewing replacement warranty; RRW)이 되는데, 자세한 내용은 Jung (2018a)의 논문을참조 ᄒ

ᅡ면된다.

ᄒ

ᅡᆫ편, 수리가 가능한 시스템을 운용하는사용자는보증기간이 종료된이후에 시스템의 고장률을감소 ᄉ

ᅵ키기 위하여 예방보전 (preventive maintenance; PM)활동을수행하게 되는데, 이를설명하기 위해 ᄉ

ᅥ는 예방보전모형 (PM model)이 필요하다. 이러한 예방보전모형은 지금까지 많은 신뢰성 연구자에 ᄋ

ᅴ하여 연구가 진행되었는데, 대표적인 연구로는 Canfield (1986), Jung (2009), Lin 등 (2000), Wu와 Clements-Croome (2005) 등이 있다. 따라서 Jung (2018b)이 제안한 수리가 가능한 시스템에 대하여 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된이후의 교체모형을예방보전활동이 이루어지는모형으로확장할 피

ᆯ요가 있다. 이러한 이유로 본연구에서는사용자 측면에서 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된 이 ᄒ

ᅮ의 예방보전모형을제안하고 제안된예방보전모형에 대하여 기대비용 측면에서의 최적화 문제를다루 ᄀ

ᅩ자 한다.

보

ᆫ 논문은다음과 같이 구성된다. 2절에서는 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된이후의 예방보전 ᄆ

ᅩ형을 설명하고자 한다. 3절에서는 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된이후의 예방보전모형에 대 ᄒ

ᅡ여 단위시간당 기대비용을유도하고, 유도된단위시간당 기대비용을최소화하는최적의 예방보전 주 ᄀ

ᅵ와횟수를결정하는 문제를다루고자 한다. 끝으로 4절에서는제안된k0-재생교체보증이후의 예방보 ᄌ

ᅥᆫ정책의 이론적 특성을수치적 예로부터 자세히 살펴보고자 한다.

2. k

0

2.1. k0-재생교체보증 ᄋ

ᅵ 절에서는 본 논문에서 고려하고자 하는 k0-재생교체보증 (k0-RRW)에 대하여 설명하고자 한다.

k0-재생교체보증 (k0-RRW)은 Jung (2018a)에 의해서 제안되었으며, 자세한 내용은이를참조하면된 ᄃ

ᅡ. k⁰-재생교체보증 (k0-RRW)은보증기간 동안 시스템에 발생되는 k0번의 고장까지는시스템을새것 ᄋ

ᅳ로 교체해 주고, 보증기간도 재생되며, k⁰번의 고장이 발생된이후에는최소수리가 이루어진다는보증 ᄋ

ᅳ로써 다음과 같은가정 하에서 정의되는유한 재생교체보증이다.

i) 판매자는사용자에게 보증기간 w와 재생교체보증횟수 k0를제공한다.

ii) 보증기간 w 동안 시스템에 발생한 k0번까지의 고장에 대해서는각각 새로운시스템으로 교체를 ᄒ

ᅢ주고 보증기간 w도 다시 시작된다.

iii) k0번의 고장 이후에는최소수리가 진행되고 보증기간은잔여기간만 유효하게된다.

iv) k0번의 고장 이후에 제공되는최소수리 비용은판매자가 모두 부담한다.

v) 보증기간에서 이루어지는최소수리 시간은고려하지 않는다.

2.2. k0-재생교체보증이 종료된 이후의 예방보전모형 ᄋ

ᅵ 절에서는 2.1절에서 설명한 수리가 가능한 시스템에 대한 k0-재생교체보증이 종료된이후의 예방 ᄇ

ᅩ전모형에 대하여 자세히 설명하고자 하는데, 이를위해서 다음의 사항들을가정한다.

ᄀ ᅡ정

i) 2.2절의 가정 i)～v)

ii) 보증이 종료된이후에는사용자에 의해서 예방보전 (PM)활동이 jx, j = 1, 2, · · · , N에서 주기 ᄌ

ᅥᆨ으로 이루어진다.

iii) N 번째 PM 주기에서는사용자에 의해서 시스템이 새것으로 교체된다.

iv) 예방보전기간 동안의 시스템 고장에 대해서는사용자에 의해서 최소수리가 이루어진다.

v) 보증이후의 최소수리, 예방보전 및 교체를수행하기 위한 시간은고려하지 않는다.

vi) 시스템의 최소수리비용,예방보전비용,교체비용은각각 cm, cpm, cr이다.

ᄋ

ᅱ와 같은가정을 통해서 본 논문에서 제안되는 k0-재생교체보증이 종료된이후의 예방보전모형을설 며

ᆼ할 수 있다. 다만, j번째 예방보전 (PM)이 이루어진 이후의 시스템의 고장률함수는다음과 같은 고 ᄌ

ᅡᆼ률함수를갖는다고 가정하는데, 이는 Canfield (1986)가 제안한 예방보전 하에서의 고장률함수이다.

hP M(t) =







h(t), for 0 ≤ t ≤ x

Pj

i=1{h(ix − (i − 1)η) − h(i(x − η))} + h(t − jx), for jx ≤ t ≤ (j + 1)x.

ᄋ

ᅱ의 고장률함수에서 T 는시스템의 고장시간 (failure time), h(t)는예방보전 (PM)이 이루어지지 않 으

ᆯ때의 고장률함수 (failure rate function), hP M(t)은 PM하에서의 T 의 고장률함수이고 η는예방보 ᄌ

ᅥᆫ의 수준을표현하는 인자로써 0 < η ≤ τ 이다. Figure 2.1은이러한 k0-재생교체보증이 종료된이후 ᄋ

ᅴ 예방보전모형의 전형적인 형태를보여주고 있다.

Figure 2.1 Preventive maintenance model after k

-RRW

ᄋ

ᅱ에서 설명한 예방보전모형 (PM)에 대하여 최적의 예방보전 주기 (x)와 예방보전횟수 (N)를결정 ᄒ

ᅡ기 위한 최적화의 기준으로는단위시간당 기대비용을사용하고자 하며, 이는다음절에서 자세히 설명 ᄒ

ᅡ고자 한다. 그리고 k0-재생교체보증이 종료된이후의 예방보전모형 (PM)은다음과 같은모형을포함 ᄒ

ᅡ는 일반적인 형태의 보전모형이다.

i) k0= 0이면 최소수리보증 (MRW)이 종료된이후의 예방보전모형 ii) k0= ∞이면 재생교체보증 (RRW)이 종료된이후의 예방보전모형 iii) N = 1이면 k0-재생교체보증이 종료된이후의 교체모형

3. k

₀

3.1. 단위시간당 기대비용

k0-재생교체보증 이후의 최적의 예방교체정책을 결정하기 위한 기준으로 기대비용을 사용하고자 하 ᄆ

ᅳ로 2.3절에서 설명한 예방보전모형에 대하여 사용자 측면에서의 단위시간당 기대비용을 유도하여야 ᄒ

ᅡ는데, 이는 총기대비용과 시스템의 기대순환길이로부터 유도된다. 먼저 시스템에 대한 기대순환길이 ECLk0(x, N )는 Jung 등 (2010)과 Jung (2018b)의 결과를이용하면 다음과 같이된다.

ECLk0(x, N ) =

k0

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^j

 jI(w)

F (w)



+ w + N x. (3.1)

ᄋ

ᅱ 식에서 F (t)는시스템의 고장시간 T 의 수명분포함수 (life distribution function), ¯F (t) = 1 − F (t), I(s) =Rs

0 tf (t)dt, w는보증기간, k⁰는재생교체보증횟수, x는시스템의 예방보전주기, N은시스템의 ᄋ

ᅨ방보전횟수이다.

ᄋ

ᅵ제, 본 논문에서 제안한 k0-재생교체보증이후의 사용자 측면의 예방보전정책에 대하여 총기대비용 ET Ck0(x, N )을구하고자 하는데, 이때 보증기간에서 발생되는고장에 대한 교체 또는최소수리에 대하 ᄋ

ᅧ 사용자가 비용을부담하지 않는무료보증과 그 일부를부담하는비례보증인 경우를각각 고려하여야 ᄒ

ᅡᆫ다. 더불어 사용자가 부담해야 하는 총기대비용은보증기간에서 발생하는기대보증비용 ECW,보증 ᄀ

ᅵ간 이후의 보전기간 동안에 발생하는기대수리비용 ECM과 예방보전비용 ECP M 그리고 기대교체비 ᄋ

ᅭᆼ ECR의 합이므로 총기대비용 ET Ck₀(x, N )는다음과 같이 구할 수 있다.

ET Ck0(x, N ) = ECW+ ECM+ ECP M+ ECR. (3.2) ᄋ

ᅵ때, 위의 식 (3.2)에 주어져 있는기대비용은 Jung 등 (2010)과 Jung (2018b)의 결과를이용하면 무 ᄅ

ᅭ보증과 비례보증인 경우에 다음과 같이 구해진다.

ECW =







0, 무료보증인 경우, Pk₀

j=0F (w)(F (w))¯ ^jj

cr w

I(w) F (w)



, 비례보증인 경우,

ECM = cm N −1

X

j=1 j

X

i=1

{h((i − 1)(x − η) + (x + w)) − h(i(x − η) + w)}x

+

N −1

X

j=0

Z(j+1)x+w jx+w

h(t − jη)dt

! ,

ECP M= (N − 1)cpm, ECR= cr.

ᄋ

ᅱ의 식에서 cm은보전기간에서의 단위 최소수리비용, cpm는보전기간에서의 단위 예방보전비용그 ᄅ

ᅵ고 cr은시스템의 구입비용이다. 따라서 식 (3.2)에 주어진 사용자 측면의 총기대비용 ET Ck0(x, N )는 ᄃ

ᅡ음과 같이 구해진다.

ET Ck₀(x, N ) =c1+ cm N −1

X

j=1 j

X

i=1

{h((i − 1)(x − η) + (x + w)) − h(i(x − η) + w)}x

+

N −1

X

j=0

Z (j+1)x+w jx+w

h(t − jη)dt

!

, (3.3)

ᄋ ᅧ기서,

c1=







cr+ (N − 1)cpm, 무료보증인 경우, Pk0

j=0F (w)(F (w))¯ ^jj

c_r w

I(w) F (w)



+ cr+ (N − 1)cpm, 비례보증인 경우.

ᄁ ᅳ

ᇀ으로 식 (3.1)의 기대순환길이 ECLk₀(x, N )과 식 (3.3)의 총기대비용 ET Ck₀(x, N )으로부터 k0- ᄌ

ᅢ생교체보증이후의 예방보전정책에 대한 단위시간당 기대비용 Ck₀(x, N )은다음과 같이 구해짐을알 ᄉ

ᅮ 있다.

Ck0(x, N ) =ET Ck₀(x, N ) ECLk₀(x, N )

= 1

Pk₀

j=0F (w)(F (w))¯ ^j j_{F (w)}^I(w)

+ w + N x

"

c1+ cm N −1

X

j=1 j

X

i=1

{h((i − 1)(x − η)

+(x + w)) − h(i(x − η) + w)}x +

N −1

X

j=0

Z (j+1)x+w jx+w

h(t − jη)dt

!#

. (3.4)

3.2. 최적의 예방보전정책 ᄋ

ᅵ 절에서는 k0-재생교체보증이후의 예방보전모형에 대한 사용자 측면의 단위시간당 기대비용인 식 (3.4)를최소화하는최적의 예방보전 주기와횟수를결정하는 문제를다루고자 한다. 우선, 주어진 k0의 ᄃ

ᅢ해서 최적의 예방보전 주기 x^∗를찾기 위해서 식 (3.4)를 x에관해서 1차 미분한 다음 0으로 놓고 풀 ᄆ

ᅧᆫ 다음을얻을수 있다.

k0

X

j=0

F (w)(F (w))¯ ^j

 jI(w)

F (w)

 + w

!

(a1+ a2x + a3) + N (a2x²+ a3x − a4) = N c1

cm

. (3.5)

시

ᆨ (3.5)에서 c1, a1, a2, a3, a4는각각 다음과 같이 정의된다.

a1=

N −1

X

j=1 j

X

i=1

{h((i − 1)(x − η) + (x + w + kL)) − h(i(x − η) + w + kL)},

a2=

N −1

X

j=1 j

X

i=1

{h^′((i − 1)(x − η) + (x + w + kL)) − h^′(i(x − η) + w + kL)i},

a3=

N −1

X

j=0

{(j + 1)h((j + 1)x + w + kL − jη) − jh(jx + w + kL − jη)},

a4=

N −1

X

j=0

Z (j+1)x+w+kL jx+w+kL

h(t − jη)dt.

ᄋ

ᅵ때 Jung 등 (2010)의 결과로부터 N의 값이 주어지고 고장률함수 h(t)가 볼록인 순증가 함수이면 시

ᆨ (3.5)를만족하는최적의 주기 x^∗의 값이 유일하게 항상 존재한다는사실을알 수 있다. 그러나 이러 ᄒ

ᅡᆫ x^∗는 N의 값에 의존하게 되므로 식 (3.4)를만족하는최적의 주기 x^∗와 최적의 예방보전횟수 N을 ᄃ

ᅩ

ᆼ시에 찾아야 한다. 이를 위해서 식 (3.5)을만족하는 x가 N의 함수가 되기 때문에 이를 xN이라고 ᄒ

ᅡ고, 이 값을 식 (3.4)의 x대신에 대입하면, Ck₀(xN, N )은 N만의 함수가 되므로 최적의 횟수 N^∗는 Jung 등 (2010)의 결과로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

N^∗= min

N Ck₀(xN, N ), N = 1, 2, 3, · · · . (3.6) ᄄ

ᅡ라서 식 (3.4)의 단위시간당 기대비용을 최소화하는최적의 예방보전 횟수는 식 (3.6)에서 구해진 N^∗이고, 이때 최적의 주기 x^∗는 xN^∗가 된다. 결국, k0-재생교체보증이 종료된 이후에 x^∗시점마다 주 ᄀ

ᅵ적으로 예방보전활동을수행하고, N^∗번째 예방보전 주기에서는사용자에 의해서 새로운시스템으로 ᄀ

ᅭ체를하면 그때의 단위시간당 기대비용은 ECRk0(x^∗, N^∗)가 되며, 이는다른형태의 예방보전정책보 ᄃ

ᅡ 단위시간당 기대비용이 가장 적은사용자 측면에서 최적의 예방보전정책이된다.

4. 수치적 예 보

ᆫ 절에서는 재생교체보증 횟수, 시스템의 교체비용 그리고 시스템의 예방보전비용의 변화에 따라 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된 이후의 최적의 예방보전정책이 어떠한 특성을 나타내는지를 다 ᄋ

ᅣᆼ한 수치적 예를 통해서 구체적으로 살펴보고자 한다. 이때 시스템의 수명분포로는 척도모수 (scale parameter)와 형태모수 (shape parameter)가 각각 α와 β인 와이블분포를따른다고 가정한다.

Table 4.1에는 w = 0.5, cr= 150, cm= 5, cpm= 3, α = 1, β = 3 인 경우에 다양한 재생교체보증의 회

ᆺ수 k⁰에 대하여 식 (3.4)를최소화하는 k0-재생교체보증 (k0-RRW)이 종료된이후의 최적의 예방보 ᄌ

ᅥᆫ 주기와횟수 그리고 그때의 단위시간당 기대비용이 나타나 있다. 예를 들어 Table 4.1에서 k0 = 3이 ᄀ

ᅩ 무료보증일 때, 식 (3.4)를최소화하는최적의 예방보전주기는 0.3581 (단위길이)이고 예방보전횟수 ᄂ

ᅳᆫ 9가됨을알 수 있다. 이는무료보증이 종료된이후에 0.3581 (단위길이) 주기마다 사용자에 의해서 ᄋ

ᅨ방보전활동을수행하고 9번째 예방보전 즉 3.2229 (= 0.3581 × 9) 시점에서 새로운시스템으로 교체 ᄒ

ᅡ면 단위시간당 기대비용이 77.10656 (단위비용)이 되고, 이것이 기대비용 측면에서 최적의 예방교체 저

ᆼ책이된다는것을의미한다. 다른 k0값에 대해서도 같은의미를부여할 수 있으며, Table 4.2와 4.3에 ᄌ

ᅮ어져 있는최적의 예방보전 주기와횟수 그리고 이에 대응하는단위시간당 기대비용도 동일한 의미를 ᄀ

ᅡ ᆽ는다.

ᄒ

ᅡᆫ편, Table 4.1, 4.2, 4.3으로부터 다음과 같은사실을확인할 수 있다. 1) 최적의 예방보전 주기 및 회

ᆺ수에서의 단위시간당 기대비용은 무료보증인 경우가 비례보증인 경우에 비하여 항상 적다. 2) 다른 ᄀ

ᅡ

ᆹ (k⁰, cpm, cm, w)이 고정되어 있을때, 시스템의 교체비용인 cr값이 증가하면 최적의 예방보전횟수 느

ᆫ 증가하고 단위시간당 기대비용도 증가한다. 이는시스템의 교체비용이 증가하기 때문에 얻어지는예 ᄉ

ᅡᆼ된 결과라고 할 수 있다. 3) 다른 값 (k0, cr, cm, w)이 고정되어 있을 때, 시스템에 대하여 이루어 ᄌ

ᅵ는예방보전활동비용인 cpm값이 증가하면 최적의 예방보전횟수는감소하고 단위시간당 기대비용은 ᄌ

ᅳ

ᆼ가한다. 이 또한 시스템의 예방보전비용이 증가하기 때문에 얻어지는예상된 결과라고 할 수 있다.

Table 4.1 Optimal PM policy for various values of (c

= 150, c

= 3, c

= 5, w = 0.5, α = 1, β = 3) Optimal PM policy

k

Free Pro-rata

N

x

C

(x

, N

) N

x

C

(x

, N

)

1 9 0.3589 77.32471 9 0.3698 80.35271

3 9 0.3581 77.10656 10 0.3435 80.94920

5 9 0.3581 77.10069 10 0.3436 80.96497

7 9 0.3581 77.10057 10 0.3436 80.96529

9 9 0.3581 77.10057 10 0.3436 80.96530

Table 4.2 Optimal PM policy for various values of (k

= 3, c

= 3, c

= 5, w = 0.5, α = 1, β = 3) Optimal PM policy

c

Free Pro-rata

N

x

C

(x

, N

) N

x

C

(x

, N

)

100 6 0.4106 62.20498 6 0.4270 65.41782

125 7 0.4014 70.07615 8 0.3775 73.62224

150 9 0.3581 77.10656 10 0.3435 80.94920

175 10 0.3520 83.49285 11 0.3400 87.60071

200 12 0.3233 89.39576 13 0.3158 93.75144

Table 4.3 Optimal PM policy for various values of (c

= 150, k

= 3, c

= 5, w = 0.5, α = 1, β = 3) Optimal PM policy

c

Free Pro-rata

N

x

C

(x

, N

) N

x

C

(x

, N

)

3 9 0.3581 77.10656 10 0.3435 80.94920

5 6 0.4993 80.47602 7 0.4631 84.54191

10 3 0.8515 85.56373 4 0.7219 90.05656

15 2 1.1531 88.20777 2 1.1962 93.29862

20 1 1.9384 89.18918 2 1.2103 94.99024

5. 결론 보

ᆫ 논문에서는 수리가 가능한 시스템에 대하여 Jung (2018a)이 제안한 k0-재생교체보증 (k0 - RRW)이 종료된 이후의 사용자 측면에서 예방보전모형을 제안하였다. 그리고 보증기간에서 발생되 ᄂ

ᅳᆫ고장에 대한 교체 또는최소수리에 대하여 사용자가 비용을부담하지 않는무료보증과 그 일부를부 ᄃ

ᅡ

ᆷ하는비례보증인 경우에 대하여 사용자 측면에서의 기대순환길이, 총기대비용,단위시간당기대비용을 ᄋ

ᅵ론적으로 유도하였을 뿐만 아니라 이를최소화하는최적의 예방보전 주기 및횟수를결정하여 최적의 ᄋ

ᅨ방보전정책을제시하였다. 더불어 수치적 예를 통하여 본 논문에서 고려된k0-재생교체보증이 종료된 ᄋ

ᅵ후의 예방보전모형에 대한 최적의 예방보전 주기 및횟수와 그때의 단위시간당 기대비용을결정할 수 이

ᆻ음을 보였다. 이때, 재생교체보증의 횟수 (k0), 교체비용 (cr) 그리고 예방보전비용 (cpm)에 따라서 ᄎ

ᅬ적의 교체주기 및횟수 그리고 최적의 예방보전정책에서의 단위시간당 기대비용의 변화를살펴보았는 ᄃ

ᅦ, 다음과 같은 특징을 볼수 있었다. 1) 최적의 예방보전 주기 및 횟수에서의 단위시간당기대비용은 ᄆ

ᅮ료보증인 경우가 비례보증인 경우에 비하여 항상 적다. 2) 다른값 (k⁰, cpm, cm, w)이 고정되어 있을 ᄄ

ᅢ, 시스템의 교체비용인 cr값이 증가하면 최적의 예방보전횟수는 증가하고 단위시간당 기대비용도 증 ᄀ

ᅡ한다. 3) 다른값 (k0, cr, cm, w)이 고정되어 있을때, 시스템에 대하여 이루어지는예방보전활동비 ᄋ

ᅭᆼ인 cpm값이 증가하면 최적의 예방보전횟수는감소하고 단위시간당 기대비용은 증가한다.

ᄒ

ᅡᆫ편, 본 논문에서 제안된k0-재생교체보증이 종료된이후의 예방보전모형은현실적인 요인을고려하 ᄋ

ᅧ 좀더 정교하게 보완된다면 실제 산업현장에서 사용이 가능하리라고 생각한다.

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2020, 31

1)

41–49

Optimal PM policy following the expiration of k

-RRW ^†

Ki Mun Jung

¹

1Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University

Received 28 October 2019, revised 16 December 2019, accepted 17 December 2019

Abstract

Jung (2018a) suggest the k0-renewing replacement warranty (k0-RRW) of a re- pairable system. This paper proposes the PM model following the expiration of k0- renewing replacement warranty and then the optimal PM policy from the user’s point of view is determined. As a criterion of optimality, we utilize the expected cost rate per unit time during the life cycle. That is, we determine the optimal PM period and the optimal PM number by minimizing the expected cost rate per unit time from the user’s perspective. Finally, the numerical examples are presented for illustrative purpose.

Keywords: Expected cost rate per unit time, k0-renewing replacement warranty, opti- mal PM period, optimal PM number, PM model.

†

This research was supported by Kyungsung University Research Grants in 2018.

1

Professor, Division of Mathematics and Applied Statistics, Kyungsung University, Busan, 48434, Korea.

E-mail: [email protected]