7주차 : 검사체적을 이용한 흐름장의 해석(1)

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수공학 연구실

5.검사체적을 이용한 흐름장의 해석

미분적 접근 방법 검사체적 방법

실험 또는 차원 해석

1. 질량보존의 법칙

계해석(강체) 2. 운동량 법칙 ⇒ 라그랑지적해석 3. 각운동량 법칙

← 변환 (수송정리)

검사체적(유체) ⇒ 오일러적 해석

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5.1 계(system)와 검사체적(control volume)

5.1.1 계(system) 해석

• 계 - 고정되고 동일성을 갖는 물질의 집합(경계에 의해 주위와 분리)

• 주위 - 계의 외부의 모든 부분

1. 질량보존법칙 ,

2. 뉴튼의 제 2법칙 또는 선형운동량 보존법칙

※ 뉴턴의 제2법칙은 계에 작용하는 외력의 합이 계의 운동량 의 시간변화율과 동일

: 계에 작용하는 외력의 합 : 가속도 벡터

: 속도벡터

(m : 질량, st : 계)

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3. 각운동량의 원리

 계에 작용하는 모멘트의 합이 각운동량의 시간변화율과 동일하다는 것을 의미

• 모멘트는 표면력(surface)과 체적력(body force)에 의해 생성

• 질량중심에 대한 각운동량 (미소질량 dm)

5.1.1 계(system) 해석

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5.1.2. 검사체적의 개념

그림 5.1 관수로 흐름해석을 위한 검사체적

• 검사체적 : 한 좌표에 대하여 설정된 임의 공간영역

• 검사표면 : 검사체적의 기하학적 경계면

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5.1.2 검사체적의 개념

그림 5.2 고정검사체적과 이동검사체적

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5.2 계 해석으로부터 검사체적 해석으로의 변환

5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현

• 체적유량, Q(flowrate discharge) : 단위시간당 흐르는 유체의 체적 단위 ( )

• 질량유량, (flowrate of mas or mas flux

) :

• 질량플럭스(mass flux) 라고도 함.

(1) 균일한 속도로 검사표면에 수직하게 통과하는 경우

- 검사표면을 통해서 일정한 속도 V_n 으로 수직하게 통과하는 경우

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5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현

(2) 속도와 방향이 검사표면에 따라 변화하는 경우

- S면상에 미소면적 dA를 취하고, 이곳을 통과하는 미소유량 dQ를 구하여 전체유량 Q를 구한다.

그림 5.3 임의의 표면을 통과하는 유량

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5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현

• 질량유량은 체적유량에 밀도를 구하면 얻을 수 있다.

• 밀도가 일정한 비압축성 유체의 경우

• V_n이 전단면 S에 걸쳐 일정한 경우에는

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【예제 5.2】 유량산정

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5.2.2 임의의 형태를 가진 고정 검사체적.

• 시각 t일때의 검사체적 : (Ⅰ+Ⅱ)(시각 t일 때의 계)

• 시각 t+△t일때의 검사체적 : (Ⅰ+Ⅱ)(시각 t +△t 일 때의 검사체적)

• 시각 t +△t 일때의 계 : 시각 t +△t 일때의 검사체적에서 검사표면

CS₂를 통해 흘러간 양(Ⅲ)은 더한 값에 CS₁ 을 통해 유입한 양(Ⅰ)을 뺀 값 (1) 계와 검사체적의 선정

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5.2.2 임의 형태를 갖는 고정 검사체적

(2) 물리적 특성량과 단위 질량당 특성량

• X : 유체의 특성을 대표하는 양( 질량, 운동량, 에너지 등)

• dX : 질량이 dm인 미소 유체요소가 갖는 특성량

• x : 단위 질량당 특성량

• 검사체적 내의 특성량은?

• x=1 이면, 검사체적 내 총 질량

• x= 이면, 운동량

• st : 계(system)

• CV : 검사체적

• CS : 검사표면

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(3) 레이놀즈 수송이론

• 계의 기본법칙(1)질량보존법칙, (2)선형운동량 보존법칙, (3)각 운동량의 원리는 유체 특성량의 시간변화율 d(X_st)/dt로 표시됨.

• X_st의 시간변화율(계)과 X_CV 의 시간변화율(검사체적)의 관계를 살펴보자.

• 시각 t일 때 계와 검사체적이 일치하므로

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.14), (5.15)

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(3)레이놀즈 수송이론

① ② ③

• 검사체적 내에 포함된 X의 시간변화율

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(3)레이놀즈 수송이론

Δt 시간 동안 면적 dA를 가로질러 떠나는 유체의 체적

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(3)레이놀즈 수송이론

(미소 면요소 dA를 통과하는 X의 미소량) (유출)

(유입)

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(3)레이놀즈 수송이론

• 식( 5, 17), (5.21), (5.22)를 식 (5.16)에 대입하면

(레이놀즈의 수송정리) (5.23)

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(3)레이놀즈 수송이론

(5.25,레이놀즈 수송정리)

• 어떤 특성량 X의 계에 대한 도함수가 검사체적에 대한 식으로 변환될 수 있다.

• 기본법칙(질량, 운동량, 에너지 보존법칙)에 레이놀즈

수송정리를 적용하면, 기본법칙에 대한 검사체적식을 구할 수 있다.

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