집합과 집합과

밍모의 워드프로세싱

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

집합과 집합과

집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 집합과 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제 명제

1. 집 합

2. 명 제

1 ^{집합의 뜻과 표현}

집합의 뜻과 원소 유형 1

1 1 1 1 1 1 1

1

¹2019(나) 10월/교육청 25

전체집합  {  는  이하의 자연수}의 부분집합  는 다음 조건을 만족시킨다.

 이 집합  의 원소이면, 

^

의 일의 자릿수와 

^

의 일의 자릿수가 같아지는  이 아닌 자연수  이 집합  에 존재한다.

예를 들면,  가 집합  의 원소이면 

^

의 일의 자릿수와 

^

의 일의 자릿수가 같으므로  도 집합  의 원소이다.

공집합이 아닌 집합  의 개수를 구하시오. [3점]

2 2 2 2 2 2 2

2

²2019(나) 3월/교육청 20

전체집합      는  이하의 자연수의 부분집합  가 다음 조 건을 만족시킨다.

(가) 집합  의 모든 원소  에 대하여  ∉  이다.

(나) 집합  의 모든 원소의 합은 짝수이다.

집합  의 원소의 개수가 최대일 때, 모든 원소의 합의 최댓값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

집합의 표현 방법 유형 2

3 3 3 3 3 3 3

3

³2019(나) 3월/교육청 28

전체집합      는  의 배수가 아닌  이하의 자연수의 부분 집합  에 대하여     이고 집합  의 모든 원소의 합은  이 다. 집합  의 모든 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 

_

,



_

, 

_

, 

_

라 할 때, 

_

 

_

 

_

 

_

의 최댓값을 구하시오. [4점]

집합의 연산 유형 3

4 4 4 4 4 4 4

4

⁴2019(나) 7월/교육청 2

두 집합       ,     에 대하여  ∩   일 때,    의 값은?  단,  ,  는 실수이다.  [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

5 5 5 5 5 5 5

5

⁵2019(나) 4월/교육청 2

두 집합     ,     에 대하여 집합    의 모든 원소의 합은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 1 1 1 1 1

1 ^{집 합 Ⅰ 집합과 명제}

Ⅰ. 집합과 명제 1. 집합

6 6 6 6 6 6 6

6

⁶2019(나) 9월/평가원 2

자연수 전체의 집합의 두 부분집합     ,    에 대 하여   ∩    이 되도록 하는 모든 의 값의 합은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7 7 7 7 7 7 7

7

⁷2019(나) 3월/교육청 3

두 집합     ,       에 대하여   ∩   의 값 은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

8 8 8 8 8 8 8

8

⁸2019(나) 6월/평가원 3

두 집합    ,       에 대하여

 ∪        일 때, 실수 의 값은? [2점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

9 9 9 9 9 9 9

9

⁹2019(나) 7월/교육청 15

집합  의 모든 원소의 합을     라 할 때, 실수 전체의 집합의 두 부 분집합

      ,

                

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수  의 값은? [4점]

(가)    

(나)       

(다)  ∪  

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 ^{집합의 포함 관계}

부분집합의 개수 유형 3

10 10 10 10 10 10 10

10

¹⁰2019(나) 3월/교육청 9

두 집합      ,       에 대하여

 ∩    ,  ∪  ∪     ∪  를 만족시키는 집합  의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

11 11 11 11 11 11 11

11

¹¹2019(나) 6월/평가원 26

자연수 전체의 집합  의 두 부분집합

      ,      

^

      

에 대하여

    ,         ∅

을 만족시키는  의 모든 부분집합  의 개수를 구하시오. [4점]

3 ^{집합의 연산법칙}

집합의 연산법칙 유형 1

12 12 12 12 12 12 12

12

¹²2019(나) 4월/교육청 15

전체집합       의 두 부분집합  ,  가



^

⊂  ,   ∩   

를 만족시킨다. 집합   ∪     ∩  의 모든 원소의 합의 최댓값을

 , 최솟값을 이라 할 때,   의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 ^{명제와 조건}

명제가 참이 되도록 하는 미지수 구하기 유형 1

13 13 13 13 13 13 13

13

¹³2019(나) 10월/교육청 2

실수  에 대하여 명제

‘     이면 

^

      이다.’

가 참일 때, 상수  의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

14 14 14 14 14 14 14

14

¹⁴2019(나) 3월/교육청 8

자연수  에 대하여 명제

‘ ≤  ≤  이면  ≤  이다.’

가 거짓임을 보여 주는  의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 ^{명제의 역과 대우}

｢모든｣과 ｢어떤｣을 포함한 명제 유형 3

15 15 15 15 15 15 15

15

¹⁵2019(나) 4월/교육청 9

실수 에 대한 조건

‘어떤 실수 에 대하여   

^

  ≠ 

^

 이다.’

의 부정이 참인 명제가 되도록 하는 의 값은? [3점]

3 ^{필요조건과 충분조건}

필요조건, 충분조건과 방정식․부등식 유형 2

16 16 16 16 16 16 16

16

¹⁶2019(나) 4월/교육청 23

실수 에 대하여 두 조건 , 가

    ≤  ≤ ,     ≤  ≤ 

일 때, 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최솟값을 구 하시오. [3점]

17 17 17 17 17 17 17

17

¹⁷2019(나) 3월/교육청 14

실수  에 대한 두 조건 ,  가 다음과 같다.

   ≤  또는   ,

     

  

∼  가  이기 위한 필요조건이 되도록 하는 정수  의 최솟값과 최댓 값의 합은? [4점]

①   ②   ③  

④   ⑤  

18 18 18 18 18 18 18

18

¹⁸2019(나) 6월/평가원 5

실수 에 대한 두 조건 , 가 다음과 같다.

      ,

   ≥ 

가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

2 2 2 2 2 2

2 ^{명 제 Ⅰ 집합과 명제}

밍모의 워드프로세싱

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ

함 함

함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 함 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수

1. 함 수

2. 유리함수와 무리함수

1 ^{대응과 함수}

여러 가지 함수 유형 4

20 20 20 20 20 20 20

20

²⁰2019(나) 10월/교육청 20

집합      에 대하여 함수    →  가 다음 조건을 만족 시킨다.

집합  의 임의의 두 원소 ,  에 대하여  ^   ≥  이면  ^  

≥     이다.

   일 때,    의 최솟값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 ^{합성함수와 역함수}

대응관계가 주어진 합성함수 유형 1

21 21 21 21 21 21 21

21

²¹2019(나) 9월/평가원 3

그림은 두 함수    →  , g  →  를 나타낸 것이다.

g∘ 의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

22 22 22 22 22 22 22

22

²²2019(나) 3월/교육청 4

그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.

 ∘  의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 1 1 1 1 1

1 ^{함 수 Ⅱ 함 수}

Ⅱ. 함수 1. 함수

함수식이 주어진 합성함수 유형 2

23 23 23 23 23 23 23

23

²³2019(나) 6월/평가원 21

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  











  ≤   

     ≤   

  ≤  ≤ 

(나) 모든 실수 에 대하여

       이고       이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

g 











 

    ≠ 

   

에 대하여 함수  ∘ g가 상수함수가 되도록 하는  이하의 자연 수 의 개수는? [4점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

역함수의 정의 유형 9

24 24 24 24 24 24 24

24

²⁴2019(나) 6월/평가원 4

그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.

  

^{ }

의 값은? [3점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

25 25 25 25 25 25 25

25

²⁵2019(나) 7월/교육청 4

그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.

  

















 

^{ }

 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

26 26 26 26 26 26 26

26

²⁶2019(나) 3월/교육청 6

함수  의 역함수를 g 라 할 때, g   이다.  의 값은?

[3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

27 27 27 27 27 27 27

27

²⁷2019(나) 4월/교육청 13

집합     에 대하여  에서  로의 일대일대응인 두 함수 , g가 있다. 그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.

 















집합  의 모든 원소 에 대하여 ≠ g이고 g 일 때,



^{ }

 g의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

역함수의 성질 유형 11

28 28 28 28 28 28 28

28

²⁸2019(나) 3월/교육청 12

 ≥  에서 정의된 함수    ^     과  ≥  에서 정의된 함 수 g    

^

 에 대하여 g∘  ∘ 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

Ⅱ. 함수 2. 유리함수와 무리함수

1 ^유리함수

유리함수 유형 1

29 29 29 29 29 29 29

29

²⁹2019(나) 10월/교육청 5

함수      

   의 정의역과 치역이 서로 같을 때, 상수  의

값은? [3점]

①  

 ②  ③  

 ④  ⑤  



30 30 30 30 30 30 30

30

³⁰2019(나) 3월/교육청 23

함수      

  

의 그래프의 점근선은 두 직선   ,    이다. 두 상수 ,  의 곱  의 값을 구하시오. [3점]

31 31 31 31 31 31 31

31

³¹2019(나) 9월/평가원 11

이 아닌 실수 에 대하여 함수      

  의 그래프가 점  를

지나고 두 점근선의 교점의 좌표가    일 때, 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

유리함수의 평행이동과 대칭이동 유형 2

32 32 32 32 32 32 32

32

³²2019(나) 6월/평가원 23

함수    

 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프

가 점 를 지난다. 의 값을 구하시오. [3점]

유리함수의 역함수 유형 4

33 33 33 33 33 33 33

33

³³2019(나) 7월/교육청 8

좌표평면에서 함수      

   의 그래프가 직선    에 대하여

대칭일 때, 상수  의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

유리함수의 활용 유형 7

34 34 34 34 34 34 34

34

³⁴2019(나) 3월/교육청 17

자연수  에 대하여 함수

   ^ 

    ^{  }

의 그래프와  축의 교점을 A, 곡선    위의 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >

ㄱ. 점 A의 좌표는  ^ 

    ^이다.

ㄴ. 점 P의  좌표가 점 A의  좌표보다 클 때, 선분 PQ의 길이는

 보다 작다.

ㄷ. 점 P의  좌표가  일 때, 삼각형 AQP의 넓이가 자연수가 되도록 하는  의 최솟값은 이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2 2 2 2 2 2

2 ^{유리함수와 무리함수 Ⅱ 함 수}

35 35 35 35 35 35 35

35

³⁵2019(나) 4월/교육청 30

두 실수 , 에 대하여 두 함수

    , g      

  

이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 , 의 순서쌍  를 좌 표평면에 나타낸 영역을  라 하자.

(가)   일 때,   g ^     (나) 두 함수    ^   와      

  의 그래프의 교점이 제사분면 위에는 있지 않다.

영역  에 속하는 점  에 대하여 

^

 

^

의 최댓값을  이라 할 때,   의 값을 구하시오. (단,  ≠ ) [4점]

2 ^무리함수

무리함수의 그래프 유형 1

36 36 36 36 36 36 36

36

³⁶2019(나) 4월/교육청 4

함수    ^  의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 함수

   ^    의 그래프와 일치한다. 상수 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

37 37 37 37 37 37 37

37

³⁷2019(나) 7월/교육청 10

함수    ^      의 그래프를  축의 방향으로  만큼,  축의 방향 으로   만큼 평행이동하면 함수    ^    의 그래프와 일치한다.

   의 값은?  단,  ,  는 상수이다.  [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

38 38 38 38 38 38 38

38

³⁸2019(나) 9월/평가원 9

정의역이     인 함수    ^     

^

 의 그래프가 오직 하나의 사분면을 지나도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

무리함수와 직선(곡선)의 위치 관계 유형 5

39 39 39 39 39 39 39

39

³⁹2019(나) 6월/평가원 12

Ⅱ. 함수 2. 유리함수와 무리함수

무리함수의 활용 유형 4

40 40 40 40 40 40 40

40

⁴⁰2019(나) 4월/교육청 19

좌표평면에서 두 함수     

  , g  ^    의 그래프에

대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >

ㄱ. 곡선    ^   는 직선    와 만나지 않는다.

ㄴ.  ≤  ≤ 일 때, 곡선   g ^   위에 있는 점 중에서 좌표가 정수 인 점의 개수는 이다.

ㄷ. 두 곡선    ^   ,   g ^   와 두 직선   ,   로 둘러싸인 영 역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점 의 개수는 이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

41 41 41 41 41 41 41

41

⁴¹2019(나) 3월/교육청 21

그림과 같이 함수     ^  의 그래프 위를 움직이는 점 P 와 직선

     위를 움직이는 점 Q 에 대하여 선분 PQ 의 중점을 M 이라 하자. 점 M 과 점 A  사이의 거리의 최솟값은? [4점]

①  

  ^ 

②  

  ^ 

③  

  ^ 

④  

  ^ 

⑤  

  ^ 

Ⅲ

Ⅲ

Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ

수 수

수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열 열

1. 등차수열과 등비수열 2. 수열의 합

3. 수학적 귀납법

Ⅲ. 수열 1. 등차수열과 등비수열

1 ^등차수열

등차수열과 공차 유형 1

42 42 42 42 42 42 42

42

⁴²2019(나) 4월/교육청 3

등차수열  ^



 ^{에 대하여 }



 , 

_

 일 때, 수열  ^



 ^{의 공차는?}

[2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

등차수열의 일반항 - 첫째항 이용 유형 2

43 43 43 43 43 43 43

43

⁴³2019(나) 3월/교육청 2

첫째항이 , 공차가  인 등차수열의 제 항은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

조건을 만족시키는 등차수열의 항 유형 5

44 44 44 44 44 44 44

44

⁴⁴2019(나) 9월/평가원 7

등차수열  ^



 ^{에 대하여}



_

 

_

 , 

_

 

_

  일 때, 

_

 을 만족시키는 자연수 의 최솟값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

등차중항 유형 6

45 45 45 45 45 45 45

45

⁴⁵2019(나) 6월/평가원 13

자연수 에 대하여 에 대한 이차방정식 

^

       이 서 로 다른 두 실근 ,    를 갖고, 세 수 , , 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 의 값은? [3점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

등차수열의 합 유형 10

46 46 46 46 46 46 46

46

⁴⁶2019(나) 4월/교육청 14

공차가 양수인 등차수열  ^



 의 첫째항부터 제항까지의 합을 

_

이 라 하자. 

_

  ^



 ^{ 일 때, }



의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

47 47 47 47 47 47 47

47

⁴⁷2019(나) 7월/교육청 29

첫째항이  이 아닌 등차수열  ^



 의 첫째항부터 제  항까지의 합 

_

에 대하여 

_

 

_

이다. 집합 

_

을



_

  ^



      ⋯   

이라 하자. 집합 

_

의 원소의 개수가  이 되도록 하는 모든 자연수

 의 값의 합을 구하시오. [4점]

1 1 1 1 1 1

1 ^{등차수열과 등비수열 Ⅲ 수 열}

2 ^등비수열

등비수열의 일반항 - 첫째항 또는 공비 이용 유형 1

48 48 48 48 48 48 48

48

⁴⁸2019(나) 4월/교육청 22

공비가 인 등비수열  ^



 에 대하여  

_



_

의 값을 구하시오.

(단, 

_

≠ ) [3점]

등비수열의 일반항 - 특정 항 이용 유형 2

49 49 49 49 49 49 49

49

⁴⁹2019(나) 3월/교육청 27

모든 항이 실수인 등비수열  ^



 ^{에 대하여 }



 

_

 , 

_

 

_

 

일 때,  

_

 의 값을 구하시오. [4점]

등비중항 유형 3

50 50 50 50 50 50 50

50

⁵⁰2019(나) 4월/교육청 27

세 실수 , , 가 이 순서대로 등비수열을 이루고

log

_

  log

_

  를 만족시킨다.   의 값을 구하시오. [4점]

등비수열의 활용 - 수열의 변형 유형 4

51 51 51 51 51 51 51

51

⁵¹2019(나) 3월/교육청 29

자연수  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수  의 값의 합 을   이라 하자.

 × 

^

은 첫째항이  이고 공비가  이상의 자연수인 등비수열의 제

 항이다.

예를 들어,  × 

^

은 첫째항이  이고 공비가  인 등비수열의 제 항, 첫째항이  이고 공비가  인 등비수열의 제 항이 되므로

      이다.   의 값을 구하시오. [4점]

Ⅲ. 수열 1. 등차수열과 등비수열

등비수열의 합 유형 6

52 52 52 52 52 52 52

52

⁵²2019(나) 6월/평가원 24

공비가 양수인 등비수열  ^



 ^{에 대하여 }



 ,  

_



_

 일 때,

_{  }



^

^

^

의 값을 구하시오. [3점]

등차수열과 등비수열의 관계 유형 10

53 53 53 53 53 53 53

53

⁵³2019(나) 7월/교육청 17

공차가 자연수인 등차수열  ^



 과 공비가 자연수인 등비수열  ^



 ^이



_

 

_

  이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 



 

_

(나)   



 



_

 

_

의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 ^{의 계산}

자연수의 거듭제곱의 합 유형 2

54 54 54 54 54 54 54

54

⁵⁴2019(나) 4월/교육청 25

수열  ^



 ^{에 대하여}

_{  }



^

^

^

^{ 일 때,}

_{  }



^

^{   }

^

^ 의 값을 구하시오.

[3점]

55 55 55 55 55 55 55

55

⁵⁵2019(나) 9월/평가원 12

  





  

^



_{  }



^

^{  }

^

^{의 값은? [3점]}

①  ②  ③  ④  ⑤ 

56 56 56 56 56 56 56

56

⁵⁶2019(나) 3월/교육청 11

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형  개로 이루어진 도형  가 있다.



자연수  에 대하여  개의 도형  를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 만든 직사각형의 넓이를  이라 할 때, 

^

^{ 의 값은? [3점]}

등차수열의 합과 ∑의 활용 유형 3

57 57 57 57 57 57 57

57

⁵⁷2019(나) 7월/교육청 14

공차가  이 아닌 등차수열  ^



 ^{에 대하여 }



 

_

일 때,

  



 

 

_



_{  }

 ^

  

 

_



^

의 값은? [4점]

①  

 ②  

 ③  

 ④  

 ⑤  



등비수열의 합과 ∑의 활용 유형 4

58 58 58 58 58 58 58

58

⁵⁸2019(나) 3월/교육청 16

첫째항이 양수이고 공비가   인 등비수열  ^



 ^{에 대하여}

  





 

_

  

_

  일 때, 

_

의 값은? [4점]

①  

 ②  

 ③  

 ④  

 ⑤  



2 2 2 2 2 2

2 ^{수열의 합 Ⅲ 수 열}

Ⅲ. 수열 2. 수열의 합

59 59 59 59 59 59 59

59

⁵⁹2019(나) 6월/평가원 28

첫째항이 이고 공비가 정수인 등비수열  ^



 과 자연수 이 다음 조 건을 만족시킬 때, 

_

의 값을 구하시오. [4점]

㈎   



 

_

≤ 

㈏ 

  





_

 

2 여러 가지 수열의 합

∑를 이용한 여러 가지 수열의 합 유형 1

60 60 60 60 60 60 60

60

⁶⁰2019(나) 10월/교육청 10

좌표평면에서 연립부등식  ^{   ≥ }    이 나타내는 영역을  라 하자.

자연수  에 대하여 직선    과 영역  가 만나는 점 중  좌표가 정 수인 모든 점들의  좌표와  좌표의 합을 

_

이라 하자. 

_

 

_

의 값 은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

근과 계수의 관계와 ∑ 유형 6

61 61 61 61 61 61 61

61

⁶¹2019(나) 9월/평가원 26

이 자연수일 때, 에 대한 이차방정식



^

         의 두 근을 

_

, 

_

이라 하자.

  



 

  ^{ }



  ^{ }



 의 값을 구하시오. [4점]

∑표 표현된 수열의 합과 일반항 유형 7

62 62 62 62 62 62 62

62

⁶²2019(나) 10월/교육청 17

수열  ^



 의 첫째항부터 제 항까지의 합 

_

이 다음 조건을 만족시킨 다.

(가) 



은  에 대한 이차식이다.

(나) 



 



 

(다) 



은    에서 최댓값  을 갖는다.

 보다 작은 자연수  에 대하여 

_

 

_

을 만족시키는  의 최솟 값을 , 최댓값을  라 할 때,

_{  }



^

^

^

^{의 값은? [4점]}

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 ^{수열의 귀납적 정의}

수열의 귀납적 정의 유형 1

63 63 63 63 63 63 63

63

⁶³2019(나) 7월/교육청 26

첫째항이  이고 모든 항이 양수인 수열  ^



 이 있다.  에 대한 이차 방정식 

_



^

 

_{  }

  

_

 이 모든 자연수  에 대하여 중근을 가 질 때,

_{  }



^

^

^

의 값을 구하시오. [4점]

2 ^{수학적 귀납법}

수학적 귀납법의 활용 유형 1

64 64 64 64 64 64 64

64

⁶⁴2019(나) 9월/평가원 24

수열  ^



 이 모든 자연수 에 대하여



_{  }

 

_

   

을 만족시킨다. 

_

 일 때, 

_

 

_

의 값을 구하시오. [3점]

65 65 65 65 65 65 65

65

⁶⁵2019(나) 6월/평가원 9

수열  ^



 ^{은 }



 이고, 모든 자연수 에 대하여



_{  }

  

^

× 

_

 

^

을 만족시킨다. 

_

의 값은? [3점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

66 66 66 66 66 66 66

66

⁶⁶2019(나) 4월/교육청 10

수열  ^



 ^{은 }



 이고, 모든 자연수 에 대하여



_{  }













 ^





^

^{  }



이 짝수인 경우



_

  

_

이 홀수인 경우

를 만족시킨다. 

_

의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3 3 3 3 3 3

3 ^{수학적 귀납법 Ⅲ 수 열}

Ⅲ. 수열 3. 수학적 귀납법

67 67 67 67 67 67 67

67

⁶⁷2019(나) 10월/교육청 29

첫째항이 짝수인 수열  ^



 은 모든 자연수  에 대하여



_{  }















_

   ^



이 홀수인 경우 

 



_

 ^



이 짝수인 경우 

를 만족시킨다. 

_

  일 때, 수열  ^



 의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하시오. [4점]

피보나치수열 유형 2

68 68 68 68 68 68 68

68

⁶⁸2019(나) 3월/교육청 25

첫째항이  인 수열  ^



 이 모든 자연수  에 대하여



_{  }

 

_{  }

 

_

을 만족시킨다. 

_

  일 때, 

_

의 값을 구하시오. [3점]

Ⅳ

Ⅳ

Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ Ⅳ

지수와 지수와

지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 지수와 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그 로그

1. 지 수

2. 로 그

Ⅳ. 지수와 로그 1. 지수

1 거듭제곱과 거듭제곱근

거듭제곱과 거듭제곱근 유형 1

69 69 69 69 69 69 69

69

⁶⁹2019(나) 10월/교육청 8

 ≤ ,  ≤  인 두 자연수 ,  에 대하여 

^

^  ×  ^ 

^

의 값이 자 연수일 때,   의 최댓값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

70 70 70 70 70 70 70

70

⁷⁰2019(나) 3월/교육청 15

자연수  에 대하여    의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 

이라 하고,    의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 g이라 하 자.   g 을 만족시키는 모든  의 값의 합은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 ^{지수의 확장}

지수법칙 유형 1

71 71 71 71 71 71 71

71

⁷¹2019(나) 6월/평가원 1



^

× 

^



의 값은? [2점]

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

72 72 72 72 72 72 72

72

⁷²2019(나) 7월/교육청 1

 × 

^



의 값은? [2점]

73 73 73 73 73 73 73

73

⁷³2019(나) 4월/교육청 1



^



×  ^  의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

74 74 74 74 74 74 74

74

⁷⁴2019(나) 9월/평가원 1



^

÷ 

^



의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

75 75 75 75 75 75 75

75

⁷⁵2019(나) 4월/교육청 16

두 실수 , 에 대하여 

^

 , 

^

 일 때, 

^{    }

의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

지수의 확장(유리수) 유형 2

76 76 76 76 76 76 76

76

⁷⁶2019(나) 3월/교육청 7

 이하의 자연수  에 대하여  

^





^

의 값이 자연수가 되도록 하는 모든  의 값의 합은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

1 1 1 1 1 1

1 ^{지 수 Ⅳ 지수와 로그}

1 ^{로그의 뜻과 성질}

로그의 성립 조건 유형 2

77 77 77 77 77 77 77

77

⁷⁷2019(나) 3월/교육청 26

log

_

 

^

    가 정의되기 위한 모든 정수  의 값의 합을 구하 시오. [4점]

로그의 성질 유형 3

78 78 78 78 78 78 78

78

⁷⁸2019(나) 3월/교육청 1

log

_

  log

_

 의 값은? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

79 79 79 79 79 79 79

79

⁷⁹2019(나) 4월/교육청 5

log

_

  log

_

 

 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

80 80 80 80 80 80 80

80

2019(나) 10월/교육청 1

밑변환 공식 유형 4

81 81 81 81 81 81 81

81

⁸¹2019(나) 10월/교육청 23

 이 아닌 두 양수 ,  가 log

_

   을 만족시킬 때, log  

 × log

_

 의 값을 구하시오. [3점]

82 82 82 82 82 82 82

82

⁸²2019(나) 3월/교육청 22

  

^

일 때,  log

_



 의 값을 구하시오. [3점]

83 83 83 83 83 83 83

83

⁸³2019(나) 6월/평가원 8

log

_

  , log

_

  일 때, log

_

를 , 로 옳게 나타낸 것은? [3점]

➀  

   ➁  

   ➂  

  

➃    

 ➄    



2 2 2 2 2 2

2 ^{로 그 Ⅳ 지수와 로그}

Ⅳ. 지수와 로그 2. 로그

84 84 84 84 84 84 84

84

⁸⁴2019(나) 7월/교육청 12

 보다 큰 두 실수  ,  에 대하여 log

_

 

^



^

 가 성립할 때, log

_

   log

_

 의 값은? [3점]

①  

 ②  ③  

 ④  ⑤  



85 85 85 85 85 85 85

85

⁸⁵2019(나) 9월/평가원 28

네 양수 , , , 가 다음 조건을 만족시킬 때, 

^

의 값을 구하시오.

[4점]

(가) 

^

 

^

 

^

(나) log   log   log   

2 ^상용로그

상용로그의 정수부분과 소수부분 유형 1

86 86 86 86 86 86 86

86

⁸⁶2019(나) 3월/교육청 10

log   일 때,  log  를  로 나타낸 것은? [3점]

①    ②    ③   

④    ⑤   

밍모의 워드프로세싱

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

수열의 수열의

수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 수열의 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한 극한

1. 수열의 극한

2. 급 수

1 ^{수열의 극한}

수열의 극한에 대한 기본 성질 유형 1

87 87 87 87 87 87 87

87

⁸⁷2019(나) 3월/교육청 24

두 수열  ^



 ^,  ^



 ^{에 대하여} lim

 → ∞



_

 

_

  , lim

 → ∞



_

 

_

  

일 때, lim

 → ∞



_

 

_

 의 값을 구하시오. [3점]

∞∞ 꼴의 극한 유형 2

88 88 88 88 88 88 88

88

⁸⁸2019(나) 7월/교육청 3

lim

 → ∞

 

^

 



^

 

의 값은? [2점]

①  

 ②  ③  

 ④  ⑤  



89 89 89 89 89 89 89

89

⁸⁹2019(나) 6월/평가원 2

lim

 → ∞

   

 ^ 

^

   

의 값은? [2점]

수열의 극한의 대소 관계 유형 9

90 90 90 90 90 90 90

90

⁹⁰2019(나) 9월/평가원 10

모든 항이 양수인 수열  ^



 이 모든 자연수 에 대하여 부등식

 ^ 

^

    ^{ }



   

를 만족시킬 때, lim

 → ∞

 



_

의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수열의 극한의 활용 - 길이 유형 11

91 91 91 91 91 91 91

91

⁹¹2019(나) 4월/교육청 17

그림과 같이 자연수 에 대하여 직선   이 두 곡선    ^    ,

   ^    과 만나는 점을 각각 A

_

, B

_

이라 하자. 선분 OA

_

의 길 이를 

_

, 선분 OB

_

의 길이를 

_

이라 할 때, lim

 → ∞

 

_

 

_

 의 값은?

(단, O는 원점이다.) [4점]



O 

      ^   

   ^    A

_

B

_

  



 



1 1 1 1 1 1

1 ^{수열의 극한 Ⅰ 수열의 극한}

Ⅰ. 수열의 극한 1. 수열의 극한

수열의 극한의 활용 - 기타 유형 14

92 92 92 92 92 92 92

92

⁹²2019(나) 10월/교육청 9

두 수열  ^



 ^,  ^



 에 대하여 이차방정식 

_



^

 

_{  }

  

_{  }

  의 두 근이  , 

_

일 때, lim

→∞



_

의 값은? [3점]

①   ②   ^  ③  

④  ^  ⑤ 

93 93 93 93 93 93 93

93

⁹³2019(나) 3월/교육청 18

자연수  에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선

          가 제 사분면에서 접할 때, 접점의  좌표를



_

, 직선의 기울기를 

_

이라 하자.

다음은 lim

 → ∞



_



_

의 값을 구하는 과정이다.

원점을 지나고 기울기가 



인 직선의 방정식은   



 이다. 이 직선 이 곡선    ^           에 접하므로

이차방정식 



          의 근   



은 중근이다.

그러므로 이차방정식



^

  

_

               에서 이차식



^

  ^



     ^{       } 는 완전제곱식으로 나타내어진다.

그런데 



  이므로



^

  

_

                  ^      

^

에서



_

 가  , 



 나  이다.

따라서 lim

 → ∞



_



_

 다  이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , g 이라 하고, (다)에 알 맞은 값을  라 할 때,  g 의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

94 94 94 94 94 94 94

94

⁹⁴2019(나) 3월/교육청 30

자연수  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 

_

이 라 하자.

(가) 정사각형은 한 변의 길이가  이고 꼭짓점의  좌표와  좌표가 모두 정수이다.

(나) 연립부등식  

 

^

   

^

,        을 만족시키는 점   중에는 정사각형의 내부에 있는 점이 있다.

lim

 → ∞

 

^



_{  }

 

_

의 값을 구하시오. [4점]

2 ^{등비수열의 극한}

등비수열  

^

 의 수렴과 발산 유형 1

95 95 95 95 95 95 95

95

⁹⁵2019(나) 4월/교육청 6

lim

 → ∞



   ^ 

 

^

   ^ 

 

^

 일 때, 상수 의 값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 



^

을 포함한 식의 극한 유형 3

96 96 96 96 96 96 96

96

⁹⁶2019(나) 3월/교육청 13

lim

→∞



 ^ 

 

^

^{ }

 ^ 

 

^{  }

^{ }

  가 되도록 하는 자연수  의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

Ⅰ. 수열의 극한 2. 급수

1 ^{급 수}

lim 

_

과 lim ^



의 관계 유형 1

97 97 97 97 97 97 97

97

⁹⁷2019(나) 6월/평가원 11

수열  ^



 ^이

_{  }



^∞

^

^

   를 만족시킨다. lim

 → ∞



_

 일 때,

lim

 → ∞

 

^

 



^{  }

 

의 값은? [3점]

➀  

 ➁  ➂  

 ➃  

 ➄  



98 98 98 98 98 98 98

98

⁹⁸2019(나) 4월/교육청 12

수열  ^



 ^{에 대하여}

_{  }



^∞

 ^{  } 

^



_

 ^{ 일 때,}

 → ∞

^lim  

^{  }



_

의 값은? [3점]

①  ②  

 ③  ④  

 ⑤ 

2 ^등비급수

등비급수의 계산(1) 유형 2

99 99 99 99 99 99 99

99

⁹⁹2019(나) 3월/교육청 5

수열  ^



 은 첫째항이  이고 공비가  

 인 등비수열이다.

_{  }



^∞

^

^

^의

값은? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3 ^{등비급수의 활용}

등비급수의 도형에의 활용 - 넓이 유형 2

100 100 100 100 100 100 100

100

¹⁰⁰2019(나) 6월/평가원 17

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 A

_

B

_

C

_

D

_

이 있다. 선분 C

_

D

_

의 중점을 E

_

이라 하고, 직선 A

_

B

_

위에 두 점 F

_

, G

_

을

 E

_

F

_

  E

_

G

_

,  E

_

F

_

  F

_

G

_

   이 되도록 잡고 이등변삼각형 E

_

F

_

G

_

을 그린다. 선분 D

_

A

_

과 선분 E

_

F

_

의 교점을 P

_

, 선분 B

_

C

_

과 선분 G

_

E

_

의 교점을 Q

_

이라 할 때, 네 삼각형 E

_

D

_

P

_

, P

_

F

_

A

_

, Q

_

B

_

G

_

, E

_

Q

_

C

_

로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그 림을 

_

이라 하자.

그림 

_

에 선분 F

_

G

_

위의 두 점 A

_

, B

_

와 선분 G

_

E

_

위의 점 C

_

, 선분 E

_

F

_

위의 점 D

_

를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A

_

B

_

C

_

D

_

를 그 리고, 그림 

_

을 얻는 것과 같은 방법으로 정사각형 A

_

B

_

C

_

D

_

에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 

_

라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 

_

에 색칠되어 있는 부분 의 넓이를 

_

이라 할 때, lim

 → ∞



_

의 값은? [4점]

➀  

 ➁  

 ➂  

 ➃  

 ➄  



2 2 2 2 2 2

2 ^{급 수 Ⅰ 수열의 극한}