Flow Simulation of High Flow Concrete using Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH) Method

(1)

J. Korea Inst. Build. Constr. Vol. 19, No. 1 : 039-046 / Feb, 2019

https://doi.org/10.5345/JKIBC.2019.19.1.039 www.jkibc.org

ISPH 기법을 이용한 고유동 콘크리트의 유동 해석

김 상 신¹ 정 철 우² ¹⁾이 창 준^3*

Kim, Sang-Sin¹ Chung, Chul-Woo² Lee, Chang-Joon^3*

Researcher, Department of Architectural Engineering, Chungbuk National University, Seowon-Gu, Cheongju, Chungbuk, 28644, Korea ¹

Professor, Department of Architectural Engineering, Pukyong National University, Nam-Gu, Busan, 48513, Korea ² Professor, Department of Architectural Engineering, Chungbuk National University, Seowon-Gu, Cheongju,

Chungbuk, 28644, Korea ³

Abstract

A three-dimensional flow simulation model for high flow concrete was developed using Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH), which can solved Navier-Stokes equation with the assumption of a fluid to be incompressible. For the simulation, a computer program code for ISPH was implemented with MATALB programming code. A piecewise cubic spline function was used for the kernel function of ISPH. Projetion method was used to calculate the velocity and pressure of particles as a function of time. Fixed ghost particle was used for wall boundary condition. Free surface boundaries were determined by using virtual density of particles. In order to validate the model and the code, the simulation results of slump flow test, T500 test and L-box test were compared with experimental ones. The simulation results were well matched with the experimental results. The simulation described successfully the characteristics of the flow phenomenon according to the change of the viscosity and yield stress of high flow concrete.

Keywords : high flow concrete, incompressible smoothed particle hydrodynamics, flow simulation

1. 서 론

고유동 콘크리트의 건설 현장 적용을 위해서는 고유동 콘 크리트의 유동 특성에 따른 시공 성능에 대한 평가가 필요하 다. 그러나 일반적인 건설 현장에서는 실무자들의 경험에

Received : November 2, 2018

Revision received : November 26, 2018 Accepted : November 27, 2018

* Corresponding author : Lee, Chang-Joon [Tel: 82-43-261-2429, E-mail: [email protected]]

의한 정성적인 평가만으로 시공 성능을 예측하는데 어려움 이 있다. 고유동 콘크리트의 유동 특성에 대한 평가를 위해 서는 항복값과 소성점도와 같은 레올로지(rheology) 특성을 알아야하며, 이를 정량적으로 측정할 수 있는 장비(레오미 터, rheometer)가 개발되어 콘크리트의 유동 특성을 수치 해석으로 예측할 수 있는 토대가 마련되었다. 따라서 이러한 레올로지 특성인 항복값과 소성점도의 측정 값을 사용하여 고유동 콘크리트의 유동 특성을 예측하기 위한 다양한 형태 의 수치해석 모델의 연구가 진행중에 있다[1,2,3,4,5].

고유동 콘크리트의 유동 특성을 예측하기 위한 수치해석 기법은 크게 격자계 기반의 오일러리안 접근법(eulerian

(2)

apporach)과 입자 기반의 라그랑지안 접근법(lagrangian apporach)이 존재한다. 격자계 기반의 오일러리안 접근법에 기초한 고전적인 수치해석기법으로는 유한요소법[6], 유한 체적법[7], 유한차분법[8] 등이 있다. 이는 자유표면 근처와 유체의 속도가 큰 경우 격자망을 매우 작게 조절해야하는 기 술적인 한계가 존재하며, 이로 인해 많은 해석 시간이 소요될 수 있다는 단점이 존재한다. 입자 기반의 라그랑지안 접근법 에는 크게 Smoothed Particle Hydrodynamic (SPH) 기법 [9]과 Moving Particle Semi-implicit Method (MPS) 기 법[10]으로 분류할 수 있다. 라그랑지안 접근법은 오일러리 안 접근법과 다르게 격자망을 사용하지 않으며 유체 유동 현 상을 입자로 쉽게 정식화 할 수 있다. 정식화된 입자들은 공간 에 제약을 받지 않으므로, 변형이 크게 발생하는 물리현상에 서도 해석이 가능하다는 장점을 가진다. 이와 같은 장점들로 인해 최근 유체공학 분야에서 비압축성 유체의 흐름을 예측 하기 위해 라그랑지안 접근법을 이용한 많은 연구가 이루어 졌으며, 이를 활용한 콘크리트 유동특성 수치해석 연구 또한 진행되고 있다[11,12,13,14].

SPH 기법과 MPS 기법은 입자를 사용한다는 점에서 유사성 을 가지나, 압력 계산 방식에 큰 차이점이 있다. 압력 계산 방식 에 있어서 SPH 기법은 상태방정식을 적용하는 반면, MPS 기 법은 포아송 압력 방정식으로 압력을 매 시간단계마다 계산하 여 해석 속도는 SPH 기법에 비해 느리지만 비압축성 유동에 대한 수치해석 시 비교적 높은 정확도를 가진다. 그러나 MPS 기법과 동일한 압력 해법인 포아송 압력 방정식을 적용한 Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH) 기법이 개발되어 비압축성 유동 수치해석에 대하여 높은 정확도를 가지며 해석 시간을 단축할 수 있게 되었다 [15].

본 연구는 고유동 콘크리트의 유동 특성을 예측하기 위해 입자 기반의 라그랑지안 접근법인 ISPH 기법을 적용하였으 며, Cauberg et al.[16]에 의해 수행된 실험에서 얻은 항복 응력 및 소성점도의 데이터를 활용하여, 고유동 콘크리트의 시험 평가 방법 중 T500시험, 슬럼프 플로우 시험, L-box 시험에 대한 수치해석을 진행하였다. 수치해석으로 얻은 값 과 실제 Cauberg et al.[16]에 의해 수행된 실험 데이터를 비교 분석하여, 고유동 콘크리트 유동해석에 ISPH 기법의 적용 가능성을 파악하고자 하였다.

2. ISPH 기법

ISPH는 유체의 유동 현상을 입자로 이산화하여 수치해석 하는 기법이다. ISPH 기법은 Navier-Stokes 방정식의 수 치해를 구하기 위해 커널함수(kernel function)를 이용하여 압력, 밀도, 속도, 위치 등과 같은 유체의 물리적 특성을 매 시간단계마다 재계산 한다. ISPH 기법의 수치계산 과정 은 다음과 같다.

2.1 ISPH 기법 이론

공간상의 임의의 위치 의 함수 값  는 Dirac 델타 함수를 사용하여 식 (1)과 같이 적분 형태로 나타낼 수 있다.

  _Ω^{ }^′^{  }^′^^′ --- (1)

여기서, 는 Dirac 델타 함수이며, 는 해석 전 영역을 나타낸다. ISPH 기법에서는  를 식 (1)의 델타 함수 대신 식 (2)와 같이 커널함수 를 이용하여  주변 물리량 의 가중치 합으로 근사한다. 또한  의 공간구배는 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

  ≈

Ω

 ^′  ^′^′ --- (2)

∇  ≈

Ω

∇ ^′  ^′^′--- (3)

여기서,   ^′는 커널함수이며 는 커널함수의 유효반경(smoothing length)이다. 식 (2)와 식 (3)을 유효 반경 내의 N개의 입자에 대하여 이산화하면 식 (4)와 식 (5) 와 같이 나타낼 수 있다.

 _ ≈





_

_

 __ --- (4)

∇ _ ≈





_

_

^^∇_ --- (5)

여기서, _  _ _, ∇__ _

_ _

_

_

,

 = 물리량을 계산하고자 하는 입자,  = 입자 의 유효반경

(3)

Figure 1. Support domain of smoothing function

내 이웃하는 입자, _ = 입자 의 질량, _ = 입자 의 밀도, _ = 입자 의 위치벡터, _ = 입자 의 위치벡터,

_ = 입자 와 입자  사이 거리의 절대값이다.

현재 ISPH 기법에 적용되는 커널함수로 여러 종류의 함 수들이 개발되었으며, 본 연구는 식 (6)과 같이 가장 널리 사용되는 Piecewise Cubic Spline 함수[17]를 사용하였다.

 _









  

^ 

^  ≤   



  ^  ≤  ≤ 

   

---- (6)

Figure 1은 입자 에 대한 커널함수의 유효반경 내에 속 하는 입자들을 나타낸다.

여기서, _는 차원에 따른 계수이며, 1차원, 2차원 그리 고 3차원 문제에 각각 , ^, ^의 값을 가진다. 는 _로 계산된다.

2.2 ISPH 기법의 지배방정식

ISPH 기법에 적용되는 비압축성 Navier-Stokes 방정식 은 식 (7)과 같다. 식 (8)은 밀도가 일정한 비압축성 유체를 가정한 질량보존의 법칙을 나타낸다.



  

∇  

∇ ∙    --- (7)

∇ ∙    --- (8)

의 속도, 는 전단 응력 텐서이다. 는 식 (9)의 Vola and Babik[18]에 의해 제안된 구성 법칙을 따른다.

  _{ } --- (9)

여기서, 는 전단 변형률 속도 텐서이며, _{ }는 유효 점성계수이다. 고유동 콘크리트는 비뉴턴 유체 중 Bingham plastic fluid에 가까운 유동 특성을 갖는다. Bingham plastic 유동 특성을 나타내는 여러 형태의 모델 식들이 개발 되었으며, 본 연구에서는 Zhu et al.[19]에 의해 개발된 식 (10)을 사용하였다.

_{ } __^

_{  }^{  }

  --- (10)

여기서, _는 항복응력이며, 는 점성계수, 은 항복 이전의 기울기를 결정하는 모델 상수로 본 연구에서는 ^ 을 사용하였다.

2.3 Projection method를 이용한 수치해석

본 연구에서는 ISPH 기법의 지배방정식인 식 (7)을 시간 에 따른 수치해석하기 위해 예측단계와 수정단계로 나누어 계산하는 Projection method[20]를 사용하였다. 예측단계 는 압력항이 없는 점성항과 외력항으로만 구성된 식 (11)을 이 용하여 입자의 중간속도(intermediate particles velocities,

^)를 계산한다. 수정단계는 식 (12)를 이용하여 입자의 압력을 매 시간단계마다 계산한다.

^ ^

∇ ∙   ^∆ --- (11)

∆

^{  } ^

 

∇^{  } --- (12)

위 첨자 과   은 반복계산에 있어 각각 현재 시간단 계와 다음 시간단계를 나타내며, ∆는 시간 간격이다. 식 (7)에 식(11)과 식(12)를 대입하여 이산화하면 식 (13)과 같 이 나타낼 수 있다.

(4)

_^{ } _^^



_^^

_^{  }

 _

_^{ }

^∇^^^^∆ ^{---- (13)}

여기서, _^{  }은 다음 시간단계의 압력을 나타낸다. 마지 막으로 식 (14)와 같이 번째 단계의 속도 _^와   번째 단계의 속도 _^{  }를 이용하여 다음 단계의 입자 위치 _^{  } 를 계산한다.

_^{  } _^ 

_^ _^{  }

∆ --- (14)

식 (13)의 예측단계의 ^과 수정단계의 _^{  }을 구하는 방법은 아래와 같다. 먼저 _^{  }을 구하기 위해 식 (12)의 양변에 발산(divergence) 조건을 취하면 식 (15)와 같이 포 아송 압력 방정식을 얻는다.

∇∙^

∇^{  }^{ }∆

 ∇∙ ^ --- (15)

식 (15)의 왼쪽 항과 오른쪽 항은 각각 식 (4)와 식 (5)를 적용하여 입자 에 대해 이산화하면 식 (16)과 식 (17)과 같으며, 이들 식을 이용하여 다음 시간단계의 압력 _^{  }을 계산한다.

∇∙^

∇^{ }^^^_ ^_





_





^^^ ^^^^^

 _∙ ∇__^





^{---- (16)}

∇∙ _^ 







__^∙ ∇_ --- (17)

여기서, _^{  } _^{  } _^{  }이며 _ _ _ 그리고

_^ _^ _^ 이다. _^는 식 (11)을  입자에 대해 이산화하 여 식 (18)과 같이 나타낼 수 있다.

_^ _^^^^ ^^^_^

_

 _^

_

^{∙ ∇}^^^^^∆ --- (18) 2.4 경계조건

ISPH 기법에 적용되는 입자들은 입자간의 상호작용 영역

Figure 2. Truncation of the kernel function near wall

Figure 3. Free surface boundary condition

영향을 받는다. 그러나 Figure 2와 같이 경계 부근에서 계산 하고자 하는 입자 의 커널 반경이 잘리면서 이웃 입자들의 개수가 줄어들게 된다. 이러한 현상으로 인해 경계 근처에 있 는 입자들은 비 물리적인 값을 갖게 되는 문제점이 발생된다.

본 연구에서는 이러한 문제점을 보완하기 위해 벽 경계조건으 로 Fixed Ghost boundary condition[21]을 사용하였다.

자유표면 부근의 입자 또한 Figure 3과 같이 이웃 입자들이 줄어들어 수치해석에 잠재적인 문제를 일으킬 수 있으므로, 자유수면 부근의 입자들에 대한 경계조건이 필요하다[20].

본 연구에서는 자유표면 경계에 위치한 입자들을 찾기 위해 식 (4)를 적용하여 가상의 밀도를 계산하였다. 계산된 입자의 밀도가 초기 밀도의 71.5% 이하인 경우, 이를 자유 수면 경계에 위치한 입자로 결정하였으며, 이때 해당 입자의 압력을 0으로 설정하였다.

3. 수치해석

본 연구를 통해 개발한 수치해석 모델의 정도를 확인하기

(5)

하여 T500, 슬럼프 플로우, L-box 시험을 수치해석 하였다.

Cauberg et al.[16]에 의해 수행된 실험에서는 BML 동축 실린더 레오미터를 사용하여 토크와 회전속도를 측정하였으 며, 이를 Reiner-Rivlin 식에 적용하여 고유동 콘크리트의 점성계수 및 항복응력을 구하였다. 고유동 콘크리트의 배합 조건은 Table 1과 같으며, 각 배합조건에 따른 실험값은 Table 2와 같다.

Composition

[kgm^] Mix1 Mix2 Mix3

Cement 468 468 368

Limestone filler 132 132 245

Sand 786 786 871

Crushed 773 773 881

Water 179 179 168

SP1 ±4.2 4 -

SP2 - - 6.7

Table 1. Mix proportion of high flow concrete[16]

Mix 1 Mix 2 Mix 3

Viscosity [Pa·s] 47 33 31

Yield stress _[Pa] 51 44 0

Density [kgm^] 2372 2372 2397

Table 2. Summary of the result for the different test[16]

T500 및 슬럼프 플로우 시험과 L-box 시험 방법은 EFNARC의 Specification and guidelines for self- compacting concrete[22]에 규정되어있다. T500 및 슬럼프 플로우 시험의 시험 규격은 Figure 4와 같으며, L-box 시 험의 시험 규격은 Figure 5와 같다. 슬럼프 플로우 시험 방법은 슬럼프 콘에 콘크리트를 채운 후 수직으로 들어올려 콘크리트 자중만으로 흐르게 한다. 콘크리트의 움직임이 정 지된 후 직교하는 2개의 부분을 선택하여 길이를 측정하며, 측정된 두 개의 평균을 슬럼프 플로우(mm)로 정의한다.

T500시험은 슬럼프 플로우 시험과 동일한 방법으로 진행되 며, 슬럼프 플로우가 500mm까지 도달하는데 걸리는 시간 을 T500(sec)으로 정의한다.

L-box 시험 방법은 충전성을 평가하는 시험으로써 L-box에 고유동 콘크리트를 채운 후, 격리판을 제거하여 콘크리트가 철근 사이를 통과하여 흐르게 한다. 콘크리트 움직임이 정지한 후, Figure 5와 같이 수직 단면(H1)과 수 평 단면 끝(H2)의 높이 비를 L-box 상대비라 정의한다.

Figure 4. Dimension of T500and slump flow test

Figure 5. Dimension of L-box test

Figure 6. Modeling by ISPH (slump cone flow test)

3.1 T500 및 슬럼프 플로우 시험 해석 결과

T500 및 슬럼프 플로우 시험을 수치해석하기 위해 Figure 6과 같이 모델링하였다. 고유동 콘크리트 입자는 5668개, 벽 및 경계면 입자는 매 시간단계마다 설정되며, 0.0001초 의 시간 간격으로 증분해석을 수행하였다.

각 배합에 따른 T500및 슬럼프 플로우 시험의 유동 흐름을 각각 Figure 7과 Figure 8에 나타내었으며, T500및 슬럼프 플로 우 실험값과 수치해석 결과의 비교는 Table 3에 나타내었다.

(6)

(a) Mix 1   Pa∙s _ Pa T_  sec

(b) Mix 2   Pa∙s _ Pa T_ sec

(c) Mix 3   Pa∙s _ Pa T_ sec Figure 7. Simulated T_

(a) Mix 1   Pa∙s _ Pa SF  mm

(b) Mix 2   Pa∙s _ Pa SF  mm

(c) Mix 3   Pa∙s _ Pa SF  mm

T500[s] Slump flow[mm]

Experimental

[16] Simulated Experimental

[16] Simulated

Mix 1 1.6 1.6 643 620

Mix 2 1.1 1.2 689 641

Mix 3 1.2 1.0 721 742

Table 3. T500 and Slump flow prediction

수치해석 결과 각 배합에 따른 점성계수 및 항복응력이 감소할수록 T500은 줄어들며, 슬럼프 플로우가 증가하는 경 향을 잘 나타내고 있다. 또한 Table 3에서 보듯이 T500및 슬럼프 플로우 시험의 수치해석 결과는 실험 결과와 정량적 으로 근사함을 확인할 수 있다.

3.2 L-box 시험 해석 결과

ISPH 기법에 의한 L-box 시험의 해석 모델은 Figure 9와 같다. 고유동 콘크리트 입자는 14091개, 벽 및 경계면 입자는 27723개, 0.0001초의 시간 간격으로 증분해석을 수행하였다. 각 배합에 따른 L-box 시험의 유동 흐름을 Figure 10에 나타내었으며, L-box 실험값과 수치해석 결 과의 비교는 Table 4에 나타내었다.

Figure 9. Modeling by ISPH (L-box test)

(7)

(b) Mix 2   Pa∙s _ Pa HH  

(c) Mix 3   Pa∙s _ Pa HH  

Figure 10. Simulated L-box

L-box[]

Experimental[16] Simulated

Mix 1 0.23 0.4

Mix 2 0.51 0.53

Mix 3 0.89 0.87

Table 4. L-box prediction

Figure 10에서 볼 수 있듯이 각 배합에 따른 점성계수 및 항복응력이 감소할수록 유하속도가 상대적으로 빠른 흐 름 현상의 특성을 잘 묘사하고 있으며, L-box 상대비가 증 가하는 것을 확인할 수 있다. 또한 Table 3에서 보듯이 Mix 1의 수치해석 결과는 실험 결과와 차이가 있으나, Mix 2와 Mix 3의 수치해석 결과는 실험 결과와 정량적으로 근사함을 확인하였다.

4. 결 론

본 연구에서는 Navier-Stokes 방정식에 의한 유체의 운 동이론과 입자 기반의 라그랑지안 접근법인 ISPH 기법을 적용한 3차원 수치해석 모델을 개발하였다. 개발한 3차원 수치해석 모델을 이용해 고유동 콘크리트의 T500시험과 슬 럼프 플로우 시험, L-box 시험을 수치해석 하였으며, 수치 해석 결과, 본 연구에서 사용된 ISPH 기법은 고유동 콘크리

을 잘 묘사하였으며, 기존의 실험값과 비교적 잘 일치함을 확인할 수 있었다. 이는 실험 시 외부 환경에 의한 영향 등을 고려할 때 개발된 수치해석 모델이 고유동 콘크리트 흐름의 정량적인 해석에 매우 효과적으로 활용될 수 있음을 의미한다.

향후 추가적으로 보완되어야할 연구 방향은 고유동 콘크 리트를 구성하는 시멘트와 골재와의 차별화를 두기 위한 입 자 크기, 형상, 분포에 대한 고려가 필요하며, 감수제와 혼화 재 및 혼화제 등에 따른 레올로지 특성에 대한 추가적인 연구 가 필요하다 더불어 건설 현장 조건하에서 수치해석이 가능 하도록 하기 위한 경계조건의 다양화와 수치해석을 진행함 에 있어 발생되는 계산 비용을 감소하기 위한 연구가 필요할 것으로 판단된다.

요 약

본 연구에서는 비압축성 Navier-Stokes 방정식을 적용 한 ISPH 기법을 이용하여 3차원 유동 수치해석 모델을 개발 하였다. 수치해석을 위해 MATLAB을 사용하여 ISPH 프로 그램을 구현하였다. ISPH의 커널 함수로 piecewise cubic spline 함수를 사용하였다. 벽 경계조건으로 고정 가상 입자 를 사용하였으며, 가상 밀도를 적용하여 자유 표면 경계 부 근의 입자들을 결정하였다. 수치해석 모델과 코드의 정도를 확인하기 위해 T500시험, 슬럼프 플로우 시험, L-box 시험 의 수치해석 결과와 실험 결과를 비교하였다. 수치해석 결과 고유동 콘크리트의 점성계수 및 항복응력 변화에 따른 유동 현상의 특성을 잘 묘사하였으며, 기존의 실험값과 비교적 잘 일치함을 확인할 수 있었다.

키워드 : 고유동 콘크리트, ISPH 기법, 유동 해석

Acknowledgement

This research was supported by a grant (18TBIP -C111160-03) from Technology Business Innovation Program (TBIP) funded by Ministry of Land, Infrastructure and Transport of Korean government.

(8)

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