22.1 전기장선

제 22장. 전기장(Electric Field) 구하기 I.

[Vector로 구하기]

22.1 전기장선

물체가 있는 곳에 중력장이 존재하듯 전하가 있는 곳에 전기장이 존재한다. 전기장은 전하 q^로

부터 거리 r이 떨어진 곳에서 시험전하 q_o가 받는 힘으로 정의 한다. 이것을 수식으로 표현하면

3 2 r

o

F q q

E k r k

q r r

   (22.1)

※ k1/ 4_o 8.99 10 N m / C ⁹  ^{2 2}

전기장 E^{의 단위:} [N / C] ^또는 [V / m]

여기서

r

⁽rcap)은 크기가 1 ^이고 r의 증가 방향으로 향한 단위벡터(Unit vector)이다. 전기장 E

는 전하로부터 단위면적당 나오거나 들어가는 전하 선속(Electric flux) 또는 다발로 정의한다. 양 전하는 밖으로 향하고 음전하는 들어오는 방향으로 전기장 E를 형성한다. 다시 말하면 양전하는 전기장 선속을 내 보내는 샘(Spring)과 같고, 음전하는 이 전기장 선속을 받아 들이는 수렁(Sink) 과 같다. 아래 그림은 전하의 부호에 따라 형성되는 전기력 선의 형태를 나타낸다.

※ 양전하의 경우 E를 전기라는 스프링 쿨러가 내보내는 물처럼 생각하고, 음전하의 경우 하수 구가 받아들이는 물이라고 생각하라.

보기문제 22.1 그림에서 균일하게 대전된 공의 중심으로부터 거리에 따라 전기장의 크기가 어떻게 변하는가? 전기장 선을 이용하여 설명하라.

(풀이) 대전된 입자 주위에 반지름이 r인 같은 중심의 공으로 둘러치면 그 공의 표면으로 들어가는 전기장선의 수는 중심에 있는 대전 입자에 들어가는 전기장선의 수와 같다. 그 전체 전 기장 선의 수를 N 이라 하면 거리 r인 곳에서 단위면적당 전 기장선 수는 N/ 4r²이다. 즉 거리의 역 자승에 비례한다.

22.2 전기장의 계산

전기장의 중첩은 전기력을 계산하는 방법과 동일하다.

(i) 점 전하가 만드는 전기장

전기장은 벡터로서 중첩원리(

Superposition

^{)가 성립한다.}

1 2 3 n i

EE E E  E  E



E ^(22.2)

보기문제 22.2 q₁ 

2

q^, q₂  

2

q^, q₃  

4

q^{로 대전}

된 세 입자가 그림과 같이 원점으로부터 d 만큼 떨어 져 있다. 원점에서 알짜 전기장은 얼마인가? 여기서

30o

  이다.

(풀이) 각 전하로부터 원점으로 향하는 벡터를 그리고 이들의 단위 벡터 r을 성분분해 하여 계산한 후 최종 식에 전하 값을 대입하면 원점으로 작용하는 E의 크 기와 방향을 얻을 수 있다.

3

1 2

2 2 2

[q (cos i sin j) q ( cos i sin j) q ( cos i sin j)]

E k

d   d   d  

       

1 2 3 1 2 3

2

[( ) cos i ( ) sin j]

k q q q q q q

d  

      

o

2 2

8 cos 30 3

i ( ) i

o

k q q

d  d

 

보기문제 22.3 그림에서 두 전하 q₁

8

q^, q₂  

2

q에 의한 전기장이 0

이 되는 위치는 어디인가?

(풀이) 전하의 크기와 부호로 보아 전기장이 0이 되는 지점은 2q^{의 우}

측에 있다. 그 지점을 x라 하고 전하의 부호에 관계없이 각 전하에서 그 방향으로 벡터를 그린 후 더하고, 결과에 전하 값을 대입한다.

1 2

1 2 2 2 2 2

4 1

[ (i) (i)] 2 [ ](i) 0

( ) ( )

q q

E E E k kq

x L x x L x

      

 

2 2

4( ) ( 2 )(3 2 ) 0

x  xL  x L x L  :

2

x L, 또는 x2 / 3L 2 / 3

x L 은 내부 점으로 두 전하에서 오는 전기장의 방향이 같다. 따라서 x2L

(ii) 전기 쌍극자(Electric Dipole)에 의한 전기장

일정한 거리에 서로 반대 부호로 이루어진 전하가 놓여 있을 때 이것을 전기 쌍극자라 한다.

그림에서 쌍극자 축(z축)에 있는 점 P에서의 전기장:

2 2 2 2

1 2

1 1

( ) [ ]

( / 2) ( / 2)

q q

E E E k kq

r r r d r d

 

     

 

2 2

[(1 ) (1 ) ]

2 2

d d

kq r r

 

   

※ 이항정리: ( 1) ²

(1 ) 1

2!

p p p

x px  x

    

(단 x 1^, p0,1, 2, 이 아닌 실수)

2[(1 ) (1 )]

4 _o

q d d

E^  r ^{ }r ^{  }r

3 3

1 1

2 _o 2 _o

qd p

r r

 ^  ^(22.3)

전기 쌍극자 모먼트(

Electric dipole moment

): pqd (22.4) 여기서 pqd는 전기 쌍극자 모우먼트라 하며, 그 방향은 q^로부터

q로 향한다. 그 결과 p는 E의 방향과 같다.

보기문제 22.4 구름의 높이 h에 있는 전하 q와 지면 아래쪽 h에

있는 전하 q 를 전기 쌍극자로 가정하자. q200C , h6.0 km 라면 구름 위의 고도

1

30 km

z  인 지점과 성층권 위의 고도 z₂ 

60 km

인 지점에서 쌍극자가 만드는 전기장의 크기 는 각각 얼마인가?

(풀이) 쌍극자에 의한 전기장:

3

1 2 _o E p

 r



이 문제에서 r은 z₁ 또는 z₂에 해당. pqdq h(2 )

1 1

E at z ^:

3

3

1 12 2 2 4 3

1 (200 C)(12.0 10 m)

1.6 10 N / C 2 (8.85 10 C / N m ) (3.0 10 m)

E  ^

   

  

2 2

E at z ^:

3

2

2 12 2 2 4 3

1 (200 C)(12.0 10 m)

2.0 10 N / C 2 (8.85 10 C / N m ) (6.0 10 m)

E  ^

   

  

(iii) 선 전하에 의한 전기장 선 전하밀도(단위길이당 전하): 

미소선분 ds에 있는 전하: dqds

선분 ds로부터 관측 점 P까지 거리: r

'



(

z²R^{2 1/ 2}

)

고리에 있는 총 전하: q(2 R) dq^{가 점}P에 만드는 전기장:

2 2

' '

dq ds

dE k k

r r

   ^(22.5)

※ ds의 전하 dq는 z 축에 대해 대칭(

Symmetry

)인 자신과 같은 전하가 고리의 반대편에 항상 있다. 이들 쌍둥이 전하가 점 P에 만드는 d E는 z

축에 평행한 성분 dE_z (그림에서 dEcos )과 xy 면에 놓인 평면 성분

dExy(그림에서 작게 그려진 벡터)로 분해되며, 이 평면 성분은 서로 반대 방 향을 가리키기 때문에 상쇄되고, 오직 z축 성분만 남는다.

cos 3

' '

z

z z

dE dE dE k ds

r r

 

   ^(22.6)

3 0 3 3

2 ( 2 )

' ' '

z

z R z R zq

E k ds k k

r r r

   





  ^(22.7)

2 2 3/ 2

( )

z

E k zq

z R

  ^(22.8)

고리의 중심(R0^{)에서 전기장:} _z q₂ E k

 z ^(22.9)

보기문제 22.5 우측 그림은 전하 Q가 균일하게 분포된 플라스 틱 막대이다. 이 막대는 반지름이 r^{이고 중심각이}

120

^o

( 60^o)인 원호로 만들어 졌다. x 축에 막대의 대칭축을 놓고 원점이 막대의 곡선 중심 P가 되도록 좌표축을 정한다. 점 P^에

서 막대가 만드는 전기장 E^를 Q^와 r^{로 표현하여라.}

(풀이) 선 전하밀도를 라 하고, 막대의 미소거리 ds ^와 ds'^에

있는 전하들이 점 P에 만드는 전기장 d E^와 d E

'

^{을 생각한다.}

여기서 ds^와 ds'^은 x축에 대해 대칭이기 때문에 d E ^와 d E

'

은 점 P^에서 y축 성분은 상쇄되며 x축 성분만 남는다.

선 밀도: 3

2 / 3 2

Q Q

r r

  

    ^(※ 120^{o는 원주율} 2 r ^의 1/ 3^).

dsrd

dqds rd

2

cos cos

x

dE kdq k d

r r

   

   

※ 전기 문제를 풀 때에 벡터 방향은 항상 소스(여기서는 ds)로부터 구하고자 하는 점(여기서는 점 P)으로 향하는 벡터로 풀고 최종식에 전하 값을 넣으면 최종 벡터방향이 그 점(여기서는 점

P)에서 얻어진다는 것을 명심하라.

60 60

60 cos [sin ] 60 ( 3)

o o

o o

x

k k k

E d

r r r

     _ 

 



    

2

3 3 0.83

( )

x 2

E k q k q

r r r

   

벡터로 표현:

2 2

0.83 1 0.83

i i

4 _o

q q

E k

r  r

 

E^는 x^{축을 향한다.}

(iv) 대전된 원판에 의한 전기장 면적 전하밀도(단위면적당 전하): 

미소면적: dads dr

da에 있는 전하: dqda ds dr dq^{가 점} P에 만드는 전기장:

2 2

' '

dE k dq k ds dr

r r

   ^(22.10)

※ 미소면적 dads dr^{에 있는 전하} dq는 z축에 대해 대칭(

Symmetry

)인 전하가 항상 존재한다. 이들 쌍둥이 전하가 점 P에 만드는 전기장들을 분해 하면 평면(xy면) 성분은 상쇄되고 z축 성분만 남는다.

z^{축 성분:} cos ₃

' '

z

z z

dE dE dE k ds dr

r r

 

   ^(22.11)

대전 판의 총 전하에 의한 점 P에서의 전기장:

2

3 3 3

1 1

(2 )

' ' 2 '

r

z o

o

z rdr

E kz dr ds kz dr r

r r r

 

  



 





 



※ r

'

²z²r²  r dr' 'rdr

2 2 2 0

1 1 1

' [ ] [ ]

2 ' 2 ' 2

R z

o o o

z z z

E dr

r r z r

  

  

    





2 2

(1 )

z 2

o

E z

z R



  

 ^(22.12)

R 일 때,

2

( / )

lim(1 )

2 ( / ) 1 2

z R

o o

E z R

z R

 

 ^ 

  

 ^(22.13)

22.3 외부 전기장과 상호작용

(i) 외부 전기장 속에 놓인 점 전하

점 전하 q는 자신이 놓인 곳에서의 외부 전기장 E^{에 의}

해 F qE의 힘을 받는다. 여기서 q^{는 양(}^{) 또는 음}

()의 전하를 대표하며 그 속에 부호를 내포한다.

보기문제 22.6 전기장이 E 

(1.4 10 N / C) j

 ^{6 인 속을}

전하 q 

1.5 10

 ^13

C

^{, 질량} m

1.3 10

 ^10

kg

^{의 음전하}

를 갖는 잉크 방울이 초기속도 v

(18 m / s) i

^{로 편향 판}

에 입사한다. 길이 L1.6cm인 지점에서 편향 수직거리 y는 얼마 인가?

(풀이) E_y  

1.4 10 N / C

 ^{6 ,} v_x 

18 m / s

y

y y y

F ma a qE

   m

x

t L

v

2 2

2

1

2 2

y y

x

y a t qE L

  m v

13 6 2 2

4

10 2

(1.5 10 C)(1.4 10 N / C)(1.6 10 m)

6.4 10 m (2)(1.3 10 kg)(18m / s)

y

 





  

  



보기문제 22.7 전기장 내에 있는 R2.76 m ^{, 전하} q 3e ^,

밀도 

920 kg / m

^3인

Millikan

의 기름방울을 아래로 떨어지지 않게 하려면 전기장의 크기는 얼마인가? 그리고 그 방향은 어디를 가리키나? (그림 참조)

(풀이) 기름 질량:

4

3

3

m_  R

중력:

4

3 g

3

R g

F mg  

 

전기력: F_e qE_y  3eE_y

e g

:

F F

4

³

4

³

3

^z

3

^z

9

R g R g

eE E

e

   

    

6 3 3 2

6 19

(4)(3.14)(2.76 10 m) (920 kg / m )(9.80 m / s )

1.65 10 N / C (9)(1.60 10 C)

Ez





     



음(-)의 부호는 전기장이 아래로 향하고 있음을 말해준다.

(ii) 외부 전기장 속에 놓인 전기 쌍극자

p와 E가 각  를 이루고 있을 경우, 양 끝에 작용하는 힘 F 는 서로 반대방향으로, p에 작용하는 힘은 0이지만 돌림 힘

(

Torque

)은 0이 아니다. 질량중심(

c.m.

)인 곳에서 수직인 회전축 에 대한 돌림 힘을 벡터로 분해하여 계산하면

[( ) sin ( j) (i)] [( ) sin ( j) ( i)]

2 2

d d

F F

        

sin ( k) sin ( k) sin ( k)

Fd  dqE  pE 

      (22.14) 돌림 힘은 지면으로 들어가는 방향이다. 이것은 p가 외부 전기장

E 때문에 시계방향으로 회전함을 의미한다. 이것을 벡터의 곱으로 표현하면

  p E ^(22.15)

22.4 전기 쌍극자의 포텐셜 에너지

p와 E가 평행으로부터 수직으로 설 때까지 한 일과 그에 따른 포텐셜 에너지를 계산하면,

/ 2 / 2

/ 2

0 0 sin [cos ]0

W 



^  d 



^ pE  d  pE  ^  p E ^(22.16)

U W  U   p E (22.17)

※ 일 W와 포텐셜 에너지 U의 관계 및 부호 해석

위의 그림에 나타난 p^를 0^로부터   / 2로 세우려고 하면 p를 반 시계방향으로 돌려야 하며, 이때 돌림 힘은 지면 밖으로 나오는 방향(z방향)을 가리킨다. 또한 d 가 반시계 방향으 로 증가하면 d0이기 때문에 그 결과  d 0이다. 그러므로 p 를 세우는 동안 한 일은 (22.16)식으로 W^{는 양(})의 값이다. 이와 달리 포텐셜 에너지란 전기장 E^가 p^를   / 2^부

터  0로 회전 시킬 때 나오는 에너지이며, 그 회전은 p를 세우는 것과 과정이 정 반대이기 때문에 포텐셜 에너지는 적분인자의 초기 값과 최종 값이 역전되어 계산된다.

0 0

0 / 2 / 2

sin [cos ]

/ 2

U d pE d pE _ p E

      









    

이때 회전은  0⁽z^방향), d 0(시계방향)이며 이 역시  d 

0

이다. 결과적으로 적분의 상한 값만 역전되었기 때문에 U W 가 되었다. 다시 말하면 포텐셜 에너지는 일한 양에 음 ()의 부호를 붙인다.

※ 전자레인지는 음식 속 물 분자들의 전기 쌍극자 모우먼트 방향 을 빠르게 바꿔주어 음식을 익힌다. 즉, 외부에서 교류 전기장을 가 해주면 주파수에 동조하여 물 분자의 쌍극자가 방향이 바뀌어 그때 마다 마찰열이 발생하는 원리를 이용한 것이다. 그 결과 전기장이 내부까지 침투한다면 음식은 외부보다 내부가 먼저 익는다.

보기문제 22.8 증기 상태의

H O

₂ 가 전기 쌍극자 모우먼트

6.2 10

30

C m

p  ^  를 갖고 있다.

(a) 양전하와 음전하는 얼마나 떨어져 있는가?

(b) 외부 전기장 E

1.5 10 N / C

 ⁴ 에 분자가 놓인다면 최대 토크는 얼마인가?

(c) 0^o에서  180^o로 반전에 필요한 에너지는 얼마인가?

(풀이) (a)

30

12 19

6.2 10 C m

(10 ) 3.9 10 m

10 (10)(1.60 10 C)

p qd e d d p

e

 



 

      



(b)   p E^:   pEsin  pE, (최대일 때 sin 1⁾

30 4 26

(6.2 10 C m)(1.5 10 N / C) 9.3 10 N m

   ^     ^ 

(c) W  p E pEcos: WU

(180 )

^o U

(0 )

^o 

2

pE

30 4 25

(2)(6.2 10 C m)(1.5 10 N / C) 1.9 10 J

W  ^     ^

제 23장. 전기장(Electric Field) 구하기 II [Gauss 법칙으로 전기장 계산]

23.1 선속(다발)의 개념과 가우스 법칙

전하가 축, 면 또는 점에 대해 대칭적(Symmetric)으로 놓여 있다면 가우스 (Gauss) 법칙을 이용하여 전기장을 계산한다. 먼저 물이나 바람과 같은 유체 가 어느 면을 통해 흘러 나오는 양을 정의 하기 위하여 선속(Flux^{) 또는 다발} 의 개념을 도입한다. 면적 A^{를 속도} v로 지나가는 물이나 공기를 생각하자.

선속 또는 다발(면적 A를 지나 가는 초당 부피흐름 율):

cos

v A vA 

    ^(23.1)

※ 면적벡터 A의 정의: 면적의 크기는 A이며 방향은 이 면적에 수직.

이 경우 A의 방향은 그림에서 좌 또는 우인지 결정하기가 어렵다. 규칙은 오른손을 반 시계방향 으로 면적의 외곽 선을 감아 쥐고 엄지를 폈을 때 가리키는 방향이다.

전기장 선속 또는 다발(Electric Flux^{): 전하} q를 둘러 싸는 폐 곡면 (

Gauss

면)을 생각하고 그로부터 전기장 E가 마치 물처럼 흘러나온다 고 가정한다. 그러면 그 폐 곡면 전체로 나오는 총 전기장 선속(다발)은

E A

o

E d a q

 



  ^(23.2)

이것을 가우스 법칙이라 한다.

※ 가우스 법칙의 뜻: 전하가 있는 곳을 공처럼 완전한 폐 곡면(

Gauss

면)으로 둘러치고, 그 폐 곡면으로 나오는 전기장을 모두 더하면(적분하면) 폐 곡면 내의 전하가 내보내는 전기장 선속(다 발)과 같다는 뜻이다. 이것은 마치 물을 사방으로 뿌리는 스프링 쿨러를 어느 거리에서 완전히 폐 곡면으로 감싼 다음, 그 폐 곡면으로 나오는 물을 모두 받으면 내부의 스프링 쿨러가 내보내는 물 의 양과 같다는 개념과 동일하다.

보기문제 23.1 원통의 가우스 면이 원통 축에 평행인 외 부 전기장 E속에 놓여 있다. 폐 곡면을 통과하는 전기 장 선속(다발)은 얼마인가?

(풀이) _E

AE d A aE d A bE d A cE d A

 



 



 



 





o o

cos180 0 cos 0 0

EA EA EA EA

      

여기서 A는 그림의 좌우에 있는 원통 덮개의 면적이다.

보기문제 23.2 E

3.0 i 4.0 j

x  로 주어진 불 균일한 전기장이 그림에 있는 정육면체의 가우스 상자를 통과한다. 여기서 E와

x의 단위는 SI단위이다. (a) 오른쪽 면, 왼쪽 면, 윗면을 통과

하는 전기장 다발은 각각 얼마인가? (b) 가우스면 안의 알짜 전하는 얼마인가?

(풀이) 정육면체의 한 면의 크기를 A^{라 하면} A

4.0 m

²

(a) 왼쪽 면의 면적벡터: AA

( i)



(3.0 i 4.0 j) ( i) (3.0 ) (3.0)(1.0)(4.0) 12 N m / C2

l E A x A x A

             

오른쪽 면의 면적 벡터: AA

(i)

(3.0 i 4.0 j) (i) (3.0 ) (3.0)(3.0)(4.0) 36 N m / C2

r E A x A x A

         

윗면의 미소 면적벡터: d A(2.0 m)dx( j)

(3.0 i 4.0 j) (2.0)( j) 8.0 d  t E d A x   dx  dx

3 3 2

1

8.0 8.0[ ]

1

16 N m / C

t dx x

 



  

(b) z축 방향으로 향한 면은 dA

(k)

^또는 dA

( k)

 이므로 전기장과의 내적은 0^이다.

( )

l r t o l r t

o

q q 

              

12 2 2 2 10

(8.85 10 C / N m )[( 12 36 16) N m / C] 3.54 10 C

q  ^        ^

보기문제 23.3 그림에는 다섯 개의 플라스틱으로 된 전하 덩 어리와 전기적으로 중성인 한 개의 동전 그리고 가우스 면 S

의 단면이 표시되어 있다. (a) q₁q₄ 

3.1nC

^,

2 5

5.9 nC

q q   , q₃  

3.1nC

이면 가우스 면을 통과하는 전기장 다발은 얼마인가? (b) 가우스 면 안의 알짜 전하는 얼 마인가? _o 8.85 10 ^12C / N m²  ²

(풀이) (a) 1 _{1 2 3}

( )

E

o o

q q q q

 

    

1 5.9 nC

(3.1 5.9 3.1) nC

E

o o

 

     

9

2 2

12 2 2

5.9 nC 5.9 10

6.67 10 N m / C 8.85 10 C / N m

E

o

C







 

       

 

(b) q  q₁ q₂ q₃ 

5.9 nC

23.2 가우스 법칙의 적용

(i) 전하 q가 놓인 곳으로부터 거리 r인 곳에서의 전기장 반경 r인 곳에서 축구공처럼 둘러치면 우측 그림과 같다.

여기에 가우스 법칙을 적용하면

A

o

E d a q

 



^(23.3)

2

2

4 1

o 4 o

q q

r E E

 r

 

   ^(23.4)

E의 방향은 q의 부호에 의존한다. q가 양이면 원점에서 표면 밖으로 나오는 방향이고 q가 음 수이면 안으로 들어가는 방향이다.

(ii) 무한히 긴 도선 밖 r되는 곳에서의 전기장 선 전하밀도: 

반경은 r이며 높이는 h인 원통으로 긴 도선의 일부를 둘러 친다.

원통 내의 총 전하: qh

가우스 법칙:

A o o

q h

E d a 

 

  



^(23.5)

side (2 )

A o

E d a E d a E rh h

     

 

^(23.6)

2 _o

E r



  ^(23.7)

※ 원통의 덮개 쪽으로 전기장이 나오지 않는 이유

우측 그림처럼 dq와 dq'은 r 축과 평행한 평면에 대해 거울대칭(Mirror symmetry)이다. 이때 이들이 원통의 측면 da에 만드는 전기장 E와 E'은 벡터의 크기가 같고 분해된 각 성분의 크기도 모두 같다. 따라서 뚜껑으로 향하는 벡터들은 서로 상쇄되며 오직 da에 수직인 벡터성분들만 남는다.

고르게 분포된 전하가 만드는 전기장은 전하의 대칭축(symmetry axis)에는 그 성분이 존재하지만 그 이외의 지역에는 전기장 성분이 상쇄되어 존재하 지 않는다.

보기문제 23.4 음으로 대전된 비구름 밑에 서 있는 사람은 몸 안의 전도전자 중 일부가 땅으 로 빠져나가서 양으로 대전된다(그림 a). 구름 과 사람 사이에 형성된 전기장은 주변 공기에 의해 사람으로부터 나가는 방향으로 방전할 수 있다. 몸을 높이 L1.8m, 반경

0.10 m

R 인 수직원통이며, 전하가 균일하게

분포한다고 가정하고 몸의 전기장의 크기가 임계 값 E_c 

2.4 MN / C

을 초과할 때 방전이 일어 난다고 가정하자(그림 b). Q의 값이 얼마이면 방전이 일어날까?

(풀이) R L이기 때문에 긴 선 전하로 전하분포를 어림할 수 있다(그림 c).

몸의 표면에서 전기장: / 2 2

c o c

o

E Q L Q RE

R 

   

12 2 2 5

(2 )(8.85 10 C / N m )(0.10 m)(1.8m)(2.4 10 C)

Q   ^   ^

2.4 10 C^5

 

(iii) 얇은 평면 절연체 판 밖의 전기장 면적 전하밀도: 

평면 판의 면적 A에 있는 총 전하: qA

평면 판에 수직인 원통을 그리면, 여기에 해당하는 가우스법칙은 다 음과 같은 합으로 분해하여 쓸 수 있다.

cover1 cover2 side

AE d a  E d a  E d a  E d a

   

(23.8)

그림에서 도판에 있는 임의의 대칭 전하인 d ^와 d'^{이 우측 덮}

개에 만드는 전기장을 분석하자. 이때 원통면으로 향하는 전기장의 성분은 서로 상쇄되고, 덮개에 수직인 A축 방향의 성분만 남는다.

이것은 좌측 덮개에서도 똑같다. 그 결과 위의 식은 좌우의 양 덮 개로 나오는 전기장 선속만 계산하면 된다.

cover1 cover2

AE d a  E d a  E d a

  

2 2

o

E A EA A

     

2 _o

E 

  ^(23.9)

(iv) 두 도체 판

도체는 부도체와 달리 전하가 도체 속을 자유롭게 이동할 수 있기 때문에 전하가 고르게 분포하지 않고 표면에만 존재한다. 무한히 넓 은 두 평행한 도체 판에 각각 면 전하밀도가 표면에서 각각  ^와



 로 분포하여 있을 경우 작용하는 전기장은 그림과 같이 형성되 며 도체판의 외부에서는 두 전기장이 상쇄되고 내부에서는 합쳐진다.

내부의 E와 E는 같은 방향이므로 그 크기는

2 _o

E E 

    이므로 내부 전기장:

o

E E E 

  

   (23.10)

보기문제 23.5 그림에서 넓은 평면 판의 표면 전하밀도는 각각

2 1 6.8μC / m

  ^과 ₂  4.3μC / m²이다. 평행 판 좌측과 우측 및 사이 에서 전기장을 구하라.

(풀이) 두 평행 판이 포함되는 원통을 그리고 외부로 흘러나오는 전기장을 가우스 법칙으로 계산한다. 이 경우 원통의 몸통으로 나오는 전기장은 없 으며 그림처럼 양전하로 대전된 판은 외부로 전기장을 형성하고 음전하로 대전된 판은 자신의 판으로 향하는 전기장을 형성한다.

(a) 좌우 측 단면에서의 전기장

1 2 1 2

( )

(2 ) _o 2 _o

E A A  E  

 

 

  

6 2

5

12 2 2

(6.8 4.3) 10 C / m

1.4 10 N / C (2)(8.85 10 C / N m )

E





 

  

 

우측 면의 전기장 ER E

(i)

^: E_R 1.4 10 N / C ⁵

좌측 면의 전기장 EL E

( i)

 ^: E_L  1.4 10 N / C ⁵

(b) 평행판 내부에서 전기장

1 2

1 2

i 2

o

E E E  



   

6 2

5

12 2 2

(6.8 4.3) 10 C / m

6.3 10 N / C (2)(8.85 10 C / N m )

Ei





 

  

  : 내부에서 전기장은 Ei Ei(i)

(v) 속이 찬 도체 구

속이 찬 도체 구에 전하들이 있다면 그 전하들은 서로 반발하여 표면으로 밀려나기 때문에 내부 에는 전하가 존재하지 않는다. 따라서 반경 R인 도체 구의 전하 q의 분포는 구각(축구 공처럼 속이 빈 도체)에 분포된 것과 동일하다.

(a) 도체 구 내의 전기장

도체 구 안에 반경 r₁의 폐 곡면을 그리고 가우스 법칙을 적용하면 그 내부에는 전하가 없다.

1 0 1 0

A

o

E d a q E

    



^(23.11)

(b) 도체 구 밖의 전기장

도체 구 밖에 폐 곡면을 그리고 가우스 법칙을 적용하면

2

2 2 2 2 2

2

(4 )

4

A

o o

q q

E d a E r E

 r

 

    



^(23.12)

결과는 중심에 점 전하 q가 모여있는 것과 같다.

보기문제 23.6 그림은 안쪽 반지름이 R인 도체 공 껍질의 단면이다.

5.0μC

 의 점 전하가 도체 껍질의 중심에서 R/ 2인 거리에 놓여 있다. 만 약 공 껍질이 전기적으로 중성이라면 공의 안쪽 표면과 바깥쪽 표면에 유도 된 전하들은 각각 얼마인가? 전하들은 균일하게 분포하겠는가? 공 껍질의 내부와 외부에서 전기장의 모양은 어떠한가?

(풀이) 우측 그림은 공 껍질 내부 벽의 바로 바깥쪽에 위치한 공 모 양의 가우스 면을 보여준다. 전기장은 금속 안의 가우스 면 위에서

0 이어야 한다. 가우스 법칙에 의해 가우스 면으로 둘러싸인 알짜 전하는 0 이다. 따라서 껍질 속의 5.0μC 점 전하와 함께

5.0μC

 의 전하가 공 껍질의 안쪽에 있어야 한다. 만일 점 전하가 중심에 있다면 양전하는 공의 내부 벽을 따라 고르게 분포한다. 그 림은 점 전하가 중심에 있지 않기 때문에 양전하는 음전하의 가장

가까운 안쪽 벽의 한 부분으로 쏠리게 된다. 껍질은 전기적으로 중성이므로 총 전하 5.0μC^의

전자들이 바깥쪽 벽에 있을 때에만 껍질의 안쪽 벽이 5.0μC을 가질 수 있다. 가우스면 밖의 음전하는 내부 전기장이 중화되어 없기 때문에 껍질에 균일하게 분포한다.

보기문제 23.7 구각의 내부 표면에 총 전하 Q, 그리고 외부 표면에 Q로 대전되어 있는 도체 구가 있다. 각 반경 지점에서 전기장을 구하라.

(풀이) r₁

:

1 1(4 1²) 0 1 0

AE d a E r   E 



2

:

r ₂² _{2 2 2}

2

4 _o 4 _o

Q Q

r E E

 r

 

  

3

:

r 4 ₃² _{3 3} 0

o

r E Q Q E

 

   

(vi) 속이 찬 부도체 구(예: 볼링 공)에서의 전기장

부도체는 전하가 구 내에서 서로 반발하여도 표면으로 밀려나지 않는다.

(a) 부도체 구 안의 전기장

반경 r₁의 폐 곡면 내부에는 다음의 비례식에 의해 얻어지는 전하가 있다.

3 3

3

1 1

3

4

4 : : ' '

3 3

r r

R q q q q

R



    ^(23.13)

2

1 1 1 1 2

1

' 1 '

(4 )

4

A

o o

q q

E d a E r E

 r

 

    



^(23.14)

3

1 1

1 2 3 3

1

1 1 1

( )

4 _o 4 _o

r r

E q q

r R R

 

  (23.15)

(b) 부도체 구 밖에 폐 곡면 S₂를 그리고 가우스 법칙을 적용하면

2

2 2 2 2 2

2

(4 )

4

A

o o

q q

E d a E r E

 r

 

    



이 결과는 (23.12)와 같다.

보기문제 23.8 Au¹⁹⁷₇₉ 의 원자핵 반경은 R

6.2 10

 ^15

m

이다. 구내에 양전하가 고르게 분포되어 있다면 내부와 외부에 따른 전기장의 크기를 구하라.

(풀이) 핵 속의 총 전하: q79e

원자핵 내부인 r에서의 전기장 E_r: ² ' ' ₂

(4 )

r r r 4

A

o o

q q

E d a E r E

 r

 

    



⁽¹⁾

r 내부의 총 전하 q

'

:

3 3

3 3

4 / 3

' ( ) 79 ( )

4 / 3

r r

q q e

R R



   (2)

(2)를 (1)에 대입:

3

( 79 )

r 4

o

E e r

 R



핵의 밖 r^{에서의 전기장} E_r^: (4 ²) ( ⁷⁹ ) ¹₂

r r r 4

A

o o

q e

E d a E r E

 r

 

    

