7.1 사각 장벽

7장 터널링 현상

7.1 사각 장벽

7.2 장벽 투과: 몇 가지 적용 장 방출

α 붕괴

암모니아 반전

블랙홀의 붕괴

7.1 사각 장벽

 사각 장벽이 존재할 때 입자에 대한 일반적인 정상 상태

0 0 I

( ) 0 II

0 III

x

U x U x L

x L

 

    

 



사각 장벽의 오른쪽



• : 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이는 파동(파수 k) – 입사파

• : 오른쪽에서 왼쪽으로 움직이는 파동(파수 – k) – 반사파

 장벽에 대한 반사계수 R

• 왼쪽에서 입사하는 입자가 장벽에서 반사될 확률

( ) ( )

( , )

I x t Ae ^ Be ^{ }

  

( )

i kx t

Ae ^

( )

i kx t

Be ^{ }

2 2

2 E k

 m

   

* * 2

ref

* * 2

inc

( ) ( )

I I

I I

B B B

R A A A

    

 

사각 장벽의 오른쪽



• : 장벽을 지나 오른쪽으로 진행는 파동(파수 k) – 투과파

• : 장벽을 향해 왼쪽으로 움직이는 파동(파수 – k)

• 물리적인 의미가 없으므로 G = 0

 장벽에 대한 투과계수 T

 합의 규칙

( ) ( )

( , )

III x t Fe ^ Ge ^{ }

  

( )

i kx t

Fe ^

( )

i kx t

Ge ^{ }

2 2

2 E k

 m

   

* * 2

trans

* * 2

inc

( )

( )

III III

I I

F F F

T A A A

    

 

  1

장벽의 내부

 0 ≤ x ≤ L (영역 II), E < U 인 경우

• 이 방정식의 해는 실수의 지수 형태인 가 된다

 장벽의 투과 깊이 δ = 1 / α

• 장벽 내부로의 거리 δ에서 파동함수는 장벽 끝에서의 값보다 1/e만큼 줄어든다

• 입자를 발견할 확률은 장벽 끝으로부터 약 δ의 범위 내에서만 측정가능한 정도이다.

2 2

2 2

2 ( )

( ) ( )

d m U E

x x

dx



 ^





2

2

2 (m U E)

  ^



( , ) ( )

II x t  x e^{ } Ce^{  } De^{  }

   

e^x

경계 조건

 경계 조건

• x = 0에서 연속

• x = L^{에서 연속}

(0, ) (0, )

I t II t

  

0 0

I II

x x

d d

dx _ dx _

  

( , ) ( , )

II L t III L t

  

II III

x L x L

d d

dx _ dx _

  

A  B C D

ikA ikB  C D

C  D F

C D ikF

 

  

투과 계수

 투과 계수 T

• 장벽 높이 U^{보다 낮은} E에 대해서만 성립한다

2 1

1 2

( ) 1 sinh

4 ( )

T E U L

E U E 

   

      ^{sinh 2}

x x

e e x

 



예제 7.3 투과공명



 B. C.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( , ) 0 ( , ) 0 ( , )

i kx t i kx t

I

i k x t i k x t

II

i kx t I

x t Ae Be x

x t Ce De x L

x t Ge x L

 

 



  

 

  



   

    

  

2

2

2 (m E U) k  



(0, ) (0, )

I t II t

  

0 0

I II

x x

d d

dx _ dx _

  

A  B C D

kA kB  k C  kD

( , ) ( , )

II L t III L t

   C  D F

II III

d  d k C  k D  kF

투과 공명 조건

 투과 계수 T

 투과 공명

• 일 때 발생

• 이 조건에서 T = 1 이므로

반사는 일어나지 않는다 (R = 0)

2 1

1

( ) 1 sin

4 ( )

T E U k L

E E U

    

          

k L  n ² 2 (m E U₂ ) ^{2 2} k  ^  n 

2 2 

2 , 1, 2,3,

E U n 2 n

m

    



예제 7.4 퍼텐셜 계단에 의한 산란



 경계 조건

 반사계수 R = 1

( ) ( )

)

( , ) 0

( , ) 0

i kx t i kx t

I

x i t II

x t Ae Be x

x t Ce x

 

 

  

 

   

  

2

2

k  2mE



(0, ) (0, )

I t II t

  

0 0

I II

x x

d d

dx _ dx _

  

A B C

kA kB  C

0 0

( ) 0

U x x

U x

 

  

2

2

2 (m U E)

  ^



frustrated 내부 전반사

 내부 전반사 프리즘

• 직각 프리즘에 입사한 빛은

소멸파(evanescent wave)가 멀리까지 투과될지라도 빗면에서 완전히 반사

 frustrated 내부 전반사

• 두 번째 프리즘을 첫 번째 프리즘 가까이 가져가면, 이 소멸파를 검출할 수 있어 원래의 빔이 투과와 반사를 하게 된다

• 빛의 빔은 틈 사이에 나타나지 않는다

• 예 - FTIR touch sensing

7.2 장벽 투과: 몇 가지 적용

 사각 장벽처럼 정확히 기술되는 퍼텐셜 장벽은 거의 없다

 장벽 U(x)의 모양을 정확히 아는 것

• 터널링 확률을 예측하는데 매우 중요하다

• 퍼텐셜 에너지 함수 U(x)로 표시되는 임의의 모양을 한 장벽의 투과 계수는 슈뢰딩거 방정식으로부터 구할 수 있다

 높고 넓은 퍼텐셜 장벽에 대한 투과 확률

2

2

( )

exp[ 2 ( )

T E





  _





장 방출

 장 방출 (field emission)

• 금속에 속박되어 있는 전자를 강한 자기장에 의해 방출시킨다

• 진공관회로에서 장 방출에 의해 전자를 방출시킨다

• 필라멘트에 의한 열전자 방출의 경우 노이즈가 많이 발생

 장 방출 현미경

 주사 터널링 현미경 (STM)

장 방출 터널링 모형

α 붕괴

 1928년 가모프, 거니, 콘돈에 의해 설명

• 한 종류의 원소에서 방출되는 모든 알파입자는 거의 같은 에너지를 갖는다. 알려진 모든 종류는 대략 4 MeV에서 9 MeV에 해당하는 좁은 영역의 운동에너지를 갖는다

• 알파 입자를 방출하는 원소의 종류에 따라 반감기는 다양하게 분포

암모니아 반전

 두 평형 위치에서 암모니아 분자의 질소 원자

• 이중진동자를 구성한다

• 10¹⁰ Hz의 플롭핑 진동수를 갖는다

• Ammonia Maser

블랙홀의 붕괴

 1974년 이전

• 사건의 지평선(event horizon) 내부에 있는 모든 물질은 어떠한 것도 블랙홀의 중력에 의한 인력을 이기고 밖으로 나올 수 없다

 1974년 호킹

• 블랙홀도 복사한다

• 어떠한 블랙홀도 붕괴해서 결국에는 사라지게 된다

• 블랙홀에서 방출되는 에너지의 많은 부분은 감마선의 형태로 존재

• 실제로 별과 별 사이에서 오는 감마선이 발견되었으나

이 감마선이 블랙홀에서 방출된 감마선이라고 보지는 않는다

• 현재까지는 우주에서 블랙홀 증발에 대한 결정적인 증거는 발견하지 못했다