Ⅱ 정수와 유리수

(1)

에베레스트산 정상의 기온을 나타내기 위해서는 새로운 수가 필요하다.

Ⅱ ^{정수와 유리수}

¹ 정수와 유리수의 뜻 2 정수와 유리수의 대소 관계 3 정수와 유리수의 덧셈 4 정수와 유리수의 뺄셈 5 정수와 유리수의 곱셈 6 정수와 유리수의 나눗셈

정수와 유리수의 대소 관계

033072중등수학류희찬교과서1-01(2).indd 33 2017-07-13 오전 10:49:02

(2)

1

다음 수 중에서 자연수를 모두 찾으시오.

자연수 초3~4

1, 3.14, 5, ;3!;, 12

2

다음 두 수의 크기를 비교하여 안에 >, =, <를 알맞게 써넣으시오.

두수의대소관계 초5~6

⑴ 13 31 ⑵ 0.1 0.09

⑶ ;2!; 0.5 ⑷ ;4#; ;5$;

3

^{다음을 계산하시오.}

분수의덧셈과뺄셈 초5~6

⑴ 2+;3$; ⑵ ;6%;+;2!;

⑶ 3-;5!; ⑷ ;2!;-;3!;

4

분수의곱셈과나눗셈

초5~6

⑴ ;6&;_;7^; ⑵ ;8%;_;1!5^;

⑶ ;3@;Ö;2#; ⑷ ;3&;Ö:Á9¢:

되짚어 보기

▶` 분수의 덧셈과 뺄셈은 분모 를 통분한 후 분자를 계산한 다.

▶` 분수의 곱셈은 분자는 분자 끼리, 분모는 분모끼리 계산 한다.

▶` 분수의 나눗셈은 나누는 수 의 분자와 분모를 바꾸어 곱 한다.

이전에 배운 내용의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

34

^{Ⅱ. 정수와 유리수}

(3)

단원을 시작하며

내 별은 몇 등급?

밤하늘의 별을 보며 그 아름다움에 빠져 본 적 있는가?

고대 그리스의 천문학자인 히파르코스(Hipparchos, B.C. 190?~B.C. 125?)는 맨눈으로 보이는 별들 중 가장 밝게 보이는 별을 1등급, 가장 어둡게 보이는 별을 6등급으로 정하여 별의 밝기를 구분 하였다.

이후 망원경의 발달로 맨눈으로 잘 보이지 않던 밝기가 7등급, 8등급인 별도 관측되고, 2.1등급, 5.5 등급처럼 소수로 밝기를 나타내야 하는 별도 관측되었다. 그리고 0.01등급보다 더 밝은 별들이 관 측되면서 새로운 수를 이용하여 이들의 등급을 매겨야 할 필요가 생겼다.

이처럼 별의 밝기를 나타내는 등급을 매기기 위해서는 다양한 수의 표현이 필요하다.

이단원에서는맨눈으로보이는별의밝기등급에서볼수있 는다양한수와그수들의사칙계산의원리를알아본다.

(천문우주지식정보, 2016년)

단원을 시작하며

35

033072중등수학류희찬교과서1-01(2).indd 35 2017-04-26 오후 3:08:48

(4)

탐구 학습

양수와 음수는 무엇인가요?

열기 오른쪽 지도는 3월 어느 날 여러 지역의 날씨를 나타낸 것이다. _-4/5^대전 는 대전의 최저 기온이 영하 4`¾이고, 최고 기온이 영상 5`¾임을 의미할 때, ^인천_-2/3 은 무엇 을 의미하는지 말하여 보자.

동해 -2/3인천 서울

-3/2 속초-1/6

부산0/7 대구1/6 -4/5대전

광주0/6

제주4/8

울릉도/독도 2/5

다지기 _-2/3^인천 은 인천의 최저 기온이 영하 `¾이고, 최고 기온이 영상 `¾임을 의미한다.

키우기 서로 반대되는 성질을 가지는 수량을 어떻게 나타내면 좋을까?

기온을 나타낼 때에는 0`¾를 기준으로 영상 4`¾는 +4`¾로 나타내고, 영하 7`¾는 -7`¾와 같이 나타 낸다.

일상생활에서 기온뿐 아니라 증가와 감소, 이익과 손해 등과 같이 서로 반대되 는 성질을 가지는 수량을 부호 ‘+’와 ‘-’를 사용하여 나타낼 수 있다. 여기서 사 용한 기호 ‘+’를 양의부호, ‘-’를 음의부호라 하고, +4를 ‘양의 4’, -7을 ‘음의 7’이라고 읽는다.

이때 +3, +0.5 등과 같이 0이 아닌 수에 양의 부호 +를 붙인 수를 양수라 하 고, -2, -;3%; 등과 같이 음의 부호 -를 붙인 수를 음수라고 한다.

부호 +, -는 각각 덧셈, 뺄셈의 기호와 모양은 같지 만 그 뜻은 다르다.

0은 양수도 아니고 음수도 아니다.

|참고|

영상 4`¾ ⇨ +4`¾ 영하 7`¾ ⇨ -7`¾

정수와 유리수의 뜻

양수와 음수, 정수와 유리수의 개념을 이해한다.

골프 경기에서 한 라운드를 도는 데 기준 타수보다 3타 많이 치면 '3오버파', 2타 적게 치면 '2언더파'라고 한다.

2언더파를 목표로!

양수와 음수

36

(5)

다음 수 중에서 양의 정수와 음의 정수를 각각 찾으시오.

문제

2

개념확인

+5, -1, 5.2, -4, 0, 7, ;4#;, +2

학교를 기준으로 동쪽으로 1`km 이동하는 것을 +1`km로 나타낼 때, 서쪽으로 2`km

이동하는 것은 -2`km로 나타낼 수 있어.

다음 수량을 양의 부호 + 또는 음의 부호 -를 사용하여 나타내시오.

⑴ 해발 150`m를 +150`m로 나타낼 때, 해저 60`m

⑵ 3000원의 손해를 -3000원으로 나타낼 때, 5000원의 이익 문제

1

자연수 1, 2, 3, y에 양의 부호 +를 붙인 수 +1, +2, +3, y을 양의정수라 하고, 음의 부호 -를 붙인 수 -1, -2, -3, y을 음의정수라고 한다. 그리고 양의 정수, 0, 음의 정수를 통틀어 정수라고 한다.

이때 양의 정수 +1, +2, +3, y은 양의 부호 +를 생략하여 1, 2, 3, y과 같 이 나타낼 수 있다. 즉, 양의 정수는 자연수와 같다.

정수

정수와 유리수는 무엇인가요?

개념확인

0은 양의 정수도 아니고, 음의 정수도 아니야.

1. 정수와 유리수의 뜻

37

(6)

분자와 분모가 자연수인 분수에 양의 부호 +를 붙인 +;5!;, +;4&;, +;2%;와 같은 수를 양의유리수라 하고, 음의 부호 -를 붙인 -;5!;, -;4&;, -;2%;와 같은 수를 음의

유리수라고 한다. 그리고 양의 유리수, 0, 음의 유리수를 통틀어 유리수라고 한다.

한편, 정수는 +4=+;2*;, -2=-;3^;과 같이 나타낼 수 있으므로 모든 정수 는 유리수이다. 그러나 유리수 중에는 -;5!;, +2.5와 같이 정수가 아닌 유리수도 있다.

유리수는 다음과 같이 분류할 수 있다.

정수

à

양의 정수(자연수): +1, +2, +3, y 0

음의 정수: -1, -2, -3, y 유리수

à

정수가 아닌 유리수: -;4#;, -0.6, +;2%;, +3.2, …

앞으로 수라고 하면 특별한 언급이 없는 한 유리수를 말하는 것으로 한다.

|참고|

다음 수를 보고, 물음에 답하시오.

문제

3

;3@;, 5, +2.1, 0, -8, 12, -3.7, -;2^;

양의 유리수도 양의 정수와 같이 양의 부호 +를 생략 하여 나타내기도 한다.

유리수

⑴ 양의 유리수를 모두 찾으시오.

⑵ 음의 유리수를 모두 찾으시오.

⑶ 정수가 아닌 유리수를 모두 찾으시오.

개념확인

;4*;=2이니까 정수야.

38

(7)

개념확인

직선 위에 기준이 되는 점 O를 잡아 그 점에 정수 0을 대응시키고, 점 O의 좌우 에 일정한 간격으로 점을 잡아 오른쪽에 양의 정수를, 왼쪽에 음의 정수를 차례로 대응시킬 수 있다. 이처럼 수를 대응시켜서 만든 직선을 수직선이라고 한다. 이때 기준이 되는 점 O를 원점이라고 한다.

정수와 마찬가지로 유리수도 수직선 위에 나타낼 수 있다. 예를 들어 -;3!;, +2.5를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

-2 -1

-3 1 0 +1 +2 +2.5 +3

--3

다음 수를 수직선 위에 나타내시오.

⑴ -3 ⑵ -;4%; ⑶ 0.5 ⑷ +7 문제

4

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

수직선에서도 양의 정수와 같이 양의 부호 +를 생략 하여 나타내기도 한다.

다음은 수에 대한 설명으로 틀린 것이다. 옳은 문장이 되도록 밑줄 친 부분을 고치고, 고친 문장을 모둠별로 비교하여 보자.

의사소통

수직선 위에 수를 어떻게 나타낼까요?

O

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

수직선

⑴ -3은 자연수이다. ⑵ 0은 양의 정수이다. ⑶ -;5!;은 음의 정수이다.

1. 정수와 유리수의 뜻

39

(8)

1

다음 수량을 양의 부호 + 또는 음의 부호 -를 사용하 여 나타내시오.

⑴ 몸무게 2`kg 증가를 +2`kg으로 나타낼 때, 몸 무게 1`kg 감소

⑵ 열차 출발 20분 전을 -20분으로 나타낼 때, 열 차 출발 15분 후

⑶ 지상 100`m를 +100`m로 나타낼 때, 지하 130`m

4

다음은 네 명의 학생이 수직선 위의 점 A, B, C, D, E에 대응하는 수에 대하여 말한 것이다. 바르게 말한 학생을 찾으시오.

3

수직선을 이용하여 -;3&;과 4 사이에 있는 정수는 모두 몇 개인지 구하시오.

2

다음 수를 보고, 물음에 답하시오.

;2#;, -0.6, 0, 2.4, -;2*;, +1, -7

⑴ 양의 정수를 모두 찾으시오.

⑵ 음의 정수를 모두 찾으시오.

⑶ 정수가 아닌 양의 유리수를 모두 찾으시오.

⑷ 음수를 모두 찾으시오.

-3 -2 -1 0

A B C D E

+2

+1 +3

정답및풀이283쪽

스스로 확인하기

민호

혜림

성준

민정 자연수는 3개야.

음수는 2개야.

점 B에 대응하는 수는 -;2!;이야.

점 E에 대응하는 수는 +;2#;이야.

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

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5

^창의^•^융합

맨눈으로 본 별의 밝기 등급을 겉보기 등급이라고 한다.

다음 별의 겉보기 등급을 수직선 위에 나타내시오.

별 프로키온 북극성 카노푸스 시리우스

겉보기 등급 0.4 2 -0.7 -1.5

+2 +1

-2 -1 0

(이태형, “쉽게 찾는 우리 별자리”)

40

(9)

탐구 학습

절댓값은 무엇인가요?

다지기 카드에 적힌 수를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. 이때 원점으로부터 같은 거리에 있 는 점에 대응하는 두 수는 와(과) 이다.

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 거리 3 원점 거리 3

수직선 위에서 원점으로부터 어떤 수를 나타내는 점까지의 거리를 그 수의 절댓값 이라 하고, 이것을 기호 | |을 사용하여 나타낸다. 예를 들어 +3의 절댓값은

|+3|=3이고, -3의 절댓값은 |-3|=3이다.

특히, 0의 절댓값은 |0|=0이다.

다음 수의 절댓값을 기호를 사용하여 나타내고, 그 값을 구하시오.

⑴ +4 ⑵ -6 ⑶ +;7(; ⑷ -1.4 문제

1

열기 오른쪽 카드에 적힌 수를 수직선 위에 나타내 었을 때, 원점으로부터 같은 거리에 있는 점 에 대응하는 두 수를 말하여 보자.

키우기 수직선 위에서 원점으로부터 어떤 수를 나타내는 점까지의 거리는 어떻게 표현할까?

+3 -5 +2 -3

개념확인 절댓값

정수와 유리수의 대소 관계

정수와 유리수의 대소 관계를 판단할 수 있다.

놀이공원에서는 이용자들의 안전을 지키기 위해 놀이 기구를 탈 때 키나 몸무게에 제한을 둔다. 이러한 제한은 수의 대소 관계로 나타낼 수 있다.

2. 정수와 유리수의 대소 관계

41

(10)

자연수를 수직선 위에 나타내면 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수보다 크다.

마찬가지로 유리수를 수직선 위에 나타내면 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수 보다 크다. 따라서 양수는 음수보다 크다.

또, 양수끼리는 원점에서 멀리 떨어져 있는 수가 더 크고, 음수끼리는 원점에서 멀리 떨어져 있는 수가 더 작다. 즉, 양수는 절댓값이 클수록 크고 음수는 절댓값 이 클수록 작다.

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

커진다.

작아진다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 안에 부등호 >, < 중에서 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ +3 +5 ⑵ -2 0

⑶ -2.5 ;4!; ⑷ -;4#; -;5^;

문제

2

개념확인

수의 크기는 어떻게 비교하나요?

수의 대소 관계

➊ 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다.

➋ 양수는 음수보다 크다.

➌ 양수끼리는 절댓값이 큰 수가 크다.

➍ 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다.

(음수)<0 0<(양수) (음수)<(양수)

수의 대소 관계

42

(11)

‘a는 5보다 작거나 같다.’ 또는 ‘a는 5 이하이다.’를 기호로 aÉ5

와 같이 나타내며, ‘a는 2보다 크거나 같다.’ 또는 ‘a는 2 이상이다.’를 기호로 a¾2

와 같이 나타낸다.

세 수의 대소 관계도 부등호를 사용하여 나타낼 수 있다. 예를 들어 ‘a는 -1보 다 크거나 같고 4보다 작다.’를 기호로

-1Éa<4 와 같이 나타낸다.

다음을 부등호를 사용하여 나타내시오.

⑴ a는 -5보다 크거나 같다.

⑵ b는 6보다 작거나 같다.

⑶ x는 -1 이상 7 미만이다.

⑷ y는 -4 초과 ;3!; 이하이다.

문제

3

다음 세 학생의 대화를 읽고, 두 정수 ☐ , ◯의 값을 구한 후 그 과정을 설명하여 보자.

추론 이상 : 크거나 같다.

이하 : 작거나 같다.

초과 : 크다.

미만 : 작다.

개념확인

¾ ⇨ > 또는 = É ⇨ < 또는 =

부등호를 사용하여 수의 범위를 어떻게 나타내나요?

기호로 나타내니까 간단하네.

☐ 은(는) ◯보다 작아.

◯ 의 절댓값은 ☐ 의 절댓값보다 작아.

☐ 의 절댓값은 1이야.

수의 범위를 부등호로 나타내기

2. 정수와 유리수의 대소 관계

43

(12)

1

다음을 구하시오.

⑴ -9의 절댓값 ⑵ +7의 절댓값

⑶ |+;5(;| ⑷ |-3.4|

2

절댓값이 다음과 같은 수를 모두 구하시오.

⑴ 6 ⑵ 3.5

4

다음 안에 부등호 >, < 중에서 알맞은 것을 써넣 으시오.

⑴ 0 -3 ⑵ -;4#; -;3@;

⑶ 2.4 -3.2 ⑷ |-6.4| |+5|

5

다음을 부등호를 사용하여 나타내시오.

⑴ a는 -4보다 크거나 같고 3보다 작다.

⑵ b는 -;2&; 초과이고 2 이하이다.

3

다음 수를 작은 것부터 차례로 나열하시오.

;4%;, +1.5, 0, -2, -:Á3¼:

스스로 확인하기

6

^창의^•^융합

영수는 우리나라의 독립을 위해 노력한 인물들의 업적을 전시하는 기념관에 가려고 한다. 다음 그림과 같은 갈림 길에서 큰 수가 있는 길로 간다면 어떤 인물의 기념관에 도착하는지 말하시오.

영수

0 50 100

44

(13)

탐구 학습

정수와 유리수의 덧셈은 어떻게 하나요?

열기 모형 자동차가 기준점 O에서 오른쪽으로 5`m 갔다 가 후진하여 왼쪽으로 2`m 간 후에 멈추었을 때, 그 지점의 위치를 말하여 보자.

다지기 기준점 O에서 오른쪽으로 5 m 갔다가 후진하여 왼 쪽으로 2 m 간 후에 멈춘 지점의 위치는 기준점에 서 오른쪽으로 m 간 곳이다.

O

(m) (m)

왼쪽 오른쪽

O 3 m

2 m 5 m

탐구 학습에서 모형 자동차가 기준점에서 오른 쪽으로 가는 것을 양의 부호 +로, 왼쪽으로 가는 것을 음의 부호 -로 나타내면 멈춘 지점의 위치 는

(+5)+(-2)=+3 이라고 할 수 있다.

다음과 같이 오른쪽으로 가는 것을 양수, 왼쪽으로 가는 것을 음수로 나타내어 수직선을 이용한 정수의 덧셈 방법을 알아보자.

➊(양의 정수)+(양의 정수)

0 +5

+3

+4 +3 +5 +2

+2

+1 오른쪽으로 3만큼 출발

가고

오른쪽으로 2만큼 가면

오른쪽으로 5만큼 간 위치

(+3) + (+2) = +5

0 +5

+5

+4 +3 +3

+2

-2

+1 출발

키우기 모형 자동차가 멈춘 지점의 위치를 정수의 덧셈을 이용하여 나타낼 수 있을까?

정수와 유리수의 덧셈

정수와 유리수의 덧셈 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

정수의 덧셈을 이용하여 2명의 학생이 전학을 가고 3명의 학생이 전학을 오면 1명이 늘어난다는 것을 설명할 수 있다.

3. 정수와 유리수의 덧셈

45

(14)

➋(음의 정수)+(음의 정수)

➌(양의 정수)+(음의 정수)

➍(음의 정수)+(양의 정수)

수직선을 이용한 정수의 덧셈은 다음과 같이 두 수의 절댓값을 이용하여 계산한 결과와 같다.

(+3)+(+2)=+5=+(3+2) (-3)+(-2)=-5=-(3+2)

(+3)+(-2)=+1=+(3-2) (-3)+(+2)=-1=-(3-2) (+3)+(+2)=+5=+

(-3)+(-2)=-5=-

(+3)+(-2)=+1=+

(-3)+(+2)=-1=-

-3

-2 출발

-5 -2 -1 0

-5 -3 -4 왼쪽으로 3만큼

가고

왼쪽으로 2만큼 가면

왼쪽으로 5만큼 간 위치

(-3) + (-2) = -5

+1

+5 +4 +3 +1 +2 0

+3 -2 오른쪽으로 3만큼 출발

가고

왼쪽으로 2만큼 가면

오른쪽으로 1만큼 간 위치

(+3) + (-2) = +1

-3

-1 +2

-5 -4 -3 -2 -1 0 왼쪽으로 3만큼 출발

가고

오른쪽으로 2만큼 가면

왼쪽으로 1만큼 간 위치

(-3) + (+2) = -1

차는 큰 수에서 작은 수를 뺀 값이다.

정수와 유리수의 덧셈

➊ 부호가 같은 두 수의 합은 두 수의 절댓값의 합에 공통인 부호를 붙인 것과 같다.

➋ 부호가 다른 두 수의 합은 두 수의 절댓값의 차에 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인 것과 같다.

어떤 수와 0의 합은 그 수 자신이다.

일반적으로 유리수의 덧셈도 정수의 덧셈과 같은 방법으로 한다.

46

(15)

다음을 계산하시오.

⑴ (+3)+(-3) ⑵ (-2)+(-5)

⑶ (+1.5)+(-2.3) ⑷ {-;3@;}+{+;4#;}

예제

1

| 정수와 유리수의 덧셈하기

⑴ (+3)+(-3)=+(3-3)=0

⑵ (-2)+(-5)=-(2+5)=-7

⑶ (+1.5)+(-2.3)=-(2.3-1.5)=-0.8

⑷ {-;3@;}+{+;4#;}={-;1¥2;}+{+;1»2;}=+{;1»2;-;1¥2;}=+;1Á2;

풀이

⑴ (+4)+(+7) ⑵ (-11)+(+9)

⑶ (-6.5)+(-5.2) ⑷ {+;2&;}+{-;5$;}

문제

1

⑴ {-;5@;}+(+1.25) ⑵ (+0.55)+{+;1¦0;}

문제

2

 ⑴ 0 ⑵ -7 ⑶ -0.8 ⑷ +;1Á2;

일반적으로 소수와 분수의 덧셈은 소수를 분수로 고치거나 분수를 소수로 고쳐 서 계산한다.

⑴ (+0.25)+{-;4#;} ⑵ {-;2&;}+(-2.5) 예제

2

| 소수와 분수의 덧셈하기

⑴ (+0.25)+{-;4#;}={+;4!;}+{-;4#;}=-{;4#;-;4!;}=-;4@;=-;2!;

⑵ {-;2&;}+(-2.5)=(-3.5)+(-2.5)=-(3.5+2.5)=-6 풀이

 ⑴ -;2!; ⑵ -6 소수와 분수의 덧셈

절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 합은 0이다.

47

(16)

두 수의 덧셈에서

(-2)+(+7)=+5, (+7)+(-2)=+5 와 같이 두 수의 순서를 바꾸어 더하여도 그 결과는 같다.

이것을 덧셈의 교환법칙이라고 한다.

또, 세 수의 덧셈에서

{(-4)+(+3)}+(+5)=(-1)+(+5)=+4, (-4)+{(+3)+(+5)}=(-4)+(+8)=+4

와 같이 앞의 두 수 또는 뒤의 두 수를 먼저 더한 후에 나머지 수를 더하여도 그 결과는 같다.

이것을 덧셈의 결합법칙이라고 한다.

탐구 학습

덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 무엇인가요?

열기 다음은 고사성어 ‘조삼모사(朝三暮四)’의 유래이다. 첫 번째와 두 번째 장면에 나오는 상 황을 각각 덧셈식으로 나타내고, 그 결과를 비교하여 보자.

다지기 첫 번째 장면은 (+3)+(+4)= , 두 번째 장면은 (+4)+(+3)= (으)로 그 결과는 같다.

키우기 두 수의 덧셈에서 두 수의 순서를 바꾸어 더하여도 그 결과는 같을까?

먹이가 부족하니 앞으로 도토리를 아침에 3개, 저녁에 4개를 주겠다.

그럼 아침에 4개, 저녁에 3개를 주면

어떠냐?

세 수의 덧셈에서는 결합법 칙이 성립하므로 (a+b)+c, a+(b+c) 를 모두 a+b+c와 같이 나타낼 수 있다.

덧셈의 계산 법칙 세 수 a, b, c에 대하여

➊ 교환법칙 a+b=b+a

➋ 결합법칙 (a+b)+c=a+(b+c) 덧셈의 교환법칙과

결합법칙

(두산백과, 2016년)

48

(17)

세 수 이상의 덧셈에서는 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 더하는 순서 를 바꾸어 계산하면 편리한 경우가 있다.

⑴ (-13)+(-5)+(+13) ⑵ (-81)+(+7)+(-19)

⑶ (-1.5)+{-:Á7£:}+(+3.5) ⑷ {-;4%;}+{+;5(;}+{-;4&;}+{+:Á5Á:}

문제

3

| 덧셈의 계산 법칙 이용하기

{-;3!;}+(+4)+{-;3%;}를 계산하시오.

예제

3

+2 {-;3!;}+(+4)+{-;3%;}

={-;3!;}+{-;3%;}+(+4)

=[{-;3!;}+{-;3%;}]+(+4)

=(-2)+(+4)=+2 풀이

덧셈의 교환법칙

덧셈의 결합법칙

1+2+3+`y`+98+99+100

=1+100+2+99+3+98+`y`+50+51

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+`y`+(50+51)

=101+101+101+`y`+101

=101_50=5050

덧셈의 교환법칙 덧셈의 결합법칙

50개

위대한 수학자 가우스

역

사상 위대한 수학자 중 한 사람인 가우스(Gauss, K. F., 1777~1855)는 열 살 때 창의 적인 덧셈법으로 선생님을 깜짝 놀라게 했다. 그는 선생님이 내주신 ‘1부터 100까지의 자연 수의 합을 구하시오.’라는 문제를 다음과 같이 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 순식 간에 풀었다고 한다.

數

수 ^군 수 ^군

(계영희 외, “행복한 교과서, 수학자를 만나다”)

( | | { | | 9

49

(18)

1

4

덧셈의 계산 법칙을 이용하여 다음을 계산하시오.

⑴ (+7)+(-15)+(-7)

⑵ {-;3!;}+(+12.25)+{-;3@;}+(+3.75)

5

-2보다 +8만큼 큰 수와 절댓값이 5인 음수의 합을 구 하시오.

⑴ (+5)+(+2) ⑵ (-1.4)+(-0.8)

⑶ {-;5#;}+{+;3@;} ⑷ {+;6!;}+(-3.75)

정답 및 풀이 284쪽

스스로 확인하기

2

다음 계산 과정 ㉠, ㉡에서 이용한 덧셈의 계산 법칙을 각 각 말하시오.

{-;5#;}+(+4)+{-;5&;}

={-;5#;}+{-;5&;}+(+4)

=[{-;5#;}+{-;5&;}]+(+4)

=(-2)+(+4)

=+2

㉠

㉡

6

^{발전 문제}

다음 두 조건을 모두 만족하는 정수를 구하시오.

㈎ 4와의 합이 0보다 큰 정수

㈏ 2와의 합이 0보다 작은 정수

3

{+;6!;}+{-;6@;}+{+;6#;}+{-;6$;}

+`y`+{+;6(;}+{-:Á6¼:}

0 50 100

50

(19)

자연수에서 성립하는 덧셈과 뺄셈의 관계가 정수에서도 성립한다. 이를 이용하 여 다음과 같이 정수의 뺄셈을 할 수 있다.

➊(정수)-(양의 정수)

(-4)+(+7)=+3이면 (+3)-(+7)=-4이다.

그런데 (+3)+(-7)=-4이므로 다음을 알 수 있다.

(+3)-(+7)=(+3)+(-7)

➋(정수)-(음의 정수)

(+6)+(-4)=+2이면 (+2)-(-4)=+6이다.

그런데 (+2)+(+4)=+6이므로 다음을 알 수 있다.

(+2)-(-4)=(+2)+(+4)

따라서 정수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고쳐서 계산한다.

탐구 학습

정수와 유리수의 뺄셈은 어떻게 하나요?

열기 자연수에서 성립하는 덧셈과 뺄셈의 관계를 이용하여 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

다지기 자연수에서 성립하는 덧셈과 뺄셈의 관계를 이용하면 안에 알맞은 수는 이다.

키우기 정수의 덧셈을 이용하여 정수의 뺄셈은 어떻게 할까?

4+3=7 4+

7-3=4 7-

(-4)+(+7)=+3 (-4)+

(+3)-(+7)=

(+3)-

(+3)-(+7)

=(+3)+(-7)

(+2)-(-4)

=(+2)+(+4) 정수와 유리수의 뺄셈

하나도 안 추워!

정수와 유리수의 뺄셈

정수와 유리수의 뺄셈 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

기온이 영상 1`℃에서 7`℃ 내려가면 영하 6`℃가 되는 것처럼 실생활에서 정수의 뺄셈이 필요한 경우가 있다.

4. 정수와 유리수의 뺄셈

51

(20)

일반적으로 유리수의 뺄셈도 정수의 뺄셈과 같은 방법으로 한다.

⑴ (+5)-(+6) ⑵ (-4)-(-1)

⑶ (-2.1)-(+9.5) ⑷ {+;5*;}-{-;2!;}

문제

1

⑴ {-;5&;}-(+5.4) ⑵ (+0.25)-{-;6%;}

문제

2

⑴ (+0.2)-{+;1»0;} ⑵ {-;3!;}-(-1.5) 예제

2

| 소수와 분수의 뺄셈하기

⑴ (+0.2)-{+;1»0;}=(+0.2)+{-;1»0;}=(+0.2)+(-0.9)

=-(0.9-0.2)=-0.7

⑵ {-;3!;}-(-1.5)={-;3!;}+(+1.5)={-;6@;}+{+;6(;}

=+{;6(;-;6@;}=+;6&;

풀이

 ⑴ -0.7 ⑵ +;6&;

정수와 유리수의 뺄셈

두 수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고쳐서 계산한다.

⑴ (+1)-(+5) ⑵ {-;2#;}-{-;3@;}

예제

1

| 정수와 유리수의 뺄셈하기

⑴ (+1)-(+5)=(+1)+(-5)=-(5-1)=-4

⑵ {-;2#;}-{-;3@;}={-;2#;}+{+;3@;}={-;6(;}+{+;6$;}

=-{;6(;-;6$;}=-;6%;

풀이

 ⑴ -4 ⑵ -;6%;

어떤 수에서 0을 뺀 것은 그 수 자신이다.

52

(21)

다음 서준이와 민아의 계산 과정에서 틀린 부분을 찾아 바르게 계산하여 보자.

오류찾기

⑴ (+7)-(+1)+(+3) ⑵ {+;3!;}-{+;2#;}+{-;3%;}-{-;2!;}

⑶ 4-12+36 ⑷ -;2%;+2.5+;5!;-;2!;

문제

3

덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식은 뺄셈을 덧셈으로 고쳐서 계산한다. 이때 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하면 편리한 경우가 있다. 또한, 수의 덧셈과 뺄셈에 서 양수는 양의 부호와 괄호를 생략하여 나타낼 수 있고, 음수는 식의 맨 앞에 나 올 때 괄호를 생략하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(-5)+(+8)-(+3)=-5+8-3

(+1)-(+3)

=(+3)-(+1)

=+2

(-3)-(+2)-(+4)

=(-3)-{(+2)-(+4)}

=(-3)-(-2)=-1 다음을 계산하시오.

⑴ (+2)+(-5)-(-6) ⑵ 3.2-4+6.8 예제

3

| 덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식 계산하기

⑴ (+2)+(-5)-(-6) =(+2)+(-5)+(+6)

={(+2)+(+6)}+(-5)

=(+8)+(-5)=+3

⑵ 3.2-4+6.8 =(+3.2)-(+4)+(+6.8)

=(+3.2)+(-4)+(+6.8)

={(+3.2)+(+6.8)}+(-4)

=(+10)+(-4)=+6 풀이

 ⑴ +3 ⑵ +6

서준 민아

덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식은 어떻게 계산하나요?

덧셈과 뺄셈이 섞여 있는 식의 계산

4. 정수와 유리수의 뺄셈

53

(22)

1

⑴ (+8)-(+5) ⑵ (-1.6)-(+7.4)

⑶ {+;3$;}-{-;3!;} ⑷ (-0.6)-{-;5@;}

2

⑴ (-3)+(-11)-(+5)

⑵ {-;2%;}-(+1.5)+(-0.8)-{-;5#;}

⑶ 4-6+7-9

⑷ ;2#;-1-;4&;+;8%;

3

다음 수를 구하시오.

⑴ -3보다 5만큼 작은 수

⑵ -6보다 -;3$;만큼 작은 수

4

-4, ;2!;, 0, ;3&;, -2.5 중에서 절댓값이 가장 큰 수와 절 댓값이 가장 작은 수의 차를 구하시오.

5

다음은 3월 어느 날 3개 도시의 기온을 나타낸 것이다.

하루 중 최고 기온에서 최저 기온을 뺀 값이 가장 큰 도 시를 말하시오.

스스로 확인하기

6

^{발전 문제}

다음 그림은 왼쪽에 있는 수와 오른쪽에 있는 수의 합이 가운데 수가 되도록 계속해서 수를 적어 나간 것이다.

예를 들어 두 번째의 수 -;2%; 는 첫 번째의 수 -;2!;과 세 번째의 수 -2의 합이다. 이때 30번째에 나오는 수를 구하시오.

12

-- 5

--2 -2 1

+-2 5

+-2 +2 ...

0 50 100

54

(23)

+ 도장 1개는 +1, 2개는 +2, 3개는 +3, …을 나타내고, - 도장 1개는 -1, 2개는 -2, 3개 는 -3, …을 나타낸다고 할 때, 다음 규칙에 따라 정수의 덧셈과 뺄셈을 하여 보자.

수행 과제 의사소통

위와 같은 방법으로 다음을 계산하고, 계산 과정을 친구들에게 설명하여 보자.

⑴ (+5)+(-2) ⑵ (-1)+(-6)

⑶ (+1)-(-3) ⑷ (-2)-(+4)

규칙

+ 도장과 - 도장이 각각 같은 개수만큼 있으면 0을 나타낸다.

0 0

그림 도장을 이용한 정수의 덧셈과 뺄셈

그림 도장을 이용하여 (+3)-(-2)를 계산하여 보자.

예시 2

그림 도장을 이용하여 (-2)+(+3)을 계산하여 보자.

예시 1

+ 도장 3개에서 - 도장 2개를 뺄 수 없으므로

+ , - 도장 2쌍을 추가한 후 - 도장을 빼야 해!

+

생각 생각 활동

55

(24)

탐구 학습

정수와 유리수의 곱셈은 어떻게 하나요?

열기 다음은 3에 정수를 곱할 때와 정수에 3을 곱할 때의 변화를 살펴보는 과정이다. 규칙을 찾 아보고, ☐ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

➊ ➋

3_ 2 = 6 3_ 1 = 3 3_ 0 = 0 3_(-1)=

3_(-2)=

2 _3= 6 1 _3= 3 0 _3= 0 (-1)_3=

(-2)_3=

오트레드

정수와 유리수의 곱셈

정수와 유리수의 곱셈 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

곱셈 기호 ×는 영국의 수학자 오트레드(Oughtred, W., 1574~1660)가 쓴 책

"수학의 열쇠"에서 처음으로 사용되었다.

내가 곱셈 기호 를 만들었어!

탐구 학습에서 (+3)_(+2)=+6=+(3_2)이므로 (양의 정수)_(양의 정수)=+(두 정수의 절댓값의 곱) 임을 알 수 있다. 마찬가지로 (+3)_(-2)=-6=-(3_2)이고, (-2)_(+3)=-6=-(2_3)이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.

(양의 정수)_(음의 정수)=-(두 정수의 절댓값의 곱) (음의 정수)_(양의 정수)=-(두 정수의 절댓값의 곱) 정수와 유리수의 곱셈

키우기 (양의 정수)_(음의 정수)와 (음의 정수)_(양의 정수)의 계산은 어떻게 할까?

다지기 ➊ 3에 정수를 곱할 때, 곱하는 수가 1씩 작아지면 두 수의 곱은 3씩 작아진다.

➋ 정수에 3을 곱할 때, 곱해지는 수가 1씩 작아지면 두 수의 곱은 3씩 작아진다.

1씩 작아짐 3씩 작아짐

3_ 2 = 6 3_ 1 = 3 3_ 0 = 0 3_(-1) = 3_(-2) =

1씩 작아짐 3씩 작아짐

2 _3= 6 1 _3= 3 0 _3= 0 (-1)_3=

(-2)_3=

(박교식, “수학기호 다시보기”)

56

(25)

또, 오른쪽과 같이 -3에 정수를 곱할 때의 변화를 살펴보면 (-3)_(-2)=+6=+(3_2)이므로

(음의 정수)_(음의 정수)

=+(두 정수의 절댓값의 곱) 임을 알 수 있다.

한편, 정수와 0의 곱은 항상 0임을 알 수 있다.

일반적으로 유리수의 곱셈도 정수의 곱셈과 같은 방법으로 한다.

⑴ (+2)_(+5) ⑵ (-7)_(+8)

⑶ (+3.5)_(-0.6) ⑷ {-;3&;}_{-;4(;}

문제

1

⑴ (+7)_(+2) ⑵ (+4)_(-6)

⑶ (-1.5)_(+0.3) ⑷ {-;3@;}_{-;8(;}

예제

1

| 정수와 유리수의 곱셈하기

⑴ (+7)_(+2)=+(7_2)=+14

⑵ (+4)_(-6)=-(4_6)=-24

⑶ (-1.5)_(+0.3)=-(1.5_0.3)=-0.45

⑷ {-;3@;}_{-;8(;}=+{;3@;_;8(;}=+;4#;

풀이

 ⑴ +14 ⑵ -24 ⑶ -0.45 ⑷ +;4#;

정수와 유리수의 곱셈

➊ 부호가 같은 두 수의 곱은 두 수의 절댓값의 곱에 양의 부호 +를 붙인 것과 같다.

➋ 부호가 다른 두 수의 곱은 두 수의 절댓값의 곱에 음의 부호 -를 붙인 것과 같다.

➌ 어떠한 수든 0을 곱하면 항상 0이다.

1씩 작아짐 3씩 커짐

(-3)_ 2 = -6 (-3)_ 1 = -3 (-3)_ 0 = 0 (-3)_(-1)= 3 (-3)_(-2)= 6

5. 정수와 유리수의 곱셈

57

(26)

두 수의 곱셈에서

(+2)_(-3)=-6, (-3)_(+2)=-6 과 같이 두 수의 순서를 바꾸어 곱하여도 그 결과는 같다.

이것을 곱셈의 교환법칙이라고 한다.

또, 세 수의 곱셈에서

{(-3)_(+4)}_(-5)=(-12)_(-5)=+60, (-3)_{(+4)_(-5)}=(-3)_(-20)=+60

과 같이 앞의 두 수 또는 뒤의 두 수를 먼저 곱한 후에 나머지 수를 곱하여도 그 결과는 같다.

이것을 곱셈의 결합법칙이라고 한다.

세 수 이상의 곱셈에서는 곱셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 곱하는 순서 를 바꾸어 계산하면 편리한 경우가 있다.

⑴ (-2)_(+9)_(-0.5) ⑵ {-;5#;}_(-8)_{-;6%;}

문제

2

곱셈의 교환법칙과 결합법칙

(+4)_(-17)_(+5)를 계산하시오.

예제

2

| 곱셈의 계산 법칙 이용하기

(+4)_(-17)_(+5)

=(+4)_(+5)_(-17)

={(+4)_(+5)}_(-17)

=(+20)_(-17)=-340 풀이

 -340

곱셈의 교환법칙 곱셈의 결합법칙

곱셈의 교환법칙과 결합법칙은 무엇인가요?

곱셈의 계산 법칙 세 수 a, b, c 에 대하여

➊ 교환법칙 a_b=b_a

➋ 결합법칙 (a_b)_c=a_(b_c)

세 수의 곱셈에서는 결합법 칙이 성립하므로 (a_b)_c, a_(b_c) 를 모두 a_b_c와 같이 나타낼 수 있다.

58

(27)

다음을 계산하고, 색칠한 수를 다른 수로 바꾸어 새로운 식을 만드시오. 또, 새로 만든 식 과 계산 과정을 모둠별로 발표하시오.

(+2)Û`_(-3)Û`_{-;6!;}

문제

4

⑴ (-6)_(-2)_(+5)_(-7) ⑵ (-4)_{-;5!;}_{-;2(;}_(-5) 문제

3

자연수에서와 마찬가지로 유리수에서도 같은 수를 곱 할 때 거듭제곱을 써서 나 타낼 수 있다.

여러 개의 수의 곱셈

 ⑴ +120 ⑵ -48 다음을 계산하시오.

⑴ (+2)_(-3)_(+4)_(-5) ⑵ (-1)Ü`_(-2)Ý`_(+3) 예제

3

| 여러 개의 수의 곱셈하기

⑴ (+2)_(-3)_(+4)_(-5) =+(2_3_4_5)

=+120

⑵ (-1)Ü`_(-2)Ý`_(+3) =(-1)_(+16)_(+3)

=-(1_16_3)=-48 풀이

다음 거듭제곱을 계산하여 크기가 작은 것부터 차례로 나열하여 보자.

문제 해결

(-2)Ü`, -(-2)Ü`, -3Û`, (-3)Û`

0이 아닌 여러 개의 수를 곱할 때, 곱의 부 호는 음수가 없거나 짝수 개 있으면 +이고, 홀수 개 있으면 -이다. 따라서 여러 개의 수 를 곱할 때에는 먼저 곱의 부호를 정하고, 각 수의 절댓값의 곱에 그 부호를 붙이면 편리하 다.

5. 정수와 유리수의 곱셈

59

(28)

다음 그림은 직사각형을 잘라 두 부분으로 나눈 것이다.

직사각형의 전체 넓이는 두 부분으로 나뉜 직사각형의 넓이의 합과 같으므로 다 음 식이 성립한다.

4_(3+2)=4_3+4_2

이처럼 어떤 수에 두 수의 합을 곱한 것은 어떤 수에 두 수를 각각 곱하여 더한 것과 같다.

이것을 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이라고 한다.

분배법칙을 이용하여 다음을 계산하시오.

⑴ 104_19 ⑵ 5.23_102+5.23_(-2) 문제

5

4

3 2

4 4

3 2

개념확인

분배법칙을 이용하면 쉽게 계산할 수 있네.

분배법칙은 무엇인가요?

분배법칙

세 수 a, b, c에 대하여

a_(b+c)=a_b+a_c, (a+b)_c=a_c+b_c

a_(b+c)=a_b+a_c

(a+b)_c=a_c+b_c

①

②

①

분배법칙

①

60

(29)

스스로 확인하기

1

⑴ (-2)_(-6) ⑵ (+0.5)_(-1.1)

⑶ {-;4!;}_{+;3*;} ⑷ (+2.8)_{+;7^;}

4

⑴ (-4)_(+2)_(-7)_(-2)

⑵ (-5)_(-6)_(-3)Û`_(+2)

⑶ (-3)_{+;2!;}3`_(-4)_{-;5@;}

5

분배법칙을 이용하여 다음을 계산하시오.

⑴ 22_103

⑵ (-3.6)_(-7)+(-2.4)_(-7)

6

^{발전 문제}

다음 그림과 같은 숫자 카드가 한 장씩 있다. 카드를 세 장 뽑아 카드에 적힌 수를 모두 곱할 때, 곱해서 나올 수 있는 값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구하시오.

2

다음 계산 과정 ㉠, ㉡에서 이용한 곱셈의 계산 법칙을 각 각 말하시오.

(+2)_(-7)_(-5)

=(-7)_(+2)_(-5)

=(-7)_{(+2)_(-5)}

=(-7)_(-10)

=+70

㉠

㉡

3

⑴ (-1)Ý` ⑵ (-1)Þ`

⑶ -4Û` ⑷ {-;3@;}2`

0 50 100 5. 정수와 유리수의 곱셈

61

(30)

승표는 자전거를 타고 일정한 속력으로 달리고 있다. 다음 그림과 같이 자전거의 현재 위치를 기준 점 0으로 하여 수직선 위에 나타낼 때, 규칙에 따라 정수의 곱셈을 하여 보자.

수직선을 이용한 정수의 곱셈

수행 과제 의사소통

위와 같은 방법으로 다음을 계산하고, 계산 과정을 친구들에게 설명하여 보자.

⑴ (+3)_(-2) ⑵ (-3)_(+2)

규칙

➊ 자전거를 타고 오른쪽으로 초속 3`m로 움직이는 것을 +3, 왼쪽으로 초속 3`m로 움직이는 것 을 -3으로 나타낸다고 하자.

➋ 현재를 기준으로 2초 후를 +2, 2초 전을 -2로 나타낸다고 하자.

-6 -3 0 +3 +6

수직선을 이용하여 (+3)_(+2)를 계산하여 보자.

예시 1

수직선을 이용하여 (-3)_(-2)를 계산하여 보자.

예시 2

-3 0 +3 +6

현재 1초 후 2초 후

(+3) _ (+2) = +6

오른쪽으로

초속 3 m오른쪽으로 2초 후 초속 3 m 2초 후

-3 0 +3 +6

현재 1초 전 2초 전

(-3) _ (-2) = +6

초속 3 m왼쪽으로왼쪽으로 2초 전 초속 3 m 2초 전

62

(31)

탐구 학습

정수와 유리수의 나눗셈은 어떻게 하나요?

열기 자연수에서 성립하는 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하여 ☐ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

다지기 자연수에서 성립하는 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하면 ☐ 안에 알맞은 수는 이다.

키우기 정수의 곱셈을 이용하여 정수의 나눗셈은 어떻게 할까?

정수와 유리수의 나눗셈

2_3=6 2_

6Ö3=2 6Ö

(+2)_(-3)=-6 (+2)_

(-6)Ö(-3)=

(-6)Ö

자연수에서 성립하는 곱셈과 나눗셈의 관계가 정수에서도 성립한다. 이를 이용 하여 다음과 같이 정수의 나눗셈을 할 수 있다.

➊부호가 같은 두 정수의 나눗셈

(+2)_(+3)=+6 ➡ (+6)Ö(+3)=+2 (+2)_(-3)=-6 ➡ (-6)Ö(-3)=+2

➋부호가 다른 두 정수의 나눗셈

(-2)_(-3)=+6 ➡ (+6)Ö(-3)=-2 (-2)_(+3)=-6 ➡ (-6)Ö(+3)=-2

따라서 부호가 같은 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫 에 +를 붙인 것과 같고, 부호가 다른 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값 의 나눗셈의 몫에 -를 붙인 것과 같다.

(+6)Ö(+3)=+

(- (-3)=+

(+6)Ö(-3)=- (-6)Ö(+3)=-

정수와 유리수의 나눗셈

정수와 유리수의 나눗셈 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

두 자연수의 나눗셈 결과는 분수로 나타낼 수 있는데, (분자)

(분모) 꼴은 나눗셈 기호 ÷와

비슷하다. (박교식, “수학기호 다시보기”)

6. 정수와 유리수의 나눗셈

63

(32)

한편,

0_(+3)=0 ➡ 0Ö(+3)=0 0_(-3)=0 ➡ 0Ö(-3)=0 이므로 0을 0이 아닌 수로 나눈 몫은 0이다.

일반적으로 유리수의 나눗셈도 정수의 나눗셈과 같은 방법으로 한다.

⑴ (+44)Ö(+11) ⑵ (-42)Ö(+6)

⑶ (+64)Ö(-1.6) ⑷ (-1.5)Ö(-0.3) 문제

1

나눗셈에서 0으로 나누는 것은 생각하지 않는다.

|참고|

⑴ (+9)Ö(+3) ⑵ (-32)Ö(-8)

⑶ (+60)Ö(-1.2) ⑷ (-1.6)Ö(+0.4) 예제

1

| 정수와 유리수의 나눗셈하기

⑴ (+9)Ö(+3)=+(9Ö3)=+3

⑵ (-32)Ö(-8)=+(32Ö8)=+4

⑶ (+60)Ö(-1.2)=-(60Ö1.2)=-50

⑷ (-1.6)Ö(+0.4)=-(1.6Ö0.4)=-4 풀이

 ⑴ +3 ⑵ +4 ⑶ -50 ⑷ -4 정수와 유리수의 나눗셈

➊ 부호가 같은 두 수의 나눗셈의 몫은 두 수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 양의 부호 +를 붙인 것과 같다.

➋ 부호가 다른 두 수의 나눗셈의 몫은 두 수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 음의 부호 -를 붙인 것과 같다.

➌ 0을 0이 아닌 수로 나눈 몫은 항상 0이다.

64

(33)

두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다. 예를 들어 2_;2!;=1 이므로 2의 역수는 ;2!;이고, ;2!;의 역수는 2이다.

다음 수의 역수를 구하시오.

⑴ -1 ⑵ 6 ⑶ -;7#; ⑷ 1.25 문제

2

6Ö;3@;=6_;2#;과 같이 어떤 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것과 같 다. 따라서 역수를 이용하여 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산할 수 있다.

다음을 역수를 이용하여 계산하시오.

⑴ (+18)Ö(+7) ⑵ (+2.4)Ö{-;5*;}

문제

3

⑴ (-9)Ö(+4) ⑵ {-;3@;}Ö{-;9$;}

예제

2

| 역수를 이용하여 나눗셈하기

⑴ (-9)Ö(+4)=(-9)_{+;4!;}=-{9_;4!;}=-;4(;

⑵ {-;3@;}Ö{-;9$;}={-;3@;}_{-;4(;}=+{;3@;_;4(;}=+;2#;

풀이

 ⑴ -;4(; ⑵ +;2#;

역수

Ö▲

=_

▲ 개념확인

부호는 그대로!

분자, 분모는 자리 바꾸기!

역수를 이용한 나눗셈은 어떻게 하나요?

역수

역수를 이용한 나눗셈

곱셈으로 고친다.

소수의 역수를 구할 때에는 소수를 분수로 고쳐서 구 한다.

6. 정수와 유리수의 나눗셈

65

(34)

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식은 다음과 같은 순서로 계산한다.

➊ 거듭제곱이 있으면 거듭제곱을 먼저 계산한다.

➋ 괄호가 있으면 괄호 안을 먼저 계산한다.

이때 괄호는 소괄호 ( ), 중괄호 { }, 대괄호 [ ]의 순서로 계산한다.

➌ 곱셈, 나눗셈을 앞에서부터 차례로 계산한다.

➍ 덧셈, 뺄셈을 앞에서부터 차례로 계산한다.

다음 세진이의 계산 과정에서 틀린 부분을 찾아 바르게 계산하여 보자.

오류찾기

(-2)Û`+5Ö;3!;_;5!;

=4+5Ö;1Á5;

=4+75

=79

세진

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식의 계산은 어떻게 하나요?

⑴ (-4)-[-9Ö{-8-(-5)}] ⑵ 5-;3$;Ö[6-18_{-;3!;}2`]

문제

4

5-{(-2)Ü`+(-5)}_(-3)을 계산하시오.

예제

3

| 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식 계산하기

5-{(-2)Ü`+(-5)}_(-3)

=5-{(-8)+(-5)}_(-3)

=5-(-13)_(-3)

=5-39

=-34

풀이 거듭제곱 계산

중괄호 계산 곱셈 계산 뺄셈 계산

 -34 사칙계산이 섞여 있는

식의 계산

66

(35)

1

⑴ (+40)Ö(+5) ⑵ (-7.2)Ö(-8)

⑶ (+65)Ö(-1.3) ⑷ (-5.4)Ö(+0.9)

2

다음 수의 역수를 구하시오.

⑴ ;5@; ⑵ -;4#;

⑶ -5 ⑷ 0.7

3

⑴ (+8)Ö(-3) ⑵ (-6)Ö{+;4#;}

⑶ {-;7#;}Ö{-;5^;} ⑷ {+;3@;}Ö(+2.5)

4

⑴ ;5@;_;4!;Ö{-;2#;}

⑵ 3_7-36Ö(-6)

⑶ -4+3_[(-2)Ý`+8Ö;5@;]

5

다음과 같이 화살표의 순서로 진행되는 계산이 있다. 계 산 순서에 알맞은 식을 세우고 답을 구하시오.

(-3) ^- ;2!; ^_ ;7$$; ⁺ (-1) Ö (-3)

6

^창의^•^융합

오른쪽 그림과 같은 주사위에서 마주 보는 면에 있는 두 수의 곱 이 1일 때, 보이지 않는 세 면에 있는 수들의 합을 구하시오.

스스로 확인하기

- _ + Ö

0 50 100 6. 정수와 유리수의 나눗셈

67

(36)

수학자도 이상하게 생각한 수, 음수

기원전 2세기 이전부터 사람들은 음수의 개념을 생각했지만 일상생활과 음수를 연관 짓다 보면 모 순이 생겨 위대한 수학자들조차 음수를 수로 인정하지 않았다. 음수는 19세기에 와서야 비로소 수로 인정받게 되었다.

파스칼 (Pascal, B., 1623~1662) 디오판토스

(Diophantos, 200?~284?)

답이 음수가 되는 것은 문제 가 잘못되었기 때문이야.

아무것도 없는 것에서 4를 없애도 여전히 아무것도 없어.

카르다노 (Cardano, G.,

1501~1576)

음수는 이득에 반대되는 손실의 의미일 뿐 수는 아니야.

데카르트 (Descartes, R., 1596~1650)

0보다 작은 수는 잘못된 수야.

(수학동아, 2009년 10월 호; Morris Kline, “Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”)

수학

역사

^속으로

수학

역사 역사

68

(37)

개념 콕콕개념콕콕

3

정수와 유리수의 사칙계산

(1) 덧셈

(2) 뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고쳐서 계 산한다.

(3) 곱셈

(4) 나눗셈: 역수를 이용하여 곱셈으로 고쳐서 계산한다.

Ⅱ. 정수와 유리수

스스로 마무리하기

1

정수와 유리수

정수

à

^{양의 정수}(자연수): +1, +2, +3, y 0

음의 정수: -1, -2, -3, y 유리수

à

정수가 아닌 유리수: - 32, -1.2, + 1 2 , y

01

다음 수 중에서 정수가 아닌 유리수는 모두 몇 개 인가?

02

다음 중에서 옳은 것은?

① 절댓값이 4인 수는 +4뿐이다.

② -7의 절댓값은 -7이다.

③ 절댓값이 가장 작은 수는 -1, +1이다.

④ 절댓값이 2 이하인 정수는 5개이다.

⑤ 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 크다.

03

다음 중에서 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

① -;2#;>-;4#; ② -0.8>-;6%;

③ :Á4Á: <2.1 ④ |-5|<|+4|

⑤ -;2!;>0

① 1개 ② 2개 ③ 3개

④ 4개 ⑤ 5개

-6.4, 0, +5, -;3(;, ;7!;, -2

2

수의 대소 관계

절댓값이 큰 수가 작다.

절댓값이 큰 수가 크다.

→ -(절댓값의 곱) (+)×(+)

(-)×(-) (+)×(-) (-)×(+)

(+)+(+) → +(절댓값의 합) (-)+(-) → -(절댓값의 합) (+)+(-)

(-)+(+)

→ +(절댓값의 곱) → (절댓값의 차)

↑

절댓값이 큰 수의 부호

스스로 마무리하기

69

(38)

05

다음 중에서 계산 결과가 옳지 않은 것은?

① (+3.4)-(+1.4)=+2

② {-;4!;}-(-2)=+;4&;

③ {-;9%;}+{+;9@;}=-;3!;

④ {+;3@;}-{-;2!;}=+;6&;

⑤ (-4)+(-0.65)+(-0.35)=-5.1

08

다음 중에서 계산 결과가 가장 큰 것은?

① (+6)_{+;3@;}

② {-;4(;}Ö{-;8#;}

③ (-3)Û`_{+;6!;}

④ (+4)_(-5)Ö(-2)

⑤ {-;5&;}Ö{+;1!5$;}_(-2)Ü`

06

{-;2!;}_{-;3@;}_{-;4#;}_`y`_{-;2!0(;}를 계산하시오.

07

;9%;의 역수와 -0.6의 역수의 곱을 구하시오.

04

다음 수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하시오.

+1, -;2%;, +;3@;, -3, -1.5

09

{-;2!;}3`_[12Ö{;8!;-;4#;}]을 계산하면?

① :ª5¢: ② :Á5ª: ③ ;8%;

④ -:Á5ª: ⑤ -:ª5¢:

70

(39)

정답 및 풀이 286쪽

10

어떤 수에서 5를 빼야 할 것을 잘못하여 더하였더 니 -7이 되었다. 옳게 계산한 값을 구하시오.

12

11

다음과 같은 규칙으로 계산하는 두 장치 A, B가 있다.

입력된 수에서 -2 를 빼고 3을 곱한다.

장치 A

입력된 수를 -5로 나누고 2를 더한다.

장치 B

장치 A에 -7을 입력하여 계산된 값을 다시 장치 B에 입력하였을 때, 최종적으로 계산된 값을 구하 시오.

13

다음 그림에서 아래쪽의 수가 위쪽에 연결된 두 수 의 합일 때, ㉠, ㉡, ㉢에 들어갈 수들의 곱을 구하 시오.

㉠

㉡

㉢ -3 -6

7

서술형

이 단원을 배우고 나서 새롭게 알게 된 점이나 부족한 점을 적어 보세요.

학습 내용 점검 나의 학습 일기

학습 태도 점검

흥미도 집중도 참여도 협동심

1. 정수와 유리수의 뜻 ▶01번 2. 정수와 유리수의 대소 관계 ▶02, 03번 3. 정수와 유리수의 덧셈 ▶04, 12번 4. 정수와 유리수의 뺄셈 ▶05, 10번 5. 정수와 유리수의 곱셈 ▶06, 13번 6. 정수와 유리수의 나눗셈 ▶07, 08, 09, 11번

사고력 높이기

{;1!;+;2!;+;3!;+;4!;+;5!;}+{;2@;+;3@;+;4@;+;5@;}

+{;3#;+;4#;+;5#;}+{;4$;+;5$;}+;5%;

71

033072중등수학류희찬교과서1-01(2).indd 71 2017-07-17 오전 11:16:58

(40)

함께하는

프로젝트 주사위의 눈의 수를 이용하여 정수의 사칙계산 하기

두 모둠씩 짝 지어 다음 순서에 따라 활동을 하여 보자.

주사위 3개를 던져 나온 눈의 수 , ,

탐구 과제

주사위 3개를 던져 나온 눈의 수 2 , 2 , 3

식 계산 결과

2-2_3 -4

2-2-3 -3

2Ö2-3 -2

식 계산 결과

3-2_2 -1

(2-2)_3 0

2+2-3 1

식 계산 결과

(3-2)_2 2

2Ö2_3 3

3_2-2 4

식 계산 결과

-4 -3 -2

식 계산 결과

-1 0 1

식 계산 결과

2 3 4 예시

순서

➊ 모둠별로 주사위 3개를 던져 나온 눈의 수를 적는다.

➋ 모둠별로 ➊에서 적은 3개의 눈의 수와 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 기호 및 괄호를 사용하여 계산 결과가 -4부터 4까지의 정수가 되도록 하는 식을 만들어 아래의 활동 표에 적는다.

(단, 3개의 눈의 수는 빠짐없이 한 번씩만 사용한다.)

➌ 표를 비교하여 서로 다른 계산 결과를 많이 만든 모둠이 이긴다.

Ⅱ 정수와 유리수