우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

퀴즈6 검토 1) 복소수 _{A = −2 − 2𝑖 를 복소평면에 그리고, 크기와 편각을 구하라.} 2) 복소수 A = − 3 − 𝑖 의 크기와 편각을 구하고, 극형식으로 나타내라. 예제5-2) 복소수 A = 2(cos5𝜋₆ + 𝑖 sin5𝜋₆) 와 B = −1 − 3 3𝑖 의 합을 구하고, 이를 극형식(삼각함수형식)으로 나타내라. 1) _{A 를 직각좌표형식으로 변환: A = 2 cos}5𝜋 6 + 𝑖 sin 5𝜋 6 = 2(− 1 2+ 3 2 𝑖) 2) A + B = 2 −1₂+ ₂3𝑖 + −1 − 3 3𝑖 = −2 − 2 3𝑖 3) 크기 및 편각을 구함.

6-5. 복소수의 연산 (복습)  복소수의 합과 차

 A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  복소수의 곱셈

 A = A(cos θ₁+ 𝑖 sin θ₁), B = B (cos θ₂+ 𝑖 sin θ₂)  A ∙ B = AB{cos( 𝜃₁ + θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)} = AB (𝜃1+ θ2) = AB𝑒𝑖(𝜃1+θ2)  복소수의 나눗셈  A _B = A_B{cos( 𝜃₁− θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁−θ₂)} ₌A B (𝜃1− θ2) 𝑦 (허축) A B A 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ1 θ2 𝜃1+ θ2 A ∙ B A B

예제 5-3) 다음 값을 구하라.

(10+5 3𝑖)(−4+4𝑖)_(5+5𝑖)

+ (2 + 3𝑖)

1) 5 + 5 3𝑖 = 10 60° 2) −4 + 4𝑖 = 4 2 135° 3) −5 + 5𝑖 = 5 2 45° 그러므로, 1) ~ 3) 으로부터,

(10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖)

=

(10 60°)(4 2 135°) (5 2 45° )

=

10×4 2 5 2

(135° + 60° − 45°)

= 8 150° = 8 cos 150° + sin 150° = 8(−

1₂

+

₂3

𝑖)

Finally,

(10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖)

+ (2 + 3𝑖) = (−4 + 4 3𝑖) + (2 + 3𝑖) = −2 + (3 + 4 3)𝑖

6-6. 복소수의 n제곱과 n제곱근 6-6-1. 복소수의 n제곱

 복소수의 n제곱을 좌표형식으로 표시하면, A 𝑛 _{= 𝑎 + 𝑏𝑖} 𝑛

이를 지수함수형식(또는 극좌표형식)을 이용하여 표시하면 (드 므와브르 정리), A 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖θ₎𝑛 _{= A}𝑛_𝑒𝑖𝑛θ _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin(𝑛𝜃)} = A}𝑛 _𝑛𝜃

예제 6-1) 다음의 주어진 식을 계산하라. 1) {cos(2𝜋 3) + 𝑖 sin( 2𝜋 3)} 3 _{= cos(2𝜋) + 𝑖 sin(2𝜋) = 1} 2) 1 + 𝑖 −3 1 + 𝑖 = 2(cos𝜋₄+ 𝑖 sin𝜋₄) 그러므로,

6-6-2. 복소수의 n제곱근  아래의 이항방정식을 만족하는 𝑥를 𝑎의 𝑛제곱근이라함. 𝑥𝑛 _{= 𝑎, 𝑜𝑟 𝑥}𝑛_{− 𝑎 = 0} ※ 여기서 𝑎의 𝑛제곱은 만족하는 실수와 허수를 포함하는 복소수는 𝑛개 존재한다.  그러므로, 수의 범위를 확장하여 복소수 A 와 B 에 대한 이항방정식을 구하면, A 𝑛 _{= B , 𝑜𝑟 A} 𝑛 _{− B = 0} ※ 복소수 B 의𝑛제곱은 만족하는 복소수 A 는 𝑛개 존재한다.  복소수 A 와 B 를 극형식으로 표시하고, 이항방정식의 근인 복소수 A 를 구하면,

A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A φ = A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) A} 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎𝑛 _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)}} B = B𝑒𝑖θ _{= B θ = B(cos θ + 𝑖 sin θ)}

A𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)} = B(cos θ + 𝑖 sin θ) (즉, A} 𝑛 _{= B )}

 위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각 θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, 크기: A𝑛 = B A= B𝑛

6-6-2. 복소수의 n제곱근 (계속)  위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각 θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, 크기: A𝑛 _{= B A= B}𝑛 편각: 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 = θ+2𝑘𝜋_𝑛  즉, 복소수 A 의 크기와 편각이 도출됨.  복소수 B 의 𝑛제곱근 A _𝑘는

A

_𝑘

= A 𝜑 = B

𝑛

θ+2𝑘𝜋 𝑛

= B

𝑛

(cos

θ+2𝑘𝜋_𝑛

+ 𝑖 sin

θ+2𝑘𝜋_𝑛

) , (단, 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)

 특히, 𝑘 = 0 에 대한 근을 주근 이라하며, 나머지 근을 부근. 주근:

A

₀

= B

𝑛

θ 𝑛

= B

𝑛

(cos

θ_𝑛

+ 𝑖 sin

_𝑛θ

)

부근:

A

₁

= B

𝑛

θ+2𝜋 𝑛

= B

𝑛

(cos

θ+2𝜋 𝑛

+ 𝑖 sin

θ+2𝜋 𝑛

)

6-6-2. 복소수의 n제곱근

 이항방정식 (A 𝑛 = B ) 의 해법 정리

 복소수 A 와 B 가 다음과 같을 때: A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A φ, B = B𝑒}𝑖θ _{= B θ} 1) 좌변의 A 𝑛 _{을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.}

A 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎𝑛 _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)}} 2) 우변의 복소수 B 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환. B = B (θ + 2𝑘𝜋) = B{cos(θ + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(θ + 2𝑘𝜋)} 3) A 𝑛 _{= B 에 의해 복소수 A 의 크기 A 와 편각 φ 를 구한다.}  크기: A𝑛 _{= B A= B}𝑛  편각: 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 =θ+2𝑘𝜋_𝑛

4) 크기와 편각을 복소수 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.}

 위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각 θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, A 𝑘 = A 𝜑 = B𝑛 θ+2𝑘𝜋_𝑛 = B𝑛 _(cosθ+2𝑘𝜋 𝑛 + 𝑖 sin θ+2𝑘𝜋 𝑛 ) , (단, 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)

예제 6-2) 이항 방정식 A 3 = 1 의 세제곱근을 구하라.

1) 좌변의 A 3 을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환. A 3 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎3 _{= A}3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)}}

2) 우변의 복소수 _{B 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환.} B = 1 (0 + 2𝑘𝜋) = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)}

3) A3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)} = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)} 에 의해 복소수 A 의 크기 및 편각을 구한다.}  크기: A3 _{= 1 A=1}

 편각: 3𝜑 = 2𝑘𝜋 𝜑 =2𝑘𝜋₃

4) 복소수의 크기와 편각을 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.} A _𝑘 = A 𝜑 = cos2𝑘𝜋 3 + 𝑖 sin 2𝑘𝜋 3 , (𝑘 = 0, 1, 2) 5) 주근 및 부근을 구하면,  주근: A 0 = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1 𝑦 (허축) θ=120° A ₁